人教A版（2019）必修第二冊10.1隨機事件與概率(學(xué)案)(原卷版+解析)

10.1隨機事件與概率（學(xué)案）知識自測知識自測一．有限樣本空間與隨機事件（一）隨機試驗1.概念：對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.2.隨機試驗的特點(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.（二）樣本空間隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，一般地，用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點，如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.（三）隨機事件、必然事件與不可能事件1.一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.2.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.3.空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為?為不可能事件.二．事件的關(guān)系和運算定義符號圖示包含關(guān)系一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B互斥事件一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B＝?對立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為eq\x\to(A)A∪B＝ΩA∩B＝?三．事件的運算定義符號圖示并事件(或和事件)一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或積事件)一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)四．古典概型1.隨機事件的概率：對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.2.古典概型一般地，若試驗E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.3.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率概率的性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).知識簡用知識簡用題型一事件類型的判斷【例1-1】（2022·廣東）以下事件是隨機事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根【例1-2】（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？计谀┫铝惺录潜厝皇录氖牵?/p>

）A．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時會沸騰B．實數(shù)的絕對值不小于零C．某彩票中獎的概率為，則買10000張這種彩票一定能中獎D．連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點向上題型二樣本空間【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）寫出從集合任取兩個元素構(gòu)成子集的樣本空間．【例2-2】（2023·高一課時練習(xí)）袋中放有4個白球、2個黑球，寫出“從中取出2個球”的等可能的樣本空間．【例2-3】（2022春·廣東揭陽·高一?？茧A段練習(xí)）有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用表示結(jié)果，其中表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù).試寫出：（以下各小題先回答基本事件數(shù)目，再具體作答）(1)試驗的基本事件；(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件；(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件.題型三事件的關(guān)系【例3-1】（2023吉林長春）盒子中裝有紅色，黃色和黑色小球各2個，一次取出2個小球，下列事件中，與事件“2個小球都是紅色”對立的事件是（

）A．2個小球都是黑色 B．2個小球恰有1個是紅色C．2個小球都不是紅色 D．2個小球至多有1個是紅色【例3-2】（2022上海）已知事件A?B?C滿足，，則下列說法不正確的是（

）A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生 B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生 D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生題型四事件的運算【例4-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的面的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點數(shù)是2或3”為事件，則（

）A． B．C．表示向上的面的點數(shù)是1或2或3 D．表示向上的面的點數(shù)是1或2或3【例4-2】（2022·高一單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．題型五古典概型的判斷【例5-1】（2022·高一單元測試）以下試驗不是古典概型的有（

）A．從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個人被選中的可能性大小B．同時擲兩枚骰子，點數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雪的概率D．3個人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率【例5-2】（2022·高一課時練習(xí)）下列試驗是古典概型的是（

）A．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點中任取一點B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽題型六古典概型的樣本空間【例6-1】（2023·陜西銅川）某活動小組由2名男同學(xué)與3名女同學(xué)組成，他們完成一項活動后，要從這5名同學(xué)中選2人寫活動體會，則所選2人中沒有男生的概率為（

）A． B． C． D．【例6-2】（2023·高一課時練習(xí)）從一個裝有2黃2綠的袋子里，(1)有放回的摸球兩次,兩次摸到的都是綠球的概率是多少？(2)不放回的摸球兩次,兩次摸到的都是綠球的概率是多少？題型七概率的性質(zhì)【例7-1】（2022·全國·高一期末）甲、乙兩位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定五局三勝制（無平局），已知甲每局獲勝的概率都為，且前兩局以領(lǐng)先，則最后甲獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【例7-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，如果，那么（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【例7-3】．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機事件，，中，與互斥，與對立，且，，則（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【例7-4】（2022·高一課時練習(xí)）班級新年晚會設(shè)置抽獎環(huán)節(jié)．不透明紙箱中有大小、質(zhì)地相同的紅球3個(編號為1，2，3)，黃球2個(編號為4，5)，有如下兩種方案可供選擇：方案一：一次性抽取2個球，若顏色相同，則獲得獎品；方案二：依次無放回地抽取2個球，若顏色相同，則獲得獎品；方案三：依次有放回地抽取2個球，若編號的數(shù)字之和大于5，則獲得獎品．(1)分別寫出按方案一和方案二抽獎的所有樣本點；(2)哪種方案獲得獎品的可能性更大？并說明理由．10.1隨機事件與概率（學(xué)案）知識自測知識自測一．有限樣本空間與隨機事件（一）隨機試驗1.概念：對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母E表示.2.隨機試驗的特點(1)試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；(2)試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；(3)每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果.（二）樣本空間隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，一般地，用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點，如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間.（三）隨機事件、必然事件與不可能事件1.一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.2.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.3.空集?不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為?為不可能事件.二．事件的關(guān)系和運算定義符號圖示包含關(guān)系一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B互斥事件一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B＝?對立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為eq\x\to(A)A∪B＝ΩA∩B＝?三．事件的運算定義符號圖示并事件(或和事件)一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或積事件)一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)四．古典概型1.隨機事件的概率：對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示.2.古典概型一般地，若試驗E具有以下特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.3.古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率概率的性質(zhì)性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性質(zhì)4如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B).性質(zhì)5如果A?B，那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).知識簡用知識簡用題型一事件類型的判斷【例1-1】（2022·廣東）以下事件是隨機事件的是（

）A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到，必會沸騰 B．走到十字路口，遇到紅燈C．長和寬分別為的矩形，其面積為 D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根【答案】B【解析】A．標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100℃必會沸騰，是必然事件；故本選項不符合題意；B．走到十字路口，遇到紅燈，是隨機事件；故本選項符合題意；C．長和寬分別為的矩形，其面積為是必然事件；故本選項不符合題意；D．實系數(shù)一元一次方程必有一實根，是必然事件．故本選項不符合題意．故選：B．【例1-2】（2022春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？计谀┫铝惺录潜厝皇录氖牵?/p>

）A．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時會沸騰B．實數(shù)的絕對值不小于零C．某彩票中獎的概率為，則買10000張這種彩票一定能中獎D．連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點向上【答案】B【解析】因為在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到才會沸騰，所以A不是必然事件；因為實數(shù)的絕對值不小于零，所以B是必然事件；因為某彩票中獎的概率為，僅代表可能性，所以買100000張這種彩票不一定能中獎，即C不是必然事件；拋擲骰子，每一面出現(xiàn)都是隨機的，所以D是隨機事件．故選：B．題型二樣本空間【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）寫出從集合任取兩個元素構(gòu)成子集的樣本空間．【答案】【解析】從集合任取兩個元素，則構(gòu)成子集的樣本空間為.【例2-2】（2023·高一課時練習(xí)）袋中放有4個白球、2個黑球，寫出“從中取出2個球”的等可能的樣本空間．【答案】【解析】用表示4個白球，用表示2個黑球，故“從中取出2個球”的等可能的樣本空間為：．【例2-3】（2022春·廣東揭陽·高一校考階段練習(xí)）有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用表示結(jié)果，其中表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù).試寫出：（以下各小題先回答基本事件數(shù)目，再具體作答）(1)試驗的基本事件；(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件；(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件.【答案】(1)16個，答案見解析；(2)13個，答案見解析；(3)4個，答案見解析.【解析】（1）這個試驗的基本事件一共有個，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，.（2）事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含以下個基本事件：，，，，，，，，，，，，.（3）事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下個基本事件：，，，.題型三事件的關(guān)系【例3-1】（2023吉林長春）盒子中裝有紅色，黃色和黑色小球各2個，一次取出2個小球，下列事件中，與事件“2個小球都是紅色”對立的事件是（

）A．2個小球都是黑色 B．2個小球恰有1個是紅色C．2個小球都不是紅色 D．2個小球至多有1個是紅色【答案】D【解析】對于A，“2個小球都是黑色”與“2個小球都是紅色”是只互斥不對立事件，故A不正確；對于B，“2個小球恰有1個是紅色”與“2個小球都是紅色”是只互斥不對立事件，故B不正確；對于C，“2個小球都不是紅色”與“2個小球都是紅色”是只互斥不對立事件，故C不正確；對于D，“2個小球至多有1個是紅色”與“2個小球都是紅色”是對立事件，故D正確.故選：D【例3-2】（2022上海）已知事件A?B?C滿足，，則下列說法不正確的是（

）A．事件A發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生 B．事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生C．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生 D．事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生【答案】D【解析】因為事件A?B?C滿足，，所以，所以A正確；事件B發(fā)生一定導(dǎo)致事件C發(fā)生，B正確；因為，所以，所以事件發(fā)生不一定導(dǎo)致事件發(fā)生，所以C正確；因為，所以，事件發(fā)生一定導(dǎo)致事件發(fā)生，所以D錯誤.故選：D.題型四事件的運算【例4-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）拋擲一枚骰子，“向上的面的點數(shù)是1或2”為事件，“向上的面的點數(shù)是2或3”為事件，則（

）A． B．C．表示向上的面的點數(shù)是1或2或3 D．表示向上的面的點數(shù)是1或2或3【答案】C【解析】由題意可知，，，，，所以，，2，，則表示向上的面的點數(shù)是1或2或3，故ABD錯誤，C正確．故選：C．【例4-2】（2022·高一單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故，，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故，故B正確，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D錯誤，故選：D.題型五古典概型的判斷【例5-1】（2022·高一單元測試）以下試驗不是古典概型的有（

）A．從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個人被選中的可能性大小B．同時擲兩枚骰子，點數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雪的概率D．3個人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率【答案】C【解析】A選項，從6名同學(xué)中，選出4名參加學(xué)校文藝匯演，每個人被選中的可能性相等，滿足有限性和等可能性，是古典概型；B選項中，同時同時擲兩枚骰子，點數(shù)和為7的事件是不可能事件，有限性和等可能性，是古典概型；C選項中，不滿足等可能性，不是古典概型；D選項中，3個人站成一排，其中甲，乙相鄰的概率，滿足有限性和等可能性，是古典概型．故選：C．【例5-2】（2022·高一課時練習(xí)）下列試驗是古典概型的是（

）A．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的所有點中任取一點B．某射手射擊一次，可能命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)，…，10環(huán)C．某小組有男生5人，女生3人，從中任選1人做演講D．在適宜的條件下，種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽【答案】C【解析】對于A，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點有無限多個，不滿足有限樣本空間特征，故該選項錯誤；對于B，命中0環(huán)，1環(huán)，2環(huán)…，10環(huán)的概率不相同，不滿足等可能性特征，故該選項錯誤；對于C，人數(shù)有限，且任選1人與學(xué)生的性別無關(guān)，是等可能的，故該選項正確；對于D，“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”的概率不一定相等，不滿足等可能性特征，故該選項錯誤；故選：C.題型六古典概型的樣本空間【例6-1】（2023·陜西銅川）某活動小組由2名男同學(xué)與3名女同學(xué)組成，他們完成一項活動后，要從這5名同學(xué)中選2人寫活動體會，則所選2人中沒有男生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)2名男生為，3名女生為，從5人中選2人的總選法為，共10種不同選法，則沒有男生的選法共3種：，故所求概率為．故選:B.【例6-2】（2023·高一課時練習(xí)）從一個裝有2黃2綠的袋子里，(1)有放回的摸球兩次,兩次摸到的都是綠球的概率是多少？(2)不放回的摸球兩次,兩次摸到的都是綠球的概率是多少？【答案】(1)(2)【解析】（1）對有放回的摸球，第一次摸出綠球的概率，第二次摸出綠球的概率，故兩次摸到的都是綠球的概率是.（2）對不放回的摸球，所有可能的結(jié)果共有種，兩次都摸到綠球的結(jié)果有種，根據(jù)古典概型概率的求法，不放回的摸球兩次摸到的都是綠球的概率為.題型七概率的性質(zhì)【例7-1】（2022·全國·高一期末）甲、乙兩位同學(xué)進行羽毛球比賽，約定五局三勝制（無平局），已知甲每局獲勝的概率都為，且前兩局以領(lǐng)先，則最后甲獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】最后甲獲勝含3種情況：①第三局甲勝，概率為；②第三局乙勝，第四局甲勝，概率為；③第三局和第四局乙勝，第五局甲勝，概率為．所以最后甲獲勝的概率為．故選：D【例7-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，如果，那么（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】A【解析】∵，∴，互斥，∴.故選：A.【例7-3】．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機事件，，中