新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)平面向量（選填題10種考法）（解析版）

專(zhuān)題03平面向量（選填題10種考法）

考法解讀

a+b=(xi+x2,a-b=(x\—x2,yi-yi)

坐

|=皆+".

標(biāo)=(An,2yi)|a

運(yùn)

算已知兩個(gè)非零向量1=(*1，y。，b=(x2,yi),夕為［與b的夾角，則

公

①=期+貫②?

式Ia|aU=xix2+/i^

__—?—?

③a_Lb0x1X2=0@cos人啊

W+j彳&+爐

⑤a//bOx^y'：—x^i=0

①a〃b=a=Jib（AW0）是判斷兩個(gè)向量共線(xiàn)的主要依據(jù).

注意特定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.

②當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(xiàn)，

一

共線(xiàn)向量,

即』，B,C三點(diǎn)共線(xiàn)o石，就共線(xiàn).

平

-③若二與不共線(xiàn)且;則;.=〃=

面bo.

向匚?OA=jidB+/iOC（A,〃為實(shí)數(shù)），若4,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，則計(jì)“=1.

量

苴應(yīng)注當(dāng)已知向量的模和夾角。時(shí)，可利用定義法求解，適

"基底伍一用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題

數(shù)

量

--坐標(biāo)法—當(dāng)平面圖形易建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解.

積

Ln面注一利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法

'兒網(wǎng)法一則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解

三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂

點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.

＜E+無(wú)+左=0=0是的重心.

三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)

三的連線(xiàn)與對(duì)邊垂直

角

形8?方=麗?無(wú)=反?萬(wàn)。。是的垂心.

的｛

四三角形三條內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓

心｛的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r

a應(yīng)+b麗+c友=0=。是"BC的內(nèi)心.

三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是

｛三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等

|次卜|麗H女I=o是“BC的外心.

典例剖析

考法一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考法六平面向量與四心

考法二平面向量的基本定理考法七平面向量巧建坐標(biāo)

考法三平面向量的數(shù)量積考法八平面向量與奔馳定理

考法四平面向量的共線(xiàn)定理考法九平面向量中的新定義

考法五平面向量中的取值范圍考點(diǎn)十平面向量與其他知識(shí)綜合

考法一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例1】（2023?湖南?校聯(lián)考二模）（多選）已知向量。=（2,-1）,”〃入舊=2/|,c=（l,2）,則（）

A.a_LcB.|a|=|c|C.Z?=（4,—2）D.b=a+c

【答案】AB

【解析】因?yàn)樾　?（2,-1）-（1,2）=0,所以a'c，則A正確；口=口=石，則B正確；

因?yàn)椤?人所以設(shè)"=%=刈2,-1）=（2%-力，因?yàn)殂?2卜|=2右，

所以42田2+（_田2=2式,解得4=±2,所以6=（4,-2）或匕=（-4,2）,故C錯(cuò)誤；

a+c=（3,l）wb,故D錯(cuò)誤.故選：AB

【變式】

1.（2023?廣東廣州?廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量d=（l,w）,6=（2,Y）,則下列說(shuō)法正確

的是（）

A.+=y/10,貝I]“2=5

B.若〃b,貝!J帆二一2

C.若a1b，則m=-l

D.若根=1,則向量的夾角為銳角

【答案】B

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榱?(2,-4),貝M+6=(3,加-4),

所以M+￡|=,9+(〃L4)2=M,解得根=5或m=3,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?〃/7,所以2根=-4,解得m=-2,故B正確；

.r11

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)閍_Z.b，所以a-/?=2-4根=0，解得加=］，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)機(jī)=1時(shí)，o=(l,l),a-i>=2—4=—2<0,

由選項(xiàng)B可知：a,b不共線(xiàn)，所以向量。力的夾角為鈍角，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

2(2023?廣東廣州?統(tǒng)考三模)(多選)已知向量a=(1,2),6=(-2,1),則()

A.(a-b)_L(“+b)B.(a-b)ll(a+b)

C.\a-b\=\a+b\D.6-a在a上的投影向量是a

【答案】AC

【解析】因?yàn)閍=(3,1),a+b=(-l,3),

所以(a-加?(a+b)=3x(-l)+lx3=0,(a-b)_L(a+b),故A正確；

因?yàn)?x3-lx(T)=10w0,故B錯(cuò)誤；

|a-/?|=A/10,|o+Z?|=V10,故C正確；

因?yàn)閖=(-3,-1)在°上的投影向量是鋁產(chǎn)比=?曦=-。，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

3.(2023?廣西南寧?南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知向量&=。,根)，6=(2,-4),則下列說(shuō)法正確的

是()

A.若林+則根=5B.若。回匕，貝”"?=-2

C.若，貝=TD.若m=1,則向量〃，6的夾角為鈍角

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,因?yàn)閍=(l,m)，Z?=(2,-4),所以5+，=(3,機(jī)-4),\a+b|=^9+(m-4)2=回,解得〃z=5

或機(jī)=3,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)椤ɑ??,所以=解得根=-2,故B正確；

rLX

對(duì)于C,因?yàn)閍16，所以a為=2-4m=0，解得機(jī)=5,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)〃?=1時(shí)，a=(1,1),1z?=2-4=-2<0，又因?yàn)榇藭r(shí)a，〃不共線(xiàn)，所以向量a，b的夾角為鈍

角，故D正確.故選：BD.

考法二平面向量的基本定理

【例2-1](2023?安徽?校聯(lián)考二模)如圖，在ABC中，點(diǎn)。為線(xiàn)段8C的中點(diǎn)，點(diǎn)、E,P分別是線(xiàn)段AO上

靠近。，A的三等分點(diǎn)，則A〃=()

114

A.-BE--CFB.--BE-CFC.-BE-CFD.——BE-CF

9

【答案】C

1133

【解析】BE=BD+DE=BD--AD,則5A。=①;

233

CF=CD+DF=CD--AD,貝l|AD=5。-5cp②；

333

①+②兩式相加，-AD=--CF--BE,BPAD=-BE-CF,

故選：C.

【例2-2](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))在平行四邊形A5CD中，點(diǎn)E滿(mǎn)足m=45石,

CE=ZBA+//GR),貝1」丸4=()

333

A.——B.一一C.—D.1

16816

【答案】A

【解析】因?yàn)?O=43E，貝一CB=4(CE-C8),

131313

整理得CE=—CD+—C5=—5A——BC,可得力=—,〃=——,

444444

故選：A.

【變式】

1（2023?江蘇徐州彳余州市第七中學(xué)?？家荒＃┰谄叫兴倪呅蜛8CD中，￡\尸分別在邊AD、C。上，AE=3ED,

￡)/=27cA/與BE相交于點(diǎn)G,記AB=a,A￡)=6,則AG=()

B.%+1

1111

D,L+%

1111

【答案】D

【解析】過(guò)點(diǎn)尸作—V平行于3C,交BE于點(diǎn)、M,

1133

因?yàn)镈F=FC,則尸為。。的中點(diǎn)，所以腦VA￡且MN=-A^=—x—AO=—AO,

2248

35

因?yàn)镹F=4),所以MF=NF—MN=AD——AD=-AD

88f

_An

AEAGAEA^U6

由AEGFMG可得:------iryTKA——=------------=—

FMFGFGFM5^5

8

因?yàn)锳G=BA/=白（AO+D產(chǎn)）=白（9+；43）=得48+白包，

所以AG=L+9b,

故選：D.

2.（2023?海南?？?海南華僑中學(xué)校考二模）如圖，在“ABC中，E是的中點(diǎn)，BD=2DC,FC=^AF,EF

與AD交于點(diǎn)"，則40=（）

3333?834

A.-AB+-ACB.—AB+—ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

【答案】A

1?

【解析】在中，設(shè)由3O=2OC，AD=-AB+-AC,故

AM=AAD=-AAB+-AAC.

33

1A9R

又E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)C=-AF,所以AB=2AE,AC=§AF,所以AM==+52Ab.

由點(diǎn)b三點(diǎn)共線(xiàn)，可得g+^=l,解得幾=2，

33

故AM=—A5+—AC.

147

故選：A.

3.（2023?湖南婁底?婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯

首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線(xiàn)段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一

部分與這部分之比，黃金分割比為止二L如圖，在矩形ABCD中，AC與3D相交于點(diǎn)。，

2

BF.LAC,DH.LAC,AE.LBD,CG±BD,且點(diǎn)E為線(xiàn)段30的黃金分割點(diǎn)，貝!）3尸=（）

5-A/5

B.BG

10

C.仆+蔻BG昔BA笠BG

D.

【答案】D

【解析】由題意得顯然BE=DG,BO^OD^-BD,

22

同理有4斤=好匚4。，r?G=6匚。。，

22

因?yàn)锽FuBA+AFuBA+^^AO

2

=BA+^^-（BO-BA）=^^-BA+^:^-BO,

2''22

所以3尸=士=5&1+好BG.

25

故選：D

考法三平面向量的數(shù)量積

【例3-1］（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量〃,1滿(mǎn)足I。|=1,|6|=石,|〃一2辦|=3,則〃二（

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】團(tuán)1〃一2們2=|〃『一4〃.》+4忖，

又團(tuán)|=1,|。|二6"2b|=3,

回9=1—4〃2+4x3=13—4〃2，

回〃二1

故選：C.

【例3-2］（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）正方形ABC。的邊長(zhǎng)是2,￡是4呂的中點(diǎn)，則EC￡O=

A.y[5B.3C.2A/5D.5

【答案】B

,、lUimiluumiuunnum

【解析】方法一：以｛AB,A。｝為基底向量，可知kq=k4=2,AB.AO=0,

uunuuruuniuunuumuunuirumniuunuum

貝UEC=EB+BC=-AB+AD,ED=EA+AD=一一AB+AD,

,22

uunuum（iuunWSL\（iuunuumAiutm2uum2

所以ECE￡）=/A5+AO.匕人呂+人。=-1A5+AD=—1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

ULIUUUU1

則￡（l,0）,C（2,2）,D（0,2）,可得EC=（1,2）,即=（一1,2）,

UUUULI1U

所以ECm=-l+4=3;

方法三：由題意可得：ED=EC=ECD=2,

2322

rip+rp_r)c5+5.43

在ACDE中，由余弦定理可得cosZDEC=UE「廣=*陌=f，

ZDE-CE2x\/5x，53

uufluunluuniiuuai3

所以石?！?)=陷]皎眄/0石0="*6*《=3.

故選：B.

【變式】

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,E分別是8C,AC上的點(diǎn)，且2。=京。,

2

CE=-CA,則AZ>.3^=()

2222

A.2B.-2C.—D.

9~9

【答案】D

1。[

【解析】ADABBDABACABABAC

=+=+3-(、-,}=3-3+-,

BE=BA+AE=-AB+-AC

3f

22112

國(guó)AD?BE=|AB+|ACJ-AB+|AC^|——AB——ABAC+-AC

399

2c21.11c222

x22—x2x2x——i-—x22=---

39299

故選：D.

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量入方滿(mǎn)足,叫=日卜++|2"可，則忖=.

【答案】目

【解析】法一：因?yàn)?++忸-小即卜+6『=（2"-耳

貝IJ+2a-〃+7=4?2-^a-b+b'整理得/-2a-b=0，

又因?yàn)椴芬蝗f(wàn)卜君，即

則＞2荽+1=九3,所以1*5

rrrrrrrrr

法二：設(shè)c=，―/?,則卜==c+2Z?,2a-J=2c+Z?,

由題意可得：（c+26）=（2c+Z?）,則12+4；：+4,2=4；2+4；.力+，2,

整理得：；2=1，即M='=若.

故答案為：6

3.（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）在一ABC中，點(diǎn)Z）在邊AB上，CO平分/ACB,若刊=1,畫(huà)=2,ZACB=60°,

貝!IC。28=.

【答案】1

【解析】延長(zhǎng)C4至點(diǎn)p，使CF=CB=2,連接防，

延長(zhǎng)8交即于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作A3的平行線(xiàn)交C尸于H.

CD平分/ACB,CF=CB,;.E為防的中點(diǎn)，得AH=HF,

12

CB=2CA,:.AH=-CA,可得CD=±CE,

23

CDAB=-CE(CB--CF)=-CECB--CECF.

3233

CB=2,ZBCD=30°,\CE=0,

nf^CECB=CECF=2x73x—=3,

2

CDAB=-x3=\.

3

故答案為：1.

考法四平面向量的共線(xiàn)定理

UUQI/Fr

【例4-1】（2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模）已知.、b為不共線(xiàn)的向量，AB=a+5b，BC=-2a+Sb,CD=3（a-b

則（）

A.AB,C三點(diǎn)共線(xiàn)B.AC,。三點(diǎn)共線(xiàn)

C.AB,。三點(diǎn)共線(xiàn)D.B,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)

【答案】C

【解析】因?yàn)閍、b為不共線(xiàn)的向量，所以a、〃可以作為一組基底，

對(duì)于A：AB=a+5b，BC=-2a+8b，若存在實(shí)數(shù)/使得AB=4C，

則a+58=《-2a+8b）,所以］方程組無(wú)解，所以A5與8c不共線(xiàn)，故A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)，即A

錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)锳2=a+5b，BC=-2a+8Z?>所以AC=42+20=￡+5人+卜2a+8b）=-a+13b,

同理可以說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)t,使得AC=fC￡>，即AC與CO不共線(xiàn)，故A、C、D三點(diǎn)不共線(xiàn)，即B錯(cuò)誤;

uum/Trx

對(duì)于C：因?yàn)锽C=-2a+8），CD=3^a-bj,

所以BD=BC+CD=~~2a+86+3（a-6）=a+5b,

又AB=a+5b=BD，所以A2//3D,故A、B、。三點(diǎn)共線(xiàn)，即C正確；

對(duì)于D：BC=-2a+8b，CD=3\a-b^,

同理可以說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)f,使得BC=9。，即BC與CO不共線(xiàn)，故8、C、。三點(diǎn)不共線(xiàn)，即D錯(cuò)誤;

故選：C

【例4-2】（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測(cè)）在ABC中35=：改,加'=g（3A+3C）,點(diǎn)尸為AE與BF的交

點(diǎn)，AP=A,AB+pAC,則％-〃=()

11

A.0B.-C.—

42

【答案】B

【解析】因?yàn)锽/=g(8A+BC),所以尸為AC中點(diǎn),

2,P,尸三點(diǎn)共線(xiàn)，故可設(shè)=尸，^AP-AB=k[AF-AB),

^^^AP=kAF+(l-k)AB=(l-k)AB+^kAC,

因?yàn)?E=」EC,所以AE-AB=LAC-LAE,即4石='43+243,

22233

A,P,E三點(diǎn)共線(xiàn)，

可得AP=mAE=AC+gAB]=mAC+mAB,

2mi1(1

——=l-kk=—

37

所以1,解得;，

m1.3

—=—km=—

〔32〔4

11-111

p]*^AP=-AB+-AC,則4=5，〃=Z，2-//=-.

故選：B

【變式】

1.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在ABC中，M是AC邊上一點(diǎn)，且AM=g〃CN是5M上一點(diǎn)，若

AN^AC+mBC,則實(shí)數(shù)加的值為（）

1111

A.—B.—C.-D.—

3663

【答案】D

【解析】由=得出AC=3AM，

由AN=^AC+mBC得AN=-^AC+rn^AC-ABj=+~

=（g+3相JAM-mAB,

因?yàn)槭螻,M三點(diǎn)共線(xiàn)，所以（；+3“|+（-m）=1,解得加=；.

故選：D.

2.（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）如圖，在一ABC中，M為線(xiàn)段5c的中點(diǎn)，G為線(xiàn)段AM上

一點(diǎn)，AG=2GM，過(guò)點(diǎn)G的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)A5,AC于尸，。兩點(diǎn)，AB=xAP（x>0）,AC=yAQ（y>0）f

41

則提十的的最小值為（）.

A

44

【答案】B

【解析】因?yàn)镸為線(xiàn)段3C的中點(diǎn)，所以AM=g(AB+AC),又因?yàn)锳G=2GM，所以

AG=|AM=|(AB+AC),

又AB=xAP(尤>0),AC=yAQ(y>0),所以AG=1AP+。AQ,

又尸,G,。三點(diǎn)共線(xiàn)，所以：+1=1,即x+y=3,

”【、1411.41、「/i、ix4(y+1)~\1__[_x4(y+l)9

所以一+--=-(-+—-)x+(y+l)>-4+一；+△—^+1>-(z5+2-x

xy+14Xy+14[_y+1xJ4yy+1x4

當(dāng)且僅當(dāng)上7=也型，即x=q,y=J時(shí)取等號(hào).

y+1x33

3.（2023?四川成都模擬預(yù)測(cè)）er02是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知48=20+加2,CB=ei+3e2,

CD=2q—且三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)上=.

【答案】-8

【解析】依題意得，BC=-el-3e2,于是BD=BC+CD=_q_3e2+2e；_e2=e；—4e2,

由A,民。三點(diǎn)共線(xiàn)可知，存在;I,使得48=28。，即2q+姐=彳（《-402）,

12—%

由于e；,e；是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，貝U二,解得左=-8.

K——T'X.

故答案為：-8

考法五平面向量中的取值范圍

【例5-1】（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在邊長(zhǎng)為2的菱形A8CD中,

ZBAD=60°,AE=xAB+AD,xG[0,1],則。曰DC的最小值為（）

421

A.—2B.—C.—D.----

332

【答案】B

【解析】邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ZR4D=60°,如圖所示，

則|AB|=|AD|=2,ABAD=|AB|-|A￡>|-COSABAD=2x2x1=2,

1—x.—2—x

DE=AE-AD=xAB+——AD-AD=xAB+-------AD,DC=AB,

33

(—2—x\.2—2—x42[OY—4

DEDC=\xAB+——-AD\-AB=xAB'+——ADAB=Ax--------x=———，

I3J3333

由于xw[0,l],所以當(dāng)x=0時(shí)，DEQC有最小值

故選：B

【例5-2](2023?山東濰坊?昌樂(lè)二中?？寄M預(yù)測(cè))已知平面向量a、b、c滿(mǎn)足卜|=1，b-c=O,a-b=l，

a-c=-l>貝1]卜+1的最小值為()

A.1B.y/2C.2D.4

【答案】C

【解析】不失一般性，在平面直角坐標(biāo)系宜力中，設(shè)a=(l,0),b^(xl,y1),c=(9,%)，

因?yàn)椤ò?玉=1,a-c=x2=-l,b-c=x{x2+%%=%%—1=。，

22

所以，\b+c\=7(i-i)+(yi+y2)=1^+y2|=x+(=聞+本22小升亡=2,

當(dāng)且僅當(dāng)％=±i時(shí)，等號(hào)成立.

因此，|b+c|的最小值為2.故選：C.

【變式】

1.（2023?河南開(kāi)封?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）折扇又名"撒扇"、"紙扇"，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)?/p>

扇面的能折疊的扇子，如圖L其展開(kāi)幾何圖是如圖2的扇形AOB,其中ZAO5=120。，OC=2,。4=5,

點(diǎn)E在CO上，則的最小值是

【答案】q37

【解析】如下圖，EAEB^(EO+OA)■(EO+OB)=ECf+EO(OA+OB)+OAOB>

若尸為A8中點(diǎn)，且NAO3=120。，貝！IOA+OB=O廠，

貝I|EA.E8=22+EO.OP+5X5X]-J]=EO.OP-，，

要使其最小，只需EO,。尸共線(xiàn)，

止匕時(shí)，由圖知止匕時(shí)E4EB=2x5xcosl80——=一10——=———.

222

37

故答案為：

2.（2023?四川成都?校聯(lián)考二模）平面向量￡,b滿(mǎn)足|。|=|6|，且|a-3bl=1,則cos〈6,3b-a〉的最小值是

【答案】孚/g應(yīng)

【解析】由|〃-3萬(wàn)|=1兩邊平方得。2_6〃電+9片=].

-2

又因?yàn)閨a|=|b|,所以4巾=1°"T

6

22

1ZQI\公人218b—110tz—1|8|6|+上112瓜=當(dāng),當(dāng)

所以cos(b,3b-a)=b-(3b-a)_3b-a-b_\8|邸+1=

6

\b\-\3b-a\\b\6gl6\b\

且僅當(dāng)|回二手時(shí)取等號(hào),

所以cos〈。,3Z?-〃〉的最小值是名旦.

3

故答案為：當(dāng)

3.(2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知二ABC中，AB=AC=2j2,IAB+ABC^=2(2eR),AM=^MB,

，則|“尸|的取值范圍為（）

AP=sin2a?AB+cos2a?AC?ae:g

6311

404A/5

A.亍，亍B.

V17國(guó)4

C.D.

35

【答案】D

【解析】由卜3+23cLi=2（2eR）,結(jié)合向量加法法則知：A到8c的距離為2,

XAB=AC=2^2,貝113c=4,所以=3C?,故-ABC為等腰直角三角形,

由AP=sin2a.AB+cos2a.AC?則sin2a+cos2a=1,所以尸,民C共線(xiàn),

「兀兀13

又as—,則sin2a,cos2a￡1，R,若。，石為3c的兩個(gè)四等分點(diǎn)，N為BC中點(diǎn),如下圖示,

63

所以P在線(xiàn)段。石上運(yùn)動(dòng)，且4V=2,BD=1,BE=3,

174

由圖：若貝UMP//4V,止匕時(shí)3尸=—3N=—￡[l,3],

233

MF=A；V=22

故上述情況||mm|p易知ME=^1MP+(BE-BP)=J/；=可,

由圖知：P與E重合時(shí)，=ME=—,

IImax3

綜上,

故選：D

4.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知。的半徑為1,直線(xiàn)融與。相切于點(diǎn)A,直線(xiàn)尸B與。交于B,C

兩點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，若「。|=女，則PAPD的最大值為（）

A1+五?1+2正

22

C.1+72D.2+72

【答案】A

【解析】如圖所示，|OA|=1,|OP卜及，則由題意可知:NAPO=：,

由勾股定理可得1PH=NOP?-。1=1

TT

當(dāng)點(diǎn)A。位于直線(xiàn)尸。異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)ZOPC=a,0<a<-

4f

則：PAPD=lPA\-\PD\cos^a+^

=lx血cosacosa+—

I4

A（也7Z.

=V2cosa—cosa------sincr

=cos2a—smacosa

1+cos2a1.小

-----------------sin2a

22

a<

°-P則一k

IT

當(dāng)點(diǎn)AO位于直線(xiàn)PO同側(cè)時(shí)，設(shè)N。尸

4

則：PAPD=\pA\'\pD\c°s[-?]

=1x夜cosacos[a一

=V2cosa—coscrH-----sma

=cos2a+sinacosa

1+cosla1.-

--------------F—sin2a

22

1V2

=—i-----sin2a+升

22

0Wa<j則?2a+?<?

.?.當(dāng)2c+/=g時(shí)，PAP。有最大值匕e.

422

綜上可得，P4P。的最大值為匕包.

故選：A.

考法六平面向量與四心

【例6】（2023春?福建莆田?高一福建省仙游縣華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知。，N,/在aABC所在的平

面內(nèi)，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.若|OA|=|O@=|OC],則O是..ABC的外心

B.CB-IA=AC-IB=BA-IC=0,貝I/是ABC的內(nèi)心

C.PAPB=PBPC=PCPA,則尸是AABC的垂心

D.若NA+NB+N(j=G，則N是—ABC的重心

【答案】B

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若|。4卜|。@=|。4，即。到4尻C的距離相等，

根據(jù)外心的定義可知：。是-ABC的外心，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：^CBIA=AC-IB=BAIC=O>則CB_LZA,AC_LZB,54_L/C,

即/是三邊高線(xiàn)的交點(diǎn)，所以/是..ABC的垂心，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若PA，PB=PB-PC，

LUXutrutruuu,uiruun、uirutruir

貝｝]PA.PB-P8.PC=（PA_PC）-P8=CA.P8=O,即C4_LP3,

同理可得：PA±CB,PC±AB,由選項(xiàng)B可知：尸是..ABC的垂心，故C正確；

UUlULIUUUIUUUU1UUIU1

對(duì)于選項(xiàng)D：右NA+NB+NC=G，則NA+NB+NC=2ND+NC=a（。為AB的中點(diǎn)）,

即潴=-2湍，根據(jù)重心的性質(zhì)可知：N是重心，故D正確；

故選：B.

【變式】

1.（2023春?河南濮陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）點(diǎn)QG,尸為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有

|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+\AB[,GA+GB+GC=O,

（PA+PB）AB=（PB+PC）BC=（PC+PA）CA=O,貝。點(diǎn)O,G,尸分另i]為ABC的（）

A.垂心，重心，外心B.垂心，重心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

【答案】A

2222

【解析】^\OA\+\BC\=\OB\+\CA\,IT#|OA|2-|OB|2=|CA|：-|BC|2,

即（OA+0孫（04-02）=（C4+BC）.（C4-BC）,

貝！]（OA+OByBA=BA-（CA+CB）,

^（OA+OB-CA-CB）BA=Q

所以20c?54=0，則OC_LAB，同理可得OA_L2C，OB1AC-

即。是“ABC三邊上高的交點(diǎn)，則。為..ABC的垂心；

由G4+GB+GC=0,得GA+GB=-GC，

設(shè)AB的中點(diǎn)為M,貝！IGA+G3=2GM=_GC，即G,M,C三點(diǎn)共線(xiàn)，

所以G在ABC的中線(xiàn)CM上，同理可得G在.ABC的其余兩邊的中線(xiàn)上，

即G是,ABC三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)，故G為.ABC的重心；

由（PA+P3>A2=O,得2PM-A8=0，即PAf_L4B，

又M是A3的中點(diǎn)，所以P在A3的垂直平分線(xiàn)上，

同理可得，尸在3C,AC的垂直平分線(xiàn)上，

即尸是..ABC三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，故P是A5C的外心，

故選：A

（\

45AC

2.（2023春廣東珠海）（多選）在ABC所在平面內(nèi)，點(diǎn)滿(mǎn)足AP=41一r+—?，其中4?0,zo）,加,

㈤叫nn\AC\\）

neR,m^O,〃wO,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AP一定經(jīng)過(guò)ABC的重心

B.當(dāng)根=〃=1時(shí)，直線(xiàn)A尸一定經(jīng)過(guò)，ABC的外心

C.當(dāng)相=cosB,〃=cosC時(shí)，直線(xiàn)AP一經(jīng)過(guò).ABC的垂心

D.當(dāng)機(jī)=sin_B,〃=sinC時(shí)，直線(xiàn)AP一定經(jīng)過(guò)..ABC的內(nèi)心

【答案】AC

（、

【解析】對(duì)于A,因?yàn)锳P=X+辛:，m\AB\=n\AC\=l,所以AP=2（A3+AC）,

設(shè)點(diǎn)。為3C的中點(diǎn)，所以AB+AC=2AO，

所以AP=22A。，所以直線(xiàn)A尸一定經(jīng)過(guò)ABC的重心，所以A正確，

A

A

DD

（、

AC

對(duì)于B,當(dāng)機(jī)—〃—1時(shí)，AP-％||+

AC

〔網(wǎng)7

JUIU

AB4C

因?yàn)橛脼榕c鉆同方向的單位向量，r招為與AC同方向的單位向量,

ASAC

所以網(wǎng)+岡平分々AC，

所以直線(xiàn)AP一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心，所以B錯(cuò)誤,

c

ABAC

對(duì)于C,當(dāng)根=cos_B,〃=cosC時(shí)，AP=A

cosBABCOSCIACI

/、\

ABBCAC5C-|AB|-|BC|COSBAC|-|BC|COSC

所以AP-5C=2=Z

COSBIABICOSCIACIcosBABcosCAC