2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：線性回歸、分線性回歸和相關(guān)系數(shù)（解析）

專題19線性回歸、分線性回歸和相關(guān)系數(shù)

一、線性回歸

1.2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國(guó)際奧委會(huì)第128次全會(huì)上，北京獲得2022年冬奧會(huì)舉辦權(quán).在申

冬奧過(guò)程中，中國(guó)正式向國(guó)際社會(huì)作出“帶動(dòng)三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的莊嚴(yán)承諾.這一承諾，既是我國(guó)為國(guó)際

奧林匹克運(yùn)動(dòng)做出重大貢獻(xiàn)的大國(guó)擔(dān)當(dāng)展現(xiàn)，也是根據(jù)我國(guó)經(jīng)濟(jì)水平和全民健身需求做出的群眾性運(yùn)動(dòng)的

戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會(huì)申辦成功到2021年10月，全國(guó)參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)累計(jì)達(dá)到3.46億，實(shí)現(xiàn)了“帶動(dòng)

三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)”的目標(biāo)，這是北京冬奧會(huì)給予全球冬季體育運(yùn)動(dòng)和奧林匹克運(yùn)動(dòng)的最為重要的遺產(chǎn)，

可以說(shuō)是2022年北京冬奧會(huì)的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動(dòng)“冰雪熱”，也帶動(dòng)了冰雪經(jīng)濟(jì)，以冰雪運(yùn)動(dòng)為主要

內(nèi)容的冰雪旅游近年來(lái)發(fā)展迅速，2016至2022六個(gè)冰雪季的旅游人次?（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：

年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022

年度代號(hào)t123456

旅游人次y1.71.972.240.942.543.15

（1）求y與，的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）,并回答y與/的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；

（2）因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個(gè)年度數(shù)據(jù)（年度代號(hào)不變），求y

關(guān)于/的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并推測(cè)沒(méi)有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)

值.

附注：參考數(shù)據(jù)：￡=（2Mti=3.5,歹=￡*%=2.09,2*5=47.72,2：=否=91,

N色一,2：=1（%—歹尸x7.參考公式：相關(guān)系數(shù)r==以…型，

11-122M（%-"以'MW"

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：b=R色々"）=三”a=y-bt

【答案】（1）0.55,線性相關(guān)性不強(qiáng)

（2）9=0.261+1.43,2.47億

【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)系數(shù)，再進(jìn)行判斷即可，

（2）由已知數(shù)據(jù)結(jié)合回歸方程公式計(jì)算y關(guān)于評(píng)勺線性回歸方程，再將t=4代入回歸方程可求出2019—2020

年度冰雪旅游人次的估計(jì)值

【詳解】（1）由參考數(shù)據(jù)計(jì)算得

66

W9一塊％一力=W—6型=47.72-6x3.5x2.09=3.83

i=li=l

所以丁=jL&f3Tg。手夕0,55,

2久（％-力2

因?yàn)椤?lt;r<0.75,所以線性相關(guān)性不強(qiáng).

（2）五組數(shù)據(jù)的均值分別為E=3.4,y=2.32

6

Wt7i—14y4—5、y=47.72—4x0.94—5x3.4x2.32=4.52

i=l

6

2222

Wtj-t4-57=91-16-5x3.4=17.2

i=l

Ay(ti-t)Cyi-y')

4.52

b=^--------=—----x0.263,

2**)217.2

a=y-bt1.43

y關(guān)于t的線性回歸方程為5>=0.26t+1.43

令t=4,則夕=0.26X4+1.43=2.47,

因此，在沒(méi)有疫情情況下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估計(jì)值為2.47億.

2.隨著科技進(jìn)步，近來(lái)年，我國(guó)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.以下是中國(guó)汽車工業(yè)協(xié)會(huì)2022年2月公布的

近六年我國(guó)新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：

年份201620172018201920202021

年份代碼X123456

新能源乘用車年銷售y（萬(wàn)輛）5078126121137352

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（結(jié)果保留整數(shù)）

（2）若用y=nwnx模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為5>=37.71e°-33x,經(jīng)計(jì)算該模型和第（1）問(wèn)中模

型的R2（R2為相關(guān)指數(shù)）分別為0.87和0.71,請(qǐng)分別利用這兩個(gè)模型，求2022年我國(guó)新能源乘用車的年銷

售量的預(yù)測(cè)值；

（3）你認(rèn)為（2）中用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：設(shè)it=Iny,其中%=In%.

66

W（久t-兄）（%W-X）（Ui

3.635.946.27

yU1=1i=leee

-y）-u）

1444.788415.7037.71380528

參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(%,%)。=1,2,3,n),其回歸直線y=B久+&的斜

率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為務(wù)=飛尸”),a=y-bx.

【答案】(1)9=48X-24

(2)當(dāng)回歸方程為歹=48x-24時(shí)，2022年我國(guó)新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測(cè)值是312萬(wàn)輛；

當(dāng)回歸方程為9=37.71e°33x時(shí)，2022年我國(guó)新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測(cè)值是380萬(wàn)輛.

(3)由于相關(guān)指數(shù)越接近于1,兩個(gè)變量之間的關(guān)系就強(qiáng)，相應(yīng)的擬合程度也越好，

所以歹=37.71e°33x模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)，得出天，y,2M(%-幻血一刃，2豈于的值,

運(yùn)用最小二乘法求回歸直線方程即可；

(2)根據(jù)回歸方程，代入x的值即可求出預(yù)測(cè)值；

(3)相關(guān)指數(shù)越接近1,兩變量的相關(guān)性越強(qiáng)，預(yù)測(cè)值越可靠.

【詳解】(1)由表中數(shù)據(jù)得，

又=1+2+3；+5+6=38,y=144,S*Li(Xi-x)(Yi-y)=841,

n

2222222

(Xj-X)=(X1-x)+(x2-x)+(x3-x)+(x4-x)+(x5-x)+(x6-x)

i=l

=(1-3.5)2+(2—3.5)2+(3—3.5)2+(4_3.5)2+(5—3.5)2+(6_3.5)2

=17.5

b=弋尸所刃=841~48支=y_=144_48x3.5=-24

ZL(xf)217.5>

二y關(guān)于x的線性回歸方程為：y=48x-24.

(2)由(1)知，y關(guān)于x的線性回歸方程為：#=48x—24,

當(dāng)x=7時(shí)，2022年我國(guó)新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測(cè)值：

y=48x7-24=312(萬(wàn)輛)；

對(duì)于回歸方程9=37.71e°，33x,

當(dāng)x=7時(shí)，2022年我國(guó)新能源乘用車的年銷售量的預(yù)測(cè)值：

y=37.71e0,33x7=e363Xe2,31=e5-94=380（萬(wàn)輛）.

（3）依題意：9=37.71e°33x模型和第（1）問(wèn)中模型的R2（R2為相關(guān)指數(shù)）分別為0.87和0.71,

由于相關(guān)指數(shù)越接近于1,兩個(gè)變量之間的關(guān)系就強(qiáng)，相應(yīng)的擬合程度也越好，

所以歹=37.71e°，33x模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.

3.小李準(zhǔn)備在某商場(chǎng)租一間商鋪開(kāi)服裝店，為了解市場(chǎng)行情，在該商場(chǎng)調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計(jì)得到了

它們的面積忒單位:m2）和日均客流量供單位:百人）的數(shù)據(jù)@,%）（i=1,2「“，20）,并計(jì)算得￡普%=2400,

￡2力=210,2：二（%—幻2=42000,￡普（陽(yáng)一無(wú)）（%—?）=6300.

（1）求y關(guān)于x的回歸直線方程；

（2）已知服裝店每天的經(jīng)濟(jì)效益W=kV7+mx（k>0,ni>0）,該商場(chǎng)現(xiàn)有60?150m2的商鋪出租，根據(jù)（1）

的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，要使單住面積的經(jīng)濟(jì)效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪？

附：回歸直線夕=+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：】=弋fa=y-bx.

【答案】（l）?=0.15x-7.5

（2）小李應(yīng)該租lOOn?的商鋪

【分析】（1）由已知條件結(jié)合回歸直線公式可求出回歸直線方程，

（2）根據(jù)題意得Z=?=空叵尹+m,60<x<150,構(gòu)造函數(shù)f（x）=號(hào)在，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可

求出其最大值，從而可求出Z的最大值

【詳解】⑴由已知可得蹬產(chǎn)=120,y=焉蹬*=10.5,

心含竽=黑=?！?,

a=y-bx=10.5-0.15X120=-7.5,

所以回歸直線方程為歹=0.15x-7.5.

kV0.15x—7.5.,小，，ai-八

（2）根據(jù)題意得Z=K------------+m,60<x<150.

X

0.15x-7.50.157.5人411,4)1

r，令t=一，一<t<—,

設(shè)f(x)x2x15060

22

則f(x)=g(t)=0.15t-7.5t=-7.5x(t-0.01)+0.00075,

當(dāng)t=0.0L即x=100時(shí)，f(x)取最大值，

又因?yàn)閗,m>0,所以此時(shí)Z也取最大值,

因此，小李應(yīng)該租100m2的商鋪.

4.某醫(yī)科大學(xué)實(shí)習(xí)小組為研究實(shí)習(xí)地晝夜溫差與感冒人數(shù)之間的關(guān)系，分別到當(dāng)?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄

了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料:

日期1月5日1月20日2月5日2月20日3月5日3月20日

晝夜溫差X(℃)1011131286

就診人數(shù)y(個(gè))222529261612

該小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進(jìn)

行檢驗(yàn).

參考公式：b—

j=l

(1)求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率;

⑵若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數(shù)據(jù).

①請(qǐng)根據(jù)這4組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程)=bx+a;

②若某日的晝夜溫差為7℃,請(qǐng)預(yù)測(cè)當(dāng)日就診人數(shù).(結(jié)果保留整數(shù)).

【答案】(叫

(2)?y=yx-y；②14人

【分析】(1)利用列舉法求解，先列出從這6組中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)，剩余的2組數(shù)據(jù)所有等可能的情況,

然后找出其中2組數(shù)據(jù)都是20日的情況，然后利用古典概型的概率公式求解，

(2)①根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和公式求出y關(guān)于x的線性回歸方程，②把x=7代入回歸方程求解即可

(1)

記6組依次為1,2,3,4,5,6,從這6組中隨機(jī)選取4組數(shù)據(jù)，剩余的2組數(shù)據(jù)所有等可能的情況為(1,2),

(1,3),(1,4)>(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15種,

其中2組數(shù)據(jù)都是20日，即都取自2,4,6組的情況有3種.

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率P=卷=(

(2)

①由所選數(shù)據(jù)，得又=11+13廣2+8=11,25+29：26+16=2%

44

11x25+13x29+12x26+8x16-4x11x2418

所以6=

ll2+132+122+82-4xll2

所以6=y—bx=24—yx11=—y,

所以y關(guān)于X的線性回歸方程為9=yX-y.

②當(dāng)X=7時(shí)，y=yX7-y=y-14,

所以某日的晝夜溫差為7℃,預(yù)測(cè)當(dāng)日就診人數(shù)約為14人.

5.某科技公司研發(fā)了一項(xiàng)新產(chǎn)品4經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，對(duì)公司1月份至6月份銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

銷售單價(jià)x（千元）和銷售量y（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示:

月份i123456

銷售單價(jià)

99.51010.5118

%i

銷售量外111086515

（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸直線方程；

（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)0.65千件，則認(rèn)為所得到的回歸

直線方程是理想的，試問(wèn)（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？

參考公式：回歸直線方程？=B久+4,其中3=善紇喳.

〉x--nx2

=i=]

參考數(shù)據(jù)：唾3%=392,2：=*=5025

【答案】（1）y=-3.2x+40；（2）是.

【分析】（1）先由表中的數(shù)據(jù)求出五歹，再利用已知的數(shù)據(jù)和公式求出6,3,從而可求出y關(guān)于x的回歸直線

方程；

（2）當(dāng)x=8時(shí)，求出產(chǎn)的值，再與15比較即可得結(jié)論

【詳解】（1）因?yàn)橛?：（9+9.5+10+10.5+11）=10,y=|（ll+10+8+6+5）=8,

所以6=IS籌=一3.2,

得含=8-（-3.2）x10=40,

于是v關(guān)于X的回歸直線方程為y=-3.2x+40；

(2)當(dāng)x=8時(shí)，y=-3.2X8+40=14.4,

則匹-yl=114.4-15|=0.6<0.65,

故可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的.

6.2015年10月16日，習(xí)近平總書記在減貧與發(fā)展高層論壇上強(qiáng)調(diào)，中國(guó)扶貧工作要實(shí)施精準(zhǔn)扶貧方略,

堅(jiān)持中國(guó)制度優(yōu)勢(shì)，堅(jiān)持分類施策.當(dāng)年11月23日，中共中央政治局召開(kāi)會(huì)議，審議通過(guò)了《關(guān)于打贏

脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)的決定》等有關(guān)文件，會(huì)議確定了通過(guò)產(chǎn)業(yè)扶持、轉(zhuǎn)移就業(yè)、教育支持和醫(yī)療救助等措施幫助

5000萬(wàn)左右貧困人口脫貧的目標(biāo).下表為某貧困縣在實(shí)施扶貧政策過(guò)程中貧困戶的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年

序號(hào)工第0年第1年第2年第3年第4年第5年

貧困戶數(shù)y(百戶)5.44.63.42.51.60.5

(1)從這六組數(shù)據(jù)的貧困戶數(shù)中任意抽取兩個(gè)值a,b(百戶)，設(shè)f為|a-川四舍五入后的整數(shù)值，求隨機(jī)

變量f的分布列及期望值Ef；

(2)以2015-2019年五組數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析發(fā)現(xiàn)，貧困戶數(shù)y(百戶)與年份的序號(hào)x存在較強(qiáng)的線性

相關(guān)性，試用最小二乘法求相應(yīng)的回歸方程，并利用2020年的數(shù)據(jù)對(duì)該回歸方程進(jìn)行檢驗(yàn).若實(shí)際數(shù)與預(yù)

測(cè)值的差值的絕對(duì)值不超過(guò)10戶，則認(rèn)為回歸方程可靠.請(qǐng)問(wèn)該回歸方程是否可靠？

附：回歸方程9=標(biāo)+&中斜率和截距的最小二乘法公式為：3=1,-一9=卻七/)(對(duì)),2一族.

2

yxl-nx工=I(XLX)2，

【答案】(1)分布列見(jiàn)解析；期望為］(2)9=—0.97X+5.44；該回歸方程可靠.

【分析】(1)根據(jù)題意先求己的所有取值，再求概率、分布列及期望；

(2)根據(jù)題中的數(shù)據(jù)利用最小二乘法公式可求回歸方程，再檢驗(yàn)即可.

【詳解1)用(x,y)表示取得的數(shù)據(jù)分別為x和y,則所有的基本事件有(5.4,4.6),(54,3.4),(5.4,2.5),(5,4,1.6),

(5.4,0.5),(4.6,34),(4.6,2.5),(4.6,1.6),(4.6,0.5),(34,2.5),(3.4,1.6),(3.4,0.5),(2.5,1.6),(2.5,0.5),(1.6,0.5)

共15個(gè)，對(duì)應(yīng)的《的取值分別為1,2,3,4,5,1,2,3,4,1,2,3,1,2,1,即《的取值有1,2,3,

4,5,且

P?=l)=^=pP(?=2)=aP(t=3)=W，PG=4)=總P(W=5)=總

故變量?的分布列為：

12345

14121

P

31551515

期望值境=1XV+2X2+3XV+4X(+5X2/.

(2)根據(jù)題意知,x=2,y=3.5,

0+4.6+6.8+7.5+6.4—5x2x3.5

所以6=0.97

0+1+4+9+16-5X22

則A=3.5+0.97x2=5.44.

所以#=-0.97x4-5.44.

當(dāng)x=5時(shí)，y=-0,97x5+5.44=0.59,而預(yù)測(cè)數(shù)與實(shí)際數(shù)的差值的絕對(duì)值為

|0.59-0.5|=0.09（百戶），即差值為9戶，所以該回歸方程可靠.

7.2021年是“十四五”開(kāi)局之年，是在全面建成小康社會(huì)，實(shí)現(xiàn)第一個(gè)百年奮斗目標(biāo)之后，全面建設(shè)社會(huì)主

義現(xiàn)代化國(guó)家新征程開(kāi)啟之年，新征程的第一階段是2020年到2035年，基本實(shí)現(xiàn)社會(huì)主義現(xiàn)代化，其中

保障農(nóng)村農(nóng)民的生活達(dá)到富裕是一個(gè)關(guān)鍵指標(biāo).某地區(qū)在2020年底全面建成小康社會(huì)，隨著實(shí)施鄉(xiāng)村振興

戰(zhàn)略規(guī)劃，該地區(qū)農(nóng)村居民的收入逐漸增加，可支配消費(fèi)支出也逐年增加.該地區(qū)統(tǒng)計(jì)了2016年—2020年

農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出情況，對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)處理后，制作如圖1的折線圖（其中變量y（萬(wàn)元）表示該地區(qū)農(nóng)

村居民人均年消費(fèi)支出，年份用變量t表示，其取值依次為1,2,3,……）.

（1）由圖1可知，變量y與t具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測(cè)2021年該地區(qū)農(nóng)村居

（2）在國(guó)際上，常用恩格爾系數(shù)（其含義是指食品類支出總額占個(gè)人消費(fèi)支出總額的比重）來(lái)衡量一個(gè)國(guó)

家和地區(qū)人民生活水平的狀況.根據(jù)聯(lián)合國(guó)糧農(nóng)組織的標(biāo)準(zhǔn)：恩格爾系數(shù)在40%?50%為小康，30%?40%為

富裕.已知2020年該地區(qū)農(nóng)村居民平均消費(fèi)支出構(gòu)成如圖2所示，預(yù)測(cè)2021年該地區(qū)農(nóng)村居民食品類支

出比2020年增長(zhǎng)3%,從恩格爾系數(shù)判斷2021年底該地區(qū)農(nóng)村居民生活水平能否達(dá)到富裕生活標(biāo)準(zhǔn).

其他用品及

醫(yī)療保健1428元服務(wù)244元

教育文化

娛樂(lè)1429元

食品類

交通通信

4451元

1871元

生活用品及衣著723元

服務(wù)872元

居住2982元

圖2

2020年該地區(qū)農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成

參考公式：回歸方程9=版+沖斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：I普松=聲誓,

a=y—bx

【答案】（1）y=0.101t+0.907；約為1.513萬(wàn)元；（2）2021年底該地區(qū)農(nóng)村居民生活水平能達(dá)到富裕生

活標(biāo)準(zhǔn).

【分析】（1）先由已知的數(shù)據(jù)求出三%2從而可求出6,A,進(jìn)而可得到y(tǒng)關(guān)于t的回歸方程,

然后將t=6代入可求出2021年該地區(qū)農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出；

（2）由圖2可知,2020年該地區(qū)農(nóng)村居民食品類支出為4451元,則預(yù)測(cè)2021年該地區(qū)食品類支出為4451x

（1+3%）=4584.53元，從而可求出恩格爾系數(shù)

【詳解】解：（1）由已知數(shù)據(jù)可求1=1+2+：+4+5=3,

-1.01+1.10+1.21+1.33+1.40-…

y=---------------------------=1.21,

y5t?=I2+22+32+42+52=55,

J1=11

5tjyi=1x1.01+2x1.10+3x1.21+4x1.33+5x1.40=19.16,

Zi=i

,「19.16-5x3xl.211.01八1cl

55-5x3210

.,.a=l,21-0.101x3=0.907

???所求回歸方程為，=0.101t+0.907.

當(dāng)t=6時(shí)，y=0.101x6+0.907=1.513（萬(wàn)元），

A2021年該地區(qū)農(nóng)村居民人均消費(fèi)支出約為1.513萬(wàn)元

（2）已知2021年該地區(qū)農(nóng)村居民平均消費(fèi)支出1.513萬(wàn)元,

由圖2可知,2020年該地區(qū)農(nóng)村居民食品類支出為4451元,則預(yù)測(cè)2021年該地區(qū)食品類支出為4451x（1+

3%）=4584.53元，

.??恩格爾系數(shù)=等鬻x100%x30.3%G（30%,40%）

所以，2021年底該地區(qū)農(nóng)村居民生活水平能達(dá)到富裕生活標(biāo)準(zhǔn).

8.根據(jù)國(guó)際疫情形勢(shì)以及傳染病防控的經(jīng)驗(yàn)，加快新冠病毒疫苗接種是當(dāng)前有力的防控手段，我國(guó)正在安

全、有序加快推進(jìn)疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開(kāi)

展疫苗接種社會(huì)宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認(rèn)識(shí)到了疫苗接種的重要

作用，自宣傳開(kāi)始后村干部統(tǒng)計(jì)了本村200名居民（未接種）5天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，得如下統(tǒng)計(jì)表:

第X天12345

新接種人數(shù)y1015192328

（1）建立y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）預(yù)測(cè)該村80%?居民接種新冠疫苗需要幾天？

參考公式：回歸方程9=氤+4中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：3=密亞3,a^y-bx.

〉xj-nx2

=

【答案】⑴y=yx+y；（2）7.

【分析】（1）本題首先可以求出登y,然后求出6、a,即可求出y關(guān)于X的線性回歸方程；

（2）本題可設(shè)an=1n+?數(shù)列同｝的前n項(xiàng)和為Sn，然后根據(jù)等差數(shù)列求和公式得出Sn=蓑十+8n,

最后求出S6、S7,即可得出結(jié)果.

v'V.bjjY/1、-1+2+3+4+5_10+15+19+23+28八

【詳解】（1）x=---------=3o,y=-------------=19,

￡乙段力-11對(duì)_10+30+57+92+140-5x3x19_22_22?_29

\5x?-nx2.12+22+32+42+52-5X32-5*3-TX-二，

乙i=l1

故y關(guān)于X的線性回歸方程9-yX+y.

(2)200x80%=160,

設(shè)an=0+V數(shù)列同｝的前n項(xiàng)和為Sn，易知數(shù)列入｝是等差數(shù)歹I，

22292229

用代(ai+a)(可+可+可n+丁)n

貝1JSn=%"n?"=~———,n=ynz2+8n,

因?yàn)镾6=127.2,S7=163.8,

所以預(yù)測(cè)該村80%居民接種新冠疫苗需要7天.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線性回歸方程的求法以及實(shí)際應(yīng)用，能否根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出6、A是解決本

題的關(guān)鍵，考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題.

9.某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%,通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)計(jì)算該地區(qū)這3天中恰

好有2天下雨的概率.用隨機(jī)數(shù)x（x€N,且03久W9）表示是否下雨：當(dāng)x€［0,m］（機(jī)€Z）時(shí)表示該地

區(qū)下雨，當(dāng)xe加+1,9］時(shí)，表示該地區(qū)不下雨，從隨機(jī)數(shù)表中隨機(jī)取得20組數(shù)如下：

332714740945593468491272073445

992772951431169332435027898719

（1）求出加的值，并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；

（2）從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當(dāng)天降雨量（單位：mm）如表：（其中降雨量為0表示沒(méi)有下雨）.

時(shí)間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年

年份t123456789

降雨量y292826272523242221

經(jīng)研究表明：從2012年至2021年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份/成線性回歸，求回歸直

線方程9=超+%并計(jì)算如果該地區(qū)2021年（t=10）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）

參考公式：B=常向。/,a=y-bt.

_o、、7

參考數(shù)據(jù)：（4-租%-y）=一58,%-t）（y；-y）=一54,ZJT）2=60，ZJT）2=

52.

【答案】⑴m=4,1；（2）9=—||t+罷；該地區(qū)2020年清明節(jié)有降雨的話，降雨量為20.2mm.

【分析】（1）利用概率模擬求概率；

（2）套用公式求回歸直線方程即可.

【詳解】解：（1）由題意可知，喟'=50%,解得m=4,即。?4表示下雨，5?9表示不下雨,

所給的20組數(shù)據(jù)中714,740,491,272,073,445,435,027,共8組表示3天中恰有兩天下雨，

故所求的概率為Ml；

（2）由題中所給的數(shù)據(jù)可得千=5,y=25,

所以6=瓦仁心=3=—空，a=y-bt=25-（-^x5=^,

9a一球6030J\30/6

Zi=l

所以回歸方程為y=—l?t+言，

30o

當(dāng)t=10時(shí)，y=--X10+—=—?20.2,

J3066

所以該地區(qū)2020年清明節(jié)有降南的話，降雨量為20.2mm.

【點(diǎn)睛】求線性回歸方程的步驟：①求出又斤；②套公式求出6、a；③寫出回歸方程y=6x+A；④利用回歸

方程#=&+含進(jìn)行預(yù)報(bào)；

10.隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的推動(dòng)效果日益顯著,

某大型超市計(jì)劃在不同的線上銷售平臺(tái)開(kāi)設(shè)網(wǎng)店，為確定開(kāi)設(shè)網(wǎng)店的數(shù)量，該超市在對(duì)網(wǎng)絡(luò)上相關(guān)店鋪?zhàn)?/p>

了充分的調(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中X表示開(kāi)設(shè)網(wǎng)店數(shù)量，y表示這X個(gè)分店的年銷售額總和）,

現(xiàn)已知=8850,￡：=i%=2000,求解下列問(wèn)題；

A年銷售額11彷元）

分扇量V

（1）經(jīng)判斷，可利用線性回歸模型擬合y與％的關(guān)系，求解y關(guān)于x的回歸方程；

（2）按照經(jīng)驗(yàn)，超市每年在網(wǎng)上銷售獲得的總利潤(rùn)w（單位：萬(wàn)元）滿足w=y-一140,請(qǐng)根據(jù)

中的線性回歸方程，估算該超市在網(wǎng)上開(kāi)設(shè)多少分店時(shí)，才能使得總利潤(rùn)最大.

參考公式；線性回歸方程夕=Bx+%其中2=歹一3元B=善堂^

）Xi2—rix

-i=l

【答案】（1），=85x+60；（2）開(kāi)設(shè)8或9個(gè)分店時(shí)，才能使得總利潤(rùn)最大.

【分析】（1）先求得&2=90,又=4,再根據(jù)提供的數(shù)據(jù)求得6,a,寫出回歸直線方程；

（2）由（1）結(jié)合w=y—5x2-140,得到w=-5x?+85x-80,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】（1）由題意得=90,又=4,6=啜鬻^=85,

§=400-85x4=60,

所以歹=85x+60.

（2）由（1）知，w———5x?+85x—80--5（x——4—--,

所以當(dāng)x=8或x=9時(shí)能獲得總利潤(rùn)最大.

二、非線性回歸

11.抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個(gè)重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系

成為研究抗體藥物的一個(gè)重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)

這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為x(單位：mg),

體內(nèi)抗體數(shù)量為了(單位：AU/mL).

101010注10

i=li=li=li=l

29.2121634.4

九

12-

10-

8-

6-

4-

2-

62468101214161820222426*

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇y=c/作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量X的回歸方程，將y=c/兩邊取對(duì)

數(shù)，得Iny=Inc+如1久，可以看出Inx與Iny具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程，

并預(yù)測(cè)抗體藥物攝入量為25mg時(shí)，體內(nèi)抗體數(shù)量y的值；

(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布N?(0.48,0.032),那這

種抗體藥物的有效率z超過(guò)0.54的概率約為多少？

附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,%)?=1,2,…,10),其回歸直線。=&a+6的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為自=

-----二，a=v-

Yuj-nu

=i=]

②若隨機(jī)變量則有P(〃一+=0.6826,P(〃—2。<Z<〃+2cr)=0.9544,P(〃—

3。VZV〃+3d)?0.9974；

③取ex2.7.

【答案】69=ex03；y=i3.5AU/mL

(2)0.0228

【分析】(1)用最小二乘法求解回歸直線方程，再求非線性回歸方程即可；

(2)根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解給定區(qū)間的概率即可.

【詳解】(1)將y=cxd兩邊取對(duì)數(shù)，得Iny=Inc+dlnx,

設(shè)z=Iny,t=Inx,則回歸方程變?yōu)閦=Inc+dt,

由表中數(shù)據(jù)可知，々=2￡*4=1.6,￡*瑪=1.2,

t'-iot：=29.2-l°xl.2x：,6

所以d='舄=05lnc=z-dt=1.6-0.5X1,2=1,

2*t?-10t234.4-10X1.22

所以/=1+0.5t,即Iny=1+0.51nx=Ine+Inx0,5=Inex05,

故y關(guān)于x的回歸方程為？=ex05,

當(dāng)x=25mg時(shí)，y=e-2505?2.7x5=13.5AU/mL.

(2)因?yàn)閦服從正態(tài)分布N(0.48,0.032),其中R=0.48,Q=0.03,

所以P(n-2o<z<n+2o)=P(0.42<z<0.54)?0.9544,

所以P(z>0.54)=l-P(a42jz<0.54)=1-0-9544=0Q228,

故這種抗體藥物的有效率Z超過(guò)0.54的概率約為0.0228.

12.經(jīng)觀測(cè)，長(zhǎng)江中某魚(yú)類的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度%有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度期和產(chǎn)卵數(shù)%(i=1,2,…,10)的10組

觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.

10

10101010

￡i=l

1=11=1i=li=l

—X)2

36054.5136044384

10101010

入

1=1i=li=li=l

-ty-1)(y；-y)-無(wú))⑵-z)-彳)(%-y)

3588326430

表中。=逐,4=\nyifz=3葭彳

九

350-.?

300-

250-

200-?

150-*

wo-,

50-*

3，IJiIIII?

°2022242628303234361

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx,y=n+m而與y=（:遇。2才哪一個(gè)適宜作為y與％之間的回歸方程模型并求出y

關(guān)于萬(wàn)回歸方程；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）某興趣小組抽取兩批魚(yú)卵，已知第一批中共有6個(gè)魚(yú)卵，其中“死卵”有2個(gè)；第二批中共有8個(gè)魚(yú)卵，

其中“死卵，，有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一批，然后從該批次中隨機(jī)取出2個(gè)魚(yú)卵，求取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)

學(xué)期望.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（由^。，（3，^，…（詼，2），其回歸直線"=a+0〃的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

￡乙(由-兀)

(%-9),a=v—Pu.

【答案】（l）y=jeC2x適宜，y=e/x+i?4

（2）分布列見(jiàn)解析，g.

【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以y=qeC2x適宜作為y與x之

間的回歸方程模型；令z=lny,轉(zhuǎn)化線性回歸方程求解，進(jìn)而得y關(guān)于x回歸方程；

（2）由題意，W的取值為0,1,2，由全概率公式求得對(duì)應(yīng)的概率，從而可求分布列及數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，

所以y=CieC2X適宜作為y與X之間的回歸方程模型；

（Xj-x）（Zj-z）_321

令則

z=Iny,z=c2x+\nclfc2=2*（XT）2-38412,

InCi=z—c2x=1.4,???z=-x+1,4,

y關(guān)于x的回歸方程為『=ez=壺+14

(2)由題意，設(shè)隨機(jī)挑選一批，取出兩個(gè)魚(yú)卵，其中“死卵”個(gè)數(shù)為《，則出勺取值為0,1,2,

設(shè)Aj="所取兩個(gè)魚(yú)卵來(lái)自第i批”(i=1,2),所以P&=PAZ=p

設(shè)&="所取兩個(gè)魚(yú)卵有i個(gè)”“死卵”(i=1,2),

由全概率公式

P6=0)=P(B°|Ai)P(Ai)+P(B0|A2)P(A2)+"好高

PG=1)=P(BilAi)P(AJ+P(BIIA2)P(A2)=gx等+(x詈=券，

P(W=2)=P(B2|A1)P(A1)+P(B2|A2)P(A2)=1X|J+，X￡=W，

Z1^64CgO4-U

所以取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列為：

012

5344973

P

140840840

EL（/《h）、=0cx--D-O--F.yix-十--勺-》-F，2cx—13=—DVD=—1/,

14084084084024

所以取出“死卵”個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望W

13.中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國(guó)各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論技

術(shù)方法的醫(yī)藥體系，長(zhǎng)期呵護(hù)著我們的健康，為中華文明的延續(xù)作出了突出貢獻(xiàn).某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某

味中藥的藥用量X(單位：克)與藥物功效9(單位：藥物功效單位)之間具有關(guān)系5>=10x-"2.

(1)估計(jì)該味中藥的最佳用量與功效；

(2)對(duì)一批含有這味中藥的合成藥物進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標(biāo)準(zhǔn)差為2,估計(jì)這

批合成藥的藥物功效夕的平均值.

【答案】(1)該藥物使用量為5克時(shí)可達(dá)最大功效25.

（2）20

【分析】(1)根據(jù)用量X與功效曠之間具有關(guān)系9=10x-x2,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解;

（2）根據(jù)題意求得Xj=6,]2；淵—爐=4,結(jié)合則歹=*￡%=[2￡（10Xi—x?即可求解.

【詳解】（1）解：由題意，某味中藥的藥用量x與藥物功效9之間具有關(guān)系夕=10x-x2,

可得#=10x-x2=-（X-5）2+25,所以當(dāng)x=5時(shí)，Smax=50-25=25,

即該藥物使用量為5克時(shí)可達(dá)最大功效25.

⑵解：由題意，得又=工鄧1%=6,s2=--x2=4,所以工Tx：=40,

nT—!■*nJ1=11n1=1

物=*Lyi=§2L（10xi-x?）=%￡：=產(chǎn)-§2"?=60-40=20,

這批合成藥的藥物功效平均值為20.

14.五一小長(zhǎng)假期間，文旅部門在某地區(qū)推出Z,B,C,D,E,尸六款不同價(jià)位的旅游套票，每款套票的

價(jià)格為（單位：元；i=l,2,…,6）與購(gòu)買該款套票的人數(shù)%（單位：千人）的數(shù)據(jù)如下表：

套票類別ABCDEF

套票價(jià)格%i（元）405060657288

購(gòu)買人數(shù)%（千人）16.918.720.622.524.125.2

（注：A,B,C,D,E,尸對(duì)應(yīng)i的值為1,2,3,4,5,6）為了分析數(shù)據(jù)，令巧=歷電，處=In%,發(fā)現(xiàn)

點(diǎn)（巧,。）集中在一條直線附近.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立購(gòu)買人數(shù)y關(guān)于套票價(jià)格x的回歸方程；

（2）規(guī)定：當(dāng)購(gòu)買某款套票的人數(shù)y與該款套票價(jià)格x的比值在區(qū)間《方]上時(shí)，該套票為“熱門套票”.現(xiàn)有

甲、乙、丙三人分別從以上六款旅游套票中購(gòu)買一款.假設(shè)他們買到的套票的款式互不相同，且購(gòu)買到“熱

門套票”的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

附:①參考數(shù)據(jù):琨/3=75.3,萬(wàn)=4.1,（o=3.05,琢=101.4.

②對(duì)于一組數(shù)據(jù)01，3。（-2,32），…,On，3n），其回歸直線企=+2的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

723巧兩八—妾―

b=------?a=GO—bv.

SV1—TW

j=]

1

【答案】（l）y=ex2；

⑵分布列見(jiàn)解析，期望為2.

【分析】（1）利用給定的數(shù)據(jù)，結(jié)合最小二乘法公式求出可歹的回歸方程，再代換作答.

（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合已知，求出“熱門套票”數(shù)，再借助超幾何分布求出分布列、期望作答.

【詳解】(1)由已知點(diǎn)(Vi，3i)(i=1,2,…,6)集中在一條直線附近，設(shè)回歸直線方程為$=6V+A,

由歹=4.1,桁=3.05,X^ViWi=75.3,=101.4,

得6=葭廣⑼-西=75.3-6X4.1X3,=±§=^-bv=3.05--X4.1=1,

62

yv2_n_2101.4-6X4.122

乙i=li

因此變量3關(guān)于V的回歸方程為幻=|v+l,

-11

令v=Inx,co=Iny,則lny=51nx+l,即9=ex"

i

所以y關(guān)于x的回歸方程為y=ex2.

i

(2)由￥=%=；€白勺，解得49WXW81,所以x=50,60,65,72,

xxx，97」

于是B,C,D,E為“熱門套票”，則三人中購(gòu)買“熱門套票”的人數(shù)X服從超幾何分布，X的可能取值為1,2,3,

P(X=1)=等=P(X=2)=警=P(X=3)=g=i

所以X的分布列為：

15.數(shù)據(jù)顯示中國(guó)車載音樂(lè)已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂(lè)的商業(yè)化模式進(jìn)一步完善，市場(chǎng)將持續(xù)擴(kuò)大,

下表為2018-2022年中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模(單位：十億元)，其中年份2018—2022對(duì)應(yīng)的代碼分別為1-5.

年份代碼支12345

車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模y2.83.97.312.017.0

(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=a-〃擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)建立y關(guān)于x的回歸方程;

(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程后，預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模.

參考數(shù)據(jù)：

5

w%%0.5240.4727

Vee1.6

i=l

1.9433.821.71.626.84

其中巧=In%,v=vi-

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（內(nèi),%），（〃2，〃2），…，（〃九,%）其回歸直線〃=仇+/?〃的斜率和截距的最小二乘法

估計(jì)公式分別為&=,廣“一血:,a=v-pu.

〉13—nu

乙T=]

【答案】⑴y=1.7xl.6x；

（2）45.628（十億元）.

【分析】（1）對(duì)y=a-bx兩邊取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的求解，結(jié)合已知數(shù)據(jù)和參考公式，即可求解;

（2）根據(jù)（1）中所求模型，令x=7,即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)閥=a-bx,所以兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，得lny=lna+xlnb,

設(shè)v=Iny,所以v=Ina+xlnb,

設(shè)a=Ina,0=lnb,則v=a+0x,

因?yàn)橛?1（l+2+3+4+5）=3,v=1.94,

所以”33.82-5x3x1.94

5255-5x32-=0.472,

yx?-5x―

a=v-px=1.94-0.472x3=0.524,所以a=Ina=0.524,p=lnb=0.472,

所以a=e0-524=1.7,b=e0472=1.6,所以y=1.7xl.6x

(2)把2024年代碼x=7代入方程，

得y=1.7x1.67=1.7x26.84=45.628（十億元）

故預(yù)測(cè)2024年的中國(guó)車載音樂(lè)市場(chǎng)規(guī)模45.628（十億元）

16.當(dāng)前移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)已融入社會(huì)生活的方方面面，深刻改變了人們的溝通、交流乃至整個(gè)生活方式.4G網(wǎng)絡(luò)雖

然解決了人與人隨時(shí)隨地通信的問(wèn)題，但隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，其已難以滿足未來(lái)移動(dòng)數(shù)據(jù)流量暴漲

的需求，而5G作為一種新型移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)，不但可以解決人與人的通信問(wèn)題，而且還可以為用戶提供增強(qiáng)

現(xiàn)實(shí)、虛擬現(xiàn)實(shí)、超