湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2025屆高三年級八月智學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，則（）A． B．2 C． D．34．若的二項(xiàng)展開式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則其展開式中的系數(shù)為（）A．8 B．28 C．70 D．2525．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓臺的底面半徑分別是和，且，圓臺的側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（）圖1圖2A． B． C． D．6．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱，且在上沒有最小值，則的值為（）A． B．1 C． D．28．已知拋物線C：和圓，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，圓上的兩點(diǎn)滿足，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則到直線的最大距離為（）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（）A．極差是4 B．眾數(shù)小于平均數(shù)C．方差是1.8 D．?dāng)?shù)據(jù)的80%分位數(shù)為410．已知正方體的棱長為2，在矩形內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)始終滿足與平面所成的角是，則下列結(jié)論正確的是（）A．多面體的體積為B．動點(diǎn)運(yùn)動軌跡的長度為C．不存在點(diǎn)，使得平面平面D．在正四面體的內(nèi)部有一個(gè)可以任意轉(zhuǎn)動的正四面體，則此四面體的棱長可以是0.9311．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為和都是奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．在中，，則的面積是______．13．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，且滿足，則______．14．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為______．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，平面平面，點(diǎn)在上，．（1）求的值；（2）若四棱錐的體積是，求二面角的余弦值16．（本小題滿分15分）已知函數(shù)．（1）若，求過原點(diǎn)且與相切的切線方程；（2）若關(guān)于的不等式對所有成立，求的取值范圍．17．（本小題滿分15分）某品牌專賣店統(tǒng)計(jì)歷史消費(fèi)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：進(jìn)店消費(fèi)的顧客的消費(fèi)額X（單位：元）服從正態(tài)分布．為回饋廣大顧客，專賣店對消費(fèi)達(dá)一定金額的顧客開展了品牌知識有獎(jiǎng)答題活動，顧客需要依次回答兩類試題，若顧客答對第一類題，則回答第二類題，若顧客沒有答對第一類題，則不再答第二類題，直接結(jié)束有獎(jiǎng)答題活動．對于每一類題，答錯(cuò)得0分，答對得10分，兩類題總分20分，答題結(jié)束后可減免與得分相同數(shù)額的現(xiàn)金（單位：元）．每類試題均有兩次答題機(jī)會，在任意一類試題中，若第一次回答正確，則認(rèn)為答對該類試題，就不再進(jìn)行第二次答題．若第一次回答錯(cuò)誤，則進(jìn)行第二次答題，若第二次答題正確，則也認(rèn)為答對該類試題；若第二次回答錯(cuò)誤，則認(rèn)為答錯(cuò)該類試題．（1）若某天有200位進(jìn)店消費(fèi)的顧客，請估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；附：若，則．（2）某顧客消費(fèi)達(dá)到指定金額后可參與答題活動，類題中的兩次答題機(jī)會答對的概率都是，類題中的兩次答題機(jī)會答對的概率都是，且每次答題相互獨(dú)立．若答題結(jié)束后可減免的現(xiàn)金數(shù)額為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（本小題滿分17分）橢圓的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離是1，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）直線分別交直線于兩點(diǎn)，且，求直線的斜率．19．（本小題滿分17分）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足兩個(gè)性質(zhì)：①；②存在，使得，并記．則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若，寫出所有具有性質(zhì)的數(shù)列；（2）若，求的最大項(xiàng)的最大值；（3）若，且滿足以下兩條性質(zhì)：（?。τ跐M足的項(xiàng)和，在的余下的項(xiàng)中，總存在滿足的項(xiàng)和，使得；（ⅱ）對于滿足的項(xiàng)和，在的余下的項(xiàng)中，總存在滿足的項(xiàng)和，使得．求滿足上述性質(zhì)的的最小值．

2025屆高三年級八月智學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)答案詳解1．【答案】B【詳解】解不等式，得，即，函數(shù)有意義，得，解得，則，所以．故選：B．2．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，所以對?yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選：A．3．D【分析】對兩邊平方化簡可得，再對平方化簡后再開方即可．【詳解】由兩邊平方得，，所以，所以，所以，故選：D．4．【答案】D【詳解】易知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和，則展開式的通項(xiàng)公式：令，所以的系數(shù)為．故選：D．5．【答案】C【詳解】，母線長．圓臺的高，則圓臺上下底面面積為，由圓臺的體積計(jì)算公式可得：．故選：C．6．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則即，即對于恒成立，所以，即．，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則易知，在上單調(diào)遞增，所以．故選：A．7．【答案】C【詳解】，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線軸對稱，所以，故，即，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，因?yàn)樵谏蠜]有最小值，所以，即，由，解得，故，得．8．【答案】A【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，圓，其圓心，半徑．設(shè)點(diǎn)是滿足的任意一點(diǎn)，則化簡得．所以是圓與圓的公共弦，將圓與圓的方程相減得，直線的方程為，取線段的中點(diǎn)，連接，則，則，故選：A．9．【答案】AC【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，3，3，3，3，4，5，5．對于A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B，眾數(shù)為3，平均數(shù)為，兩者相等，故B錯(cuò)誤；對于C，，故C正確；對于D，，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)4.5，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．【答案】ABD【詳解】，所以A正確．因?yàn)槠矫?，所以是直線與平面所成的角，依題設(shè)，，又在矩形內(nèi)，所以B正確：當(dāng)點(diǎn)在對角線上時(shí)，平面即為平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，同理平面，又因?yàn)?，所以平面平面，故C錯(cuò)誤；對于D：容易求得正四面體的高，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑是，則，所以，設(shè)半徑是的球的內(nèi)接正四面體的邊長為，則可將內(nèi)接正四面體補(bǔ)形成邊長為的正方體，則，解得，所以D正確．11．ABD【詳解】對于A：由為奇函數(shù)，則，則，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故A正確；對于B：由為奇函數(shù)，則，即得為常數(shù)，令，即得，則，故，即，則，又為奇函數(shù)，所以，即，可得，故，故，即，即是奇函數(shù)，故B正確；對于C：由于，故，即，故4是的一個(gè)周期，又，即，所以為周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)椋?，即，所以，故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)槭荝上的奇函數(shù)，故，結(jié)合得，，故，故D正確．故選：ABD12．【答案】【詳解】由余弦定理，得，解得（負(fù)值舍），所以，的面積，故答案為：．13．【答案】2【詳解】由，得，又，則，從而【詳解】邊接，由關(guān)于原點(diǎn)對稱，可知四邊形是平行四邊形，即，由得：，又由雙曲線的定義得，解得，再由余弦定理得：，，即，再由，故漸近線方程為：，15．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，平面，所以，所以．由四邊形是直角梯形，且．在直角中，，可得，從而是等邊三角形，，所以．從而，所以?）解：因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，，所以．以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，在等邊中，，如圖，，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，法向量令得，，而是平面的一個(gè)法向量，所以二面角的余弦值．【備注】幾何法給滿分16．【詳解】（1）若，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)是，則切線斜率，切線方程是，因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以，解得，，所以切線方程是；（2）首先注意到，①若，則在時(shí)恒成立，故單調(diào)遞減，則對所有，不滿足題意，故舍去；②若，則，令得，；令得，．所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（?。┤?，則，即，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則不滿足題意，故舍去；（ⅱ）若，則，即，所以在上單調(diào)遞增，則對所有，，符合題意．綜上所述，的取值范圍是．【備注】用切線放縮做，只要過程嚴(yán)謹(jǐn)，給滿分．17．【詳解】（1）由題意，若某天該商場有200位顧客，估計(jì)該天消費(fèi)額在內(nèi)的人數(shù)為；（2）設(shè)的取值為，則，，所以的分布列為01020數(shù)學(xué)期望．【備注】第二問，討論A為一類或二類給滿分，只要最終結(jié)果出現(xiàn)就行．17．【詳解】（1）由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離是1，故，則，解得，，即橢圓的方程為；（2）設(shè)，由題可知，，則，所以①由題意，設(shè)所在的直線方程為，聯(lián)立可得，，且，解得依據(jù)韋達(dá)定理，，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，則依題設(shè)，，則，即，化簡得，依題設(shè)，，所以，滿足合題意．綜上所述，直線的斜率．【備注】不檢驗(yàn)扣一分．19．【詳解】（1）有三種結(jié)果：或或；（1）當(dāng)時(shí)，．由，累乘得①；又由，將①②相乘得，又，所以．所以數(shù)列的最大項(xiàng)的最大值為，滿足條件的數(shù)列為（3）①討論項(xiàng)數(shù)滿足的情況：因?yàn)閿?shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)楫?dāng)，都有，所以或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，這與在剩下的項(xiàng)中總存