備考2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第二章考點測試11

考點測試11對數(shù)與對數(shù)函數(shù)高考概覽高考在本考點的?？碱}型為選擇題，分值為5分，中、低等難度考點研讀1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用2．理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點3．體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型4．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)一、基礎(chǔ)小題1．化簡(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62的值為()A．－log62 B．－log63C．log63 D．－1答案A解析(log62)2＋log62·log63＋2log63－6log62＝log62＋2log63－2＝log63－1＝－log62.2．已知函數(shù)f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，則f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝()A．－1 B．0C．1 D．2答案D解析設(shè)lg2＝a，則lgeq\f(1,2)＝－lg2＝－a，f(a)＋f(－a)＝ln(eq\r(1＋9a2)－3a)＋1＋ln(eq\r(1＋9（－a）2)＋3a)＋1＝ln(1＋9a2－9a2)＋2＝ln1＋2＝2，所以f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝2.故選D.3．為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：汽車駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL.據(jù)儀器監(jiān)測，某駕駛員喝了二兩白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小時末的酒精含量都比上一個小時末減少25%，那么此人在開車前至少要休息(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)()A．4.1小時 B．4.2小時C．4.3小時 D．4.4小時答案B解析設(shè)經(jīng)過x小時，血液中的酒精含量為y，則y＝0.3×(1－25%)x＝0.3×0.75x.由0.3×0.75x≤0.09，得0.75x≤0.3，則xlg0.75≤lg0.3.因為lg0.75<0，則x≥eq\f(lg0.3,lg0.75)＝eq\f(lg3－1,lg3－lg4)≈eq\f(0.477－1,0.477－0.602)＝eq\f(523,125)＝4.184<4.2，所以此人在開車前至少要休息4.2小時．故選B.4．已知a＝log6eq\r(3,7)，b＝log7eq\r(3,6)，c＝60.1，則()A．b＜c＜a B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．a(chǎn)＜b＜c答案B解析因為a＝log6eq\r(3,7)＝eq\f(1,3)log67＞eq\f(1,3)log66＝eq\f(1,3)，log6eq\r(3,7)＜log66＝1，所以eq\f(1,3)＜a＜1.又b＝log7eq\r(3,6)＝eq\f(1,3)log76＜eq\f(1,3)log77＝eq\f(1,3)，c＝60.1＞60＝1，所以b＜a＜c.5．函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的圖象大致為()答案A解析函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的定義域為{x|x≠0}，f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當x>0時，f(x)＝logax＋1，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)且過點(1，1)．故選A.6．函數(shù)y＝logeq\s\up-7(\f(1,3))(2x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．(0，1] B．(0，2)C．(1，2) D．[0，2]答案A解析由不等式2x－x2>0，即x2－2x＝x(x－2)<0，解得0<x<2，即函數(shù)f(x)的定義域為(0，2)，令g(x)＝2x－x2，可得其圖象開口向下，對稱軸方程為x＝1，當x∈(0，1]時，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，又由函數(shù)y＝logeq\s\up-7(\f(1,3))x在定義域上單調(diào)遞減，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)y＝logeq\s\up-7(\f(1,3))(2x－x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1]．故選A.7．若a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\f(a＋b,2)，則()A．R<P<Q B．P<Q<RC．Q<P<R D．P<R<Q答案B解析∵函數(shù)y＝lgx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，a>b>1，∴l(xiāng)ga>lgb>0，由基本不等式可得P＝eq\r(lga·lgb)<eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝Q，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝eq\f(1,2)lg(ab)＝lgeq\r(ab)<lgeq\f(a＋b,2)＝R，∴P<Q<R.故選B.8．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是()A．[－1，2] B．[0，2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)答案D解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤1，,21－x≤2，))可得0≤x≤1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞1，,1－log2x≤2，))可得x＞1.綜上，滿足f(x)≤2的x的取值范圍是[0，＋∞)．9．(多選)設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a＝6b＝9c，那么()A．a(chǎn)b＋bc＝2ac B．a(chǎn)b＋bc＝acC.eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b) D.eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)答案AD解析由于a，b，c都是正數(shù)，故可設(shè)4a＝6b＝9c＝M，∴a＝log4M，b＝log6M，c＝log9M，則eq\f(1,a)＝logM4，eq\f(1,b)＝logM6，eq\f(1,c)＝logM9.∵logM4＋logM9＝2logM6，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)，即eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)，去分母整理得，ab＋bc＝2ac.故選AD.10．(多選)已知函數(shù)f(x)＝logeq\s\up-7(\f(1,2))(2－x)－log2(x＋4)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)的定義域是[－4，2]B．y＝f(x－1)是偶函數(shù) C．f(x)在區(qū)間[－1，2)上是增函數(shù)D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱答案BCD解析對于A，由題意可得函數(shù)f(x)＝logeq\s\up-7(\f(1,2))(2－x)－log2(x＋4)＝－log2[(2－x)(x＋4)]，由2－x＞0，x＋4＞0可得－4＜x＜2，故函數(shù)f(x)的定義域為(－4，2)，故A錯誤；對于B，y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(x＋3)]的定義域為(－3，3)，設(shè)g(x)＝－log2[(3－x)·(x＋3)]，所以g(－x)＝－log2[(3＋x)·(－x＋3)]＝g(x)，即y＝f(x－1)是偶函數(shù)，故B正確；對于C，f(x)＝－log2[(2－x)(x＋4)]＝－log2(－x2－2x＋8)＝－log2[－(x＋1)2＋9]＝logeq\s\up-7(\f(1,2))[－(x＋1)2＋9]，令t＝－(x＋1)2＋9，可得y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))t，因為當x∈[－1，2)時，t＝－(x＋1)2＋9是減函數(shù)，外層函數(shù)y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))t也是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2)上是增函數(shù)，故C正確；對于D，f(－2－x)＝－log2[(x＋4)(2－x)]＝f(x)，得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，故D正確．11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋log2（2－x），x<2，,3x－2，x≥2，))則f(0)＋f(log336)＝________．答案7解析由題意，得f(0)＋f(log336)＝2＋log22＋3log336－2＝2＋log22＋3log3eq\s\up7(\f(36,9))＝2＋1＋eq\f(36,9)＝7.12．已知函數(shù)f(x)＝|lnx－a|＋a(a＞0)在[1，e2]上的最小值為1，則a的值為________．答案1解析由題意得lnx∈[0，2]，當a≥2時，f(x)＝2a－lnx在[1，e2]上單調(diào)遞減，∴f(x)的最小值為f(e2)＝2a－2＝1，a＝eq\f(3,2)＜2，與a≥2矛盾；當0＜a＜2時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－lnx，x∈[1，ea），,lnx，x∈[ea，e2]，))f(x)在[1，ea]上單調(diào)遞減，在[ea，e2]上單調(diào)遞增，∴f(x)的最小值為f(ea)＝a＝1，符合題意．故a＝1.二、高考小題13．(2022·天津高考)化簡(2log43＋log83)·(log32＋log92)的值為()A．1 B．2C．4 D．6答案B解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))＝eq\f(4,3)log23×eq\f(3,2)log32＝2.14．(2022·全國甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，則()A．a(chǎn)＞0＞b B．a(chǎn)＞b＞0C．b＞a＞0 D．b＞0＞a答案A解析由9m＝10可得m＝log910＝eq\f(lg10,lg9)＞1，而lg9·lg11＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg9＋lg11,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg99,2)))eq\s\up12(2)＜1＝(lg10)2，所以eq\f(lg10,lg9)＞eq\f(lg11,lg10)，即m＞lg11，所以a＝10m－11＞10lg11－11＝0.又lg8·lg10＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg8＋lg10,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg80,2)))eq\s\up12(2)<(lg9)2，所以eq\f(lg9,lg8)＞eq\f(lg10,lg9)，即log89＞m，所以b＝8m－9＜8log89－9＝0.綜上，a＞0＞b.故選A.15．(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，則下列判斷正確的是()A．c<b<a B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．a(chǎn)<b<c答案C解析a＝log52<log5eq\r(5)＝eq\f(1,2)＝log82eq\r(2)<log83＝b，即a<c<b.故選C.16．(2021·天津高考)若2a＝5b＝10，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝()A．－1 B．lg7C．1 D．log710答案C解析∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log210)＋eq\f(1,log510)＝lg2＋lg5＝lg10＝1.故選C.17．(2020·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)答案D解析由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函數(shù)y＝x2－4x－5在(5，＋∞)單調(diào)遞增，在(－∞，－1)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)單調(diào)遞增，所以a≥5.故選D.18．(2020·全國Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則()A．a(chǎn)＞2b B．a(chǎn)＜2bC．a(chǎn)＞b2 D．a(chǎn)＜b2答案B解析設(shè)f(x)＝2x＋log2x，則f(x)為增函數(shù)．因為2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b，所以f(a)－f(2b)＝2a＋log2a－(22b＋log22b)＝22b＋log2b－(22b＋log22b)＝log2eq\f(1,2)＝－1＜0，所以f(a)＜f(2b)，所以a＜2b，所以A錯誤，B正確；f(a)－f(b2)＝2a＋log2a－(2b2＋log2b2)＝22b＋log2b－(2b2＋log2b2)＝22b－2b2－log2b，當b＝1時，f(a)－f(b2)＝2＞0，此時f(a)＞f(b2)，有a＞b2，當b＝2時，f(a)－f(b2)＝－1＜0，此時f(a)＜f(b2)，有a＜b2，所以C，D錯誤．故選B.19．(2020·全國Ⅲ卷)已知55<84，134<85.設(shè)a＝log53，b＝log85，c＝log138，則()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b答案A解析∵a，b，c∈(0，1)，eq\f(a,b)＝eq\f(log53,log85)＝eq\f(lg3,lg5)×eq\f(lg8,lg5)＜eq\f(1,（lg5）2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3＋lg8,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3＋lg8,2lg5)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg24,lg25)))eq\s\up12(2)＜1，∴a＜b.由b＝log85，得8b＝5，由55＜84，得85b＜84，∴5b＜4，可得b＜eq\f(4,5).由c＝log138，得13c＝8，由134＜85，得134＜135c，∴5c＞4，可得c＞eq\f(4,5).綜上所述，a＜b＜c.故選A.20．(2022·全國乙卷)若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函數(shù)，則a＝________，b＝________．答案－eq\f(1,2)ln2解析因為函數(shù)f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．由a＋eq\f(1,1－x)≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以eq\f(a＋1,a)＝－1，解得a＝－eq\f(1,2)，即函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln2.即f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,1－x)))＋ln2＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)))，在定義域內(nèi)滿足f(－x)＝－f(x)，符合題意．三、模擬小題21.(2024·廣東四校高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b<0 B．a(chǎn)b<－1C．0<ab<1 D．loga|b|>0答案C解析由圖象可知，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以a>1，令f(x)＝loga(x－b)＝0，即x＝b＋1，結(jié)合函數(shù)圖象可知0<b＋1<1，所以－1<b<0，因此a＋b>0，故A錯誤；由題意可得，－a<ab<0，又因為a>1，所以－a<－1，因此ab<－1不一定成立，故B錯誤；因為a－1<ab<a0，即eq\f(1,a)<ab<1，且0<eq\f(1,a)<1，所以0<ab<1，故C正確；因為0<|b|<1，所以loga|b|<loga1，即loga|b|<0，故D錯誤．故選C.22．(2024·江蘇南通海安高三上學(xué)期期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(2ax－x2)在(3，4)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()A．(－∞，3) B．(－∞，3]C．(2，3] D．[2，3]答案D解析因為y＝lnt在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故t＝2ax－x2在(3，4)上單調(diào)遞減，則a≤3，又由題意可得，t＝2ax－x2>0在(3，4)上恒成立，故8a－16≥0，解得a≥2，所以2≤a≤3.故選D.23．(2023·湖南岳陽高三模擬)已知a＝log0.20.02，b＝log330，c＝ln6，則()A．c＜b＜a B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b答案C解析∵0.02＜0.04，∴a＞log0.20.04＝2，∵6＜e2，∴c＜lne2＝2，∴c＜a，又a＝eq\f(lg0.02,lg0.2)＝eq\f(lg2－2,lg2－1)＝1＋eq\f(1,1－lg2)，b＝eq\f(lg30,lg3)＝eq\f(1＋lg3,lg3)＝1＋eq\f(1,lg3)，∵lg2＋lg3＝lg6＜1，∴1－lg2＞lg3，∴a＜b.綜上所述，c<a<b.故選C.24．(多選)(2023·河北唐山高三模擬)已知2x＝3y＝6，則下列不等關(guān)系錯誤的是()A.eq\f(x,y)＞2 B．xy＜4C．x＋y＜4 D.eq\f(1,x2)＋eq\f(1,y2)＞eq\f(1,2)答案ABC解析由2x＝3y＝6，可得x＝log26，y＝log36，對于A，eq\f(x,y)＝eq\f(log26,log36)＝eq\f(log63,log62)＝log23＜2，所以A錯誤；對于B，xy＝log26log36＝eq\f(1,log63log62)＞eq\f(4,（log63＋log62）2)＝4，所以B錯誤；對于C，x＋y＝log26＋log36＝eq\f(1,log62)＋eq\f(1,log63)＝eq\f(log63＋log62,log63log62)＝eq\f(1,log63log62)＞eq\f(4,（log63＋log62）2)＝4，所以C錯誤；對于D，因為eq\f(1,x2)＋eq\f(1,y2)＝(log62)2＋(log63)2＝(log62＋log63)2－2log62×log63＞1－eq\f(（log62＋log63）2,2)＝eq\f(1,2)，故D正確．25．(多選)(2023·山西太原高三模擬)下列說法中正確的是()A．若2035x＝2049y，則x＝y(tǒng)＝0B．若2x＜2x，則1＜x＜2C．若10a＝2，lg3＝b，則lg12＝2a＋bD．若m＝logeq\s\up-7(\f(2,5))3，n＝log2eq\r(3)，則mn＜m＋n＜0答案BCD解析對于A，令2035x＝2049y＝t(t＞0)，則x＝log2035t，y＝log2049t，當且僅當t＝1時，x＝y(tǒng)＝0，當t≠1時，x≠y，故A錯誤；對于B，作出函數(shù)y＝2x，y＝2x的圖象，又當x＝1時，21＝2×1，當x＝2時，22＝2×2，所以若2x＜2x，則1＜x＜2，故B正確；對于C，因為10a＝2，則a＝lg2，故lg12＝lg3＋lg4＝lg3＋2lg2＝2a＋b，故C正確；對于D，m＝logeq\s\up-7(\f(2,5))3<0，n＝log2eq\r(3)>0，所以mn＜0，由eq\f(m＋n,mn)＝eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝log3