人教A版新教材高中數(shù)學第二冊學案1：7 .1 .1 數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

7.1.1數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

『導學聚焦』

考點學習目標核心素養(yǎng)

復數(shù)的有關(guān)概念了解數(shù)系的擴充過程，理解復數(shù)的概念數(shù)學抽象

復數(shù)的分類理解復數(shù)的分類數(shù)學抽象

復數(shù)相等掌握復數(shù)相等的充要條件及其應用數(shù)學運算

『問題導學J

預習教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.復數(shù)是如何定義的？其表示方法又是什么？

2.復數(shù)分為哪兩大類？

3.復數(shù)相等的條件是什么？

「新知初探1

1.復數(shù)的有關(guān)概念

(1)復數(shù)的定義

形如。+歷伍，8GR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做，滿足i2=.

(2)復數(shù)集

全體復數(shù)所構(gòu)成的集合C^{a+bi\a,b^R}叫做復數(shù)集.

(3)復數(shù)的表示方法

復數(shù)通常用字母z表示，即，其中〃叫做復數(shù)z的實部，方叫做復數(shù)z的虛部.

■名師點撥

對復數(shù)概念的三點說明

⑴復數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成砥m6GR)的形式，其中0=0+0i.

(2)復數(shù)的虛部是實數(shù)b而非bi.

(3)復數(shù)z=a+hi只有在°,匕GR時才是復數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式.

2.復數(shù)相等的充要條件

在復數(shù)集C={a+6i|a,bGR}中任取兩個數(shù)a+6i,c+di(“，b,c,dGR),我們規(guī)定：a+

bi與c+"i相等當且僅當且.

3.復數(shù)的分類

(3=0)，

(1)復數(shù)z=a+歷(a,bSR){［純虛數(shù)，

［非純虛數(shù)W.

(2)復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系

■名師點撥

復數(shù)bigGR)不一定是純虛數(shù)，只有當6#0時，復數(shù)biSdR)才是純虛數(shù).

r自我檢測」

u判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)若a,人為實數(shù)，則2="+歷為虛數(shù).()

(2)復數(shù)Zi=3i,Z2=2i,則Z|>Z2.()

(3)復數(shù)z=8i是純虛數(shù).()

(4)實數(shù)集與復數(shù)集的交集是實數(shù)集.()

瀛若zua+d—l)i(aGR,i為虛數(shù)單位)為實數(shù)，則〃的值為()

A.0B.1

C.-1D.1或一1

?以3i-也的虛部為實部，以一3+5i的實部為虛部的復數(shù)是()

A.3-3iB.3+i

C.一啦+啦iD，V2+V2i

O若(x-2y)i=2x+l+3i,則實數(shù)x,y的值分別為.

「探究互動」

探究點一復數(shù)的概念

『例U下列命題：

①若aWR,則m+l)i是純虛數(shù)；

②若a,beR,且a>b,則a+i>b+i；

③若(f—4)+(f+3x+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x=±2；

④實數(shù)集是復數(shù)集的真子集.

其中正確的命題是()

A.①B.②

C.③D.?

【規(guī)律方法】

判斷與復數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法

(1)舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答這種類型的題時，可

按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進行解答.

(2)化代數(shù)形式：對于復數(shù)實部、虛部的確定，不但要把復數(shù)化為a+bi的形式，更要注意這

里a,b均為實數(shù)時，才能確定復數(shù)的實部、虛部.

『提醒」解答復數(shù)概念題，一定要緊扣復數(shù)的定義，牢記i的性質(zhì).

「跟蹤訓練J對于復數(shù)〃+加3,h&R),下列說法正確的是()

A.若a—0,則a+bi為純虛數(shù)

B.若“+3-l)i=3-2i,則a=3,b=~2

C.若b=0,貝為為實數(shù)

D.i的平方等于1

探究點二復數(shù)的分類

-4-in-6

2

「例2J當實數(shù)〃z為何值時，復數(shù)Z='_--+(m-2m)i：

(1)為實數(shù)？(2)為虛數(shù)？(3)為純虛數(shù)？

【規(guī)律方法】

解決復數(shù)分類問題的方法與步驟

(1)化標準式：解題時一定要先看復數(shù)是否為。+齒(4,8eR)的形式，以確定實部和虛部.

(2)定條件：復數(shù)的分類問題可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復

數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)即可.

(3)下結(jié)論：設所給復數(shù)為z=a+歷(a,bSR),

①z為實數(shù)=匕=0；

②z為虛數(shù)=〃#0；

③Z為純虛數(shù)=4=0且

『跟蹤訓練」

1.若復數(shù)〃2—a—2+(|a—1|-l)i(〃￡R)不是純虛數(shù),則()

A.a=-1B.—1且。羊2

C.QK1D.aW2

2.當實數(shù)m為何值時,復數(shù)lg(m2—2m—7)+(m2+5/n+6)i是:

⑴純虛數(shù);(2)實數(shù).

探究點三復數(shù)相等

『例3』(1)若zi=—3—4i,Z2=(n2-3m—1)+(?2—zn—6)i(w,〃GR),且z\=zi，貝?。輒+n

=()

A.4或0B.-4或0

C.2或0D.-2或0

⑵若logi^—3x—2)+ilog2(x2+2x+1)>1,則實數(shù)x的值是.

【規(guī)律方法】

復數(shù)相等的充要條件

復數(shù)相等的充要條件是“化虛為實”的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù).解決復數(shù)相等問題的步

驟是：分別分離出兩個復數(shù)的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程(組)

求解.

「注意」在兩個復數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a,b,c,dWR,即當a,h,c,

dGR時，a+%i=c+di=a=c且匕=d.若忽略前提條件，則結(jié)論不能成立.

『跟蹤訓練』已知4={1,2,a2-3?-l+(a2-5?-6)i},8={-1,3},ADB=⑶,求實

數(shù)a的值.

『達標反饋』

1.若復數(shù)z=ai2-歷(a,是純虛數(shù)，則一定有()

A.h=0B.。=0且bWO

C.Q=O或b=OD.ab于0

2.若復數(shù)z=tn2—1+(/w2—/n—2)i為實數(shù),則實數(shù)m的值為(

A.-1B.2

C.1D.一1或2

3.若復數(shù)z=(m+l)+(/n2—9)i<0,則實數(shù)m的值等于

—x—6

4.已知一^―=(f—2x—3)i(x￡R),貝Ux=.

★參*考*答*案★

r新知初探』

i.(1)虛數(shù)單位一1

(3)z=a+bi(a,CGR)

2.a=cb=d

3.(1)實數(shù)虛數(shù)a=0“WO

「自我檢測J

G『答案J：⑴*(2)X(3)X(4)V

@「答案」：D

@「答案J：A

7

1^答-

MJ4

『探究互動』

探究點一復數(shù)的概念

『例1J

“解析』」對于復數(shù)。+齒(“，6GR),當。=0且時，為純虛數(shù).對于①，若a=

-1,則(a+l)i不是純虛數(shù)，即①錯誤；兩個虛數(shù)不能比較大小，則②錯誤；對于③，若x

=一2,則/-4=0,d+3x+2=0,此時(1-4)+(/+3犬+2)1=0不是純虛數(shù)，則③錯誤；

顯然，④正確.故選D.

『『答案」』D

『跟蹤訓練』

『解析」：選C.對于A,當。=0時，。+萬也可能為實數(shù)；

對于B,若”+(b—l)i=3—2i,則a=3,b=~\；

對于D,i的平方為-1.

故選C.

探究點二復數(shù)的分類

『例2J

機2-2機=0，

『解』⑴當一即機=2時，復數(shù)z是實數(shù).

⑵當機2—2"滓0且mWO,即〃?W0且時，復數(shù)z是虛數(shù).

〃機wo,

/;?-ni——6

(3)當j號尸=o即加=—3時，復數(shù)z是純虛數(shù).

、加2—2加W0,

『跟蹤訓練』

1.『解析」：選C.復數(shù)々2—。一2+(1〃一1|—l)i(o￡R)不是純虛數(shù)，則有/一〃—2W0或口一

1|—1=0,解得4#—1.故選C.

席一2m-7=1

2.解：⑴復數(shù)加(蘇一21一7)+(川+5"+6)i是純虛數(shù)'則5nl+6#0,解得“二,

[A??2—2w—7>0,

（2）復數(shù)1g（加2—2加-7）+（加2+5m+6）i是實數(shù)，則彳9解得機=-2或/%=-3.

[機-+5〃？+6=0,

探究點三復數(shù)相等

『例3』

IT『解析』』⑴由Z1=Z2，得/-3加一1=—3且/—加一6=-4,解得m=2,〃=±2,所

以加+〃=4或0,故選A.

(2)因為log2(A2—'3x—2)+ilog2(x2+2x+1)>1,

log2（A2—3x—2）>1,X2-3x-2>2,

所以,即a2，+口，解得x=-2.

log2（f+2x+l）=0,

『『答案』』(1)A(2)-2

「跟蹤訓練」

解：由題意知，a2