中職數(shù)學(xué)第一冊(cè)第5章三角函數(shù)教案

授課班級(jí)

課題名稱(chēng)§5.1角的概念的推廣13中專(zhuān)；教師：陸廣地

授課時(shí)間

課題序號(hào)2授課課時(shí)第_到_授課形式新授

使用教具

通過(guò)實(shí)例，理解角的概念推廣的必要性，理解任意角的概念，根據(jù)角的終邊旋轉(zhuǎn)方向，能

判定正角、負(fù)角和零角；學(xué)會(huì)建立直角坐標(biāo)系來(lái)討論任意角，理解象限角的定義，掌握終

教學(xué)目的

邊相同角的表示方法；培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，為今后的學(xué)習(xí)奠定良好的基

礎(chǔ)。

教學(xué)重點(diǎn)學(xué)會(huì)終邊相同角的表示方法

教學(xué)難點(diǎn)終邊相同的角的集合的表示方法.

更新、補(bǔ)

充、刪減

內(nèi)容

課外作業(yè)P129-1

授課主要內(nèi)

容或板書(shū)設(shè)

計(jì)

教學(xué)后記

課堂教學(xué)安排

主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教學(xué)過(guò)程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖等

一、自主學(xué)習(xí)：預(yù)習(xí)教材P131-134完成下列問(wèn)題

1.角的定義：一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)°,從起始位置°A旋轉(zhuǎn)到終

止位置°3,形成一個(gè)角點(diǎn)。是角的頂點(diǎn)，射線(xiàn)。幺分別是

角a的______、______o

2.角的分類(lèi)：.

正角：按_______方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

負(fù)角：按_______方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；°

A

零角：如果一條射線(xiàn)_______________,我們稱(chēng)它為零角。說(shuō)明：零

角的始邊和終邊________=

3.象限角與非象限角（軸線(xiàn)角）：

在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非

負(fù)軸重合，則

（1）象限角：若角的終邊（端點(diǎn)除外）在第幾象限，我們就說(shuō)這個(gè)

角是第幾象限角。

（2）非象限角（也稱(chēng)軸線(xiàn)角）：如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)

為這個(gè)角不屬于任何象限，稱(chēng)為非象限角（也稱(chēng)軸線(xiàn)角）。例如：

90,180,270等。

4.終邊相同的角的集合：

所有與角a終邊相同的角，連同角。在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合_______

說(shuō)明：終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。

二、合作探究：

合作探究一：角概念的理解

銳角是第幾象限角？第一象限的角都是銳角嗎？那直角和鈍角

呢？

合作探究二：象限角的理解

第一象限角的集合可表示為_(kāi)_______________________________

第二象限角的集合可表示為_(kāi)_______________________________

第三象限角的集合可表示為_(kāi)_______________________________

第四象限角的集合可表示為_(kāi)_______________________________

合作探究三：終邊相同的角

1.觀察：390°--330°角，它們的終邊都與30°角的終

邊__________.

2.與30。角的終邊相同的角的表達(dá)式.

390°=30°+360°,-330°=30°-360°,

30°=30°+0X360°,…

那么與a=30°有相同始邊和終邊的角，連同30。角在內(nèi)可以表示

成__________________________

3.這些有相同的始邊和終邊的角，叫做終邊相同的角.

與a有相同始邊和終邊的角可以怎樣表示呢？

0

合作探究四：設(shè)6為第一象限角，求20,三，0所在的象限.

三、精講點(diǎn)撥

例1：在直角坐標(biāo)系中，寫(xiě)出終邊在y軸上的角的集合(用0。?360。

的角表示)

例2：在0。?360。之間，找出與下列各角終邊相同的角，并分別指

出它們是第幾象限角：

(1)480°；

(2)-760°；

(3)932°.

例3：寫(xiě)出與60°角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式

—360K分<720的元素夕寫(xiě)出來(lái)。

四、當(dāng)堂檢測(cè)：

1.一晝夜時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？______________

2.跳水運(yùn)動(dòng)員后滾翻兩周半跳水，轉(zhuǎn)過(guò)多少度？_________________

3.下列各角中，與-1050°的角終邊相同的角是()

A.60°B,-600C30PD-30°

4.將-885°化為a+k-360°(0°<a<360°,AdZ)的形式是

()

A.-165°+(-2)?360°B.195°+(-3)?360°

C.195°+(-2)?360°D.165°+(-3)?360°

5.下列命題中正確的是()

A.第一象限角一定不是負(fù)角B.小于90°的角一定是銳角

C.鈍角一定是第二象限角D.終邊相同的角一定相等

6.若a是銳角，則180°—二是()

A.第一象限角B.第二角限角C.第三象限角D.第四象

限角

Y

7、如果分是第三象限角，貝限在第象限

2

8、角a的終邊落在一、三象限角平分線(xiàn)上，則角a的集合是

9、時(shí)鐘走過(guò)2小時(shí)15分鐘，則分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度為_(kāi)_______；時(shí)

針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度為

___________O

10、寫(xiě)出與-225°角終邊相同角的集合，并在這個(gè)集合中求出

-720°?1080°內(nèi)的所有角。

五、課堂小結(jié)：

這節(jié)課我學(xué)會(huì)了：

※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)學(xué)案的情況為（）A.很好B.較好C.一

般D.較差

授課班級(jí)

課題名稱(chēng)5.2弧度制13中

授課時(shí)間

課題序號(hào)2授課課時(shí)第一到—授課形式講練結(jié)合

使用教具

知識(shí)目標(biāo)：⑴理解弧度制的概念；⑵理解角度制與弧度制的換算關(guān)系.

教學(xué)目的能力目標(biāo)：(1)會(huì)進(jìn)行角度制與弧度制的換算；(2)會(huì)利用計(jì)算器進(jìn)行角度制與弧度

制的換算；(3)培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算技能與計(jì)算工具使用技能

教學(xué)重點(diǎn)弧度制的概念，弧度與角度的換算.

教學(xué)難點(diǎn)弧度制的概念

更新、補(bǔ)

充、刪減

內(nèi)容

(1)由問(wèn)題引入弧度制的概念；

(2)通過(guò)觀察——探究，明晰弧度制與角度制的換算關(guān)系；

授課主要內(nèi)(3)在練習(xí)——討論中，深化、鞏固知識(shí)，培養(yǎng)計(jì)算技能；

容或板書(shū)設(shè)

(4)在操作——實(shí)踐中，培養(yǎng)計(jì)算工具使用技能；

計(jì)

(5)結(jié)合實(shí)例了解知識(shí)的應(yīng)用.

課外作業(yè)P134-K2

教學(xué)后記

課堂教學(xué)安排

主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教學(xué)過(guò)程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖等

揭示課題

5.2弧度制

*回顧知識(shí)復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問(wèn)題

角是如何度量的？角的單位是什么？

解決

將圓周的一L圓弧所對(duì)的圓心角叫做1度角，記作i°.

360

1度等于60分(10=609,1分等于60秒(1，=60").

以度為單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制.

擴(kuò)展

計(jì)算：23°35'26"+31°40，43"

角度制下，計(jì)算兩個(gè)角的加、減運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常會(huì)帶來(lái)單位換算上的

麻煩.能否重新設(shè)計(jì)角的單位制，使兩角的加、減運(yùn)算像10進(jìn)位制

數(shù)的加、減運(yùn)算那樣簡(jiǎn)單呢？

動(dòng)腦思考探索新知

概念

將等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，記作1弧

度或Irad.以弧度為單位來(lái)度量角的單位制叫做弧度制.

若圓的半徑為r，圓心角ZAOB所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為2r,那么ZAOB

的大小就是口弧度=2弧度.

r

規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧

度數(shù)為零.

分析

由定義知道，角。的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于圓弧長(zhǎng)/與半徑〃的

比，即|cr|=—(rad).

r

半徑為〃的圓的周長(zhǎng)為2兀，故周角的弧度數(shù)為

2兀廠(chǎng)

-----(rad)=27i(rad)?

由此得到兩種單位制之間的換算關(guān)系：

360°=2兀rad,即180°=兀rad.

換算公式

1°=—(rad)?0.01745rad

180

ion

Irad=(——)°x57.3°?57。18'-

71

說(shuō)明

1.用弧度制表示角的大小時(shí)，在不至于產(chǎn)生誤解的情況下，通

?？梢允÷詥挝弧盎《取被颉皉ad”的書(shū)寫(xiě).例如，1rad,2rad,-rad,

2

可以分別寫(xiě)作1,2,

2

2.采用弧度制以后，每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)；反之，每一

個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)角.于是，在角的集合與實(shí)數(shù)集之間，建

立起了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

*鞏固知識(shí)典型例題

例1把下列各角度換算為弧度(精確到0.001)：

⑴15°；⑵8°30'；(3)-100°.

分析角度制換算為弧度制利用公式l°=Z(rad)《0.01745rad.

180

解⑴15°=15x—=—?0.262;

18012

(2)goao1=8.5°=8.5x—=—?0.148；

180360

⑶-1000=-100X—=-—?-1.745-

1809

例2把下列各弧度換算為角度(精確到r)：

3兀

(1)—；(2)2.1；(3)-3.5.

5

分析弧度制換算角度制利用公式Irad=(竺^)。x57.3。?57。18,.

7C

解⑴力=%幽=108；

55兀

⑵2.1=2.1x—=^^?120°19,；

7171

⑶―嗎-2。。。32，.

71兀

運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

教材練習(xí)5.2.1

1.把下列各角從角度化為弧度(口答)：

180°=____；90°=____；45°=____；15°=_____；

60°=_____；30。=____；120°=—；270°=______.

2.把下列各角從弧度化為角度(口答)：

兀兀兀

兀=___;—=______;—=_____;—=______;

248

2兀_兀_71_兀_

--=_，?_-_-__=，?__-____，?_-_-___?

33612

3.把下列各角從角度化為弧度：

⑴75°；(2)-240°；(3)105°；⑷67°30'.

4.把下列各角從弧度化為角度：

(1)—；(2)—；(3)；(4)-6K.

1553

自我探索使用工具

準(zhǔn)備計(jì)算器.

觀察計(jì)算器上的按鍵并閱讀相關(guān)的使用說(shuō)明書(shū)，小組完成計(jì)算器

弧度與角度轉(zhuǎn)換的方法.

利用計(jì)算器，驗(yàn)證計(jì)算例題1與例題2.

鞏固知識(shí)典型例題

例3某機(jī)械采用帶傳動(dòng)，由發(fā)動(dòng)機(jī)的主動(dòng)軸帶著工作機(jī)的從動(dòng)輪轉(zhuǎn)

動(dòng).設(shè)主動(dòng)輪A的直徑為100mm,從動(dòng)輪B的直徑為280mm.問(wèn)：

主動(dòng)輪A旋轉(zhuǎn)360°,從動(dòng)輪B旋轉(zhuǎn)的角是多少？(精確到1,)

解主動(dòng)輪A旋轉(zhuǎn)360°就是一周，

所以，傳動(dòng)帶轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度為mX100=100Ji(mm).

再考慮從動(dòng)輪，傳動(dòng)帶緊貼著從動(dòng)輪B轉(zhuǎn)過(guò)100Ji(mm)的長(zhǎng)度，

那么，應(yīng)用公式同=：,從動(dòng)輪B轉(zhuǎn)過(guò)的角就等于

100兀5._

------=—71?128o34.

1407

答從動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)*兀，用角度表示約為128°34,.

7

例4如下圖，求公路彎道部分A3的長(zhǎng)/(精確到0.1m.圖中長(zhǎng)

度單位：m).n。

分析知道圓心角和半徑，求弧長(zhǎng)時(shí)，要首先將圓心角換算為弧度制.

解60。角換算為四弧度，因此

3

l^\a\R=-x45?3.142x15?47.1(m).

113

答彎道部分AB的長(zhǎng)/約為47.1m.

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

教材練習(xí)5.2.2

1.填空：

⑴若扇形的半徑為10cm,圓心角為60。，則該扇形的弧長(zhǎng)

I-，扇形面積5=.

⑵已知1。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為1m,那么這個(gè)圓的半徑是

__________m.

2.自行車(chē)行進(jìn)時(shí)，車(chē)輪在Imin內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)了96圈.若車(chē)輪的半徑為

0.33m,則自行車(chē)1小時(shí)前進(jìn)了多少米(精確到1m)

歸納小結(jié)強(qiáng)化思想

本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？

*自我反思目標(biāo)檢測(cè)

本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？

你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？

你的學(xué)習(xí)效果如何？

繼續(xù)探索活動(dòng)探究

⑴讀書(shū)部分：教材章節(jié)5.2；

⑵書(shū)面作業(yè)：學(xué)習(xí)與訓(xùn)練5.2；

(3)實(shí)踐調(diào)查：了解弧度制的實(shí)際應(yīng)用

授課班級(jí)

課題名稱(chēng)5.3任意角的三角函數(shù)13中

授課時(shí)間

課題序號(hào)4授課課時(shí)第JL到一授課形式講練結(jié)合

使用教具

知識(shí)目標(biāo)：⑴理解任意角的三角函數(shù)的定義及定義域；⑵理解三角函數(shù)在各象限的

正負(fù)號(hào)；⑶掌握界限角的三角函數(shù)值.

教學(xué)目的

能力目標(biāo)：⑴會(huì)利用定義求任意角的三角函數(shù)值；⑵會(huì)判斷任意角三角函數(shù)的正負(fù)

號(hào)；⑶培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.

教學(xué)重點(diǎn)(1)任意角的三角函數(shù)的概念；⑵三角函數(shù)在各象限的符號(hào)；⑶特殊角的三角函數(shù)值.

教學(xué)難點(diǎn)任意角的三角函數(shù)值符號(hào)的確定

更新、補(bǔ)

充、刪減

內(nèi)容

(1)在知識(shí)回顧中推廣得到新知識(shí)；

(2)數(shù)形結(jié)合探求三角函數(shù)的定義域；

授課主要內(nèi)

(3)利用定義認(rèn)識(shí)各象限角三角函數(shù)的正負(fù)號(hào)；

容或板書(shū)設(shè)

計(jì)(4)數(shù)形結(jié)合認(rèn)識(shí)界限角的三角函數(shù)值；

(5)問(wèn)題引領(lǐng)，師生互動(dòng).在問(wèn)題的思考和交流中，提升能力.

課外作業(yè)P139-1x2

教學(xué)后記

課堂教學(xué)安排

主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教學(xué)過(guò)程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖等

*動(dòng)腦思考探索新知

由于r>0,所以任意角三角函數(shù)的正負(fù)號(hào)由終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)來(lái)

確定限.

當(dāng)角a的終邊在第一象限時(shí)，點(diǎn)P在第一象限，x>0,y>0,所

以，sina>O,cosa>0,tana>0；

當(dāng)角￡的終邊在第二象限時(shí)，點(diǎn)P在第二象限，x<0,y>0,所

以，sina>0,cos?<0,tan?<0；

當(dāng)角a的終邊在第三象限時(shí)，點(diǎn)P在第三象限，x<0,y<0,所

以，sina<0,cosa<0,tana>0；

當(dāng)角a的終邊在第四象限時(shí)，點(diǎn)P在第四象限，x>0,y<0,所

以，sina<0,cos?>0,tana<0.

歸納

任意角的三角函數(shù)值的正負(fù)號(hào)如下圖所示.

yy)

1I1

++x-+X—+X

十t寸

sinacosatana

鞏固知識(shí)典型例題

例2判定下列角的各三角函數(shù)正負(fù)號(hào)：

(1)4327°；(2)—.

5

分析判斷任意角三角函數(shù)值的正負(fù)號(hào)時(shí)，首先要判斷出角所在的

象限.

解(1)因?yàn)?327=12x360+7,所以，4327。角為第一象限角，

故sin4327>0,cos4327>0,tan4327>0.

(2)因?yàn)樗?2X2TI+空，所以，步角為第三象限角，故

555

.2771八27K八27K八

sin-----<。,cos------<0,tan------>0?

555

例3根據(jù)條件sin6<0且tan(9<0,確定。是第幾象限的角.

分析sin6<0時(shí)，。是第三象限的角、第四象限的角或。的終邊在y

軸的負(fù)半軸上的界限角)；tan6<0時(shí)，。是第二或第四象限的角.同

時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，就是要找出它們的公共范圍.

解。取角的公共范圍得。為第四象限的角.

□運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

教材練習(xí)5.3.2

1.判斷下列角的各三角函數(shù)值的正負(fù)號(hào)：

19兀3K

(1)525°；(2)-235°；(3)—；(4).

64

2.根據(jù)條件sin9>0且tan6<0,確定。是第幾象限的角

動(dòng)腦思考探索新知

探究

由于零角的終邊與x軸的正半軸重合，所以對(duì)于角終邊上的任意

點(diǎn)尸(x,y)都有x=r,y=O.因此，利用三角函數(shù)的定義，有

.0r0

sinO=—=0,cos0=—=1,tan0=—=0.

rrr

同樣還可以求得0、兀、—,2兀等三角函數(shù)值.

22

歸納

兀3兀

0K2兀

\2~2

sina010-10

cosa10-101

tana0不存在0不存在0

*鞏固知識(shí)典型例題

例4求值：

5cos180—3sin90+2tan0—6sin270；

分析這類(lèi)問(wèn)題需要首先計(jì)算出界限角的三角函數(shù)值，然后再進(jìn)行代

數(shù)運(yùn)算.

解5cos180-3sin90+2tan0-6sin270

=5x(-l)-3xl+2x0-6x(-l)=-2.

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

教材練習(xí)5.3.3

1.計(jì)算：5sin90-2cos0+A/3tanl80+cos180.

71.3兀

2.計(jì)算:cos---tan——1--tan---sin---1-cos7i.

歸納小結(jié)強(qiáng)化思想

本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？

*自我反思目標(biāo)檢測(cè)

本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法？

你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？

你的學(xué)習(xí)效果如何？

繼續(xù)探索活動(dòng)探究

⑴讀書(shū)部分：教材章節(jié)5.3；

⑵書(shū)面作業(yè)：學(xué)習(xí)與訓(xùn)練5.3；

(3)實(shí)踐調(diào)查：探究計(jì)算器的計(jì)算界限角的三角函數(shù)值的方法.

授課班級(jí)

課題名稱(chēng)5.4同角三角函數(shù)基本關(guān)系13中

授課時(shí)間

課題序號(hào)2授課課時(shí)第JL到一授課形式講練結(jié)合

使用教具

知識(shí)目標(biāo)：理解同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式.

教學(xué)目的能力目標(biāo)：⑴已知一個(gè)三角函數(shù)值，會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求其他的三角

函數(shù)值；⑵會(huì)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求三角式的值.

教學(xué)重點(diǎn)同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)應(yīng)用平方關(guān)系求正弦或余弦值時(shí)，正負(fù)號(hào)的確定

更新、補(bǔ)

充、刪減

內(nèi)容

(1)由實(shí)際問(wèn)題引入知識(shí)，認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)的必要性；

(2)認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合的工具——單位圓；

授課主要(3)借助于單位圓，探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系式；

內(nèi)容或板

(4)在練習(xí)——討論中深化、鞏固知識(shí)，培養(yǎng)能力；

書(shū)設(shè)計(jì)

(5)拓展應(yīng)用，提升計(jì)算技能.

課外作業(yè)P142-K2

教學(xué)后記

課堂教學(xué)安排

主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教學(xué)過(guò)程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖等

*動(dòng)腦思考探索新知

概念

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：

.221sin。

sina+cosa=\,tana-----.

cosa

說(shuō)明

前面的公式顯示了同角的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間的平方關(guān)

系，后面的公式顯示了同角的三個(gè)函數(shù)之間的商數(shù)關(guān)系，利用它們

可以由一個(gè)已知的三角函數(shù)值，求出其他各三角函數(shù)值.

*鞏固知識(shí)典型例題

4

例1已知sina=g,且e是第二象限的角，求cosa和tancr.

分析知道正弦函數(shù)值，可以利用平方關(guān)系，求出余弦函數(shù)值；然后

利用商數(shù)關(guān)系，求出正切函數(shù)值.

解由siYa+cos2a=1,可得cosa=±，l-sin2a.

又因?yàn)椤Ｊ堑诙笙薜慕?，故cosa<0.所以

cosa=-^1-sin2a二-^1-(-^)2=--1；

4

sinas4

tana=----=-——.

coscr_33

-5

注意：利用平方關(guān)系sin2a+cos2e=l求三角函數(shù)值時(shí)，需要進(jìn)行開(kāi)

方運(yùn)算，所以必須要明確a所在的象限.本例中給出了a為第二象

限的角的條件，如果沒(méi)有這個(gè)條件，就需要對(duì)a進(jìn)行討論.

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

教材練習(xí)5.4.1

1.已知cosa=工，且a是第四象限的角，求sina和tanar.

2

3

2.已知sina=——，且(Z是第三象限的角，求cosar和tantz.

5

*鞏固知識(shí)典型例題

mi》#3sina+4cosc金

例2已知tana=2，求-------------的值.

2sina-cosa

分析利用已知條件求三角式的值問(wèn)題的基本方法有兩種：一種是

將所求三角函數(shù)式用已知量tanc來(lái)表示；另一種是由tana=2得到

sina=2cosa,代入所求三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.

解1由已知tana=2得儂11。=2,即sina=2cosa,所以

cosa

3sina+4cosa_3(2cosa)+4cosa_lOcoscz_10

2sina—cos。2(2cosa)-cosa3cosa3

解2由tana=2知cosaw0,所以

3sina+4cosa3tana+46+410

———?

2sina-cosa2tan6z-l4-13

例3已知。為第一象限角，化簡(jiǎn)、-4—-1.

Vcosa

分析化簡(jiǎn)三角式一般是利用三角公式或化簡(jiǎn)代數(shù)式的方法進(jìn)行.

解￡為第一象限角，故tana>0,所以

國(guó)“jl-cos2aIsin2a/

原式=J------------=J——--=vtan2a=tana.

Vcosavcosa

*運(yùn)用知識(shí)強(qiáng)化練習(xí)

教材練習(xí)5.4.2

已知tana=5,求-------------的值.

2sina-3cosa

*歸納小結(jié)強(qiáng)化思想

本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？

*自我反思目標(biāo)檢測(cè)

本次課采用了怎樣的學(xué)習(xí)方法?

你是如何進(jìn)行學(xué)習(xí)的？

你的學(xué)習(xí)效果如何？

*繼續(xù)探索活動(dòng)探究

⑴讀書(shū)部分：教材章節(jié)5.4；

(2)書(shū)面作業(yè)：學(xué)習(xí)與訓(xùn)練5.4.

授課班級(jí)

課題名稱(chēng)5.5三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式13中

授課時(shí)間

課題序號(hào)2授課課時(shí)第1至IJ2授課形式講練結(jié)合

使用教具

1.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法.

2.掌握并運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)式.（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

教學(xué)目的1.理解掌握誘導(dǎo)公式及應(yīng)用，提高三角恒等變形能力.

2.樹(shù)立化歸思想方法，將任意角的三角函數(shù)值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為0。?90。間的角的三角函數(shù)值問(wèn)

題，培養(yǎng)學(xué)生化歸轉(zhuǎn)化能力.

教學(xué)重點(diǎn)理解并掌握誘導(dǎo)公式.

運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)式.

教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)疑點(diǎn)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式時(shí)符號(hào)的確定.

更新、補(bǔ)

充、刪減

內(nèi)容

授課主要內(nèi)

容或板書(shū)設(shè)

計(jì)

課外作業(yè)P147-1

教學(xué)后記

課堂教學(xué)安排

主要教學(xué)內(nèi)容及步驟教學(xué)過(guò)程師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖等

(一)復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式一

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)誘導(dǎo)公式一，即終邊相同的角的同一三角函數(shù)

的值相等，這組公式是如何表達(dá)的？它們的作用是什么？

生：誘導(dǎo)公式一可這樣表達(dá)：

sin(2k7t+a)=sina；cosa(2kn:+a)=cosa；

tg(2k7i+a)=tga；ctg(2k7i+a)=ctga.

利用誘導(dǎo)公式一可以把求任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為求

。。?360。(。?2%)間角的三角函數(shù)值的問(wèn)題.

師：學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的基本思想方法是化歸轉(zhuǎn)化，如果我們能把求

90°~360°間的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求0°~90°間的角的三角函數(shù)

值，那么任意角的三角函數(shù)值就都能通過(guò)查表來(lái)求.

設(shè)0°WaW90°,則90。?180。間的角,可以寫(xiě)成180°-a；180。?270。間

的角，可以寫(xiě)成18(T+a；270。?360。間的角，可以寫(xiě)成360°-a.下

面我們依次討論180。+%-a,180-a,360。4的三角函數(shù)值與a的三

角函數(shù)值之間的關(guān)系.為了使討論更具有一般性，這里假定a為任

意角.

(布置學(xué)生閱讀P.152—153初步了解誘導(dǎo)公式二、公式三的推導(dǎo)過(guò)

程.)

(二)誘導(dǎo)公式二、三

師：首先我們先介紹單位圓概念，如圖2-18示，以原點(diǎn)為圓心，等

于單位長(zhǎng)的線(xiàn)段為半徑作一個(gè)圓，這樣的圓稱(chēng)為單位圓.下面我們

利用單位圓和任意角三角函數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式二、三.推導(dǎo)

之前，請(qǐng)一位同學(xué)回答分別關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的坐

標(biāo)間的關(guān)系.

.\白\

圖2-18

生：設(shè)點(diǎn)P(x、y),它關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別是Pl(x,

-y),P2(-x,-y),P3(-x,-y).

師：請(qǐng)同學(xué)們作出一個(gè)任意角a的終邊，再作出180。+。角的終邊，

它們與單位圓的交點(diǎn)有何特征？為什么？

生:如圖2-18,任意角a的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y).由于角180。+口

的終邊就是角a終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)，角180。+。的終邊與單位圓的交

點(diǎn)P',是與點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的。

師：正由于點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，所以P'坐標(biāo)是(-x,

-y),又因單位圓半徑r=l,由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義可得到

sinCL=—=y,cosCl=—=x.

rr

sin(180°+a)=--=-y,cos(180°+a)=——=-x.

rr

因此，sin(180°+a)=-sina,cos(180°+a)=-cosa,請(qǐng)同學(xué)們思考能否由

同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出tg(180o+a),ctg(18()o+a)化簡(jiǎn)結(jié)果？

生：由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式，可得到

師：因此我們可以得到誘導(dǎo)公式二

sin(180°+a)=-sina,cos(180°+a)=-cosa,

tg(180°+a)=tga,ctg(180°+a)=ctga.

例1求下列各三角函數(shù)值

4兀冗0

冗)=Ctg(幾+—)=Ctgy=—

o42

(2)sin2250=sin(180+45°)=-sin45°V

師：我們?cè)賮?lái)研究角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們作

出任意角a與-a的終邊，它們與單位圓的交點(diǎn)有何特征？為什么？

生：如圖2-19,任意角a的終邊與單位圓相交于P(x,y),角-a的終

邊與單位圓相交于點(diǎn)p',從圖上可觀察得到P與P'關(guān)于x軸成軸

對(duì)稱(chēng).

師：這位同學(xué)回答得正確！由于角a與-a是由射線(xiàn)從x軸的正半軸

開(kāi)始，按相反的方向繞原點(diǎn)作相同大小的旋轉(zhuǎn)而成的，這兩個(gè)角的

終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此，點(diǎn)p'的坐標(biāo)為(x,-y),由于r=l,

我們得至Usina(-a)=-y,cos(-a)=x,從而sin(-a)=-sina,(cos(-a)=cosa.如

何由同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出tg(-a).ctg(-a)的化簡(jiǎn)結(jié)果？

生：由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得到

,,xsin(-a)-Sina

tg(-an)=,c、=c=-tga,

cos(-Q)cosa

,-、cos(-Cl)cos。

ctg(-a)=-------=-------=-ctga.

以'sin(-a)-sinas

師：因此我們可以得到誘導(dǎo)公式三

sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,

tg(-a)=-tga,ctg(-a)=-ctga.

例2求下列各三角函數(shù)值

(l)sin(-400°)=-sin(360o+40o)=-sin40°=-0.6428,

11nn

⑵ctg而兀=ctg(7r+—)=ctg—=ctgl8°=3.078.

由180°+a)+cos(360°+a)

例3化|司+/c\'/1QC。c\'

ctg(-CL-180).sin(-180一。)

解：*.*ctg(-a-18O°)=ctg[-(l80°+a)]=-ctg(l80°+a)=-ctga,

sin(-180°-a)=sin[-(180°+a)]=-sin(180°+a)=-(-sina)=sina.

一(-sin。)?cosCIcos。

??原式=(3。)…。=ctga=sma.

(三)誘導(dǎo)公式四、五

師：請(qǐng)同學(xué)們思考如何利用已學(xué)過(guò)的誘導(dǎo)公式推導(dǎo)180°-a與a的三

角函數(shù)值之間的關(guān)系？

生：由誘導(dǎo)公式我們可以得到

sin(180°-a)=sin[180°+(-a)]=-sin(-a)=sina；

cosa(l80°-a)=cos[180°+(-a)]=-cos(-a)=-cosa；

tg(18O°-a)=tg[180°+(-a)]=tg(-a)=-tga；

ctg(18O°-a)=ctg[180°+(-a)]=ctg(-a)=-ctga.

g?古。sm(180°-Cl)sin口

師：tg(180°-a)還可由tg(180°-a)=.一表

cos(18u-a)-cosCl

=-tga推導(dǎo)得到，同理ctg(180。.a)=-ctgO-,于是我們又彳陶誘導(dǎo)

公式四：

sin(180°-a)=sina,cos(180°-a)=-cosa,tg(180°-a)=-tga,

ctg(l80°-a)=-ctga.

師：請(qǐng)大家再思考如何利用已學(xué)過(guò)的誘導(dǎo)公式推導(dǎo)360°-a與a的三

角函數(shù)值之間的關(guān)系.

生：由誘導(dǎo)公式我們可以得到：

sin(360°-a)=sin(-a)=-sina,cos(360°-a)=cos(-a)=cosa,

tg(3600-a)=tg(-a)=-tga,ctg(360°-a)=ctg(-a)=-ctga.

師：于是我們得到誘導(dǎo)公式五

sin(3600-a)—sina,cos(=360°-a)=cosa,

tg(360°-a)=-tga,ctg(360°-a)=-ctga.

公式一、二、三、四、五都叫做誘導(dǎo)公式.

上面這些誘導(dǎo)公式，可以概括如下：

k-360°+a(kez),-a,180。士a,360。田的三角函數(shù)值等于a的同名函

數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).簡(jiǎn)化成“函

數(shù)名不變，符號(hào)看象限”的口訣。請(qǐng)同學(xué)思考利用誘導(dǎo)公式求任意

角的三角函數(shù)值的步驟，即如何利用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)

求值問(wèn)題化歸成銳角三角函數(shù)求值問(wèn)題？請(qǐng)看下面例題后總結(jié)其步

驟.

例4求下列各三角函數(shù)值

13

(l)tgGw71)；(2)cos(-1665°).

1333nJr

解：(l)tg(-i冗)=tg(d兀+]冗)=tg,兀=tg(兀-—)=-tg—=-1.

(2)cos(-1665°)=-cos16650=-cos(4x3600+225°)=-cos225°

=-cos(180°+45°)=cos450=.

師：反思例4的解題過(guò)程，請(qǐng)一位同學(xué)總結(jié).

生：利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值，一般可按以下步驟進(jìn)行:

師：運(yùn)用誘導(dǎo)公式解題本質(zhì)上是多次運(yùn)用“化歸”思想方法，化負(fù)

角為正角，化大角為周內(nèi)角，再化為銳角.

例5求證：辿m黑上、

cos(兀-a)tg(3兀-a)

=sm(-a)tgar-ctg(>+a)]

(-cosCL)?(一tg。)

sinQcosa

—?

cos。sina

=1=右?

四）總結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了杜a,-a,2gl形式的誘導(dǎo)公式，可用口訣“函數(shù)

名不變，符號(hào)看象限”來(lái)幫助記憶，正確掌握誘導(dǎo)公式符號(hào)是運(yùn)用

誘導(dǎo)公式解題的關(guān)鍵.

五、作業(yè)

授課班級(jí)

課題名稱(chēng)5-6正弦函數(shù)的性質(zhì)和圖像13中

授課時(shí)間

課題序號(hào)2授課課時(shí)第1至U2授課形式講練結(jié)合

使用教具

1.了解如何利用正弦函數(shù)的圖像，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦函數(shù)的圖像；

教學(xué)目的2.理解周期函數(shù)與（最小正）周期的意義，并通過(guò)正弦曲線(xiàn)、余弦曲線(xiàn)了解正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)的性質(zhì)；

理解集合的概念，知道常用數(shù)集的概念及其記法，正弦函數(shù)的圖像及其主要性質(zhì)（包括定

教學(xué)重點(diǎn)

義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）

1.利用正弦線(xiàn)畫(huà)出函數(shù)y=sinx,xe[-m,n]的圖像；

教學(xué)難點(diǎn)2.利用正弦曲線(xiàn)和誘導(dǎo)公式畫(huà)出余弦曲線(xiàn)；

3.周期函數(shù)與（最小正）周期的意義。

更新、補(bǔ)

充、刪減

內(nèi)容

授課主要內(nèi)1.重視基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)

容或板書(shū)設(shè)2.激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的熱情，鼓勵(lì)學(xué)生善于思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題

計(jì)3.通過(guò)教師的指導(dǎo)使明確知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)結(jié)論，培養(yǎng)其綜合能力與邏輯思維能力

課外作業(yè)P156-K2

教學(xué)后記

課堂教學(xué)安排

教學(xué)過(guò)程師生

主要教學(xué)內(nèi)容及步驟活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

等

一.引入課題

電腦演示：三角函數(shù)的圖像究竟是怎樣的呢？它的定義域、值域、奇偶性、單

調(diào)性又是如何的呢？今天，我們就一起來(lái)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容。

二.復(fù)習(xí)舊知

在此之前我們先復(fù)習(xí)一些必要的知識(shí)。

1.正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)的定義，同時(shí)說(shuō)明：當(dāng)角度變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段MP的長(zhǎng)度

就是這個(gè)角度的正弦值。

2.作出T點(diǎn)T（業(yè),7Tsin"）,為作正弦函數(shù)圖像作鋪墊。（6分鐘）

33

三.新課

（一）正弦函數(shù)的圖像

下面我們一起來(lái)畫(huà)正弦函數(shù)的圖像。（邊操作邊講解）

說(shuō)明：

列表：

描點(diǎn)：

作圖。

提問(wèn)：我們作出了正弦函數(shù)在區(qū)間［-n，上的圖像，但正弦函數(shù)對(duì)任意角均

有值，即定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R?如何作在其他區(qū)間上的函數(shù)圖像呢？由終邊相同的角的

三角函數(shù)值相等知：在區(qū)間［口，3一上其函數(shù)圖像與在上是一樣的，在［-肛3汨上

也一樣，在其他區(qū)間上也是一樣。每隔2m正弦函數(shù)的圖像就出現(xiàn)一次重復(fù)，如此充

滿(mǎn)整個(gè)實(shí)數(shù)軸?？梢韵胂?，正弦函數(shù)的圖像是怎樣的？（電腦演示完整的正弦函數(shù)

圖像）

說(shuō)明：正弦函數(shù)的圖像叫做正弦曲線(xiàn)。

（二）五點(diǎn)作出正弦函數(shù)圖象的圖像

請(qǐng)同學(xué)們觀察在門(mén)上正弦函數(shù)的圖像，它上面哪幾個(gè)點(diǎn)對(duì)函數(shù)圖像的確

定起關(guān)鍵作用？為什么？（基本確定圖像的形狀）［電腦顯示這五個(gè)點(diǎn)，以示突出］

所以我們只要畫(huà)出這五個(gè)點(diǎn)，這個(gè)圖形就基本確定了。因此，在精確度要求不太高

時(shí)（畫(huà)草圖），我們一般可采用這種方法來(lái)畫(huà)三角函數(shù)圖像幫助我們分析。這種方法

要比我們剛才的幾何法簡(jiǎn)單得多，我們稱(chēng)之為：五點(diǎn)法。

正弦函數(shù)的主要性質(zhì)

（計(jì)算機(jī)顯示正弦函數(shù)的圖像）請(qǐng)同學(xué)們觀察正弦函數(shù)的圖像，討論解決以下幾個(gè)

問(wèn)題，稍后請(qǐng)兩組各推選一名代表作總結(jié)。

（1）這兩個(gè)函數(shù)的定義域分別是什么？

（2）它們的值域分別是什么？最大值、最小值是多少，此時(shí)自變量x等于什

么？

（3）它們的奇偶性如何？為什么？

（4）它們的單調(diào)性如何？它有什么特殊的地方？為什么會(huì)有這種周期性？

（圖象本身或者說(shuō)函數(shù)本身就存在周期性）

（5）這兩個(gè)函數(shù)還有沒(méi)有與其他函數(shù)不一樣的性質(zhì)？（提示：我們一直在強(qiáng)

調(diào)的；或從圖象上看？）一一教師引導(dǎo)出周期性（先感性認(rèn)識(shí)，不深入）

說(shuō)明：

1、學(xué)生總結(jié)后，各小組派代表闡述結(jié)論，其他同學(xué)補(bǔ)充；

2、教師歸納；（電腦顯示正弦函數(shù)的性質(zhì)）

（三）例題；（四）作業(yè)

（五）小結(jié)正弦函數(shù)的性質(zhì)。

5.7余弦函數(shù)的圖像與授課班級(jí)

課題名稱(chēng)13中

性質(zhì)授課時(shí)間

課題序號(hào)1授課課時(shí)第1至IJ1授課形式講練結(jié)合

使用教具

知識(shí)與技能：1.了理余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2運(yùn)用圖象求余弦函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

過(guò)程與方法：（1）理解并掌握任意角的余弦函數(shù)定義域，值域；

教學(xué)目的

（2）熟練地求解余弦函數(shù)值；（3）掌握并運(yùn)用余弦函數(shù)圖象解題。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想，代數(shù)推理能力，概括和形象思維能力。

培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。

教學(xué)重點(diǎn)熟練地求解任意角的余弦函數(shù)定義域，值域.

求單調(diào)性區(qū)間

教學(xué)難點(diǎn)

更新、補(bǔ)

充、刪減

內(nèi)容

授課主要內(nèi)

容或板書(shū)設(shè)

計(jì)

課外作業(yè)P161-K2

教學(xué)后記

課堂教學(xué)安排

教學(xué)過(guò)程師生

主要教學(xué)內(nèi)容及步驟活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

等

【課前預(yù)習(xí)，成竹在胸】

使用說(shuō)明學(xué)法指導(dǎo)：

1用20分鐘左右的時(shí)間，閱讀課本13---------15頁(yè)內(nèi)容，熟記基礎(chǔ)知識(shí).自

主高效預(yù)習(xí)，提升自己的閱讀理解能力。

2完成教材助讀設(shè)置的問(wèn)題不，然后結(jié)合課本基礎(chǔ)知識(shí)和例題，完成預(yù)習(xí)自測(cè)題。

3將預(yù)習(xí)中不能解決的問(wèn)題標(biāo)記出來(lái)，并不寫(xiě)到后面“我的疑問(wèn)”處。

【自主學(xué)習(xí)】

一余弦函數(shù)的圖像的畫(huà)法

(1)精確畫(huà)法一一余弦線(xiàn)定點(diǎn)

余弦線(xiàn)：

(2)畫(huà)簡(jiǎn)圖——“五點(diǎn)法”

根據(jù)余弦曲線(xiàn)的形狀，畫(huà)函數(shù)Y=C0SXXe[0,2n]的簡(jiǎn)圖

用“五點(diǎn)法”作出Y=C0SX的簡(jiǎn)圖

X0712〃

~23〃

T

Y=C0SX

(1)教材助讀余弦函數(shù)的性質(zhì)

圖像

定義域

性值域

最大值，當(dāng)x=時(shí)，丫=1

最小值當(dāng)X=時(shí)，丫=-1

質(zhì)周期性周期函數(shù)，T=

單當(dāng)xw[,]時(shí)，

調(diào)函數(shù)是單調(diào)增加的

性

當(dāng)XW[,]時(shí)，

函數(shù)是單調(diào)遞減的

奇偶性

【合作學(xué)習(xí)】

1.用“五點(diǎn)法"作j/=sin[0,2兀]的圖彳象應(yīng)注

意哪些問(wèn)題？

(1)明確正弦曲線(xiàn)的結(jié)構(gòu)特征.

由于“五點(diǎn)法”作圖時(shí)，精確度較差，因此畫(huà)圖之前要做

到心中有圖，明確正弦曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)和規(guī)律.

(2)弄清五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的意義.

其中，平衡點(diǎn)是正弦曲線(xiàn)凹凸方向改變的位置.

最高點(diǎn)和最低點(diǎn)是正弦曲線(xiàn)上升或下降變化趨勢(shì)改變

的位置.

(3)熟練畫(huà)圖的步驟.

首先選取正弦函數(shù)的一個(gè)周期［0,20,再將其四等分,

確定五