全國名校高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（12月 第一期）B12 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（含解析）

B12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【數(shù)學(xué)理卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學(xué)期期中考試（11）】22.（本題滿分12分）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù)．（Ⅰ）求實數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，求的最小值．【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（1）1（2）b＞3（3）-2ln2（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，

∵f（x）在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．

（2）∵g（x）=lnx+x2-（b-1）x，∴g′（x）=，x＞0，

由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1-b＜0有解，

∵定義域x＞0，∴x+≥2，x+＜b-1有解，只需要x+的最小值小于b-1，

∴2＜b-1，解得實數(shù)b的取值范圍是{b|b＞3}．

（3）∵g（x）=lnx+x2-（b-1）x，

∴g′（x）==0，∴x1+x2=b-1，x1x2=1

∴g（x1）-g（x2）=ln-（-）∵0＜x1＜x2，∴設(shè)t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt-（t-），0＜t＜1，

則h′（t）=-＜0，∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，

又∵b≥，∴（b-1）2≥，

∵0＜t＜1，∴4t2-17t+4≥0，∴0＜t<，h（t）≥h（）=-2ln2，

故所求的最小值為-2ln2．【思路點撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出實數(shù)a的值．

（2）），由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解即x++1-b＜0有解，由此能求出實數(shù)b的取值范圍．

（3）g（x1）-g（x2）=ln-（-），由此利用構(gòu)造成法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x1）-g（x2）的最大值．【數(shù)學(xué)理卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學(xué)期期中考試（11）】12.函數(shù)，在定義域上表示的曲線過原點，且在處的切線斜率均為.有以下命題：①是奇函數(shù)；②若內(nèi)遞減，則的最大值為4；③的最大值為M，最小值為m，則；④若對恒成立，則的最大值為2.其中正確命題的個數(shù)為（）1個 B.2個 C.3個 D.4個【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】B函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過原點，可得c=0；

又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1，

則有，解得a=0，b=-4．所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．

①可見f（x）=x3-4x是奇函數(shù)，因此①正確；x∈[-2，2]時，[f′（x）]min=-4，則k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④錯誤．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[-，]內(nèi)遞減，則|t-s|的最大值為，因此②錯誤；且f（x）的極大值為f（-）=，極小值為f（）=-，兩端點處f（-2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值為M=，最小值為m=-，則M+m=0，因此③正確．故選B．【思路點撥】首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)f（x）過原點，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題①④得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點，進而求得f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值，則命題②③得出判斷．第Ⅱ卷（90分）【數(shù)學(xué)理卷·屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（11）】20.（本題滿分13分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為2.(Ⅰ)求實數(shù)的值;(Ⅱ)設(shè),討論的單調(diào)性;(Ⅲ)已知且,證明:【知識點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；不等式的證明.B11B12E7【答案】【解析】（Ⅰ）1；(Ⅱ)在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的，此函數(shù)無減區(qū)間；(Ⅲ)證明：見解析.解析：（Ⅰ）所以……1分由題意,得……3分(Ⅱ)，所以……4分設(shè)當時，，是增函數(shù)，，所以，故在上為增函數(shù)；……………5分當時，，是減函數(shù)，，所以，故在上為增函數(shù)；所以在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的。……………8分(Ⅲ)因為，由（Ⅱ）知成立，即，………9分從而，即………12分所以?！?3分【思路點撥】（Ⅰ）、由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，解得m值；(Ⅱ)、定義域上導(dǎo)函數(shù)大于零的x范圍是增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)小于零的x范圍是減區(qū)間；(Ⅲ)、由(Ⅱ)知在上單調(diào)遞增，而，所以，即.【典例剖析】綜合法是證明不等式的常用方法，但尋找推證不等式的基礎(chǔ)不等式比較困難.本題第(Ⅲ)問的證明，采用了第(Ⅱ)問的結(jié)論：函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而得，由此變形、拆項，再用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證得結(jié)論,總的來說這是一個較典型的考題.【數(shù)學(xué)理卷·屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（11）】15、對于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)P.（1）下列函數(shù)中具有性質(zhì)P的有①②③，（2）若函數(shù)具有性質(zhì)P，則實數(shù)的取值范圍是.【知識點】函數(shù)中的新概念問題；導(dǎo)數(shù)法求最值.B1B12【答案】【解析】(1)①②；（2），或.解析：（1）①由x=1得：，所以①具有性質(zhì)P.②設(shè)，∵h(0)=-1<0,,∴在上有解，所以②具有性質(zhì)P.③由，所以③不具有性質(zhì)P；（2）若函數(shù)具有性質(zhì)P，則在上有解，令，可得h(x)在有最小值，所以或.【思路點撥】（1）只需分析方程xf(x)=1在函數(shù)f(x)的定義域上是否有解即可；（2）轉(zhuǎn)化為方程在上有解，即在函數(shù)的值域上取值，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即可.【數(shù)學(xué)理卷·屆湖南省瀏陽一中、攸縣一中、醴陵一中三校高三聯(lián)考（11）】10、已知，曲線恒過點，若是曲線上的動點，且的最小值為，則().A.B.-1C.2D.1【知識點】指數(shù)函數(shù)的定點性；向量數(shù)量積的坐標運算；導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.B6F2F3B12【答案】【解析】D解析：根據(jù)題意得B(0，1),設(shè)，則，即函數(shù)有最小值0.因為，所以當a時f(x)無最小值；當a>0時，有時f(x)=0,即，顯然a=1是此方程的解，故選D.【思路點撥】易得B（0,1），設(shè)出點P坐標，利用向量數(shù)量積德坐標運算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)取得最值得條件.【數(shù)學(xué)理卷·屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（11）】21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中為常數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若存在兩個極值點,求證：無論實數(shù)取什么值都有,【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。B12【答案】【解析】(1)當時在區(qū)間上單調(diào)遞增當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，(2)見解析。解析：（1）函數(shù)的定義域為,記，判別式=1\*GB3①當即時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增=2\*GB3②當時，方程有兩個不同的實數(shù)根記顯然（=1\*romani）若，圖象的對稱軸，兩根在區(qū)間可知當時函數(shù)單調(diào)遞增，，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞增（=2\*romanii）若,則圖象的對稱軸，，所以，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減當時，，所以，所以在上單調(diào)遞增綜上，當時在區(qū)間上單調(diào)遞增當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知當時，沒有極值點，當時，有兩個極值點，且；，，又，記，，則，所以在時單調(diào)遞增，，所以，所以?！舅悸伏c撥】（1）先求出定義域，再結(jié)合判別式對方程的進行討論，進而判斷出單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)求導(dǎo)后得到根再結(jié)合單調(diào)性證明即可?！緮?shù)學(xué)理卷·屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（11）】2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在極值的是() A. B. C. D.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．B12B4【答案】【解析】D解析：由題可知，B、C選項不是奇函數(shù)，A選項單調(diào)遞增（無極值），而D選項既為奇函數(shù)又存在極值．故選D.【思路點撥】根據(jù)奇函數(shù)、存在極值的條件，即可得出結(jié)論．【數(shù)學(xué)理卷·屆河南省實驗中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】21.(本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)的極值點;（2）當時，若對任意的，恒有，求的取值范圍;（3）證明：【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（1）極大值點.(2)(3)略（1）∵，∴的定義域為，當時，，在上無極值點.當，令、隨的變化情況如下表：x+0-[來源?？?。Z。X遞增極大值遞減從上表可以看出：當p>0時，f(x)有唯一極大值點.(2)由（1）可知，當p>0時，f(x)在處卻極大值，此極大值也是最大值。要使f(x)0恒成立，只需0.解得p,故p的取值范圍為。(3)令p=1,由（2）可知，lnx-x+10，即lnxx-1.()==.【思路點撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求出極值，再根據(jù)求和證明結(jié)果?！緮?shù)學(xué)理卷·屆河南省實驗中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】11.設(shè)p:在內(nèi)單調(diào)遞增,q:,則p是q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】B由題意得f′（x）=ex++4x+m，

∵f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，∴f′（x）≥0，ex++4x+m≥0在定義域內(nèi)恒成立，由于+4x≥4，當且僅當=4x即x=時等號成立，故對任意的x∈（0，+∞），必有ex++4x＞5∴m≥-ex--4x不能得出m≥-5

但當m≥-5時，必有ex++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立

∴p不是q的充分條件，p是q的必要條件，即p是q的必要不充分條件故選B．【思路點撥】首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出m的范圍．【數(shù)學(xué)理卷·屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】21、（本小題滿分12分）已知函數(shù)，在處的切線與直線垂直，函數(shù)（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，若，求的最小值。【知識點】導(dǎo)數(shù)與函數(shù).B11,B12【答案】【解析】(1)a=1（2）{b|b＞3}（3）﹣2ln2解析：解：（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1．（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定義域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得實數(shù)b的取值范圍是{b|b＞3}．（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）∵0＜x1＜x2，∴設(shè)t=，0＜t＜1，令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，則h′（t）=﹣＜0，∴h（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，∴0＜t，h（t）≥h（）=﹣2ln2，故所求的最小值為﹣2ln2．【思路點撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出實數(shù)a的值．（2）），由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出實數(shù)b的取值范圍．（3）g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），由此利用構(gòu)造成法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g（x1）﹣g（x2）的最大值．【數(shù)學(xué)理卷·屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（11）】21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）當時，求的最小值；（2）在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù),若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）求證：（其中）.【知識點】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．B12【答案】【解析】(1)；(2)（3）見解析解析：（1）得上遞減，上遞增。.…………………4分（2），表示點與點連成的斜率，又，，即函數(shù)圖象在區(qū)間任意兩點連線的斜率大于1，即內(nèi)恒成立……….6分所以，當恒成立.設(shè)若當上單調(diào)遞減；當上單調(diào)遞增……8分又故……………9分（3）由（2）得，，∴，∴，∴，==1﹣，∴+++…+＜．【思路點撥】（1）把a=0代入函數(shù)解析式，然后直接利用導(dǎo)數(shù)求最小值；（2）把化為，表示點與點連成的斜率，，即函數(shù)圖象在區(qū)間（2，3）任意兩點連線的斜率大于1，即f′（x）=2ax+lnx+1＞1在x∈（2，3）內(nèi)恒成立．然后利用分離變量法結(jié)合導(dǎo)數(shù)得答案；（3）由（2）得，，即得到，然后利用錯位相減法求數(shù)列的和，放縮后得答案．【數(shù)學(xué)理卷·屆安徽省“江淮十校”高三11月聯(lián)考（11）WORD版】21.(本小題滿分13分)已知函數(shù)，其中.若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【知識點】函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案】【解析】解析：即設(shè)則7分當時,函數(shù)單調(diào)遞減;當時,函數(shù)單調(diào)遞增;最小值實數(shù)的取值范圍是;10分【思路點撥】因為即分離處參數(shù)，令求導(dǎo)數(shù),確定的單調(diào)性，利用單調(diào)性進行求解.【數(shù)學(xué)文卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學(xué)期期中考試（11）】22.（本題滿分12分）已知函數(shù)（均為正常數(shù)），設(shè)函數(shù)在處有極值.（1）若對任意的，不等式總成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（1）（2）∵，∴，由題意，得，解得.

（1）不等式等價于對于一切恒成立.

記，則∵，∴，∴，∴，從而在上是減函數(shù).∴，于是.

（2），由，得，即.

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，則有，即，∴時，【思路點撥】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值求出b的范圍，求出單調(diào)區(qū)間求出m的范圍。【數(shù)學(xué)文卷·屆遼寧省沈陽二中高三上學(xué)期期中考試（11）】12.函數(shù)，在定義域上表示的曲線過原點，且在處的切線斜率均為.有以下命題：①是奇函數(shù)；②若內(nèi)遞減，則的最大值為4；③的最大值為M，最小值為m，則；④若對恒成立，則的最大值為2.其中正確命題的個數(shù)為（）1個 B.2個 C.3個 D.4個【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】B函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過原點，可得c=0；

又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1，

則有，解得a=0，b=-4．所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．

①可見f（x）=x3-4x是奇函數(shù)，因此①正確；x∈[-2，2]時，[f′（x）]min=-4，則k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④錯誤．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[-，]內(nèi)遞減，則|t-s|的最大值為，因此②錯誤；且f（x）的極大值為f（-）=，極小值為f（）=-，兩端點處f（-2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值為M=，最小值為m=-，則M+m=0，因此③正確．故選B．【思路點撥】首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)f（x）過原點，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題①④得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點，進而求得f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值，則命題②③得出判斷．第Ⅱ卷（90分）【數(shù)學(xué)文卷·屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（11）】21.（本小題滿分13分）已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最大值是，求的值；（3）記，當時，求證：對任意，總有【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；不等式的證明．B12【答案】【解析】(1)當時，的增區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是．(2)；（3）見解析。解析：（1）的定義域是．．當時，，故在上是增函數(shù)；當時，令，則，（舍去）當時，，故在上是增函數(shù)；當時，，故在上是減函數(shù)．故當時，的增區(qū)間是；當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是．(4分)（2）①當時，在上是增函數(shù)，故在上的最大值為，顯然不合題意；②若，即時，，則在上是增函數(shù)，故在上最大值為，不合題意，舍去；③若，即時，在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故在上的最大值是，解得：，符合．綜合①、②、③得：．（8分）（3），則，當時，，故當時，在上為減函數(shù)．不妨設(shè)，則，故等價于，即．記，下面證明當時，由得：，從而在上為減函數(shù)，故當時，，即有：，故當時，對任意，總有（13分）【思路點撥】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對a≥0和a＜0進行分類，當a≥0時，導(dǎo)函數(shù)恒大于0，當a＜0時，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號，判斷出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中求出的單調(diào)區(qū)間，判斷出函數(shù)在（0，1]上的單調(diào)性，進一步求出函數(shù)在（0，1]上的最大值，由最大值等于﹣2求解a的值，符合條件保留，否則舍去；（3）把函數(shù)f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1，求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)后，由a≤﹣2可知其導(dǎo)函數(shù)小于0，得到函數(shù)g（x）為定義域上的減函數(shù)，不妨規(guī)定x1和x2的大小，把要證的不等式取絕對值移向變形，使問題轉(zhuǎn)化成證明一個函數(shù)的單調(diào)性問題，最后利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性．【數(shù)學(xué)文卷·屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（11）】20.（本小題滿分13分）某企業(yè)年的純利潤為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進行技術(shù)改造，預(yù)測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年(今年為第一年)的利潤為500(1＋eq\f(1,2n))萬元(n為正整數(shù))．(1)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元，進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達式；(2)依上述預(yù)測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤？【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；不等式的證明．B12【答案】【解析】(1)An＝490n－10n2，Bn＝500n－eq\f(500,2n)－100.(2)至少經(jīng)過4年進行技術(shù)改造后累計純利潤將超過不改造的累計純利潤．解析：(1)依題意知，數(shù)列{An}是一個以500為首項，－20為公差的等差數(shù)列，所以An＝480n＋eq\f(nn－1,2)×(－20)＝490n－10n2，Bn＝500(1＋eq\f(1,2))＋500(1＋eq\f(1,22))＋…＋500(1＋eq\f(1,2n))－600＝500n＋500(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n))－600＝500n＋500×eq\f(\f(1,2)[1－\f(1,2)n],1－\f(1,2))－600＝500n－eq\f(500,2n)－100.(2)依題意得，Bn>An，即500n－eq\f(500,2n)－100>490n－10n2，可化簡得eq\f(50,2n)<n2＋n－10，所以可設(shè)f(n)＝eq\f(50,2n)，g(n)＝n2＋n－10.又因為n∈N，f(n)是減函數(shù)，g(n)是增函數(shù)．又f(3)＝eq\f(50,8)>g(3)＝2，f(4)＝eq\f(50,16)<g(4)＝10，則n≥4時不等式成立，即至少經(jīng)過4年進行技術(shù)改造后累計純利潤將超過不改造的累計純利潤．【思路點撥】（1）根據(jù)每年比上一年純利潤減少20萬元，可得An的表達式；根據(jù)年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造，預(yù)測在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（年為第1年）的利潤為500（1+）萬元，可得Bn的表達式；（2）作差，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．【數(shù)學(xué)文卷·屆湖南省岳陽一中高三上學(xué)期第三次月考（11）】19.（本小題滿分13分）已知函數(shù)．(Ⅰ)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；(Ⅱ)若函數(shù)在處取得極值，對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題；函數(shù)在某點取得極值的條件．B11B12【答案】【解析】(Ⅰ)當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．(Ⅱ)。解析：(Ⅰ)，當時，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點． 6分(Ⅱ)∵函數(shù)在處取得極值，∴，∴，令，可得在上遞減，在上遞增，∴，即． 13分【思路點撥】(Ⅰ)由f（x）=ax﹣1﹣lnx可求得f′（x）=，對a分a≤0與a＞0討論f′（x）的符號，從而確定f（x）在其定義域（0，+∞）單調(diào)性與極值，可得答案；(Ⅱ)函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2?1+﹣≥b，構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+﹣，g（x）min即為所求的b的值．【數(shù)學(xué)文卷·屆河南省實驗中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有公共點，求實數(shù)的取值范圍．【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）∵，∴且．又∵，∴．∴在點處的切線方程為：，即．（Ⅱ）（i）當，即時，由在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴當時，取得最大值，即．又當時，，當時，，當時，，所以，的圖像與的圖像在上有公共點，等價于，解得，又因為，所以．（ii）當，即時，在上是增函數(shù)，∴在上的最大值為，∴原問題等價于，解得，又∵∴無解綜上，的取值范圍是．【思路點撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，利用單調(diào)性求出最值求出a的范圍。請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．【數(shù)學(xué)文卷·屆河南省實驗中學(xué)高三上學(xué)期期中考試（11）】11．函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)是，若，且當時，，設(shè)、、，則()A．B．C．D．【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】C∵x∈（-∞，1）時，∴（x-1）f'（x）＜0，∴f'（x）＞0，

∴f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，又∵f（x）=f（2-x），∴f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，

∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，

又∵a=f（0）=f（2），b=f（），c=f（log28）=f（3），

∴3＞2＞，∴c＜a＜b．故選：C．【思路點撥】先由x∈（-∞，1）時，（x-1）f′（x）＜0，得函數(shù)f（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)；又f（x）=f（2-x）得f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，則f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，然后將f（0），f（），f（log28）化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較即可．【數(shù)學(xué)文卷·屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（11）】21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，若在上的最小值記為。（1）求；（2）證明：當時，恒有【知識點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用。B12【答案】【解析】（1）；（2）見解析解析：（1）因為，所以（ⅰ）當時，若，則，故在上是減函數(shù)；若，則，故在上是增函數(shù)；所以………2分（ⅱ）當時，有，則，故在（-1，1）上是減函數(shù)，所以……………4分綜上，……………6分（2）證明：設(shè)h（x）=f（x）﹣g（a），①當0＜a＜1時，g（a）=a3，若x∈[a，1]，h（x）=x3+3x﹣3a﹣a3，h′（x）=3x2+3，∴h（x）在[a，1]上是增函數(shù)，所以在設(shè)的最大值是，且，所以,故若，得，則在上是減函數(shù)，所以在設(shè)的最大值是……8分令,則知在上是增函數(shù)，所以，，即故………10分②a≥1時，g（a）=﹣2+3a，∴h（x）=x3﹣3x+2，∴h′（x）=3x2﹣3，∴h（x）在[﹣1，1]上是減函數(shù)，∴h（x）在[﹣1，1]上的最大值是h（﹣1）=4，∴f（x）≤g（a）+4；綜上，當x∈[﹣1，1]時，恒有f（x）≤g（a）+4．【思路點撥】（1）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求g（a）；（2）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（a），分類討論，求最值，可以證明x∈[﹣1，1]時，恒有f（x）≤g（a）+4．【數(shù)學(xué)文卷·屆江西省贛州市十二縣（市）高三上學(xué)期期中聯(lián)考（11）】20.（本小題滿分13分）（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若在上不單調(diào)且僅在處取得最大值，求的取值范圍．【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．B12【答案】【解析】（1）f(x)的增區(qū)間為減區(qū)間為（2）解析：(1)……………2分當時，增區(qū)間為，…………4分當時，則f(x)的增區(qū)間為減區(qū)間為……6分，設(shè)……7分若在上不單調(diào)，則，………9分同時僅在處取得最大值，所以只要即可得出:,……11分則的范圍：.……………13分【思路點撥】（1）可求得，對參數(shù)分與討論，即可得到f′（x）的符號，從而可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）可求得，設(shè)，利用在上不單調(diào)，可得，從而可求得，再利用條件僅在處取得最大值，可求得，兩者聯(lián)立即可求得的范圍．【數(shù)學(xué)文卷·屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（11）】22．（本小題12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若的最小值為0，回答下列問題：（?。┣髮崝?shù)的值；（ⅱ）設(shè)，（）是函數(shù)圖象上的兩點，且曲線在點處的切線與直線平行，求證：．【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案】【解析】（Ⅰ）時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（Ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）略解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，且．當時，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；當時，由，解得；由，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上述：時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲敃r，無最小值，不合題意；當時，令，則，由，解得；由，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．故，即當且僅當時，=0．因此，．（ⅱ）因為，所以直線AB的斜率．依題意，可得，即．令，于是==．由（?。┲?，當時，，于是，即成立．分==．由（?。┲?，當時，，即，于是，即成立．綜上，成立．【思路點撥】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式與，與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的證明不等式問題，通常利用函數(shù)的單調(diào)性進行證明.【數(shù)學(xué)文卷·屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（11）】12．若，則下列各結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【知識點】不等式的性質(zhì)基本不等式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用E1E6B12【答案】【解析】D解析：因為b＞a＞3,所以,又，當x∈(e,＋∞)時，，所以該函數(shù)在區(qū)間(e,＋∞)上單調(diào)遞減，則有，所以選D.【思路點撥】利用導(dǎo)數(shù)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用不等式的性質(zhì)及基本不等式判斷自變量的大小關(guān)系，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【數(shù)學(xué)文卷·屆江西省師大附中高三上學(xué)期期中考試（11）】7．函數(shù)在(0,1)內(nèi)有極小值，則()A．B．C．D．【知識點】函數(shù)的極值B12【答案】【解析】A解析：因為，若函數(shù)在(0,1)內(nèi)有極小值，則，即，解得0＜b＜1，所以選A.【思路點撥】函數(shù)的極小值點即為導(dǎo)數(shù)等于0的點，且在左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0，右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0.【數(shù)學(xué)文卷·屆安徽省“江淮十校”高三11月聯(lián)考（11）WORD版】9．已知函數(shù)，其中，為參數(shù)，且．若函數(shù)的極小值小于，則參數(shù)的取值范圍是（）[A.B.C.D.【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)B12C3【答案】【解析】D解析：由題意可得，因為，所以，可得函數(shù)在和上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以在處取得極小值，即，解得，又因為，所以，故選擇D.【思路點撥】由題意可得函數(shù)在處取得極小值，代入可得不等式，即可得到結(jié)果.【數(shù)學(xué)文卷·屆安徽省“江淮十?！备呷?1月聯(lián)考（11）WORD版】9．已知函數(shù)，其中，為參數(shù)，且．若函數(shù)的極小值小于，則參數(shù)的取值范圍是（）[A.B.