安徽省淮南市2025屆高三數(shù)學(xué)（理）第二次模擬考試試題（含解析）

淮南市2025屆高三其次次模擬考試

理科數(shù)學(xué)試卷

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的）

1.已知集合4={1|（工一1）（%-3）<0},B={x\log2x<l},則Au8等于（）

A.{x\x<3}B.[x|0<x<3]C.{x|l<x<2}D.

{x\2<x<3]

【答案】B

【解析】

【分析】

計(jì)算出4,8后可得4UB=（0,3）.

【詳解】4=（1,3）,B=（0,2）,所以4UB=（O,3）,故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算（并），屬于基礎(chǔ)題.

2.已知復(fù)數(shù)z滿意z+i=zi,其中i是虛數(shù)單位，貝女的模|z|等于（）

lM1

A.1B.也C.JD.-

“22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算計(jì)算出z后即可求其模.

[詳解]Z=二=一」='）==,所以必|=四，故選C.

1—11—122112

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

3.2002年8月國際數(shù)學(xué)家大會在北京召開，會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》,

它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）.若直角三

角形的直角邊邊長之比為1:2,則在大正方形內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，且此點(diǎn)取自中間白色小正方形部分

的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)大正方形的邊長為出a,依據(jù)直角三角形的直角邊邊長之比為1:2可得小正方形的邊長為a,

依據(jù)兩個(gè)正方形的面積可得所求的概率.

【詳解】設(shè)大正方形的邊長為在a,則圖中直角三角形的直角邊的長度分別為：2a,a,

故小正方形的邊長為a,所以大正方形內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，且此點(diǎn)取自中間白色小正方形部分的概率

2

為一5=三，故選C.

5a25

【點(diǎn)睛】幾何概型的概率計(jì)算關(guān)鍵在于測度的選取，測度通常是線段的長度、平面區(qū)域的面

積、幾何體的體積等.

4.已知實(shí)數(shù)久，y滿意6y<6,則下列關(guān)系式中恒成立的是（

°11

A.sinx>sinyB.ln(x24-1)>Zn(y2+1)C.-<-D.x3>y3

【答案】D

【解析】

分析】

依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得久>y,再依據(jù)哥函數(shù)的單調(diào)性可得久3>

【詳解】因?yàn)樗跃谩祔，

而y=/為R上的增函數(shù)，故，>y3,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

Xy

5.已知F是雙曲線方-」=1(。>0/>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)。b)的連線垂直于雙曲線的一

a2b2

條漸近線，則該雙曲線的離心率是()

A.B.C.D.在+1

【答案】B

【解析】

【分析】

點(diǎn)F與(01)連線的斜率與漸近線的斜率的乘積為-1得到ac=c2-a?,從該式可解出離心率的大

小.

【詳解】點(diǎn)尸與(01)連線的斜率為-2因該線與漸近線垂直，

C

故—X--1即QC=c?-“2,也就是i一e-i=o，(e>1)

ca

所以e=l±Ml,故選B.

2

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于a,瓦c的一個(gè)等式關(guān)系.而

離心率的取值范圍，則須要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a立c的不

等式或不等式組.

6.已知正=(1,0),同=1,月的夾角為30。，若值31-之2,司+區(qū)相互垂直，則實(shí)數(shù)%的值

是()

A.-73B.小C.3-73+4D.-373+4

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量垂直的充要條件，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)榫恚?&后+誠相互垂直,所以(但I(xiàn)-,).('+%2)=。'

整理得到晅32+(艱_i)^.e2_汨2=0,故e+-l)Xy-2=0,

故4=-同故選A.

【點(diǎn)睛】向量數(shù)量積有兩個(gè)應(yīng)用：(1)計(jì)算長度或模長，通過用向=庖:(2)計(jì)算角，

n-h

cos(a,b)=-特殊地，兩個(gè)非零向量￡石垂直的充要條件是2石=0.

回向

7.某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是正方形,側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖由一個(gè)半圓和

一個(gè)等腰直角三角形組成，則該幾何體體積為()

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，結(jié)合三視圖中的數(shù)量關(guān)系，即可得解.

【詳解】幾何體由一個(gè)四棱錐和半圓柱構(gòu)成，其中四棱錐的底面為邊長為2的正方形，

[137r-4-R

高為2,半圓柱的底面的半徑為1,高為2,故幾何體的體積為：-x2x4+-X7rxl2=二一,

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，要求依據(jù)三視圖復(fù)原幾何體，留意復(fù)原前后點(diǎn)、線、面的關(guān)系.

8.已知+()+cos。=—則+/)=()

334

A-5K-5Q5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用兩角和的正弦公式化簡，再逆用兩角和的余弦公式可得所求的值.

【詳解】題設(shè)中的三角函數(shù)式可化為：遜吧+壬竺=_型，整理得到：

225

57r57r3../5TT\3/5TT\3

sinOsin-—cosOcos-=從而一cos（6+—I=-BPcosl0+—I=

故選A.

【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的化簡求值問題，可以從四個(gè)角度去分析：（1）看函數(shù)名的差異；（2）看

結(jié)構(gòu)的差異；（3）看角的差異；（4）看次數(shù)的差異.對應(yīng)的方法是：弦切互化法、協(xié)助角公

式（或公式的逆用）、角的分拆與整合（用已知的角表示未知的角）、升暴降暴法.

9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入》=2,則輸出的結(jié)果為（）

11

A.-3B.——C.—D.2

23

【答案】C

【解析】

【分析】

分別計(jì)算i=1,234時(shí)X的值可得久的規(guī)律，從而可得輸出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)i=l時(shí)，x=|；當(dāng)i=2時(shí)，x=-1；當(dāng)i=3時(shí)，x=-3；當(dāng)i=4時(shí)，x=2,

1

所以久的值周期性出現(xiàn)，故當(dāng)i=101=4x25+1,x為名

【點(diǎn)睛】對于框圖的問題，我們可以從簡潔的情形逐步計(jì)算歸納出框圖的功能，在歸納中留

意各變量的改變規(guī)律.

10.中國古代儒家要求學(xué)生駕馭六種基本才能：禮、樂、射、御、書、數(shù).“禮”，禮節(jié)，即

今德育：“樂”，音樂，“射”和“御”，射箭和駕馭馬車的技術(shù)，即今體育和勞動：“書”，

書法，即今文學(xué)；“數(shù)”，算法，即今數(shù)學(xué)。某校國學(xué)社團(tuán)周末開展“六藝”課程講座活動,

每天連排六節(jié)，每藝一節(jié)，排課有如下要求：“禮”必需排在第一，“數(shù)”不能排在最終，

“射”和“御”要相鄰，則“六藝”講座不同的排課依次共有（）

A.18種B.36種C.72種D.144種

【答案】B

【解析】

【分析】

就“射”或“御”排在最終和“射”和“御”均不在最終兩種狀況分類探討即可.

【詳解】假如“射”或“御”排在最終，那么“射”和“御”有兩種排法即腐種，余下3種

才能共有用種排法，故此時(shí)共有4弘g=12中排法；

假如“射”和“御”均不在最終，那么“射”和“御”有3x2=6種排法，中間還余兩個(gè)位置,

兩個(gè)位置可選一個(gè)給“數(shù)”，有2種排法，余下兩個(gè)位置放置最終的兩個(gè)基本才能，有用，

故共有24種排法，

綜上，共有36種排法，選B.

【點(diǎn)睛】對于排數(shù)問題，我們有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素優(yōu)先考慮，比如偶數(shù)、

奇數(shù)等，可考慮末位數(shù)字的特點(diǎn)，還有零不能排首位等；（2）先選后排，比如要求所排的數(shù)

字來自某個(gè)范圍，我們得先選出符合要求的數(shù)字，在把它們放置在合適位置；（3）去雜法，

也就是從反面考慮.

11.己知函數(shù)/'（X）=sin（3久+0）（3>0,\（p\<?的部J力圖像如圖所示，則函數(shù)人為單調(diào)遞增區(qū)間

是（）

y

/

°V/

/51\

A.—TT.fcTT+—GZB.I2fc7r——^2/f71+—7rj,/cGZ

C.（kn：_j1,kn+滑1卜6ZD.^2k7i-1-n,2kn+—1GZ

【答案】A

【解析】

【分析】

先由f（0）=，得到a=再依據(jù)/?（"=0得到3=6k2

kEN*,依據(jù)3的范圍可得3=2,

JIJI11

最終依據(jù)2fc7T--<2%+-<2kn+-fkeZ求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】由圖像可知/■(0)=理，故宜呼=也，因陰<:故s=￡

2223

一/5TT\57rTi46%2,

又/(%?)=。得到⑦x—+^=如卜GZ,故3=——,kEZ,

27r57r

>

[U~6,.6”…612?…

因故OV3VM所以3V虧，所以3=2.

\2n157T

——x-<——

\a)26

7T\.717171

2x+—j,令2kji——<2x+—<2kn+—,kGZ,

(3/232

57rTi

所以E?-瓦<x<ATT+技,kcZ,函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間為：

5471\,，一

(kn--,kn+—j,/ceZ,故選A.

【點(diǎn)睛】已知y=4s譏⑷久+0)的圖像，求其解析式時(shí)可遵循“兩看一算”，“兩看”指從圖

像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算。.當(dāng)無法確定函數(shù)的最高

點(diǎn)或最低點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可依據(jù)圖像所過的特殊點(diǎn)得到33滿意的方程，再依據(jù)它們的范圍得到

相應(yīng)的取值.

12.已知函數(shù)/'(x)=卜_羋二若函數(shù)g(x)=有兩個(gè)零點(diǎn)/，x2,則久1+々=

IIXXIfXU

()

1

A.2B.2或2+-C.2或3D.2或3或

e

1

2+-

e

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用導(dǎo)數(shù)得到/(%)在(-8,0)上的單調(diào)性及最值，再畫出外處在R上的圖像，利用y=m與

y=八與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)可得與+々的值.

x

【詳解】當(dāng)工40時(shí)，f'(x)=(x+l)ef

當(dāng)x<一1時(shí)，/'(%)<0,故/■(?在(-8,-1)上為減函數(shù)，

當(dāng)一1VKV0時(shí)，fl(2x)>0,故f(%)在(-1,0)上為增函數(shù),

所以當(dāng)％40時(shí)，/（%）的最小值為f（一1）=一；

又在R上，/（?的圖像如圖所示：

因?yàn)?（尤）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程/0）=m有兩個(gè)不同的解即直線y=機(jī)與y=/O）有兩個(gè)

，一1

不同交點(diǎn)且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為第1，第2，故1<m<2或m=0或m=—,

e

若lVmV2,則％I+%2=2,

故m=0,則比1+々=3,

111

若m=—,貝lx,+%=—1+3+—=2+—.

eee

綜上,選D.

【點(diǎn)睛】已知分段函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍或探討零點(diǎn)性質(zhì)時(shí)，要依據(jù)各段函數(shù)

圖像的特點(diǎn)推斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或性質(zhì)，必要時(shí)可結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)分類探討圖像的特點(diǎn).

第II卷（非選擇題，共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必需作答.第22

題~第23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

/%+y>2

13.若變量x,y滿意約束條件2x-”4,貝ijz=x-y的最大值為__________.

（x-y>-2

【答案】2

【解析】

【分析】

畫出不等式組對應(yīng)的可行域，平移動直線可得z的最大值.

【詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示:

平移動直線久-y-z=o至4時(shí)，z有最大值，

又仁之工學(xué)得4(2,0)，故Zmu=2,故填2.

【點(diǎn)睛】二元一次不等式組條件下的二元函數(shù)的最值問題，常通過線性規(guī)劃來求最值，求最

值時(shí)往往要考二元函數(shù)的幾何意義，比如3久+4y表示動直線3%+4y-z=0的橫截距的三倍，

而JV4-7則表示動點(diǎn)P(x,y)與(1-2)的連線的斜率.

x—1

14.在A4BC中，三內(nèi)角4B,。對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且c=l,acosB+bcosA=2cosC.則

C=.

71

【答案】-

【解析】

【分析】

把題設(shè)中的邊角關(guān)系化為acosB+bcosA=IccosC,利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得

71

sinC=IsinCcosC,從該方程中可得C=

【詳解】因?yàn)閏=l,故acosB+bcos4=2cosC=2ccosC,

由正弦定理可以得到sin4cosB+sinBcosA=2sinCcosC,

i^sinC=2sinCcosC,因CE(0,TT),所以s出。＞0,

,,1,__,,,TT,.7T

故cosC=],因CE(O,TT),故c=§,填]

【點(diǎn)睛】在解三角形中，假如題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余

弦定理把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.

15.過拋物線y2=2p式的焦點(diǎn)尸的直線!與拋物線分別交于第一、四象限內(nèi)的4B兩點(diǎn)，分別以

線段4F、BF的中點(diǎn)為圓心，且均與y軸相切的兩圓的半徑為心、々.若廠1：上=13則直線珀勺傾

斜角為.

.…■27r

【答案】—

【解析】

【分析】

過4B作準(zhǔn)線乂=-1的垂線，垂足分別D,E,過4作BE的垂線，垂足為S.利用拋物線的幾何性質(zhì)

171

可以得到力工BF=BE,在直角梯形中可求BS=從而可求得乙4BS=§,由后者得到

直線的傾斜角.

由題設(shè)有AF：BF=1:3,設(shè)AF=無，BF=3x,過作準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足分別D,E,過A作

BE的垂線，垂足為S.

則4。=x,BE=3x,故BS=2.x,

所以COS〃BS=F=[,而乙4/〃0口，所以乙4BS=￡

4%2\2/3

27r27r

故直線珀勺傾斜角為臺.填g.

【點(diǎn)睛】一般地，圓錐曲線中與焦點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題可以考慮用圓錐曲線的幾何性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,

有兩個(gè)轉(zhuǎn)化的角度：（1）利用圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化為與另一個(gè)焦點(diǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)問題；（2）利

用圓錐曲線的統(tǒng)肯定義把問題轉(zhuǎn)化為與曲線上的動點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離問題.

16.已知平面a上放置棱長為2的正四面體4BCD,若該四面體繞棱BC旋轉(zhuǎn)，使。點(diǎn)到平面a的距

離為1,如圖所示.則點(diǎn)4到平面a的距離等于.

【答案】|

【解析】

【分析】

4D和4。在平面a內(nèi)的射影構(gòu)成直角梯形，而且射影的連線過BC的中點(diǎn)，在該直角梯形中，通

過解三角形的方法可求出A到平面a的距離.

【詳解】過4。作平面a的垂線，垂足分別為F萬，連接EF,則EF過BC中點(diǎn)S,

如圖所示，在直角梯形中，AD=2fAS=DS=^3fDE=l.

…l.3+3-41

所以SE=M，tan^DSE=—,而COSNASD=------————所以

22xq3x{33

2^+y5歷

tanZ.ASD=2也，因止匕tan（乙4SD+乙4SD）=---------==-----

1-2722

…谷55J3

所以ta九乙4SF=”一,故s加乙4SF=可后=

所以4尸=ASsinZ-ASF=

【點(diǎn)睛】空間中點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算，應(yīng)當(dāng)通過作出垂足把距離放置在可解的平面圖形中

計(jì)算.留意在平面圖形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）來求線段的長度、

面積等.

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.己知各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)的和為S”若。8=15,且％,。2,53成等比數(shù)歹！J.

（I）求數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式與先;

13

（II）設(shè)腦=不工^,數(shù)列｛九｝的前。項(xiàng)的和為7”，求證：T<~.

J九i-4九n4

2

【答案】（I）an=2n-l,Sn=n；（II）見解析

【解析】

【分析】

（I）依據(jù)題設(shè)條件得到關(guān)于旬〃的兩個(gè)方程，求出它們后可得與及片.

3

（II）利用裂項(xiàng)相消法可求〃，由不等式的性質(zhì)可得配<]

【詳解】（I）設(shè)等差數(shù)列｛冊｝的公差為d,則名=%+7d=15.

由%,%S3成等比數(shù)列知零=即（%+弓產(chǎn)=旬（3%+3d）=3%（旬+d）.

所以(d-2al)(%+&)=()因@1+d=。240,于是d二2%，解得%=1,d=2,

cy八九(1+2九—1)2

Q九二2n—1,S=-----------=n2.

n2

,11ip1]

⑴）因而短2bln+2/

所以7九=々+^2+…+%

1/111111111\

=—11——I———I———H———F...H——----1

213243546nn-1-2/

=始-<I.所以原不等式成立.

2\2n+1714-2/4

【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組

求和法；假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；假如通項(xiàng)可以拆成一個(gè)

數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；假如通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.

18.已知四棱錐P-4BCD,BD1AB,/.BAD=60°,ABCD為等邊三角形，E為PD的中點(diǎn).

（I）證明：CE〃平面P4B；

（II）若AP4D為等腰三角形，PALPD,且40=08,求二面角的余弦值.

【答案】(I)見解析；(II)J

7

【解析】

【分析】

(I)取AD的中點(diǎn)F,連接EF,貝UEF〃PA,從而得到EF〃平面PAB.在四邊形ABCD中，可證

AB//CF,從而CF〃平面P4B,因此平面P4B〃平面CEF,故可CE〃得平面P4B.

(口)連接BF,作BG14D于G點(diǎn)，作GH14P于H點(diǎn)，連接BH,可證/BHG為二面角B-PA-D的

平面角，在RtABGH中，cosZ-BHG=,從而可得二面角的余弦值.

HB7

【詳解】(I)取4。的中點(diǎn)尸,連接EF,則即〃P4

又ERt平面P4B,P4u平面24B

所以EF〃平面P4B.

連接CF,由乙4DB=30。，Z.CDB=60°,可知

〃DC=90。，且CD=BD=我￡>尸，貝!JNDFC=60。，所以4B〃CF,

又CF<t平面P4B,ABu平面P4B

所以CF〃平面P4B,而EFnCF=F,所以平面P4B〃平面CEF.

又因?yàn)镃Eu平面CEF,所以CE〃平面P4B.

(II)連接BF,因?yàn)锳PA。為等腰直角三角形，貝|PF=|4D.

而8F=且4D=隹尸8,所以PF1BF.

又PF1ZD,ADctBF=F,所以PF1平面ABCD,

而PFu平面PAD,所以平面4PD_L平面4BCD,

作BG_L4D于G點(diǎn)，作GH14P于“點(diǎn)，連接BH,

因平面4PDCI平面4BCD=AD,BGu平面4BCD,所以BG_L平面APD.

又APu平面APD,所以BG_L4P,

因BGcGH=G,貝U4PJ.平面BGH,BHu平面BGH,所以BH14P.

所以NBHG為二面角B-P4-。的平面角.

J2J3

不妨設(shè)AD=2a,則在RtABG”中，HG=LQ,BG=U,

42

所以所以COSZ_BHG=———

4HB7

所以二面角B—P4-D的余弦值為L.

7

【點(diǎn)睛】線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與己知直線平行的直線，找線的方法是平

行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個(gè)方法的關(guān)鍵是構(gòu)造過已知直

線的平面，證明該平面與已知平面平行.空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角

的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)

算.

19.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，確定盤活貧困村的各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展要素，實(shí)施了產(chǎn)業(yè)、創(chuàng)業(yè)、

就業(yè)“三業(yè)并舉”工程.在實(shí)施過程中，引導(dǎo)某貧困村農(nóng)戶因地制宜開展種植某經(jīng)濟(jì)作物.該

類經(jīng)濟(jì)作物的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標(biāo)值

為k,其質(zhì)量指標(biāo)的等級劃分如表：

質(zhì)量指標(biāo)值k產(chǎn)品等級

fc>90優(yōu)秀

80<fc<90良好

75</c<80合格

k<75不合格

為了解該類經(jīng)濟(jì)作物在當(dāng)?shù)氐姆N植效益，當(dāng)?shù)匾N了甲、乙兩個(gè)品種.并隨機(jī)抽取了甲、乙兩

不品種的各10000件產(chǎn)品，測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值頻率分布

直方圖（圖甲和圖乙）.

(I)若將頻率視為概率，從乙品種產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記“抽出乙品種產(chǎn)品中至

少1件優(yōu)等品”為事務(wù)4求事務(wù)4發(fā)生的概率P(Q;(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后3位)

(II)若甲、乙兩個(gè)品種的銷售利潤率y與質(zhì)量指標(biāo)值k滿意下表:

質(zhì)量指標(biāo)值&k>90804k<90754k<80々<75

銷售利潤率y3t5t2t2-1

11

其中〈試分析，從長期來看，種植甲、乙哪個(gè)品種平均利潤率較大？

64

【答案】(I)P(4)70.997；(II)見解析

【解析】

【分析】

(I)先依據(jù)頻率分布直方圖得到“從乙品種產(chǎn)品中抽取一件為優(yōu)等品”的概率，再利用二項(xiàng)

分布可求P(4).

(ID依據(jù)甲乙的頻率分布直方圖得到各自的利潤率的分布列，求出利潤率的數(shù)學(xué)期望后可

比較兩者的平均利潤率誰較大.

【詳解】(I)設(shè)“從乙品種產(chǎn)品中抽取一件為優(yōu)等品”的概率為P,則依據(jù)頻率分布直方圖可

得P=(0.03+0.08+0.04+0.02)x5=0.85,

則P(4)=1-C|(1-P)3=1-0.153?0.997

(ID由頻率分布直方圖可得，甲品種產(chǎn)品的利潤率的分布列為

y3t5t2t2

p0.20.70.1

E(y)甲=0.2x3t+0.7x5t2+0.1xt2=3.6t2+0.6t

乙品種產(chǎn)品的利潤率的分布列為

y3t5產(chǎn)t2-t

p0.30.550.10.05

E(y)乙=0.3X3t+0.55x5t2+0.1x產(chǎn)+o,O5(-t)=2.85tz+0.85t

E(y)甲一爪/乙=3.6t2+0.6t-(2.85t2+0.85t)=0.75t2-0.25t=0.25t(3t-l)

11

由于所以E(y)甲—E(y)乙＜0,即E(y)甲＜E(y)乙.

64

故種植乙品種的平均利潤率較大.

頻率

【點(diǎn)睛】頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1,留意直方圖中，各矩形的高是靠，在

組距

計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí)，留意利用常見的概率分布列來簡化計(jì)算(如二項(xiàng)分布、超幾

何分布等).

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，有一動點(diǎn)P到直線工=?的距離和到點(diǎn)(避,0)的距離比值是學(xué).

(I)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(II)已知點(diǎn)做2,0),若P不在久軸上，過點(diǎn)。作線段4P的垂線咬曲線C于點(diǎn)D,E,求黑｛的取

值范圍.

2

r2Z1\

【答案】(I)-+y=l；(II)，，+8)

【解析】

【分析】

(I)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為?y),依據(jù)其幾何性質(zhì)得到相應(yīng)的坐標(biāo)方程，化簡后可得曲線C的方程.

(II)設(shè)直線4P的方程為y=k(x-2),則直線DE的方程為y=-},聯(lián)立直線方程和橢圓方程,

利用韋達(dá)定理求出P、D的坐標(biāo)后得到第=唱受.最終利用換元法可求該函數(shù)的值域.

網(wǎng)幅+4

x4%

【詳解】(I)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為8y),依據(jù)題意得"飛1=紅，

口-病2+y2

x2

化簡得曲線C的方程為：-+y2=l.

4J

(II)因?yàn)镻不在%軸上，故直線AP的斜率不為0,設(shè)直線4P的方程為丫=々(第-2),則直線DE的

方程為y=一：%.

k

y=k(x-2)

由《+丫2=i得(1+4fc2)x2-16fc2x+16k2—4=0.

16k28k2-2

設(shè)POo，%)，所以2+%=--——,即％o=--——.

4k2+14k2+1

____________________________4+1

故14P=J(%—2)2+(y°—0)2=+1)30—2)2.得14Pl=JL_.

4k2+1

設(shè)。(勺,力)，由橢圓對稱性可知|DE|=2|0D|.

1

V二-x

Jk4k24

由2解得玉會,

Av7

—+/=1

【4J

忠’所以阿二4黑

|O0=M+4=2

4k2+1

設(shè)1=M+4,則/=產(chǎn)一4，t＞2.

2

品IDEI=4(t-4)+1〒4t2--15幻,?令、人“，、=4tT2-15。,＞2)、，

則g'⑷=江乎＞。.

所以9(。是一個(gè)增函數(shù)，所以四■二._->4x4-15=l

\AP\t22

綜上，儒的取值范圍是g+8)

【點(diǎn)睛】求動點(diǎn)的軌跡方程，一般有如下幾種方法：①幾何法：看動點(diǎn)是否滿意一些幾何性

質(zhì)，如圓錐曲線的定義等；②動點(diǎn)轉(zhuǎn)移：設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，其余的點(diǎn)可以前者來表示，代入

后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點(diǎn)軌跡方程；③參數(shù)法：動點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都可以用某

一個(gè)參數(shù)來表示，消去該參數(shù)即可動點(diǎn)的軌跡方程.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般可通

過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于久或y的一元二次方程，利用直線過已知點(diǎn)(在橢圓上)可求直

線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(用斜率表示)，再由距離公式得到目標(biāo)函數(shù)后利用換元法可求函

數(shù)的值域.

21.己知函數(shù)/'(XiMax/x(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a€R,beR)在點(diǎn)(1/(D)處的切線方程

是2e^-y-e=0.

(I)求函數(shù)/■(乃的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)函數(shù)9(%)=型0--mx-lwc,若g(x)21在久C(0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范

x

圍.

【答案】(I)遞減區(qū)間為(一0-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+8);(H)(-8,2]

【解析】

【分析】

(I)依據(jù)切線方程得到[源:北，解出。力的值后利用導(dǎo)數(shù)可得外幻的單調(diào)區(qū)間.

IYIX+1

(II)g(x)>1在。+8)上恒成立等價(jià)于m<e2x-------在。+8)上恒成立.利用導(dǎo)數(shù)可求

X

Inx+1

M=e2x———的最小值.我們也可以利用函數(shù)不等式t>Int+1得到燼2工>Inx+2x+1，從

X

IYIX+1

而變形后可得八(町=的最小值.兩種方法都可以得到m的取值范圍.

X

【詳解】(I)由條件可知二:e，對函數(shù)fO)=a-x求導(dǎo)得f'(x)=a(l+bx)產(chǎn),

于是3)9(馨；F=2e解得Q=b=1.

所以=xexy/(x)=(工+l)e',令f(x)=0得％=—1，

于是當(dāng)TC(一8,-1)時(shí)，/(X)<0，函數(shù)f(X)單調(diào)遞減;

當(dāng)％6(-1,+8)時(shí)，/(%)>0，函數(shù)八式)單調(diào)遞增.

故函數(shù)fO)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+8)

(II)由(I)知g(%)=疣2%—mx—hix,

ITIX41

解法1：要使g(x)>1(0,+8)上恒成立，等價(jià)于m<e2z-------在(0,+8)上恒成立.

X

Inx-4-1

令h(x)=e2x------(%>0),則只需mW[山乃猛而即可.

X

九0)=2"e+In，令”(為=2第2G〃+lnx(x>0),

2x

則“'(化)=4(/+X)e+->0,所以“(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又"6)=[一2"2V0,H(l)=2e2>0，所以"(幻有唯一的零點(diǎn)O，且;V%<1,

”0)在(Ox。)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增,

Oy

0

因2;cje+lnx0=0>兩邊同時(shí)取自然對數(shù)，則有2通+必(2久°)+bix。="(一歷無0)，

即2%+Zn(2x0)=Zn(—Znx0)+(―，以0),

,1

構(gòu)造函數(shù)m(x)=尤+lnx{x>0),則m(x)=14-->0,

x

所以函數(shù)m(乃在。+8)上單調(diào)遞增，

,2%1

因7n(2%o)=m(一)第0),所以2勺二一比久°,即e=—,

%o

?IIIXQ+1i_2x0+1

所以九(%)Z九(久0)=e0—.......=——―--------=2,即譏=2,

通工0久o

于是實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-8,2].

ll,UC+1

解法2：要使gO)>1在。+8)上恒成立，等價(jià)于m<e2x------在。+8)上恒成立.

x

,1t—1

先證明]之女t+1,令Q(t)=t-仇>0),則Q(￡)=1-]=—^.

于是當(dāng)CE(0,1)時(shí)，Q‘(t)vO，Q⑷單調(diào)遞減；當(dāng)《(1,+8