二項展開式中系數(shù)最大值問題的探究學習

PAGEPAGE1二項展開式中系數(shù)最大值問題的探究學習浙江省諸暨市草塔中學何勇魯芝珍311812倡導“積極主動、勇于探索的學習方式”是新課程所提出的一項基本理念，二項式定理中經(jīng)常出現(xiàn)一類求二項式系數(shù)最大值的問題,除了要求搞清楚某一項的二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別以外,還要對一些常見的系數(shù)最大值問題進行探求分析。筆者對二項展開式中系數(shù)最大值問題進行了探究教學的嘗試。問題、求（+）10展開式中系數(shù)最大的項。師：本題小括號內的項看似復雜,既有三次和五次根式,又在分母中含有變量,請思考展開式中各項系數(shù)與二項式系數(shù)的關系。生：因為小括內的兩個項和本身的系數(shù)為1,所以展開式中每一項的系數(shù)都等于該項的二項式系數(shù),而展開式中中間項的二項式系數(shù)最大,故只需求二項式系數(shù)最大項即可。解：由題，二項展開式的系數(shù)即該項的二項式系數(shù)，所以系數(shù)最大的項為第6項，即T6==252。探究1、求（）9展開式中系數(shù)最小的項。師：本題小括號的項的系數(shù)與上題有何區(qū)別？生：本題小括號的兩項的系數(shù)分別為1和，故展開式中奇數(shù)項的系數(shù)等于該項的二項式系數(shù)，而偶數(shù)項的系數(shù)等于該項的二項式系數(shù)的相反數(shù)。即每一項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)的絕對值相等。解：由題，二項展開式的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)的絕對值相等，而展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5和第6項，且第5項的系數(shù)為正，第6項的系數(shù)為負，故展開式中系數(shù)最小的項為第6項，即T6==。探究2、求（1+2x）4展開式中系數(shù)最大的項。師：可以發(fā)現(xiàn)，本題中小括號內兩項的系數(shù)與二項式系數(shù)既不相等也不相反，該如何來求系數(shù)最大的項？生：……師：該題顯然不能按上述兩題的方法直接轉化成二項式系數(shù)，我們可以嘗試應用“夾逼法”求解。解：設展開式中的第r+1項為Tr+1=(r=0,1,…4)，令——①即得，故r=3，即第四項的系數(shù)最大，T4==。探究3、：由①式求解系數(shù)的最大值時的r一定有解嗎？如果有解，會有幾個解？你能證明嗎？生1：可能會有多個解，比如有可能第3項比第2項和第4項的系數(shù)大，第6項比第5項和第7項的系數(shù)大……生2：可能會無解，比如各項的系數(shù)依次減小或依次增大時，這樣的r就不存在。師：那我們不妨對一般結論加以證明，例如求（1+ax）n展開式中系數(shù)最大的項(其中a>0).請同學們按照夾逼法的思想進行探求。下面由同學們自己思考。解：設展開式中的第r+1項為Tr+1=令，展開得，即a>0,>,故，又=1，上述方程組必有解，且當和都為整數(shù)時，r有兩解：、，否則r有且只有一解。探究4、求（）10展開式中系數(shù)最大的項。師:本題小括號中第二項的系數(shù)為,所以各項的系數(shù)與二項式系數(shù)不同且展開式的項呈正負相間變化，與上題又有區(qū)別，又該如何求解呢？生一：用“夾逼法”。設展開式中的第r+1項為Tr+1=令,即……師：若將此式展開化簡，則由于r的奇偶性不確定，所以、等的正負性不定，而且由于項的正負相間，會有多個滿足條件的r，故此法不可取。生二：既然根據(jù)思路一直接用“夾逼法”不可行，是因為項正負相間。因為展開式的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，故系數(shù)最大的項必為奇數(shù)項，即r為偶數(shù)。設r為偶數(shù)，令，即，即……師：上述不等式組中的兩個不等式都是二次不等式，雖然理論上可以求出滿足條件的r,但求解過程較繁。生三：由變式1想到項r與項的絕對值之間的關系，于是不妨先求絕對值最大的項。解：Tr+1=，令ar=，令ar+1>ar,即>,rN,r6,即r1<r2<r3<r4<r5<r6<r7>r8>r9>r10,又r=7時系數(shù)小于0，故只要比較和的大小，求得<，故第7項的系數(shù)最大T7=210。小結：①對二項式(ax+by)n展開式中系數(shù)的最大值問題，當a=b=1時可直接轉化到二項式系數(shù)求解，反之，可以直接用“夾逼法”思想或