備考2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章考點(diǎn)測(cè)試13

考點(diǎn)測(cè)試13函數(shù)與方程高考概覽高考在本考點(diǎn)的常考題型為選擇題，分值為5分，中、高等難度考點(diǎn)研讀結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)一、基礎(chǔ)小題1．下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()答案C解析能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)f(b)<0.A，B中不存在f(x)<0，D中函數(shù)不連續(xù)．故選C.2．函數(shù)f(x)＝ex＋2x－6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(3，4) B．(2，3)C．(1，2) D．(0，1)答案C解析函數(shù)f(x)＝ex＋2x－6是R上的連續(xù)增函數(shù)，因?yàn)閒(1)＝e－4＜0，f(2)＝e2－2＞0，可得f(1)f(2)＜0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1，2)．3．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))答案D解析由題意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有實(shí)數(shù)根，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，設(shè)t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，則t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).4．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx－x2＋2x，x＞0，,2x＋1，x≤0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．3答案D解析依題意，當(dāng)x>0時(shí)，作出函數(shù)y＝lnx與y＝x2－2x的圖象(如圖)，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x＋1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．綜上，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)．5．已知直線(xiàn)y＝ax與函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)，x≤0，,\f(1,2)x2＋1，x＞0))的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞) B．(eq\r(2)，5)C．(eq\r(3)，4) D．(eq\r(3)，2eq\r(2))答案A解析作出f(x)的圖象如圖所示．當(dāng)a≤0時(shí)，直線(xiàn)y＝ax和函數(shù)f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，直線(xiàn)y＝ax和函數(shù)y＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)y＝ax和函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2＋1(x＞0)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即方程eq\f(1,2)x2－ax＋1＝0在(0，＋∞)上有2個(gè)實(shí)數(shù)根，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－2＞0，,2a＞0，))解得a＞eq\r(2)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(eq\r(2)，＋∞)．6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,ln（－x），x<0，))若關(guān)于x的方程[f(x)]2－af(x)＋2＝0有4個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍是()A．[2，4] B．(2eq\r(2)，4]C．[2，3] D．(2eq\r(2)，3]答案D解析如圖，畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，設(shè)f(x)＝t，結(jié)合圖象知，當(dāng)t<1或t>2時(shí)，f(x)＝t有且僅有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)1≤t≤2時(shí)f(x)＝t有2個(gè)實(shí)根．因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為h(t)＝t2－at＋2在[1，2]內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，從而有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h（1）＝3－a≥0，,h（2）＝6－2a≥0，,1≤\f(a,2)≤2，,Δ＝a2－8>0，))解得2eq\r(2)<a≤3.故選D.7．(多選)已知函數(shù)f(x)＝e|x|＋|x|，則關(guān)于x的方程f(x)＝k的根的情況，下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)k＝1時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根B．當(dāng)k＞1時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根C．當(dāng)k＝0時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根D．當(dāng)k≥1時(shí)，方程有實(shí)根答案ABD解析方程f(x)＝k化為e|x|＝k－|x|，設(shè)y1＝e|x|，y2＝k－|x|.y2＝k－|x|表示斜率為1或－1的折線(xiàn)，折線(xiàn)與曲線(xiàn)y1＝e|x|恰好有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k＝1.如圖，若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(1，＋∞)．故選ABD.8．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2x，x≤0，,|log2x|，x＞0，))若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1答案BCD解析畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象如右圖，得出x1＋x2＝－2，－log2x3＝log2x4，則x3x4＝1，A不正確，B正確；由圖可知1＜x4＜2，C正確；因?yàn)椋?＜x1＜－1，x1x2＝x1(－2－x1)＝－xeq\o\al(2,1)－2x1＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)，所以x1x2x3x4＝x1x2∈(0，1)，D正確．故選BCD.9．已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(－2，1)解析函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，則f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得－2<a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2，1)．10．已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(x)＋f(2－x)＝0，且當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f(x)＝x2，則f(1)＝________；若g(x)＝f(x)－lgx，則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)共有________個(gè)．答案05解析由f(x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，則f(1)＋f(1)＝0，解得f(1)＝0.由f(x)＋f(2－x)＝0，得f(2－x)＝－f(x)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，則f(2－x)＝f(－x)，所以函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即函數(shù)y＝f(x)與y＝lgx圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)的零點(diǎn)共有5個(gè)．二、高考小題11．(2019·全國(guó)Ⅲ卷)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0，2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5答案B解析令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0，2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0，π，2π，共3個(gè)．故選B.12．(2018·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A．[－1，0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)答案C解析畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，再畫(huà)出直線(xiàn)y＝－x并上下移動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，并且向下無(wú)限移動(dòng)，都可以保證直線(xiàn)與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)＝－x－a有兩個(gè)解，也就是函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)滿(mǎn)足－a≤1，即a≥－1.故選C.13．(2023·天津高考)若函數(shù)f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______．答案(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)解析解法一：當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)－1，不符合題意；當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)－1，不符合題意；當(dāng)a＝－1時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為－1和－eq\f(1,2)，符合題意．若a≠0且a≠±1，分以下兩種情況：①當(dāng)x2－ax＋1≥0時(shí)，f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|＝ax2－2x－(x2－ax＋1)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1＝(x＋1)[(a－1)x－1]，令f(x)＝0，由a≠0且a≠±1，得x1＝－1，x2＝eq\f(1,a－1)，且x1≠x2.又x1＝－1時(shí)，ax2－2x－(x2－ax＋1)＝a＋2－(x2－ax＋1)＝0，所以a＝(x2－ax＋1)－2，則x2－ax＋1≥0時(shí)，a≥－2且a≠0，a≠±1；x2＝eq\f(1,a－1)時(shí)，ax2－2x－(x2－ax＋1)＝eq\f(a,（a－1）2)－eq\f(2,a－1)－(x2－ax＋1)＝0，所以eq\f(2－a,（a－1）2)＝x2－ax＋1，則x2－ax＋1≥0時(shí)，a≤2且a≠0，a≠±1.②當(dāng)x2－ax＋1<0時(shí)，f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|＝ax2－2x＋(x2－ax＋1)＝(a＋1)x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)[(a＋1)x－1]，令f(x)＝0，由a≠0且a≠±1，得x3＝1，x4＝eq\f(1,a＋1)，且x3≠x4.同理，x3＝1時(shí)，x2－ax＋1<0，則a>2；x4＝eq\f(1,a＋1)時(shí)，x2－ax＋1<0，則a<－2.綜上，a的取值范圍為(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．解法二：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x－|x2＋1|＝－x2－2x－1＝－(x＋1)2，令f(x)＝0，解得x＝－1，所以此時(shí)函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以a＝0不符合題意．令x2－ax＋1＝0，當(dāng)Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2時(shí)，x2－ax＋1≥0在R上恒成立，此時(shí)f(x)＝ax2－2x－(x2－ax＋1)＝(a－1)x2＋(a－2)x－1.當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝－x－1，此時(shí)函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)a≠0且a≠1時(shí)，令f(x)＝0，解得x＝－1或x＝eq\f(1,a－1)，此時(shí)方程f(x)＝0有兩個(gè)不相等實(shí)根，即函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以－2≤a≤2且a≠0，a≠1符合題意．當(dāng)a>2時(shí)，令y3＝y(tǒng)1－y2＝ax2－2x－x2＋ax－1＝0，得(a－1)x2＋(a－2)x－1＝0，解得x＝－1或x＝eq\f(1,a－1)，所以函數(shù)y1＝ax2－2x和函數(shù)y2＝x2－ax＋1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x<－1或x>eq\f(1,a－1)時(shí)，y3>0，即y1>y2；當(dāng)－1<x<eq\f(1,a－1)時(shí)，y3<0，即y1<y2.函數(shù)y1＝ax2－2x的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，0))，因?yàn)閍>2，所以函數(shù)y2＝x2－ax＋1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，0)，(x2，0)，則x1，x2是方程x2－ax＋1＝0的兩根，不妨設(shè)x1<x2，則x1x2＝1，x1＋x2＝a>0，所以x2>1，0<x1<1.當(dāng)x＝eq\f(2,a)時(shí)，y2＝eq\f(4,a2)－a×eq\f(2,a)＋1＝eq\f(4,a2)－1<0，即0<x1<eq\f(2,a)<x2；當(dāng)x＝eq\f(1,a－1)時(shí)，y2＝eq\f(1,（a－1）2)－eq\f(a,a－1)＋1＝eq\f(2－a,（a－1）2)<0，且eq\f(1,a－1)<eq\f(2,a)，所以0<x1<eq\f(1,a－1)<eq\f(2,a)<x2.據(jù)此在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1＝ax2－2x和y2＝x2－ax＋1的圖象，如圖1所示．由圖1可以在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1＝ax2－2x和y＝|x2－ax＋1|的圖象(如圖2)，所以函數(shù)y＝|x2－ax＋1|在(x1，x2)內(nèi)的圖象與函數(shù)y1＝ax2－2x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x<x1時(shí)，兩函數(shù)圖象還有一個(gè)交點(diǎn)，所以此時(shí)函數(shù)y＝|x2－ax＋1|和函數(shù)y1＝ax2－2x的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a>2符合題意．當(dāng)a<－2時(shí)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1＝ax2－2x和y2＝x2－ax＋1的圖象，如圖3所示．同理可知x1<－1<eq\f(2,a)<x2<eq\f(1,a－1)，據(jù)此作出函數(shù)y＝|x2－ax＋1|的圖象，如圖4所示，所以函數(shù)y＝|x2－ax＋1|在(x1，x2)上的圖象與函數(shù)y1＝ax2－2x的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x>x2時(shí)，兩函數(shù)圖象還有一個(gè)交點(diǎn)，所以此時(shí)函數(shù)y＝|x2－ax＋1|和函數(shù)y1＝ax2－2x的圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以a<－2符合題意．綜上，a的取值范圍為(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．14．(2021·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|－kx－2，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若k＝0，則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；②?k<0，使得f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；③?k<0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)；④?k>0，使得f(x)有三個(gè)零點(diǎn)．以上正確結(jié)論的序號(hào)是________．答案①②④解析對(duì)于①，當(dāng)k＝0時(shí)，由f(x)＝|lgx|－2＝0，可得x＝eq\f(1,100)或x＝100，①正確；對(duì)于②，考查直線(xiàn)y＝kx＋2與曲線(xiàn)y＝－lgx(0<x<1)相切于點(diǎn)P(t，－lgt)，對(duì)函數(shù)y＝－lgx求導(dǎo)得y′＝－eq\f(1,xln10)，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kt＋2＝－lgt，,k＝－\f(1,tln10)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(e,100)，,k＝－\f(100,e)lge.))所以存在k＝－eq\f(100,e)lge<0，使得f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線(xiàn)y＝kx＋2過(guò)點(diǎn)(1，0)時(shí)，k＋2＝0，解得k＝－2，所以當(dāng)－eq\f(100,e)lge<k<－2時(shí)，直線(xiàn)y＝kx＋2與曲線(xiàn)y＝－lgx(0<x<1)有兩個(gè)交點(diǎn)，若函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線(xiàn)y＝kx＋2與曲線(xiàn)y＝－lgx(0<x<1)有兩個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)y＝kx＋2與曲線(xiàn)y＝lgx(x≥1)有一個(gè)交點(diǎn)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(100,e)lge<k<－2，,k＋2≥0.))此不等式無(wú)解，因此，不存在k<0，使得函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，考查直線(xiàn)y＝kx＋2與曲線(xiàn)y＝lgx(x>1)相切于點(diǎn)Q(m，lgm)，對(duì)函數(shù)y＝lgx求導(dǎo)得y′＝eq\f(1,xln10)，由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(km＋2＝lgm，,k＝\f(1,mln10)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝100e，,k＝\f(lge,100e).))所以當(dāng)0<k<eq\f(lge,100e)時(shí)，函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確．三、模擬小題15．(2024·重慶渝北中學(xué)高三上學(xué)期月考)函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(2，4)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－18) B．(5，＋∞)C．(5，18) D．(－18，－5)答案D解析由零點(diǎn)存在定理可知，若函數(shù)f(x)＝log2x＋x2＋m在區(qū)間(2，4)上存在零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為增函數(shù)，所以只需滿(mǎn)足f(2)f(4)<0，即(m＋5)(m＋18)<0，解得－18<m<－5，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－18，－5)．故選D.16．(2024·山東青島高三期末)已知2a＝logeq\s\up-7(\f(1,2))a，3b＝logeq\s\up-7(\f(1,2))b，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(c)＝log2c，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a答案B解析在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出y＝2x，y＝3x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，y＝log2x，y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x的圖象，y＝2x與y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，y＝3x與y＝logeq\s\up-7(\f(1,2))x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為b，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)與y＝log2x的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，從圖象可以看出，b＜a＜c.17．(2024·湖北新高考聯(lián)考協(xié)作體高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)，x＜0，,lnx，x＞0，))則函數(shù)g(x)＝f(f(x)＋2)＋2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6答案B解析令t＝f(x)＋2，所以g(x)的零點(diǎn)等價(jià)于f(t)與y＝－2的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)t對(duì)應(yīng)的x值，如圖所示．由圖可知，f(t)與y＝－2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)t1＝－1，0＜t2＜1，當(dāng)t1＝－1，即f(x)＝－3時(shí)，在(－∞，－1)，(－1，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e2)))上各有一個(gè)解；當(dāng)0＜t2＜1，即－2＜f(x)＜－1時(shí)，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)，＋∞))上有一個(gè)解．綜上，g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.18．(多選)(2023·湖南岳陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤λ，,－x2＋6x－8，x＞λ))(λ∈R)，g(x)＝f(x)－m，則下列說(shuō)法正確的是()A．當(dāng)λ＝0時(shí)，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)λ＝2時(shí)，若函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，則x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln2)C．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ∈[2，4)D．若存在實(shí)數(shù)m使得函數(shù)g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，則λ∈(－∞，3)答案ABD解析對(duì)于A，當(dāng)λ＝0時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤0，,－x2＋6x－8，x＞0，))令f(x)＝0，由ex－1＝0可得x＝0，由－x2＋6x－8＝0可得x＝2或x＝4，滿(mǎn)足題設(shè)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)λ＝2時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤2，,－x2＋6x－8，x＞2，))若g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，即f(x)的圖象與直線(xiàn)y＝m有3個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，則x2＋x3＝6，當(dāng)ex－1＝1時(shí)，x＝ln2，所以0<x1<ln2，所以x1＋x2＋x3∈(6，6＋ln2)，故B正確；對(duì)于C，同B中分析的圖象，在垂直于x軸的虛線(xiàn)x＝λ移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)λ∈(－∞，0)∪[2，4)時(shí)，f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，同C中分析，要使g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，必有λ∈(－∞，3)，故D正確．19．(多選)(2024·貴州貴陽(yáng)第一中學(xué)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)＝ex＋x－2(e＝2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)＝lnx＋x－2，若f(a)＝g(b)＝0，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＋b＝2 B．a(chǎn)2＋b2<3C．ea＋lnb>2 D．eb＋lna>3答案ABD解析由題意，得ea＋a－2＝elnb＋lnb－2＝0，即f(a)＝f(lnb)＝0，而f(x)＝ex＋x－2在定義域上單調(diào)遞增，故a＝lnb，所以ea＋lnb－2＝a＋b－2＝0，即ea＋lnb＝a＋b＝2，故A正確，C錯(cuò)誤；由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)<e<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(3)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eeq\s\up7(\f(1,3))－eq\f(5,3)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eeq\s\up7(\f(1,2))－eq\f(3,2)>0，故零點(diǎn)x＝a＝lnb∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，所以a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2<2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－1))eq\s\up12(2)＋2＝eq\f(26,9)<3，故B正確；又a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))，則eb＋lna＝e2－a＋lna>e2－a＋lneq\f(1,3)>eeq\s\up7(\f(3,2))＋lneq\f(1,3)＝eq\r(e3)－ln3>eq\r(20)－ln3>4.4－ln3，而4.4－ln3－3＝1.4－ln3＝lneq\f(eqe\f(7,5),3)，顯然e7>35，則eeq\s\up7(\f(7,5))>3，故4.4－ln3－3>0，綜上，eb＋lna>3，D正確．故選ABD.20．(2024·湖北仙桃田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高三月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|log2（x－1）|，1<x≤3，,（x－4）2，x>3，))f(x)＝a有四個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，則eq\f(1,4)(x3＋x4)x1＋eq\f(1,x2)的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)，\f(9,2)))解析由|log2(x－1)|＝1，得x＝3或x＝eq\f(3,2).畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，依題意f(x)＝a有四個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，則eq\f(3,2)<x1<2<x2<3<x3<4<x4，x2－1＝eq\f(1,x1－1)，x2＝1＋eq\f(1,x1－1)＝eq\f(x1,x1－1)，x3＋x4＝2×4＝8，eq\f(1,4)(x3＋x4)x1＋eq\f(1,x2)＝2x1＋eq\f(x1