2024年全國(guó)碩士研究生考試《數(shù)學(xué)三》真題及答案

2024年全國(guó)碩士研究生考試《數(shù)學(xué)三》真題及答案[單選題]1.設(shè)函數(shù)，則f（x）()。A.在x＝1，x＝－1處都連續(xù)B.在x＝1處連續(xù)，x＝－1處不連續(xù)C.在x＝1，x＝－1處都不連續(xù)D.在x＝1處不連續(xù)，x＝－1處連續(xù)正確答案：D參考解析：根據(jù)題意，可得：由于，，所以在x＝1處不連續(xù)。由于，，所以在x＝－1處連續(xù)。故選擇D項(xiàng)。[單選題]2.設(shè)，k為整數(shù)，則I的值()。A.只與a有關(guān)B.只與k有關(guān)C.與a、k均有關(guān)D.與a、k均無關(guān)正確答案：B參考解析：由于kπ是｜sinx｜的周期，所以。因此，該積分值只與k有關(guān)。故選擇B項(xiàng)。[單選題]3.設(shè)f（x，y）是連續(xù)函數(shù)，則()。A.B.C.D.正確答案：A參考解析：積分區(qū)域?yàn)镈：，sinx≤y≤1，故交換積分次序可得：故選擇A項(xiàng)。[單選題]4.設(shè)冪級(jí)函數(shù)的和函數(shù)為ln（2＋x），則()。A.B.C.D.正確答案：A參考解析：方法一：所以，。當(dāng)n＞0，。所以，。故選擇A項(xiàng)。方法二：S（0）＝C＝ln（2＋0）＝ln2所以，。所以，。故選擇A項(xiàng)。[單選題]5.設(shè)二次型在正交變換下可化成，則二次型f的矩陣A的行列式與跡分別為()。A.－6，－2B.6，－2C.－6，2D.6，2正確答案：C參考解析：由題意可知，A的特征值為1，－2，3。因此，可得，，故選擇C項(xiàng)。[單選題]6.設(shè)A為3階矩陣，，若，則A＝()。A.B.C.D.正確答案：C參考解析：由，則可得：故選擇C項(xiàng)。[單選題]7.設(shè)矩陣，Mij表示A的i行j列元素的余子式。若，且－M21＋M22－M23＝0，則()。A.a＝0或B.a＝0或C.b＝1或D.b＝－1或正確答案：B參考解析：由－M21＋M22－M23＝0，可得A21＋A22＋A23＝0。則，于是b＝a＋1。，可得a＝0或。故選擇B項(xiàng)。[單選題]8.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，則X的三階中心距E（X－EX）3＝()。A.B.0C.D.正確答案：B參考解析：根據(jù)題意，可得：故選擇B項(xiàng)。[單選題]9.隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，其中X～N（0，2），Y～N（－1，1），記p1＝P{2X＞Y}，p2＝P{X－2Y＞1}，則()。A.B.C.D.正確答案：B參考解析：Y－2X～（－1，32），所以。，所以。因?yàn)棣担▁）單增，所以。故選擇B項(xiàng)。[單選題]10.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，令Z＝｜X－Y｜，則下列隨機(jī)變量與Z同分布的是()。A.X＋YB.C.2XD.X正確答案：D參考解析：令Z＝｜X－Y｜，則FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{｜X－Y｜≤z}。當(dāng)z＜0時(shí)，F(xiàn)Z（z）＝0。當(dāng)z≥0時(shí)，所以，。顯然Z＝｜X－Y｜與X同分布。故選擇D項(xiàng)。[問答題]1.設(shè)平面有界區(qū)域D位于第一象限，由曲線，xy＝3與直線，y＝3x圍成，計(jì)算。正確答案：詳見解析參考解析：積分區(qū)域的圖像關(guān)于y＝x對(duì)稱，由輪換對(duì)稱性可得：因此，有：[問答題]2.設(shè)函數(shù)z＝z（x，y）由方程z＋ex－yln（1＋z2）＝0確定，求。正確答案：詳見解析參考解析：將（x，y）＝（0，0）代入原方程，可得z（0，0）＝－1。原方程對(duì)x求偏導(dǎo)可得：，從而。繼續(xù)對(duì)x求偏導(dǎo)可得：，從而。原方程對(duì)y求偏導(dǎo)可得：，從而。繼續(xù)對(duì)y求偏導(dǎo)可得：，從而。綜上，。[問答題]3.設(shè)t＞0，平面有界區(qū)域D由曲線y＝xe－2x與直線x＝t，x＝2t及x軸圍成，D的面積為S（t），求S（t）的最大值。正確答案：詳見解析參考解析：根據(jù)題意，可得：則S′（t）＝－te－2t（1－4e－2t），令S′（t）＝0，可得t＝ln2。因?yàn)閠∈（ln2－δ，ln2）有S′（t）＞0，t∈（ln2，ln2＋δ）有S′（t）＜0。所以t＝ln2為S（t）的極大值點(diǎn)即最大值點(diǎn)。故最大值為：。[問答題]4.設(shè)函數(shù)f（x）具有2階導(dǎo)數(shù)，且f′（0）＝f′（1），｜f″（x）｜≤1，證明：（1）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，；（2）。正確答案：詳見解析參考解析：（1）證明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。令。因?yàn)镕（0）＝0，F(xiàn)（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（｜f″（x）｜≤1）所以F（x）為凹函數(shù)，因此F（x）≥0。所以。令。因?yàn)镕（0）＝0，F(xiàn)（1）＝0。且F″（x）＝f″（x）－1≤0。（｜f″（x）｜≤1）所以F（x）為凸函數(shù)，因此F（x）≥0。所以。綜上，。（2）由（1）中由第（1）中綜上，。[問答題]5.設(shè)矩陣，，向量，。（1）證明：方程組的解均為方程組的解；（2）若方程組與方程組不同解，求a的值。正確答案：詳見解析參考解析：（1）證明：由于故，故與同解，故的解均為的解。（2）由于的解均為的解，若與同解，則與題意矛盾，故的解是解的真子集，故基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)小于基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)，則3－r（A）＜3－r（B），故r（A）＞r（B），又由故r（A）＝3，故r（B）＜3，則，得a＝1。[問答題]6.設(shè)總體X服從[0，θ]上的均勻分布，其中θ∈（0，＋∞）為未知參數(shù)，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記X（n）＝max{X1，X2，…，Xn}，Tc＝cX（n）。（1）求c，使得E（Tc）＝θ；（2）記h（c）＝E（Tc－θ）2，求c使得h（c）最小。正確答案：詳見解析參考解析：（1）X的概率密度為，X的分布函數(shù)為。X（n）的分布函數(shù)為：FX（n）（x）＝P{max{X1，X2，…，Xn}≤x}＝P{X1≤x，X2≤x，…，Xn≤x}＝P{X1≤x}·P{X2≤x}……P{Xn≤x}＝Fn（x）X（n）的概率密度為。，令，得。（2）令h′（c）＝0，得。，所以當(dāng)時(shí)，h（c）最小。[填空題]1.當(dāng)x→0時(shí)，與xk是同階無窮小，則k＝()。正確答案：3參考解析：令，則。則。所以，。因此，k＝3。[填空題]2.()。正確答案：參考解析：令所以，可得，解得：。所以，。因此，[填空題]3.函數(shù)f（x，y）＝2x3－9x2－6y4＋12x＋24y的極值點(diǎn)是()。正確答案：（1，1）參考解析：由，可得駐點(diǎn)（1，1）和（2，1）。，，。①對(duì)于駐點(diǎn)（1，1）：A＝－6，B＝0，C＝－72，由AC－B2＞0且A＜0可知，駐點(diǎn)（1，1）是f（x，y）的極小值點(diǎn)。②對(duì)于駐點(diǎn)（2，1）：A＝6，B＝0，C＝－72，由AC－B2＜0可知，駐點(diǎn)（2，1）不是f（x，y）的極值點(diǎn)。[填空題]4.某產(chǎn)品的價(jià)格函數(shù)為（p為單價(jià)，單位：萬元；Q為產(chǎn)量，單位：件），總成本函數(shù)為C＝150＋5Q＋0.25Q2（萬元），則經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品可獲得的最大利潤(rùn)為()（萬元）。正確答案：50參考解析：根據(jù)題意，可得：L（20）＝50，所以最大利潤(rùn)為50萬元。[填空題]5.設(shè)A為三階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣，若r（2E－A）＝1，r（E＋A）＝2，則｜A*｜＝()。正確答案：16參考解析：由r（2E－A）＝1，故λ＝2至少為二重特征根，由r（E＋A）＝2，故λ＝－1至少為一重特征