2025年高考數(shù)學大題復習訓練：線性回歸、分線性回歸和相關系數(shù)（原卷）

專題19線性回歸、分線性回歸和相關系數(shù)

一、線性回歸

1.2015年7月31日，在吉隆坡舉行的國際奧委會第128次全會上，北京獲得2022年冬奧會舉辦權.在申

冬奧過程中，中國正式向國際社會作出“帶動三億人參與冰雪運動”的莊嚴承諾.這一承諾，既是我國為國際

奧林匹克運動做出重大貢獻的大國擔當展現(xiàn)，也是根據(jù)我國經(jīng)濟水平和全民健身需求做出的群眾性運動的

戰(zhàn)略部署.從北京冬奧會申辦成功到2021年10月，全國參與冰雪運動人數(shù)累計達到3.46億，實現(xiàn)了“帶動

三億人參與冰雪運動”的目標，這是北京冬奧會給予全球冬季體育運動和奧林匹克運動的最為重要的遺產(chǎn)，

可以說是2022年北京冬奧會的第一塊金牌.“冬奧熱”帶動“冰雪熱”，也帶動了冰雪經(jīng)濟，以冰雪運動為主要

內(nèi)容的冰雪旅游近年來發(fā)展迅速，2016至2022六個冰雪季的旅游人次?（單位億）的數(shù)據(jù)如下表：

年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022

年度代號t123456

旅游人次y1.71.972.240.942.543.15

（1）求y與，的相關系數(shù)（精確到0.01）,并回答y與/的線性相關關系的強弱；

（2）因受疫情影響，現(xiàn)將2019—2020年度的異常數(shù)據(jù)剔除，用剩下的5個年度數(shù)據(jù)（年度代號不變），求y

關于/的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,并推測沒有疫情情況下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估計

值.

附注：參考數(shù)據(jù)：1=隹：=3=3.5,歹=￡*%=2.09,2*5=47.72,2：=否=91,

穴色一,2：=1（%—歹尸x7.參考公式：相關系數(shù)r==以…型，

、1=1，21（5以5以IM（%-5）2

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=，三色々”）=a=y-bt

2.隨著科技進步，近來年，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展.以下是中國汽車工業(yè)協(xié)會2022年2月公布的

近六年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：

年份201620172018201920202021

年份代碼X123456

新能源乘用車年銷售y(萬輛)5078126121137352

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；(結(jié)果保留整數(shù))

(2)若用)7=機郵工模型擬合/與x的關系，可得回歸方程為5>=37.71e°33,經(jīng)計算該模型和第(1)問中模

型的R2(R2為相關指數(shù))分別為0.87和0.71,請分別利用這兩個模型，求2022年我國新能源乘用車的年銷

售量的預測值；

(3)你認為(2)中用哪個模型得到的預測值更可靠？請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：設u=Iny,其中以=In%.

66

W(久D(%W(x;-X)(Ui

3.635.946.27

yUi=li=leee

-y)-u)

1444.788415.7037.71380528

參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(%,%)(i=l,2,3,n),其回歸直線9=+2的斜

率和截距的最小二乘估計公式分別為1鬻冷，a=y-麗

3.小李準備在某商場租一間商鋪開服裝店，為了解市場行情，在該商場調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計得到了

它們的面積x(單位:n?)和日均客流量供單位:百人)的數(shù)據(jù)1,2,…，20),并計算得￡售看=2400,

￡2力=210,2各(%—到2=42000,￡2?—元)(%一力=6300.

(1)求y關于x的回歸直線方程；

(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟效益”=々迎+zn%(/c>0,zn>0),該商場現(xiàn)有60?150m2的商鋪出租，根據(jù)(1)

的結(jié)果進行預測，要使單住面積的經(jīng)濟效益Z最高，小李應該租多大面積的商鋪？

1

附：回歸直線夕=Bx+4的斜率和截距的最小二乘估計分別為：石=飛，a^y-bx.

2-ii=i\xi-x)

4.某醫(yī)科大學實習小組為研究實習地晝夜溫差與感冒人數(shù)之間的關系，分別到當?shù)貧庀蟛块T和某醫(yī)院抄錄

了1月至3月每月5日、20日的晝夜溫差情況與因感冒而就診的人數(shù)，得到如表資料：

日期1月5日1月20日2月5日2月20日3月5日3月20日

晝夜溫差X（℃）1011131286

就診人數(shù)V（個）222529261612

該小組確定的研究方案是：先從這6組數(shù)據(jù)中隨機選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩余的2組數(shù)據(jù)進

行檢驗.

參考公式：B=I'ZZ/a=?一鼓.

j=l

（1）求剩余的2組數(shù)據(jù)都是20日的概率;

⑵若選取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日這4組數(shù)據(jù).

①請根據(jù)這4組數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程）=bx+a；

②若某日的晝夜溫差為7℃,請預測當日就診人數(shù).（結(jié)果保留整數(shù)）.

5.某科技公司研發(fā)了一項新產(chǎn)品4經(jīng)過市場調(diào)研，對公司1月份至6月份銷售量及銷售單價進行統(tǒng)計,

銷售單價乂（千元）和銷售量y（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：

月份i123456

銷售單價

99.51010.5118

銷售量力111086515

（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立y關于久的回歸直線方程；

（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.65千件，則認為所得到的回歸

直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？

參考公式：回歸直線方程夕=放+4,其中3=選盧二喳.

〉x^-nx2

=i=]

參考數(shù)據(jù)：￡乙々為=392,城=5025

6.2015年10月16日，習近平總書記在減貧與發(fā)展高層論壇上強調(diào)，中國扶貧工作要實施精準扶貧方略,

堅持中國制度優(yōu)勢，堅持分類施策.當年11月23日，中共中央政治局召開會議，審議通過了《關于打贏

脫貧攻堅戰(zhàn)的決定》等有關文件，會議確定了通過產(chǎn)業(yè)扶持、轉(zhuǎn)移就業(yè)、教育支持和醫(yī)療救助等措施幫助

5000萬左右貧困人口脫貧的目標.下表為某貧困縣在實施扶貧政策過程中貧困戶的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年

序號工第0年第1年第2年第3年第4年第5年

貧困戶數(shù)y（百戶）5.44.63.42.51.60.5

（1）從這六組數(shù)據(jù)的貧困戶數(shù)中任意抽取兩個值a,6（百戶），設f為|a-川四舍五入后的整數(shù)值，求隨機

變量f的分布列及期望值Ef；

（2）以2015-2019年五組數(shù)據(jù)進行相關性分析發(fā)現(xiàn)，貧困戶數(shù)y（百戶）與年份的序號x存在較強的線性

相關性，試用最小二乘法求相應的回歸方程，并利用2020年的數(shù)據(jù)對該回歸方程進行檢驗.若實際數(shù)與預

測值的差值的絕對值不超過10戶，則認為回歸方程可靠.請問該回歸方程是否可靠？

附：回歸方程夕=3久+2中斜率和截距的最小二乘法公式為：3=*廣51=飛七彳）（對）,a=y—務孔

Vxj-nx2》=15-X）2

7.2021年是“十四五”開局之年，是在全面建成小康社會，實現(xiàn)第一個百年奮斗目標之后，全面建設社會主

義現(xiàn)代化國家新征程開啟之年，新征程的第一階段是2020年到2035年，基本實現(xiàn)社會主義現(xiàn)代化，其中

保障農(nóng)村農(nóng)民的生活達到富裕是一個關鍵指標.某地區(qū)在2020年底全面建成小康社會，隨著實施鄉(xiāng)村振興

戰(zhàn)略規(guī)劃，該地區(qū)農(nóng)村居民的收入逐漸增加，可支配消費支出也逐年增加.該地區(qū)統(tǒng)計了2016年—2020年

農(nóng)村居民人均消費支出情況，對有關數(shù)據(jù)處理后，制作如圖1的折線圖（其中變量y（萬元）表示該地區(qū)農(nóng)

村居民人均年消費支出，年份用變量t表示，其取值依次為1,2,3,……).

(1)由圖1可知，變量y與t具有很強的線性相關關系，求y關于t的回歸方程，并預測2021年該地區(qū)農(nóng)村居

(2)在國際上，常用恩格爾系數(shù)(其含義是指食品類支出總額占個人消費支出總額的比重)來衡量一個國

家和地區(qū)人民生活水平的狀況.根據(jù)聯(lián)合國糧農(nóng)組織的標準：恩格爾系數(shù)在40%?50%為小康，30%?40%為

富裕.已知2020年該地區(qū)農(nóng)村居民平均消費支出構成如圖2所示，預測2021年該地區(qū)農(nóng)村居民食品類支

出比2020年增長3%,從恩格爾系數(shù)判斷2021年底該地區(qū)農(nóng)村居民生活水平能否達到富裕生活標準.

其他用品及

醫(yī)療保健1428元服務244元

教育文化

娛樂1429元

食品類

交通通信

4451元

1871元

生活用品及衣著723元

服務872元

居住2982元

圖2

2020年該地區(qū)農(nóng)村居民人均消費支出構成

(%-為_￡隘八%-n雙

參考公式：回歸方程夕=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=

2M(%-以—y"%?_n-2

a,—y—bx

8.根據(jù)國際疫情形勢以及傳染病防控的經(jīng)驗，加快新冠病毒疫苗接種是當前有力的防控手段，我國正在安

全、有序加快推進疫苗接種工作，某鄉(xiāng)村采取通知公告、微信推送、廣播播放、條幅宣傳等形式，積極開

展疫苗接種社會宣傳工作，消除群眾疑慮，提高新冠疫苗接種率，讓群眾充分地認識到了疫苗接種的重要

作用，自宣傳開始后村干部統(tǒng)計了本村200名居民（未接種）5天內(nèi)每天新接種疫苗的情況，得如下統(tǒng)計表:

第X天12345

新接種人數(shù)y1015192328

（1）建立y關于x的線性回歸方程；

（2）預測該村80%■居民接種新冠疫苗需要幾天？

參考公式：回歸方程9=務久+a中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：務=需出0,a=y-bx.

/xi~nx2

-1=]

9.某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%,通過模擬實驗的方法來計算該地區(qū)這3天中恰

好有2天下雨的概率.用隨機數(shù)且0WXW9）表示是否下雨：當xe[0,m]0nez）時表示該地

區(qū)下雨，當xe[zn+1,9]時，表示該地區(qū)不下雨，從隨機數(shù)表中隨機取得20組數(shù)如下：

332714740945593468491272073445

992772951431169332435027898719

（1）求出加的值，并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；

（2）從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當天降雨量（單位：mm）如表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）.

時間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年

年份/123456789

降雨量V292826272523242221

經(jīng)研究表明：從2012年至2021年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份/成線性回歸，求回歸直

線方程9=幾+6,并計算如果該地區(qū)2021年（t=10）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）

參考公式：Ba=y-bt.

“（郵

Q.V7

參考數(shù)據(jù)：2：=1（4-租％-歷=—58,-弓（%-歹）=一54,一*60'/守=

52.

10.隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實體經(jīng)濟的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對社會經(jīng)濟發(fā)展的推動效果日益顯著,

某大型超市計劃在不同的線上銷售平臺開設網(wǎng)店，為確定開設網(wǎng)店的數(shù)量，該超市在對網(wǎng)絡上相關店鋪做

了充分的調(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中x表示開設網(wǎng)店數(shù)量，y表示這x個分店的年銷售額總和）,

現(xiàn)已知=8850,￡：=]%=2000,求解下列問題；

A年銷售籟r乃元）

°123456分店數(shù)量、

（1）經(jīng)判斷，可利用線性回歸模型擬合y與x的關系，求解y關于x的回歸方程；

（2）按照經(jīng)驗，超市每年在網(wǎng)上銷售獲得的總利潤w（單位：萬元）滿足w=y-5/-140,請根據(jù)（1）

中的線性回歸方程，估算該超市在網(wǎng)上開設多少分店時，才能使得總利潤最大.

參考公式；線性回歸方程5>=+其中6=歹—B元B=李絲二亙

/Xj2—nx2

二、非線性回歸

11.抗體藥物的研發(fā)是生物技術制藥領域的一個重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關系

成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研究團隊收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對

這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值，抗體藥物攝入量為X(單位：mg),

體內(nèi)抗體數(shù)量為了(單位：AU/mL).

10101010

好注

i=li=li=li=l

29.2121634.4

九

12-

10-

8-

6-

4-

2-

62468101214161820222426*

(1)根據(jù)經(jīng)驗，我們選擇y=c/作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將y=c/兩邊取對

數(shù)，得Iny=Inc+dlnx,可以看出Inx與Iny具有線性相關關系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立y關于x的回歸方程，

并預測抗體藥物攝入量為25mg時，體內(nèi)抗體數(shù)量y的值；

(2)經(jīng)技術改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗統(tǒng)計得z服從正態(tài)分布N?(0.48,0.032),那這

種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為多少？

附：①對于一組數(shù)據(jù)(%,%)。=1,2,-,10),其回歸直線。=加+6的斜率和截距的最小二乘估計分別為瓦=

E；'utvt-nuv八-6一

=1-------a-v-M

Suj-nu

②若隨機變量Z~N(〃,拼)，則有P("-cr<Z<〃+。)=0.6826,P(〃-2。<Z<〃+2<r)=0.9544,P(〃-

3。<Z<〃+3<T)?0.9974；

③取e?2.7.

12.經(jīng)觀測，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度%有關，現(xiàn)將收集到的溫度期和產(chǎn)卵數(shù)%(i=1,2,…,10)的10組

觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表.

f10a

￡10101010

i=l

1=1i=li=li=l

—無產(chǎn)

36054.5136044384

10101010

入2也E(Xi

1=1i=li=li=l

-ty-0(%-y)-無)⑵-z)-x)(yt-y)

3588326430

表中q=歷4=Iny”=」那彳

歹八

350-.?

300-

250-

200-?

150-*

100-'

50-*

3JIJiIIII?

°202224262830323436x

⑴根據(jù)散點圖判斷，y-a+bx,y-n+m也與y=。，2才哪一個適宜作為y與久之間的回歸方程模型并求出y

關于x回歸方程；(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有6個魚卵，其中“死卵”有2個；第二批中共有8個魚卵，

其中“死卵”有3個.現(xiàn)隨機挑選一批，然后從該批次中隨機取出2個魚卵，求取出“死卵”個數(shù)的分布列及數(shù)

學期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)(%,%),Q2，02)，…(an"n)，其回歸直線"=a+0〃的斜率和截距的最小二乘估計分別為

13.中醫(yī)藥是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，是具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論技

術方法的醫(yī)藥體系，長期呵護著我們的健康，為中華文明的延續(xù)作出了突出貢獻.某科研機構研究發(fā)現(xiàn)，某

味中藥的藥用量x（單位：克）與藥物功效夕（單位：藥物功效單位）之間具有關系y=10x-/.

（1）估計該味中藥的最佳用量與功效；

（2）對一批含有這味中藥的合成藥物進行檢測，發(fā)現(xiàn)這味中藥的藥用量平均值為6克，標準差為2,估計這

批合成藥的藥物功效的平均值.

14.五一小長假期間，文旅部門在某地區(qū)推出N,B,C,D,E,歹六款不同價位的旅游套票，每款套票的

價格質(zhì)（單位：元；i=1,2,…,6）與購買該款套票的人數(shù)%（單位：千人）的數(shù)據(jù)如下表：

套票類別ABCDEF

套票價格看（元）405060657288

購買人數(shù)%（千人）16.918.720.622.524.125.2

（注：A,B,C,D,E,尸對應i的值為1,2,3,4,5,6）為了分析數(shù)據(jù)，令巧=In^,q=In%,發(fā)現(xiàn)

點（巧,皿）集中在一條直線附近.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，建立購買人數(shù)y關于套票價格x的回歸方程；

（2）規(guī)定：當購買某款套票的人數(shù)y與該款套票價格x的比值在區(qū)間［若］上時，該套票為“熱門套票”.現(xiàn)有

甲、乙、丙三人分別從以上六款旅游套票中購買一款.假設他們買到的套票的款式互不相同，且購買到“熱

門套票”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和期望.

附：①參考數(shù)據(jù)：￡*巧孫=75.3,V=4.1,不=3.05,2乙詔=101.4.

②對于一組數(shù)據(jù)（巧,3。,（也的），…，（2，%），其回歸直線合=加+2的斜率和截距的最小二乘估計分別為

7巧⑨一九兩人—令一

b=------,a=a）-bv.

〉v^—nv

=i=］

15.數(shù)據(jù)顯示中國車載音樂已步入快速發(fā)展期，隨著車載音樂的商業(yè)化模式進一步完善，市場將持續(xù)擴大,

下表為2018-2022年中國車載音樂市場規(guī)模（單位：十億元），其中年份2018—2022對應的代碼分別為1-5.

年份代碼支12345

車載音樂市場規(guī)模y2.83.97.312.017.0

（1）由上表數(shù)據(jù)知，可用指數(shù)函數(shù)模型y=a?〃擬合y與久的關系，請建立y關于久的回歸方程;

（2）根據(jù)上述數(shù)據(jù)求得y關于萬的回歸方程后，預測2024年的中國車載音樂市場規(guī)模.

參考數(shù)據(jù)：

5

0.5240.472

Vee1.67

1=1

1.9433.821.71.626.84

其中《=1w，5=

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（如,%），@2"2），…，3役外）其回歸直線"=a+/?a的斜率和截距的最小二乘法

估計公式分別為瓦=之廣叱疝：,a=t—戰(zhàn)

Vu?-nu2

=i=]

16.當前移動網(wǎng)絡已融入社會生活的方方面面，深刻改變了人們的溝通、交流乃至整個生活方式.4G網(wǎng)絡雖

然解決了人與人隨時隨地通信的問題，但隨著移動互聯(lián)網(wǎng)快速發(fā)展，其已難以滿足未來移動數(shù)據(jù)流量暴漲

的需求，而5G作為一種新型移動通信網(wǎng)絡，不但可以解決人與人的通信問題，而且還可以為用戶提供增強

現(xiàn)實、虛擬現(xiàn)實、超高清（3D）視頻等更加身臨其境的極致業(yè)務體驗，更重要的是還可以解決人與物、物與物

的通信問題，從而滿足移動醫(yī)療、車聯(lián)網(wǎng)、智能家居、工業(yè)控制、環(huán)境監(jiān)測等物聯(lián)網(wǎng)應用需求，為更好的滿足

消費者對5G網(wǎng)絡的需求，中國電信在某地區(qū)推出了六款不同價位的流量套餐，每款套餐的月資費x（單位:

元）與購買人數(shù)?（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：

套餐ABCDEF

月資費X（元）384858687888

購買人數(shù)y（萬人）16.818.820.722.424.025.5

對數(shù)據(jù)作初步的處理，相關統(tǒng)計量的值如下表:

6666

W/到EVi如

i=li=li=li=l

75.324.618.3101.4

其中%=In%,g=In%,且繪圖發(fā)現(xiàn)，散點（外處）（1Wi<6）集中在一條直線附近.

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程；

（2）已知流量套餐受關注度通過指標T（x）=節(jié)來測定，當T（x）eg,II）時相應的流量套餐受大眾的歡迎程

度更高，被指定為“主打套餐”.現(xiàn)有一家四口從這六款套餐中，購買不同的四款各自使用.記四人中使用“主打

套督”的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和期望.

附：對于一組數(shù)據(jù)01，3。（"2,32），…叫），其回歸方程3=bu+Q的斜率和截距的最小二乘估計值分別

￡乙（"一行）<3廠員）

為務=a=0)—bv.

（%-力2

17.為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊計劃了解當?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測得了平均金屬含量y（單位：g/m3）

與樣本對原點的距離久（單位：m）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計量的值.（表中以=-,u=

xi

仁")

99999

Xyui=li=li=li=li=l

-x)2-it)2-y)2-x)(yt-y)-n)(%-y)

697.900.21600.1414.1226.13-1.40

(1)利用樣本相關系數(shù)的知識，判斷y=a+"與y=c+5哪一個更適宜作為平均金屬含量y關于樣本對原點

的距離x的回歸方程類型？

⑵根據(jù)(1)的結(jié)果回答下列問題：

(i)建立y關于％的回歸方程；

(ii)樣本對原點的距離x=20時，金屬含量的預報值是多少？

(3)已知該金屬在距離原點久米時的平均開采成本W(wǎng)(單位：元)與%,y關系為W=100(y-lnx)(l<x<100),

根據(jù)(2)的結(jié)果回答，x為何值時，開采成本最大？

18.黨的二十大報告提出，從現(xiàn)在起，中國共產(chǎn)黨的中心任務就是團結(jié)帶領全國各族人民全面建成社會主

義現(xiàn)代化強國、實現(xiàn)第二個百年奮斗目標，以中國式現(xiàn)代化全面推進中華民族偉大復興.高質(zhì)量發(fā)展是全面

建設社會主義現(xiàn)代化國家的首要任務.加快實現(xiàn)高水平科技自立自強，才能為高質(zhì)量發(fā)展注入強大動能.某科

技公司積極響應，加大高科技研發(fā)投入，現(xiàn)對近十年來高科技研發(fā)投入情況分析調(diào)研，其研發(fā)投入y(單位:

億元)的統(tǒng)計圖如圖1所示，其中年份代碼x=l,2,…，10分別指2013年，2014年，…，2022年.

“研發(fā)費用y(億元)

85■

80-

75■.,

70-?

65■?

O12345678910年份代碼x

圖1

現(xiàn)用兩種模型①丫=人彳+口，②y=c+dy分別進行擬合，由此得到相應的回歸方程，并進行殘差分析,

得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計算得到如下值:

10101010

ytL=1i=li=li=l

2-t)2

—x)-y)Cx(-x)-歷(…)

752.2582.54.512028.67

表中4=0花=看深內(nèi)

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？并說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關于x的回歸方程；根據(jù)所選模型，求該公司2028年高科技研發(fā)投入y

的預報值.（回歸系數(shù)精確到0.01）

附：對于一組數(shù)據(jù)（句,乃），（久2,力），…，（與,%）其回歸直線歹=8+嬴的斜率和截距的最小二乘估計分別

為J2二（—戶’"y一3

19.MCN即多頻道網(wǎng)絡，是一種新的網(wǎng)紅經(jīng)濟運行模式，這種模式將不同類型和內(nèi)容的PGC（專業(yè)生產(chǎn)內(nèi)

容）聯(lián)合起來，在資本有力支持下，保障內(nèi)容的持續(xù)輸出，從而最終實現(xiàn)商業(yè)的穩(wěn)定變現(xiàn)，在中國以直播

電商、短視頻為代表的新興網(wǎng)紅經(jīng)濟的崛起，使MCN機構的服務需求持續(xù)增長.數(shù)據(jù)顯示，近年來中國

MCN市場規(guī)模迅速擴大.下表為2018年—2022年中國MCN市場規(guī)模（單位：百億元），其中2018年—2022

（2）從2018年-2022年中國MCN市場規(guī)模中隨機抽取3個數(shù)據(jù)，記這3個數(shù)據(jù)中與歹的差的絕對值小于1的

個數(shù)為X,求X的分布列與期望.

參考數(shù)據(jù)：

55

yV

i=li=l

2.580.8446.8315.99

其中巧=In%,9=/L%，v=1^=1v;.

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（〃力%），（〃2）2），…，（4P%）,其回歸直線D=8+彳〃的斜率和截距的最小二乘

221七七一九說

估計公式分別為臺=a=v—￡五.

Vnu?-nu2?

4=]

20.2023年高考進入倒計時，為了幫助學子們在緊張的備考中放松身心，某重點高中通過開展形式多樣的

減壓游戲，確保同學們以穩(wěn)定心態(tài)，良好地狀態(tài)迎戰(zhàn)高考，游戲規(guī)則如下：盒子中初始裝有2個白球和1

個紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪.如果每一輪取到的兩個球都是

紅球，則記該輪為成功，否則記為失敗.在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入

一個白球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功.

（1）如果某同學進行該抽球游戲時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的

輪次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列和數(shù)學期望；

（2）為驗證抽球試驗成功的概率不超過去假設有1000名學生獨立的進行該抽球試驗，記t表示成功時抽球試

驗的輪次數(shù)，y表示對應的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

ti2345

y12062332015

求y關于t的回歸方程夕=（+①并通過回歸方程預測成功的總?cè)藬?shù)（夕取整數(shù)部分）；

（3）證明:《+（1-.冷+（1_+）.+-+（1TOGA。一島7）舟，

附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：BL寫,y^bx+a；

參考數(shù)據(jù)：2L蠟=146,%=0.46,x2=0.212（其中期=（,元=：￡：=1%）.

三、相關系數(shù)

21.2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵外來務工人員選擇就地過年.某市統(tǒng)計了該市4個地區(qū)的外來

務工人數(shù)與就地過年人數(shù)（單位：萬），得到如下表格：

4區(qū)B區(qū)C區(qū)。區(qū)

外來務工人數(shù)X/萬3456

就地過年人數(shù)y/萬2.5344.5

（1）請用相關系數(shù)說明y與龍之間的關系可用線性回歸模型擬合，并求y關于x的線性回歸方程）=2+樂和N

區(qū)的殘差

（2）假設該市政府對外來務工人員中選擇就地過年的每人發(fā)放1000元補貼.

①若該市E區(qū)有2萬名外來務工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府需要給E區(qū)就地過年的人員發(fā)放的補貼

總金額；

②若a區(qū)的外來務工人員中甲、乙選擇就地過年的概率分別為p,2p-1,其中g<p<i,該市政府對甲、乙

兩人的補貼總金額的期望不超過1400元，求P的取值范圍.

參考公式：相關系數(shù)r=亍型1一二^,

城一位2jW一6一博2

回歸方程y=；+黑中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為加=嗎a=y-te.

/xj—nx2

22.為了解某一地區(qū)新能源電動汽車銷售情況，一機構根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動汽車銷量y

（單位：萬臺）關于工（年份）的線性回歸方程y=4.7%-9459.2,且銷量y的方差為y=等，年份x的方差

為s馬=2.

（1）求y與x的相關系數(shù)r,并據(jù)此判斷電動汽車銷量y與年份久的線性相關性的強弱.

（2）該機構還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

性別購買非電動汽車購買電動汽車總計

男性39645

女性301545

總計692190

依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為購買電動汽車與車主性別有關?

(3)在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人，記這3人中男

性的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

①參考數(shù)據(jù)：7sx127=V635~25.

②參考公式：線性回歸方程為y=B久+&,其中否=鼻號絲?力=，一石自

Zj=i(陽一%)

相關系數(shù)「=〒鼠ETW'f=，若|r|>0.9,則可判斷y與％線性相關較強;

J2Mg-冗AzM也一7)2

T^2_n(ad-bc)2

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中n==a+b+c+d.附表

P(K2

0.100.050.0100.001

Nk。)

k。2.7063.8416.63510.828

23.某騎行愛好者近段時間在專業(yè)人士指導下對騎行情況進行了統(tǒng)計，各次騎行期間的身體綜合指標評分x

與對應用時〉(單位：小時)如下表:

身體綜合指標評分

12345

0)

用時(y/小時)9.58.67.876.1

(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與X的關系，請用相關系數(shù)加以說明;

(2)建立y關于x的回歸方程.

2七1⑶一元)(力一刃￡￡乙(修一功@一力-_/”“QA

參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關系數(shù)「=i=,b=-'n——,a=y—bx,V7060?84

221(爸_/)2221(%_9)2工=i?r)

24.研究表明，如果溫差本大，人們不注意保暖，可能會導致自身受到風寒刺激，增加感冒患病概率，特

別是對于幾童以及年老體弱的人群，要多加防范某中學數(shù)學建模社團成員研究了晝夜溫差大小與某小學學

生患感冒就診人數(shù)多少之間的關系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學生新增

感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：

日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天

晝夜溫差X（℃）47891412

新增感就診人數(shù)y（位）yi72丫37576

參考數(shù)據(jù)：2：*=3463,-力2=289

（1）已知第一天新增感冒就的學生中有4位男生，從第一天多增的感冒就診的學生中隨機取2位，其中男生

人數(shù)記為X,若抽取的2人中至少有一位女生的概率為三求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；

O

（2）已知兩個變量x與y之間的樣本相關系數(shù)r=工，請用最小二乘法求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程9=B久+2,

（看一了）（％一力_______

據(jù)此估計晝夜溫差為15℃時，該校新增感冒就診的學生人數(shù).參考數(shù)據(jù)：r二27B_

2M（看一到2.12之］（加一9）2

工:（陽一元）（％一刃

-元）2

25.根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝使用量%（千克）之間

的對應數(shù)據(jù)的散點圖，如圖所示.

木V（百千克）

7

6

5

4

3

。24568M千克）

⑴依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與久的關系，請計算相關系數(shù)r并加以說明（若r>

0.75,則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求y關于％的回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？附:

相關系數(shù)公式r=I5g__=X；匾研二g---,回歸方程9=bx+&中斜率和截距的最

1%（符-我2M（外國2:冷成2

小二乘估計公式分別為：B=均**了=黑町廠嗎,a=y-bx.

2仁101-幻2yx2_n-2

4=1

26.我國風云系列衛(wèi)星可以檢測氣象和國土資源情況.某地區(qū)水文研究人員為了了解汛期人工測雨量雙單

位:dm）與遙測雨量y（單位:dm）的關系，統(tǒng)計得到該地區(qū)10組雨量數(shù)據(jù)如下：

樣本號i12345678910

人工測雨量

5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

陽

5遙測雨量力5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

\xi-yt\

10v—110

并計算得賄=353.6,Z,y?=361.7,￡詈々%=357.3,x2~33.62,y2~34.42,xy~34.02

（1）求該地區(qū)汛期遙測雨量y與人工測雨量X的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）,并判斷它們是否具有較強的線性

相關關系（若加20.75,則認為兩個變量有較強的線性相關性）

（2）規(guī)定：數(shù)組?，力）滿足出―%|<0.1為“I類誤差”，滿足0.1W%―%|<0.3為“II類誤差”，滿足出—

y;|>0.3為“III類誤差”.為進一步研究該地區(qū)水文研究人員，從“I類誤差”、"II類誤差”中隨機抽取3組數(shù)

據(jù)與“卬類誤差”數(shù)據(jù)進行對比，記抽到“I類誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為X,求X的概率分布與數(shù)學期望.

^Xjyj-nxy

附：相關系數(shù)=1,73045~17.4.

r=￡

27.為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動物數(shù)量了的關系，某研究小組將該地區(qū)等面積花

分為400個區(qū)塊，從中隨機抽取40個區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)（陽,%）冊=1,2，…,40）,部分數(shù)據(jù)如下：

X2.73.63.23.9

50.663.752.154.3

經(jīng)計算得：￡*陽=160,=2400,2曹（陽—兄尸=160,（%—又）（%-力=1280.

（1）利用最小二乘估計建立y關于x的線性回歸方程；

（2）該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標系xOy下，橫

坐標x,縱坐標y的意義與植被覆蓋面積x和野生動物數(shù)量y一致.設前者與后者的斜率分別為燈，k2,比較

心,用的大小關系，并證明