高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第39練拋物線(原卷版+解析)

第39練拋物線一、課本變式練1.（人A選擇性必修一P133練習(xí)T2變式）拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．2.（人A選擇性必修一P133練習(xí)T3變式）已知拋物線：上一點(diǎn)到軸的距離是5，則該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離是（

）A． B． C． D．3.（人A選擇性必修一P138習(xí)題3.3T4變式）（多選）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．4.（人A選擇性必修一P138習(xí)題3.3T2（1）變式）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)_________．二、考點(diǎn)分類練(一)拋物線的方程與性質(zhì)5.（2023屆遼寧省鞍山市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6.（多選）（2023屆福建省三明第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．7.（2023屆海市寶山區(qū)高三上學(xué)期10月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）如圖拋物線型拱橋，當(dāng)拱橋的頂點(diǎn)距離水面3米時(shí)，水面寬12米，則水面上升1米后，水面寬度為_(kāi)__________米.(二)拋物線定義及應(yīng)用8．（2023屆云南省曲靖市第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考）已知平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中頂點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（

）A．12 B．9 C．6 D．39.（多選）（2023屆湖南省湘潭市第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn))在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標(biāo)為10.（2022屆遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高三聯(lián)考）已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則的最小值為_(kāi)_____．(三)拋物線中的長(zhǎng)度與面積問(wèn)題11.（2023屆貴州省貴陽(yáng)第一中學(xué)高三月考）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C．8 D．12.（2023屆福建福州第十一中學(xué)高三上學(xué)期期中考）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求的面積.13.已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡．l是過(guò)點(diǎn)的直線，M是C上（不在l上）的動(dòng)點(diǎn)；A、B在l上，，軸（如圖）．(1)求曲線C的方程；(2)求出直線l的方程，使得為常數(shù)．(四)拋物線中的定點(diǎn)定值及范圍問(wèn)題14.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．15.已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.16.如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.三、最新模擬練17.（2022屆云南省玉溪市民族中學(xué)高三模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線l上，線段與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線C交于點(diǎn)B，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．418.（2023屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)校高三上學(xué)期9月模塊診斷）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．

B．

C．

D．119.（多選）（2023屆河北省衡水市部分學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn).過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)Q.直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，與x軸交于點(diǎn)D，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．若，P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為2C． D．若點(diǎn)Q不在坐標(biāo)軸上，直線AB的傾斜角為，則20.（2023屆江蘇省南通市通州區(qū)高三上學(xué)期期中）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是______．21.（2023屆江西省智慧上進(jìn)高三上學(xué)期考試）已知拋物線C：上一縱坐標(biāo)為4的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離為5，過(guò)點(diǎn)的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在x軸上是否存在異于點(diǎn)N的定點(diǎn)P，使得點(diǎn)F到直線PA與直線PB的距離相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．22.（2022屆陜西省渭南市富平縣高三下學(xué)期二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線上的投影，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于A，兩點(diǎn)，直線與線段交于點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在，使得和的面積相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.四、高考真題練23．(2021新高考全國(guó)Ⅱ卷)拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則 ()A．1 B．2 C． D．424.（多選）(2022新高考全國(guó)II卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A．B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則 ()A．直線的斜率為 B．C． D．25．（多選）(2022新高考全國(guó)I卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則 ()A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．26．(2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____．五、綜合提升練27.已知點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．28.（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且斜率大于0的直線交拋物線于，兩點(diǎn)(其中在的上方)，過(guò)線段的中點(diǎn)且與軸平行的直線依次交直線，，于點(diǎn)，，.則（

）A．B．若，是線段的三等分點(diǎn)，則直線的斜率為C．若，不是線段的三等分點(diǎn)，則一定有D．若，不是線段的三等分點(diǎn)，則一定有29.（2023屆四川省成都市第七中學(xué)高三上學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)）過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為和，又直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，那么=______.30.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為A為C上的一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)，(1)若的面積為，求的值及圓的方程(2)若直線與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，且，準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)S，點(diǎn)S關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)為T(mén)，求的取值范圍.第39練拋物線一、課本變式練1.（人A選擇性必修一P133練習(xí)T2變式）拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程是.故選D2.（人A選擇性必修一P133練習(xí)T3變式）已知拋物線：上一點(diǎn)到軸的距離是5，則該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：拋物線：的準(zhǔn)線方程為，由焦半徑公式得：該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于.故選B3.（人A選擇性必修一P138習(xí)題3.3T4變式）（多選）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】若拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線的方程為，又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為.若拋物線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)拋物線的方程為，又因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線的方程為.故選AC．4.（人A選擇性必修一P138習(xí)題3.3T2（1）變式）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】由可得，則其準(zhǔn)線為：，得.二、考點(diǎn)分類練(一)拋物線的方程與性質(zhì)5.（2023屆遼寧省鞍山市高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選C6.（多選）（2023屆福建省三明第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【答案】ACD【解析】因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，故B錯(cuò)誤則，．又是的中點(diǎn)，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確，故選ACD．7.（2023屆海市寶山區(qū)高三上學(xué)期10月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）如圖拋物線型拱橋，當(dāng)拱橋的頂點(diǎn)距離水面3米時(shí)，水面寬12米，則水面上升1米后，水面寬度為_(kāi)__________米.【答案】【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將A（6，-3）代入，得，∴，代入B得，故水面寬為米，(二)拋物線定義及應(yīng)用8．（2023屆云南省曲靖市第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考）已知平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中頂點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【解析】因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，即，所以，設(shè)，由得，所以，即，根據(jù)拋物線的定義可得.故選C.9.（多選）（2023屆湖南省湘潭市第一中學(xué)高三上學(xué)期期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn))在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．的坐標(biāo)為【答案】AC【解析】由題可知,由，，所以，.，故選AC．10.（2022屆遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高三聯(lián)考）已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，則有，∴的最小值為.(三)拋物線中的長(zhǎng)度與面積問(wèn)題11.（2023屆貴州省貴陽(yáng)第一中學(xué)高三月考）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【解析】由可得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由拋物線焦半徑公式知，將代入，可得，所以的面積為，故選A．12.（2023屆福建福州第十一中學(xué)高三上學(xué)期期中考）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩個(gè)不同點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求的面積.【解析】（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，即，則，所以拋物線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為；（2）解：設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，，所以，則，所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，所以，即，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以．13.已知曲線C是到點(diǎn)和到直線距離相等的點(diǎn)的軌跡．l是過(guò)點(diǎn)的直線，M是C上（不在l上）的動(dòng)點(diǎn)；A、B在l上，，軸（如圖）．(1)求曲線C的方程；(2)求出直線l的方程，使得為常數(shù)．【解析】（1）設(shè)N（x,y）為C上的點(diǎn)，則，N到直線的距離為．由題設(shè)得，化簡(jiǎn)，得曲線C的方程為．（2）設(shè)，明顯直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y＝kx＋k，則B（x,kx＋k），從而．在Rt△QMA中，因?yàn)椋?，∴，．?dāng)k＝2時(shí)，，從而所求直線l方程為2x?y＋2＝0，使得為常數(shù)(四)拋物線中的定點(diǎn)定值及范圍問(wèn)題14.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）由題可知?jiǎng)訄A圓心到定點(diǎn)的距離與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為；（2）設(shè)，由題意得(否則)，且，由題意知直線的斜率存在，從而設(shè)的方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得，由韋達(dá)定理知，，因?yàn)闉槎ㄖ担?dāng)時(shí)，，所以，所以直線的方程為，即，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，可得，直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，綜上，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn).15.已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為，，，橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，，解得，，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由題意知過(guò)點(diǎn)與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設(shè)，則切線方程為，聯(lián)立，消去，得，由，得，直線，的斜率分別為，，，為定值．16.如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.【解析】（1）因?yàn)?，故，故拋物線的方程為：.（2）[方法一]：通式通法設(shè)，，，所以直線，由題設(shè)可得且.由可得，故，因?yàn)?，故，?又，由可得，同理，由可得，所以，整理得到，故，令，則且，故，故即，解得或或.故直線在軸上的截距的范圍為或或.[方法二]：利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為，由題設(shè)可得且．由得，所以．因?yàn)?，，．由得．同理．由得．因?yàn)椋约矗剩?，則．所以，解得或或．故直線在x軸上的截距的范圍為．[方法三]最優(yōu)解設(shè)，由三點(diǎn)共線得，即．所以直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．設(shè)直線的方程為，則．所以．故（其中）．所以，且，因此直線在x軸上的截距為．三、最新模擬練17.（2022屆云南省玉溪市民族中學(xué)高三模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C的準(zhǔn)線l上，線段與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線C交于點(diǎn)B，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為H，由O為中點(diǎn)，知點(diǎn)A為的中點(diǎn)，因?yàn)椋裕^(guò)點(diǎn)B作，垂足為Q，則由拋物線的定義可知，所以，則，所以．故選C18.（2023屆山西省山西大學(xué)附屬中學(xué)校高三上學(xué)期9月模塊診斷）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．

B．

C．

D．1【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，故，故切線的方程為，即，故.又由拋物線的定義可得，且，故，故，故直線的傾斜角為.所以，即，故.所以直線的斜率為.故選C19.（多選）（2023屆河北省衡水市部分學(xué)校高三上學(xué)期9月月考）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn).過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)Q.直線l為拋物線C的準(zhǔn)線，與x軸交于點(diǎn)D，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．若，P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為2C． D．若點(diǎn)Q不在坐標(biāo)軸上，直線AB的傾斜角為，則【答案】ACD【解析】設(shè)，，直線AB為，則整理得，，，.當(dāng)時(shí)，則，故，，∴，故，∴，故A正確；M到拋物線準(zhǔn)線的距離為，結(jié)合拋物線的定義可知，當(dāng)P的縱坐標(biāo)為1時(shí)，的最小值是，故B錯(cuò)誤；不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限，則，，，則點(diǎn)A處切線斜率，，，則點(diǎn)B處切線斜率，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故C正確；不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限，記直線AD與直線BD的傾斜角為，，，因?yàn)橹本€AB傾斜角為，則，故，故D正確.故選ACD20.（2023屆江蘇省南通市通州區(qū)高三上學(xué)期期中）已知拋物線：，圓：，在拋物線上任取一點(diǎn)，向圓作兩條切線和，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由已知，，.如圖，設(shè)點(diǎn)，則，，在中，有，易知，則，則，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，又，所以，.所以，的取值范圍是.21.（2023屆江西省智慧上進(jìn)高三上學(xué)期考試）已知拋物線C：上一縱坐標(biāo)為4的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離為5，過(guò)點(diǎn)的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)在x軸上是否存在異于點(diǎn)N的定點(diǎn)P，使得點(diǎn)F到直線PA與直線PB的距離相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)，則，∴，由拋物線的定義得，解得或，因?yàn)?，所以（舍去）所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，，由題可知l的斜率不為零，設(shè)l：，代入拋物線方程消去x，得，從而，①，點(diǎn)F到直線PA與直線PB的距離相等，可得，故，，得，將①代入得，于是得，因此存在符合條件的點(diǎn)P，且P點(diǎn)坐標(biāo)為.22.（2022屆陜西省渭南市富平縣高三下學(xué)期二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線上的投影，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于A，兩點(diǎn)，直線與線段交于點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在，使得和的面積相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】由題意得：，由拋物線定義可知：此時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥PQ于點(diǎn)D，由三線合一得：D為PQ中點(diǎn)，且，可得：所以拋物線方程為（2）由題意得：當(dāng)M為AB中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，設(shè)，由得：直線斜率為，則可設(shè)直線：，整理得：，聯(lián)立得：，設(shè)，則，則，由得直線OQ：，聯(lián)立直線OQ與直線l得：，從而，可得：，解得：.四、高考真題練23．(2021新高考全國(guó)Ⅱ卷)拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則 ()A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去)，故選B．24.（多選）(2022新高考全國(guó)II卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A．B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則 ()A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確．故選ACD．25．（多選）(2022新高考全國(guó)I卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則 ()A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【解析】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過(guò)的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因?yàn)椋?，所以，而，故D正確．故選BCD26．(2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】不妨設(shè)因?yàn)?，所以的?zhǔn)線方程為,故答案為．五、綜合提升練27.已知點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，若，則，，，所以；若，則