高中三年級上學期數(shù)學《離散型隨機變量的分布列》(教學設計)

7.2.2離散型隨機變量的分布列（教學設計）【學習目標】1.能知道取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念2.會求出簡單的離散型隨機變量的分布列并能記住分布列的性質3.能知道兩點分布及其導出過程，并能簡單的運用 【自主學習】知識點一離散型隨機變量的分布列(1)所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．(2)離散型隨機變量X可能的取值為x1，x2，…，xi，…，xn，則它的概率分布列用表格可表示為Xx1x2…xnPp1p2…pn用等式可表示為P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，離散型隨機變量分布列的變化情況可以用圖象來表示．知識點二兩點分布隨機變量X的分布列是：X10Ppq其中0<p<1，q＝1－p，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)p的兩點分布．稱p＝P(X＝1)為成功概率．

【合作探究】探究一求離散型隨機變量的分布列【例1】從裝有除顏色外完全相同的6個白球，4個黑球和2個黃球的箱中隨機地取出兩個球，規(guī)定每取出1個黑球贏2元，而每取出1個白球輸1元，取出黃球無輸贏．(1)以X表示贏得的錢數(shù)，隨機變量X可以取哪些值？求X的分布列；(2)求出贏錢(即X>0時)的概率．【解】(1)從箱中取兩個球的情形有以下6種：{2個白球}，{1個白球，1個黃球}，{1個白球，1個黑球}，{2個黃球}，{1個黑球，1個黃球}，{2個黑球}．當取到2個白球時，隨機變量X＝－2；當取到1個白球，1個黃球時，隨機變量X＝－1；當取到1個白球，1個黑球時，隨機變量X＝1；當取到2個黃球時，隨機變量X＝0；當取到1個黑球，1個黃球時，隨機變量X＝2；當取到2個黑球時，隨機變量X＝4.所以隨機變量X的可能取值為－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝26212＝522，P(X＝－1)＝112212＝211，P(X＝0)＝22212＝166，P(X＝1)＝114212＝411，P(X＝2)＝112212＝433，P(X＝4)＝24212＝111.所以X的分布列如下：X－2－10124P522211166411433111(2)P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝411＋433＋111＝1933.所以贏錢的概率為1933.歸納總結：解題的關鍵有兩點：一是依據(jù)試驗的所有可能結果寫出隨機變量的可能取值；二是依據(jù)隨機變量取值所對應的結果求出隨機變量取每一個值的概率.另外，利用隨機變量分布列中各個概率和為1對所求分布列進行驗證也會防止出錯【練習1】一袋中裝有4只同樣大小的球，編號分別為1,2,3,4，現(xiàn)從中隨機取出2個球，以X表示取出球的最大號碼，則X的分布列為X234P161312.解析：由題意隨機變量X所有可能取值為2,3,4.且P(X＝2)＝124＝16，P(X＝3)＝1224＝13，P(X＝4)＝1324＝12.因此X的分布列為X234P161312探究二分布列的性質【例2】設隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝ai(i＝1,2,3,4)，求：(1)P({X＝1}∪{X＝3})；(2).解題中所給的分布列為X1234Pa2a3a4a由離散型隨機變量分布列的性質得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝110.(1)P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝110＋310＝25.(2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110＋210＝310.歸納總結：本題是一道離散型隨機變量的分布列的計算與離散型隨機變量的分布列的性質的應用綜合起來的好題.主要先由離散型隨機變量的分布列的性質求出a的值，然后寫出其相應的離散型隨機變量的分布列，再利用離散型隨機變量的分布列求出其相應的概率.本題中離散型隨機變量取不同的值時所表示的隨機事件彼此互斥，故由概率的加法公式求出其概率【練習2】已知離散型隨機變量ξ的分布列如下：ξ12…nPk2k…2n－1·k求k的值．解：因為1＝k＋2k＋…＋2n－1k＝k(1＋2＋…＋2n－1)＝k·1－2n1－2＝(2n－1)k，所以k＝12n－1.探究三兩點分布【例3】袋內(nèi)有10個白球，5個紅球，從中摸出2個球，記X＝0，兩球全紅；1，兩球非全紅.)求X的分布列.解由題設可知X服從兩點分布P(X＝0)＝25215＝221；P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1921.∴X的分布列為X01P2211921歸納總結：兩步法判斷一個分布是否為兩點分布(1)看取值：隨機變量只取兩個值：0和1.(2)驗概率：檢驗P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立.如果一個分布滿足以上兩點，則該分布是兩點分布，否則不是兩點分布.【練習3】籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分.已知某運動員罰球命中的概率為0.85，求他一次罰球得分的分布列.解由題意，結合兩點分布的特征可知，所求分布列為X01P0.150.85探究四分布列與統(tǒng)計知識的綜合應用【例4】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)，求T的分布列．【思路分析】每一個小矩形的面積即相應的概率．【解】(1)當X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000，當X∈[130,150]時，T＝500×130＝65000.所以T＝800X－39000，100≤X<130，65000，130≤X≤150.)(2)由(1)知利潤T不少于57000元時120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4歸納總結：【練習4】某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位：克)，重量的分組區(qū)間為(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設Y為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列．解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×(0.05×5