備考2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章考點(diǎn)測(cè)試10

考點(diǎn)測(cè)試10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)高考概覽高考在本考點(diǎn)的常考題型為選擇題，分值為5分，中等難度考點(diǎn)研讀1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景2．理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算3．理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)4．體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型一、基礎(chǔ)小題1．設(shè)2x＝8y＋1，9y＝3x－9，則x＋y的值為()A．18 B．21C．24 D．27答案D解析因?yàn)?x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因?yàn)?y＝32y＝3x－9，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.2.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＞1，b＜0B．a(chǎn)＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0答案D解析由f(x)＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)＝ax－b在定義域上單調(diào)遞減，所以0＜a＜1.函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象是f(x)＝ax的圖象向左平移得到的，所以b＜0.故選D.3．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up7(\f(4,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(5,6))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．a(chǎn)>c>b D．c>b>a答案A解析∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\s\up7(\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(2,3))，又冪函數(shù)y＝xeq\s\up7(\f(2,3))在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且eq\f(4,5)>eq\f(4,9)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up7(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(2,3))，即a>b.又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(5,6))，指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(x)在定義域上單調(diào)遞減，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(2,3))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up7(\f(5,6))，即b>c，故a>b>c.4．某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保的理念，購(gòu)入污水過濾系統(tǒng)對(duì)污水進(jìn)行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量N(mg/L)與時(shí)間t(h)的關(guān)系為N＝N0e－kt，其中N0為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過濾過程中，前2小時(shí)過濾掉了污染物的30%，則可計(jì)算前6小時(shí)共能過濾掉污染物的()A．49% B．51%C．65.7% D．72.9%答案C解析依題意，前2小時(shí)過濾后剩余污染物的數(shù)量為70%N0，于是70%N0＝N0e－2k，解得e－2k＝0.7，因此前6小時(shí)過濾后剩余污染物的數(shù)量為N＝N0e－6k＝N0(e－2k)3＝N0×0.73＝0.343N0，所以前6小時(shí)共能過濾掉污染物的eq\f(N0－0.343N0,N0)×100%＝65.7%.故選C.5．函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是()A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx) D．與x有關(guān)，不確定答案A解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，由此可得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．若x≥0，則3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x＜0，則3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x)，∴f(3x)≥f(2x)．故選A.6．若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2＋2x＋3的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．(－∞，2] D．[2，＋∞)答案A解析令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，所以g(x)的值域是[2，＋∞)，因此有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(12a－4,4a)＝2，))解得a＝1.所以g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2＋2x＋3，由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)在R上單調(diào)遞減，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]．7．已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，則不等式f(2x)＋f(x2－x)＞0的解集為()A．(0，1)B．(－3，0)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－2－x的定義域?yàn)镽，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且是R上的增函數(shù)，f(2x)＋f(x2－x)＞0?f(x2－x)＞f(－2x)，于是得x2－x＞－2x，解得x＜－1或x＞0，所以所求不等式的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)．8．(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x，對(duì)于任意的x1，x2(x1≠x2)，下列命題中正確的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)B．f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)C.eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)答案ACD解析因?yàn)?x1·2x2＝2x1＋x2，故A正確；因?yàn)?x1＋2x2≠2x1·x2，故B錯(cuò)誤；函數(shù)f(x)＝2x在R上是增函數(shù)，若x1＞x2，則f(x1)＞f(x2)，則eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，若x1＜x2，則f(x1)＜f(x2)，則eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0，故C正確；eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝eq\f(2x1＋2x1,2)≥eq\r(2x1·2x2)＝2eq\s\up7(\f(x1＋x2,2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，又x1≠x2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，故D正確．故選ACD.9．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)，則下列說法正確的是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1，1)D．?x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0答案AC解析f(－x)＝eq\f(3－x－1,3－x＋1)＝eq\f(1－3x,3x＋1)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)y＝eq\f(3x－1,3x＋1)，整理得3x＝eq\f(1＋y,1－y)，所以eq\f(1＋y,1－y)＞0，即eq\f(y＋1,y－1)＜0，解得－1＜y＜1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1，1)，故C正確；因?yàn)?x1，x2∈R，且x1≠x2，若eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0，則該函數(shù)為減函數(shù)，而f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)為增函數(shù)，故D錯(cuò)誤．10．化簡(jiǎn)：2×(eq\r(3,2)×eq\r(3))6＋(eq\r(2\r(2)))eq\s\up7(\f(4,3))－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))－eq\s\up7(\f(1,2))－eq\r(4,2)×80.25＋(－2024)0＝________．答案214解析原式＝2×(2eq\s\up7(\f(1,3))×3eq\s\up7(\f(1,2)))6＋(2eq\s\up7(\f(1,2))×2eq\s\up7(\f(1,4)))eq\s\up7(\f(4,3))－4×eq\f(3,4)－2eq\s\up7(\f(1,4))×2eq\s\up7(\f(3,4))＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.11．若函數(shù)y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)P(m，n)，則函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[m，n]上的最小值是________．答案eq\f(3,4)解析函數(shù)y＝ax＋1＋1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(－1，2)，則m＝－1，n＝2，令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，則eq\f(1,4)≤t≤2，故f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[－1，2]上的最小值，即g(t)＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2))上的最小值，當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，g(t)min＝eq\f(3,4)，則函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在[m，n]上的最小值是eq\f(3,4).二、高考小題12．(2023·全國(guó)乙卷)已知f(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函數(shù)，則a＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案D解析因?yàn)閒(x)＝eq\f(xex,eax－1)是偶函數(shù)，所以f(x)－f(－x)＝eq\f(xex,eax－1)－eq\f(（－x）e－x,e－ax－1)＝eq\f(x[ex－e（a－1）x],eax－1)＝0，又因?yàn)閤不恒為0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，則x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故選D.13．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，0)C．(0，2] D．[2，＋∞)答案D解析函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)＝2x(x－a)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y＝x(x－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(a2,4)在區(qū)間(0，1)上單調(diào)遞減，因此eq\f(a,2)≥1，解得a≥2，所以a的取值范圍是[2，＋∞)．故選D.14．(2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>b>c D．b>a>c答案D解析解法一：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1.01x是增函數(shù)，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因?yàn)楹瘮?shù)φ(x)＝0.6x是減函數(shù)，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.綜上，b>a>c.故選D.解法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1.01x是增函數(shù)，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因?yàn)楹瘮?shù)h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.綜上，b>a>c.故選D.15．(2023·全國(guó)甲卷)已知函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2.記a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))，則()A．b＞c＞a B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b答案A解析函數(shù)f(x)＝e－(x－1)2是由函數(shù)y＝eu和u＝－(x－1)2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，y＝eu為R上的增函數(shù)，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．易知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))，又eq\f(\r(2),2)＜2－eq\f(\r(6),2)＜eq\f(\r(3),2)＜1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(6),2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))，所以b＞c＞a.故選A.16．(2020·全國(guó)Ⅲ卷)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23（t－53）)，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(t*)＝0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln19≈3)()A．60 B．63C．66 D．69答案C解析因?yàn)镮(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23（t－53）)，所以I(t*)＝eq\f(K,1＋e－0.23（t*－53）)＝0.95K，則e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln19≈3，解得t*≈eq\f(3,0.23)＋53≈66.故選C.三、模擬小題17．(2024·湖北騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期月考)已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝eq\f(x3·2x,ax＋1)為奇函數(shù)，則a＝()A．2 B．4C．6 D．8答案B解析已知a>0且a≠1，若函數(shù)f(x)＝eq\f(x3·2x,ax＋1)為奇函數(shù)，則有f(－x)＝－f(x)，即eq\f(（－x）3·2－x,a－x＋1)＝－eq\f(x3·2x,ax＋1)，化簡(jiǎn)，得eq\f(ax,2x)＝2x，所以a＝4.故選B.18．(2024·山東臨沂第十八中學(xué)高三第一次調(diào)研)若a＝(eq\r(2))eq\s\up7(\f(2,3))，b＝log3e，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))-eq\s\up7(\f(1,3))，則()A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．a(chǎn)>c>b D．c>b>a答案B解析因?yàn)閍＝(eq\r(2))eq\s\up7(\f(2,3))＝2eq\s\up7(\f(1,3))>20＝1，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))-eq\s\up7(\f(1,3))＝eeq\s\up7(\f(1,3))>2eq\s\up7(\f(1,3))＝a，所以c>a>1，又b＝log3e<log33＝1，故c>a>b.故選B.19．(2024·廣東湛江第一中學(xué)高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－3a）x，x≥1，,－a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(x)－\f(1,8)，x＜1))滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，且x1≠x2，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)＞0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．[1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))答案D解析因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，且x1≠x2，都有eq\f(f（x2）－f（x1）,x1－x2)＞0成立，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，且x1≠x2，eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0，即函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)．因?yàn)閒(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－3a）x，x≥1，,－a·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(x)－\f(1,8)，x＜1，))令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，t＞eq\f(1,2)，要使f(x)＝－a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\f(1,8)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，所以y＝t2－at－eq\f(1,8)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．另一方面，函數(shù)y＝(2－3a)x，x≥1為減函數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－3a＜0，,\f(a,2)≤\f(1,2)，,2－3a≤－\f(1,2)a＋\f(1,8)，))解得eq\f(3,4)≤a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).20．(多選)(2024·廣東高中畢業(yè)班第一次調(diào)研)若實(shí)數(shù)a，b滿足2a＋3a＝3b＋2b，則下列關(guān)系式中可能成立的是()A．0＜a＜b＜1 B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a(chǎn)＝b答案ABD解析設(shè)f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，則f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x都為增函數(shù)，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖1，兩個(gè)函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，分別為(0，1)，(1，5)．對(duì)于A，如圖2，作直線y＝m(1<m<5)分別與f(x)，g(x)的圖象相交，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，b，且0<a<b<1，此時(shí)f(a)＝g(b)＝m，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故A正確；對(duì)于B，如圖3，作直線y＝n(n<0)分別與f(x)，g(x)的圖象相交，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，b，且b<a<0，此時(shí)f(a)＝g(b)＝n，即2a＋3a＝3b＋2b能成立，故B正確；對(duì)于C，由兩個(gè)函數(shù)的圖象可知，若1<a<b，則g(b)>f(b)>f(a)，所以此時(shí)2a＋3a＝3b＋2b不可能成立，故C不正確；對(duì)于D，a＝b＝0或a＝b＝1，2a＋3a＝3b＋2b成立，故D正確．故選ABD.]21．(多選)(2024·福建廈門第一中學(xué)高三模擬)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝2024x－sinx－25x，則下列說法正確的是()A．g(0)＝1B．g(x)在[0，1]上單調(diào)遞減C．g(x－1102)的圖象關(guān)于直線x＝1102對(duì)稱D．