江蘇省2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 二級(jí)結(jié)論巧用 學(xué)案

必備四二級(jí)結(jié)論巧用

結(jié)論一函數(shù)的奇偶性

1.奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

2.函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在x=0處有定義,則f(0)=0.

3.假如f(x)為偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).

4.奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)的區(qū)間內(nèi)有不同的單調(diào)性.

跟蹤集訓(xùn)

1.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)意：當(dāng)x》0時(shí),f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b為常數(shù))，若f(2)=-1,貝！If(-6)

的值為.

2.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞增，則滿(mǎn)意f(2xT)<fQ的x的取值范圍是.

3.設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+8)上為增函數(shù),且f(2)=0,則不等式(-的解集

為.

結(jié)論二函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)Vxi,xzGD,xi#xz,—(“\"〉o?0)=y=f(x),xCD單調(diào)遞增(遞減).

I-2

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：“同增異減”；單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.

(3)f(x)在(a,b)上是增函數(shù)nf,(x)在區(qū)間(a,b)上恒成立;f(x)在(a,b)上是減函數(shù)=f'(x)WO

在區(qū)間(a,b)上恒成立.

留意:①等號(hào)不能少;②逆命題不成立;③單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接.

(4)f(x)在(a,b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間nf'(x)>0,xeD有解.

(5)存在xi,X2￡D,XHX2,f(xi)=f(x2)=y=f(x),xGD不單調(diào).

2.函數(shù)的單調(diào)性與極值：(1)函數(shù)f(x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間=f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)Qf'(x)=0有兩個(gè)不等

根;

⑵函數(shù)f(x)在［a,b］上不單調(diào)of(x)在(a,b)上有極值點(diǎn),可求出f(x)的極值點(diǎn)xoe(a,b).

o^D,f(o)=M,

3.函數(shù)的最值:函數(shù)f(x)在D上的最大值為Mo函數(shù)f(x)在D上的最

()<,恒成立.

oeD,f(o)=m,

小值為

()>,e恒成立.

跟蹤集訓(xùn)

4.設(shè)f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,上的單調(diào)增函數(shù)，則m的值為

5.已知函數(shù)f(x)=|X2-4I+aIx-21,xG[-3,3]的最大值是0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

32

6.已知函數(shù)f(x)=x-x+mx+2,若對(duì)隨意Xi,x?GR,均滿(mǎn)意(xi-x2)[f(xi)-f(x2)]>0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是.

2

7.已知函數(shù)f(x)4：+ax(x<1),若存在x?GR,且xiWxz,使得f(x。=f(x2)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范

i2-5(>r),

圍是■

結(jié)論三抽象函數(shù)的周期性與單調(diào)性

1.函數(shù)的周期性

(1)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(x+a)=f(x-a),則f(x)為周期函數(shù),2a是它的一個(gè)周期.

(2)設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a/0)對(duì)稱(chēng),則f(x)是周期函數(shù),2a是它的一個(gè)周

期.

(3)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(aWO)對(duì)稱(chēng),則f(x)是周期函數(shù),4a是它的一個(gè)周

期.

(4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k為常數(shù))都表明函數(shù)f(x)是周期為2a的周期函數(shù).

2.函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2ar),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱(chēng).

(2)若函數(shù)函x)滿(mǎn)意f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng).

(3)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)意f(a+x)=f(b-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=+對(duì)稱(chēng).

⑷若f(x+a)+f(b-x)=c,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(小，彳)對(duì)稱(chēng).

跟蹤集訓(xùn)

8.奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.若f(x+2)為偶函數(shù),且f(1)=1,則f⑻+f(9)=.

9.若偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),且f(3)=3,則f(-l)=.

10.函數(shù)f(x)對(duì)隨意xGR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),f(1)=4,則

f(2024)+f(2024)+f(2024)的值為.

結(jié)論四函數(shù)零點(diǎn)

1.一元二次方程實(shí)根分布理論:一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根分布在同一區(qū)間上的條件:開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)

軸、判別式、區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號(hào);兩個(gè)實(shí)根分布在兩個(gè)不同區(qū)間上的條件:開(kāi)口方向、區(qū)間端點(diǎn)的

函數(shù)值的符號(hào).

2.函數(shù)有零點(diǎn)(方程有解)問(wèn)題,利用分別參數(shù)法將參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解.

3.確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),求參數(shù)的值或范圍,一般利用數(shù)形結(jié)合法求解,畫(huà)

圖形時(shí)盡量是動(dòng)直線與定曲線的圖形.

跟蹤集訓(xùn)

H.已知函數(shù)f(x)=1?，x<：，若函數(shù)y=f(x)-m有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍

［10g3(x+1),x>2,

是.

12.已知函數(shù)f(X)=3X-32JII在［T,1］上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

13.己知函數(shù)f(x)=1*'X：2，、”(a為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象在點(diǎn)A(O,1)處的切線

與該函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

結(jié)論五三角函數(shù)

l.sin(,+a)4戶(hù)sin(=2),

I211(-l*cos(=2+1);

_/\((-l)ycos(=2),

2.cost——Fa)="!+1

'271(-1)—sin(=2+1);

3.asina+bcosa~以^sin(a+0)(協(xié)助角巾所在象限由點(diǎn)(a,b)所在象限確定,tan。=—).

4.求三角函數(shù)在給定范圍上的單調(diào)區(qū)間：一般是求出全部的單調(diào)區(qū)間,再與給定區(qū)間取交集.

5.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最值的等價(jià)說(shuō)法:f(a)Wf(x),Vx成立等價(jià)于f(a)是f(x)的最小值,x二a是

函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸.

跟蹤集訓(xùn)

14.已知角a的始邊為x軸正半軸，終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,3),則濡)、>9”:的值

為.

15.設(shè)a,gG［0,兀］,且滿(mǎn)意sinacosB一cosasinB=1,則sin(2a-0)+sin(a-2B)的取值范圍

為.

16.設(shè)f(x)=sin2x-V3cosxcos^+?則f(x)在"上的單調(diào)增區(qū)間為.

結(jié)論六解三角形

1.sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C);

2.A>B=sinA〉sinB,cosA〈cosB(要會(huì)證明);

3.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

4.對(duì)銳角三角形的理解和應(yīng)用:三個(gè)角都是銳角的三角形;隨意兩個(gè)角的和是鈍角的三角形;在銳角

三角形中，隨意一個(gè)角的正弦值大于其余兩個(gè)角的余弦值,隨意兩邊的平方和大于第三邊的平方,即

(2+2>2,

sinA>cosB,sinA>cosC,<2+2>2,

2>2.

跟蹤集訓(xùn)

17.在斜AABC中，若tanA:tanB:tanC=l：2：3,則cosA=.

18.銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2bsinA.

⑴求B的大小；

(2)求cosA+sinC的取值范圍.

結(jié)論七不等式

1-2+<:wj:(a,b>0).

2.(l)xyW―i—;(2)xyW(——);(3)當(dāng)x〉0時(shí),x+!22;

(4)當(dāng)x,y同號(hào)時(shí),一+—22;當(dāng)x,y異號(hào)時(shí),一+—W-2.

3.不等式恒成立、有解問(wèn)題:二次不等式在R上恒成立,利用判別式;若給定區(qū)間,則分別參數(shù)是常用

方法.通過(guò)分別參數(shù),不等式恒成立問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為a<f(x),xGD恒成立,則a<f(x)min.x^D;若是

a<f(x),x￡D有解,則a<f(x)mM,xGD.假如不能分別參數(shù),則利用函數(shù)的最值或圖象求解最值,如

f(x)〉0,xeD恒成立，即為f(x)n,i?>0,xeD.

跟蹤集訓(xùn)

19.若在區(qū)間［1,3］內(nèi)，存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)意不等式Zx'+mx-lVO,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

20.不等式a，8b2與Ab(a+b)對(duì)隨意a,bGR恒成立，則實(shí)數(shù)X的取值范圍為.

21.已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)意x?+y2=l,則的最小值為.

22.若a>0,b>0,且2a+b=l,則S=2A/-(4a2+b2)的最大值是.

結(jié)論八平面對(duì)量

1.三點(diǎn)共線的判定

A,B,C三點(diǎn)共線=一'共線；向量.中,A,B,C三點(diǎn)共線Q存在實(shí)數(shù)a,B使得

=a(+3)，且a+6=1.

2.三角形“四心”的向量形式的充要條件

設(shè)0為4ABC所在平面上一點(diǎn),角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則

(l)O^AABC的外心。

2sin2sin2sin

(2)0為AABC的重心Q^+=0.

(3)0^jAABC的垂心=*?=>?"二>?\

(4)0為AABC的內(nèi)心*+b*+c-0.

3.向量中線定理:4ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則—*+—=2—\

4.||a|-|b||W|a-b|W|a|+|b|,留意等號(hào)成立的條件.

5.若a,b都是非零向量，則a〃boa=入b=xiy2=X2yi=夾角等于0°或180°o|a?b|=|a||b|.

6.若a,b都是非零向量,則a_Lb=a,b=00xiX2+yiy2=0=夾角等于90°?|a+b|=|a-b|.

7.數(shù)量積的其他結(jié)論:當(dāng)a與b同向共線時(shí),a?b二|a|?|b|;當(dāng)a與b反向共線時(shí),a?b二-|a|?|b|;

當(dāng)a與b共線時(shí)，|a?b|=|a|?|b|;當(dāng)a與b為隨意向量時(shí)，|a?b|=|a|?|b|?|cos。|W|a|?|b|(0

為a與b的夾角)；a與b的夾角為銳角的充要條件是［,=?彳+丫小2>“

(x1y2-x2y1豐0.

a與b的夾角為鈍角的充要條件是［,=?；2+丫也<。，

(x1y2-x2y1W0.

跟蹤集訓(xùn)

23.已知A,B,C是直線1上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)0不在直線1上,則使等式x2—（+x-）+-=0成立的實(shí)數(shù)

x的取值集合為.

24.P是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若一'?一=―'-一=—,?一則P是4ABC的.（填

“外心”“重心”“內(nèi)心”“垂心”中的一種）

25.已知A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)意一中（1-入）—Ml-入）-<+（1+2入）—1XeR,

則點(diǎn)P的軌跡肯定經(jīng)過(guò)AABC的.（填“外心”“重心”“內(nèi)心”“垂心”中的一種）

結(jié)論九等差數(shù)列

1.在等差數(shù)列｛a?｝中，ap=q,aq=p（pWq）=>ap+g=0;Sm+?=Sm+S?+mnd.

2.若Sm,S2m,弱分別為｛aj的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm,S2sS3t>盤(pán)“成等差數(shù)列.

3.若等差數(shù)列｛a?｝的項(xiàng)數(shù)為2m,公差為d,全部奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,全部偶數(shù)項(xiàng)之和為S假,則全部項(xiàng)之

和S2nl=m（am+am+i）,S假-S#=md,——=----.

偶+1

4.若等差數(shù)列｛aj的項(xiàng)數(shù)為2m-1,全部奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,全部偶數(shù)項(xiàng)之和為S假,則全部項(xiàng)之和

=-_=

S2m-i（2m1）am,S奇umam,S倜=（ml）am,S奇—Sfgam,——=——

fST

跟蹤集訓(xùn)

26.等差數(shù)歹！J｛aj的前n項(xiàng)和為S?,若Sio=2O,S20=50,貝|Sso=.

27.一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354,前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32：27,則該數(shù)列的公

差為.

結(jié)論十等比數(shù)列

1.等比數(shù)歹!J｛a?｝的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm,S2?-Sm）SSLS2.均不為0,貝|Sm,S2m-Sm>SSLSZH成等比數(shù)歹U.

2.S*=S計(jì)q-S^Sn+qS,.

3.在有限等比數(shù)列瓜｝中，公比為q,全部奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,全部偶數(shù)項(xiàng)之和為S假.若n為偶數(shù),則S

<H=qS奇；若n為奇數(shù)，貝ljSij=ai+qS修

4.假如數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，那么數(shù)列｛｝（總有意義）必是等比數(shù)歹U.假如數(shù)列｛aj是等比

數(shù)列,那么數(shù)列｛loga|an|｝（a>0,且a/l）必是等差數(shù)列.

跟蹤集訓(xùn)

28.在等比數(shù)列｛aj中，若Sio=lO,Szo=3O,貝US3o-.

29.數(shù)列｛a?｝中，2+i=4an,ai=l,a?>0,則a?=.

30.等比數(shù)列｛aj共有奇數(shù)項(xiàng),全部奇數(shù)項(xiàng)和S奇=255,全部偶數(shù)項(xiàng)和S斫T26,末項(xiàng)是192,則首項(xiàng)

3.1-.

結(jié)論十一直線與圓

1.阿波羅尼斯圓:若點(diǎn)A、B是定點(diǎn),M是動(dòng)點(diǎn),且MA=kMB,k>0,kWl,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓(阿波羅尼

斯圓).

2.定點(diǎn)A到動(dòng)直線1的距離等于定長(zhǎng)的直線1是以A為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓的切線.

3.以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則ACLBC,可以利用斜率或向量求解.

4.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形有外接圓.

5.以A(xi,yj,B(xz,y?)為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程為(X-XI)(x-X2)+(y-yJ(y-yz)=0.

6.過(guò)圓々七尸+6-^^行上一點(diǎn)(x0,yo)的切線方程為(x-a)(x()-a)+(y-b)(yo-b)=r；過(guò)圓外一點(diǎn)可以

作圓的兩條切線.

7.過(guò)圓內(nèi)肯定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)的有1條,是過(guò)該點(diǎn)的直徑,最短的弦有1條,是垂直于過(guò)該點(diǎn)直徑的弦.

跟蹤集訓(xùn)

31.若A(l,1),B(3,4),且點(diǎn)A和B到直線1的距離都等于1,則這樣的直線1有條.

32.已知圓M:(x-l)2+(y-l)M,直線l:x+y-6=0,A為直線1上一點(diǎn).若圓M上存在兩點(diǎn)B,C,使得

ZBAC=60°,則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍是.

33.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓Oi,圓均與x軸相切且圓心01,02與原點(diǎn)0共線,0),02兩點(diǎn)的橫坐

標(biāo)之積為6,設(shè)圓。與圓0?相交于P,Q兩點(diǎn)，直線l:2x-y-8=0,則點(diǎn)P與直線1上隨意一點(diǎn)M之間的距離

的最小值為.

結(jié)論十二圓錐曲線

1.橢圓中的常用結(jié)論：(1)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式:左焦點(diǎn)弦AB=2a+e(xi+x2);右焦點(diǎn)弦AB=2a-e(xi+x2);(2)通

92022

徑長(zhǎng)為(3)焦點(diǎn)三角形的面積S=b2tany；(4)若A、B是橢圓C:「+「=l(a>b〉0)上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的

2

兩點(diǎn),P為橢圓C上隨意一點(diǎn)，則kPAkPB=--.

2

2.雙曲線中焦點(diǎn)三角形的面積S=——.

tan5

22

3.若點(diǎn)M(x0,y。)在曲線土上,則過(guò)M的切線方程為T(mén)土

4.過(guò)拋物線/=2Px(p>0)焦點(diǎn)的弦AB有如下結(jié)論：

2c9

(1)XA?XB=—;⑵y??yB=-p;⑶|ABI=「一(a是直線AB的傾斜角).

4sin"a

跟蹤集訓(xùn)

34.設(shè)P是有公共焦點(diǎn)Fl,F2的橢圓G與雙曲線C2的一個(gè)交點(diǎn),且PF」PFz,橢圓C1的離心率為ei,雙曲線

C2的禺心率為?2,若?2—3ei,貝!J61—.

22

35.已知橢圓(a>b〉O),M,N是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),P是橢圓上隨意一點(diǎn)，且直線PM,PN的

斜率分別為kbk?(khWO),若橢圓的離心率為',貝1kJ+1kz|的最小值為.

36.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),則aOAB

的面積為.

答案精解精析

結(jié)論一函數(shù)的奇偶性

跟蹤集訓(xùn)

1.答案4

解析由已知得f(O)=O=l+b,

/.b=-l,又f⑵=2+2(a-l)-l=-l,

a=0,/.f(x)=log2(x+2)-x-l(x^O),

.*.f(-6)=-f(6)=-3+6+l=4.

2.答案g,I)

解析由f(X)是偶函數(shù)知f(x)=f(-X)=f(IxI),則f(2X-1)<fC)=f(2X-11)<fQ),結(jié)合f(x)在[0,+8)

上單調(diào)遞增得|2x-1解這個(gè)不等式得,x的取值范圍是(；，

3.答案(-2,0)U(0,2)

解析由已知得,函數(shù)f(x)在(-8,0)上也為增函數(shù).畫(huà)出函數(shù)的草圖(如圖)，可得在(-2,0)和⑵+8)上

f(x)>0,在(-8,-2)和(0,2)上f(x)<0.當(dāng)x>0時(shí)，由()—「)〈0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)<0,結(jié)合圖象

可知,xG(0,2);當(dāng)x<0時(shí)，由一——---<0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)>0,結(jié)合圖象可知xG(-2,0).綜

上，xe(-2,0)U(0,2).

結(jié)論二函數(shù)的單調(diào)性、

極值與最值

跟蹤集訓(xùn)

4.答案6

解析由f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n￡R)是R上的單調(diào)增函數(shù)，得f'(x)=12x2+2mx+m-320在R上恒成

立,則4m2-48(m-3)W0,即(m-6)Wo,故m=6.

5.答案(—,-5]

解析易知f⑵=0,則要使f(x),xe[-3,3]的最大值是0,只需f(x)WO,Xe[-3,3]恒成立,則

2

-a|x-212|X-4I,x￡[-3,3],-|x+21max-5,x￡[-3,2)U(2,3],所以a,〈-5,實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(-8,-5],

6.答案[g,+8)

32

解析由對(duì)隨意Xi,X2^R,均滿(mǎn)意(X1-X2)[f(xi)-f(X2)]>0,得函數(shù)f(x)=x-x+mx+2在R上遞增，貝！J

f'(x)=3x2-2x+m20在R上恒成立,貝Um2(-3/+2動(dòng)心,當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),故實(shí)數(shù)m的取值范圍是區(qū)+

7.答案(-8,4)

解析由mxiWxz,X1,xzGR,f(xj=f(xz),得f(x)在R上不單調(diào).若f(x)在R上單調(diào)，只能單調(diào)遞增,此時(shí)

{>0,解得a》4,故函數(shù)不單調(diào)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍是a〈4.

(-1+<2-5,

結(jié)論三抽象函數(shù)的

周期性與單調(diào)性

跟蹤集訓(xùn)

8.答案1

解析因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，所以f(x+2)=f(-x+2),

所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函數(shù)f(x)的周期為8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.

9.答案3

解析因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，

所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),

又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),

則f(-l)=f(4-l)=f(3)=3.

10.答案4

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-l)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),所以f(x)是R上的奇函數(shù).因?yàn)閒(x+2)=-f(x),所以

f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4.所以f(2024)=f(504X4+1)=f(1)=4,又因?yàn)?/p>

f(2024)+f(2024)=-f(2014)+f(2014+4)=-f(2014)+f(2014)=0,所以f(2024)+f(2024)+f(2024)=4.

結(jié)論四函數(shù)零點(diǎn)

跟蹤集訓(xùn)

11.答案(1,+8)

解析畫(huà)出函數(shù)y=f(x),y=m的圖象如圖，由圖象可得當(dāng)m>l時(shí)，函數(shù)y=f(x)-m有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

12.答案[-6,|]

解析令3=t,te[l,3],則函數(shù)f(x)=3'-3"-m在[T,1]上有零點(diǎn)QirF-tlt,teg,3],則me[-6,非

13.答案[-5,-2V2-2)

解析曲線f(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=x+l,該切線與f(x)的圖象恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則該切線與

f(x)=(l-x)(a+x),x22有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程x+l=(l-x)(a+x),x￡[2,+8)有兩個(gè)不等根,整

(=2-4(1-a)>0,

理得x2+ax+l-a=0,x￡[2,+8)有兩個(gè)不等根,所以卜萬(wàn)>2

(4+2+1->0,

解得-5

結(jié)論五三角函數(shù)

跟蹤集訓(xùn)

14.答案-

解析由已知得,tana3

cos(}+a)sin(-n-)

則cos(A^-a)sin(^+a)

-sin2a

cos(*a)sin(T+a)

.9.9

一sin”a一sin”a3

=tana=一一.

-cos(y-a^cos-sincos4

15.答案[-1,1]

解析由sinacosB一cosasinB=sin(a-P)=1,a,8￡析n]，得a-B胃,所以a二B+y,B=a-y.

所以sin(2a-6)+sin(a-26)=sinl+T)+sin('-B)=cosa+cosB=cosB+cos+

y^=cosB-sin8=V2cos^+?),由a,Bw[0,n],a=0+—得6e[o,y],則B+ye[Y?；]，

貝！Jcos(+在修，升

所以施cos(+g￡[-i,i].

16.答案[0,y]

解析f(x)=-cc^2'+V3cosxsinx=ysin2x-|cos2x+|=sin^2一孑)+；，由2k兀一，W2x-^W2k兀+，，k￡Z得

knn+pkGZ,與[O,9取交集得所求遞增區(qū)間是何y].

結(jié)論六解三角形

跟蹤集訓(xùn)

17.答案f

解析設(shè)tanA=k,k>0,則tanB=2k,tanC=3k,由

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得6k=6k3,k=l,則tanA=l,則

A.,COsA=y.

1?,jr

18.解析(1)由a=2bsinA得sinA=2sinBsinA,因?yàn)閟inAWO,所以sinB=-,又B是銳角，則B=小.

(2)cosA+sinC=cosA+sin(A+B)=cosA+sin(+2)=[sinA+|cosA=V5sin(+￡)，又由AABC為銳角三角

[0<<-,

形得n5.A"則苫A4，

3

(0<=--A<7>2

則A+谷缺，豹,

6sin(+￡)e停,3，

即cosA+sinC的取值范圍是停，g).

結(jié)論七不等式

跟蹤集訓(xùn)

19.答案m<-l

解析由題意知,不等式m<--2x(xe[1,3]),易知函數(shù)y=--2x,xe[1,3]單調(diào)遞減,則y?ax=-l,即

實(shí)數(shù)的取值范圍是m〈-l.

20.答案[-8,4]

22

解析由題意知a-Xab+(8-X)b^0VaGR恒成立,則

△=入"b~-4(8-A)b-W0,即入?+4入-32W0,解之得-8W入W4,即實(shí)數(shù)人的取值范圍是[-8,4].

21.答案-V2-1

解析2xy=(x+y)2-(x2+y2)=(x+y)2-1=(x+y+1)?(x+y-1),又(一^—)W―i—，所以

22

^?=x+y-l^-V2(+)-l=-V2-l,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).故三%的最小值為-方-1.

22.答案等

解析由J。?，得加一弓,且4a西斗所以

S=2V-(4a+b2)=V2?V2-(4a+b2)^4當(dāng)且僅當(dāng)2a=b千寸取等號(hào)，即S的最大值為

結(jié)論八平面對(duì)量

跟蹤集訓(xùn)

23.答案{-1}

解析\

x2>+x*+--0,

即--X2>+(1-X)\

點(diǎn)A、B、C都在直線1上，點(diǎn)。不在1上，

/.-X2+(1-X)=l,

即x=0(舍去)或x=T,

??.X的取值集合為{T}.

24.答案重心

解析由',-'?>,可得<*(->)=0,即(*-0,/.\同理可

證:\.'.P是4ABC的垂心.

25.答案重心

解析取AB的中點(diǎn)D,

則2—=->+—>,

(1-入)*+(1-A))+(1+2A),

???一胃［2(廣入)-X1+2A)-—>+*—:

.*.2(1-)1'+2-L?

33

??.P,C,D三點(diǎn)共線，

.?.點(diǎn)P的軌跡肯定經(jīng)過(guò)4ABC的重心.

結(jié)論九等差數(shù)列

跟蹤集訓(xùn)

26.答案90

解析(Szo-Si。)-Si°=(S3o-S2o)-(S2o-Slo),則S3O=3S2O-3S1O=3X50-3X20=90.

27.答案5

解析設(shè)該等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)的和為S儆公差為d.

奇+偶=354,

由已知條件，得

=32：27,

l偶?奇

=192,

偶

解得

=162.

奇

又Sffl-s?=6d,

192-162

所以d=------=5.

6

結(jié)論十等比數(shù)列

跟蹤集訓(xùn)

28.答案70

解析解法——：?.,Su)=ai+a2+…+aio,

lolololo

S2o-Sio=aii+ai2+--+a2o=aiq+a2q+--+aioq=qSio,

S30-S2o=@21+822+,,,+a3o=aiq2O+a2q2°+,,?+aioq20zzq20S10,

10

???Si。，S2o-Sio,S3LS2。成等比數(shù)歹!J,公比為q.

(S20—Sio)~=S10(S301s20),

VSio=lO,S2O=3O,

(30-10)=10(Sao-30),.\S3O=7O.

解法二：：SIO=1O,S2O=3O,

S2o-Sio+aii+ai2+，?,+a2o

10.101,,,?10

=bio+aiq+@2q++aiOq

=Sio+q1OSio=lO(l+qlo)=3O,

??-q10=2Q,

??S30=S2o+a21+a22+—?+a3O

_Q?100i20G

二Sio+qSio+qSio

=10(l+q10+q2°)

=70.

29.答案22-?

2

解析對(duì)于+i=4an,等號(hào)兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得,21og2an+i=log2an+2.

——

令bn—log2an,則2bn+l—bn+2,即2(bn+l2)—bn2.

令Cn=bn-2,則Cn+F|Cn,

Vai=l,.*.bi=O,Ci=-2,

｛Q｝是首項(xiàng)為-2,公比為T(mén)的等比數(shù)列，

22

,\b?=2-g)-,an=2"?".

30.答案3

解析等比數(shù)列｛aj共有2k+l(kGN)項(xiàng)，貝!J&2k+i=192,貝!]S#=ai+a3+,>,+a2k-i+a2k+i=一(a2+a&+…+azk)+a2k+i=—S

11

(S+a2k+i=-—+192=255,解得q=-2,而S巾='+二T了「=255,解得ai=3.

1-21-(-2)

結(jié)論十一直線與圓

跟蹤集訓(xùn)

31.答案4

解析由題意可得直線1與圓A:(x-l)2+(y-l)2=l和圓B:(x-3)2+(y-4)2=l都相切,又AB=V13>2,則圓A

和圓B相外離,所以?xún)蓤A有4條公切線，即直線1有4條.

32.答案[1,5]

解析由題意可得過(guò)點(diǎn)A作圓M的兩條切線,則兩切線之間的夾角大于等于60°,連接CM,則CM與一條

切線的夾角大于等于30°,又圓M的半徑為2,

設(shè)A(x,6-x),

則MA=J(-I)?+(5-x/W4,

解得1WXW5.

33.答案”-述

5

解析設(shè)圓01：(x-ai)+(y-bi)2=彳，圓O2：(x-a2)2+(y-b2)、於兩式相減得

2(a2-ai)x+2(b2-bi)y+彳一>0⑴，由0b02,0共線可得」二，二k,貝|bi=kabbz=k出,代入(1)化簡(jiǎn)得