備考2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章考點測試39

第八章概率與統(tǒng)計考點測試39計數(shù)原理與排列組合高考概覽高考在本考點的常考題型為選擇題、填空題，分值為5分，中等難度考點研讀1.理解排列、組合的概念2．理解排列數(shù)公式、組合數(shù)公式3．能利用排列數(shù)、組合數(shù)公式及分類、分步計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題一、基礎(chǔ)小題1．4×5×6×…×(n－1)×n＝()A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－1,n)C．n?。?! D．Aeq\o\al(n－3,n)答案D解析原式可寫成n×(n－1)×…×6×5×4，故選D.2．某校科技大樓電子閱覽室在第8層，每層均有2個樓梯，則由一樓上到電子閱覽室的不同走法共有()A．29種 B．28種C．27種 D．82種答案C解析因為從一樓到二樓有2種走法，從二樓到三樓有2種走法，……，從一樓到八樓分7步進(jìn)行，每步都有2種不同的走法，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得由一樓上到電子閱覽室的不同走法共有27種．故選C.3．甲、乙兩人計劃從A，B，C三個景點中各選擇兩個游玩，則兩人所選景點不全相同的選法共有()A．3種 B．6種C．9種 D．12種答案B解析甲、乙各選兩個景點有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)＝9種方法，其中，所選景點完全相同的有3種．所以滿足條件要求的選法共有9－3＝6種．故選B.4．某班計劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽，并且至少1位女生入選，則不同的選法的種數(shù)為()A．12 B．18C．21 D．24答案B解析可分兩種情況：第一種情況，只有一位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＝12種；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有Ceq\o\al(2,4)＝6種．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少1位女生入選的不同的選法的種數(shù)為12＋6＝18.故選B.5．在航天員進(jìn)行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有()A．34種 B．48種C．96種 D．144種答案C解析程序A有Ceq\o\al(1,2)＝2種排法，將程序B和C看作一個整體與除A外的元素排列有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種排法，所以由分步乘法計數(shù)原理知，實驗順序的編排方法共有2×48＝96種．6．某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案共有()A．16種 B．36種C．42種 D．60種答案D解析解法一(直接法)：若3個不同的項目投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共Aeq\o\al(3,4)種方法；若3個不同的項目投資到4個城市中的2個，一個城市一項、一個城市兩項，共Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種方法．由分類加法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60種不同的投資方案．解法二(間接法)：先任意安排3個項目，每個項目各有4種安排方法，共43＝64種，其中3個項目落入同一城市的排法不符合要求，共4種，所以不同的投資方案共有43－4＝64－4＝60種．7．若把英文單詞“anyway”的字母順序?qū)戝e，則可能出現(xiàn)的錯誤寫法的種數(shù)為()A．178 B．179C．180 D．181答案B解析英文單詞“anyway”中有2個“a”，2個“y”，1個“n”，1個“w”，這6個字母的排列順序共有eq\f(Aeq\o\al(6,6),Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2))＝180種，則可能出現(xiàn)的錯誤寫法的種數(shù)為180－1＝179.故選B.8．某研究室有2男6女共8名教研員，研究室東、西兩區(qū)各有4張辦公桌，則兩名男教研員不在同一區(qū)的不同坐法種數(shù)為()A．Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(6,6) B．eq\f(Aeq\o\al(8,8),2)C．eq\f(Aeq\o\al(8,8),3) D．Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(6,6)答案D解析沒有限制條件的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(8,8)，兩名男教研員在同一區(qū)的不同坐法種數(shù)為2Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(6,6)，所以兩名男教研員不在同一區(qū)的不同坐法種數(shù)為Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(6,6).故選D.9．(多選)為弘揚(yáng)我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周．則()A．某學(xué)生從中選3門，共有30種選法B．課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法C．課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法D．課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法答案CD解析6門中選3門共有Ceq\o\al(3,6)＝20種選法，故A錯誤；課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480種排法，故B錯誤；課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144種排法，故C正確；課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504種排法，故D正確．故選CD.10．一個六位數(shù)的密碼，第1位的數(shù)字為8，其余5個位置，每個數(shù)字都小于3，并且5個數(shù)字之和小于等于3，則滿足條件的密碼個數(shù)為________．答案51解析其余5個數(shù)在0，1，2三個數(shù)中任取一個，要5個數(shù)字之和小于等于3，則有以下情況：五個0；四個0，一個1或2；三個0，兩個1或一個1一個2；兩個0，三個1.所以滿足條件的密碼個數(shù)為1＋2Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Aeq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＝51.11．從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)(用數(shù)字作答)．答案1260解析若不取零，則四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)；若取零，則四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3).因此一共可以組成Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝1260個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．12．把分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片全部分給甲、乙、丙3個人，每人至少一張，且若分得的卡片超過一張，則必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案36解析先將卡片分為符合條件的3份，由題意，得3人分5張卡片，且每人至少一張，至多三張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號，相當(dāng)于將1，2，3，4，5這5個數(shù)用2個擋板隔開，在4個空位插2個擋板，共有Ceq\o\al(2,4)＝6種情況，再對應(yīng)到3個人，有Aeq\o\al(3,3)＝6種情況，則共有6×6＝36種不同的分法．二、高考小題13．(2023·全國乙卷)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A．30種 B．60種C．120種 D．240種答案C解析首先確定相同的讀物，共有Ceq\o\al(1,6)種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物中選出2種進(jìn)行排列，共有Aeq\o\al(2,5)種情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,5)＝120種選法．故選C.14．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種答案B解析因為丙、丁要在一起，先把丙、丁捆綁，看作一個元素，連同乙、戊看成三個元素排列，有Aeq\o\al(3,3)種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插入方式；注意到丙、丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有Aeq\o\al(3,3)×2×2＝24種不同的排列方式．故選B.15．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．答案64解析由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1門，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2門，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1門，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)種方案．綜上，不同的選課方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝64種．三、模擬小題16．(2024·湖北武漢硚口區(qū)高三質(zhì)量檢測)甲組有4名護(hù)士，1名醫(yī)生；乙組有6名護(hù)士，2名醫(yī)生．現(xiàn)需緊急組建醫(yī)療小隊，若從甲、乙兩組中各抽調(diào)2名人員，則選出的4名人員中恰有1名醫(yī)生的不同選法共有()A．130種 B．132種C．315種 D．360種答案B解析由題意，從甲、乙兩組中各抽調(diào)2名人員，若選出的4名人員中恰有1名醫(yī)生，該醫(yī)生可能來自甲組，也可能來自乙組，故不同的選法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(0,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(0,1)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,2)＝60＋72＝132種．故選B.17．(2024·江蘇鎮(zhèn)江地區(qū)高三上學(xué)期期初檢測)某市為了實施教育振興計劃，依托本市一些優(yōu)質(zhì)教育資源，每年都對本市所有在高校就讀的定向師范生實施教育教學(xué)技能培訓(xùn)，以提高定向師范生的畢業(yè)質(zhì)量．現(xiàn)有5名即將畢業(yè)的定向師范生擬分配到3所學(xué)校進(jìn)行跟崗培訓(xùn)，每名師范生只能跟崗1所學(xué)校，每所學(xué)校至少分配1名師范生，則不同的跟崗分配方案共有()A．150種 B．300種C．360種 D．540種答案A解析若3所學(xué)校分配師范生的人數(shù)為3∶1∶1時，先取3人看成一個整體，再進(jìn)行排列，所以不同的跟崗分配方案有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60種；若3所學(xué)校分配師范生的人數(shù)為2∶2∶1時，注意到有2個學(xué)校均分配2名師范生，所以不同的跟崗分配方案有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))＝90種．綜上所述，不同的跟崗分配方案共有60＋90＝150種．故選A.18．(2023·浙江杭州高三模擬)已知集合A＝{4，5，6，7}，B＝{5，6，7，8，9}，從集合A中取出1個元素，從集合B中取出3個元素，可以組成無重復(fù)數(shù)字且比5000大的自然數(shù)共()A．180個 B．300個C．468個 D．564個答案B解析若從集合A中取出元素4，則4不能作千位上的數(shù)字，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝180個滿足題意的自然數(shù)；若不從集合A中取出元素4，則有Aeq\o\al(4,5)＝120個滿足題意的自然數(shù)．所以滿足題意的自然數(shù)共180＋120＝300個．故選B.19．(2023·河北唐山高三模擬)用四種顏色給正四棱錐V－ABCD的五個頂點涂色(四種顏色不需要用完)，要求每個頂點涂一種顏色，且每條棱的兩個頂點涂不同顏色，則不同的涂法有()A．72種 B．36種C．12種 D．60種答案A解析①當(dāng)用2種顏色涂A，B，C，D時，則A，C涂色相同，B，D涂色相同，共有Aeq\o\al(2,4)＝12種涂色方法，則涂V有2種涂色方法，即給正四棱錐V－ABCD的五個頂點涂色，共有12×2＝24種涂色方法；②當(dāng)用3種顏色涂A，B，C，D時，則A，C涂色相同，B，D涂色不相同，或A，C涂色不相同，B，D涂色相同，共有2Aeq\o\al(3,4)＝48種涂色方法，則涂V有1種涂色方法，即給正四棱錐V－ABCD的五個頂點涂色，共有48×1＝48種涂色方法．由①②得，不同的涂法有24＋48＝72種．故選A.20．(2024·湖北武漢江漢區(qū)高三摸底考試)2023年武漢馬拉松于4月16日舉行，組委會決定派小王、小李等6名志愿者到甲、乙兩個路口做引導(dǎo)員，每位志愿者去一個路口，每個路口至少有兩位引導(dǎo)員，若小王和小李不能去同一路口，則不同的安排方案種數(shù)為()A．40 B．28C．20 D．14答案B解析若小王在甲路口，小李在乙路口，則剩余4人分到兩個路口．①兩個路口為1＋3人分布，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝8種方案；②兩個路口為2＋2人分布，共有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))＝6種方案，此時共有8＋6＝14種方案．同理，若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有14種方案．所以不同的安排方案種數(shù)為14＋14＝28.故選B.21．(2023·浙江寧波高三模擬)將編號為1，2，3，4的4個小球放入5個不同的盒子中，每個盒子至多放2個球，且同一盒子內(nèi)不出現(xiàn)連續(xù)編號的小球，則不同的放法種數(shù)是()A．300 B．320C．360 D．540答案B解析第一類，4個小球放到4個盒子里，每個盒子放1個小球，有Aeq\o\al(4,5)＝120種放法；第二類，4個小球放到2個盒子里，每個盒子放2個小球，且小球編號只能為1，3或2，4，故有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＝20種放法；第三類，4個小球放到3個盒子里，其中一個盒子放2個小球，且小球編號為1，3或1，4或2，4，故有3Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,4)＝180種放法．故共有120＋20＋180＝320種不同的放法．故選B.22．(2023·天津市耀華中學(xué)高三模擬)某公司新成立3個產(chǎn)品研發(fā)小組，公司選派了5名專家對研發(fā)工作進(jìn)行指導(dǎo)．若每個小組至少有一名專家且5人均要派出，若專家甲、乙需到同一個小組指導(dǎo)工作，則不同的專家派遣方案種數(shù)為________(用數(shù)字作