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特殊平行四邊形(壓軸題專練)題型01:存在性問(wèn)題1.如圖,平面直角坐標(biāo)系中直線:分別與軸,軸交于點(diǎn)和點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),.(1)求直線的解析式;(2)若為線段上一點(diǎn),為線段上一點(diǎn),當(dāng)時(shí),求的最小值,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在(2)的結(jié)論下,將沿射線方向平移得,使落在直線上,若為直線上一點(diǎn),為平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí),請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2),(3),,,【分析】(1)根據(jù)直線的解析式可以求得點(diǎn)的坐標(biāo),再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法可以求出直線的解析式;(2)根據(jù)可以求出的面積,設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn),且滿足,過(guò)點(diǎn)作直線的平行線,與直線的交點(diǎn)就是點(diǎn),進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo),求的最小值,關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,利用垂線段最短可求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)先根據(jù)題意,找到點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)菱形的性質(zhì),可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】(1)解:在中,令,得,,令,得,,,,設(shè)直線的解析式為,將,代入得,,解得,直線的解析式為;(2)解:由可得,,,設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn),且滿足,,,過(guò)點(diǎn)作直線的平行線,與直線的交點(diǎn)就是點(diǎn),記直線的解析式為,將代入可得,直線的解析式為,聯(lián)立,解得,則,顯然點(diǎn)為的中點(diǎn),如圖,作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),則,作直線,則直線的解析式為:,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),交軸于點(diǎn),點(diǎn)即為所求,易得直線的解析式為:,則;(3)Ⅰ.如圖,當(dāng)為菱形的一條邊時(shí),時(shí),如圖所示,過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),根據(jù)題意可得,,則,則,易得,則,由,可得,在Rt中,,,,,同理可得,;時(shí),如圖所示,根據(jù)題意可得,,軸,;Ⅱ.如圖,當(dāng)為菱形的一條對(duì)角線時(shí),根據(jù)題意可得,,軸,又,可得;綜上,當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí),的坐標(biāo)分別為:,,,.【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題,考查平移變換,菱形的判定和性質(zhì),軸對(duì)稱最短問(wèn)題等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法,學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)解決直線的交點(diǎn)問(wèn)題.2.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)的圖象分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得(點(diǎn)A與點(diǎn)C對(duì)應(yīng),點(diǎn)B與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)).(1)求直線的解析式;(2)點(diǎn)E為線段上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作軸交直線于點(diǎn)F,作軸交直線于點(diǎn)G,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);(3)如圖2,若點(diǎn)M為線段的中點(diǎn),點(diǎn)N為直線上一點(diǎn),點(diǎn)P為坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),且以O(shè),M,N,P為頂點(diǎn)的四邊形為矩形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或【分析】(1)先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),得出和的長(zhǎng)度,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo),最后用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式;(2)設(shè),則可將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)表示出來(lái),進(jìn)而得出的表達(dá)式,最后根據(jù)列出方程求出a的值,即可進(jìn)行解答;(3)根據(jù)題意進(jìn)行分類討論:①為矩形的邊時(shí);②為矩形的對(duì)角線時(shí).【解析】(1)解:把代入得:,把代入得:,解得:,∴,∴,∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,∴,∴,設(shè)直線的函數(shù)解析式為,把代入得:,解得:,∴直線的函數(shù)解析式為.(2)∵,∴,∵點(diǎn)E在線段上,∴設(shè),∵軸,軸,∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a,點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為,把代入得:;把代入得:,解得:,∴,,∴,,∵,∴,解得:.∴.(3)①當(dāng)為矩形的邊時(shí),過(guò)點(diǎn)M作,交直線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作,交直線于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),根據(jù)作圖可得:四邊形和四邊形都是矩形,∵,∴,∵,∴,∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,∴,在和中,,∴,∴,∵點(diǎn)M為線段的中點(diǎn),,∴,,即點(diǎn)N為中點(diǎn),∵,∴,設(shè)直線的解析式為,把點(diǎn)代入得:,∴直線的解析式為,∵,∴設(shè)直線的解析式為,把代入得:,解得:,∴直線的解析式為,聯(lián)立直線和直線的解析式為:,解得:,∴,②當(dāng)為矩形的對(duì)角線時(shí),過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N,∵,,∴軸,過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行,∴點(diǎn)C和點(diǎn)N重合,∴,綜上:點(diǎn)N的坐標(biāo)為或或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),矩形的性質(zhì).3.如圖,直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中,直角邊在y軸上,的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)根,A,且,P為上一點(diǎn),且.(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)求過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式;(3)點(diǎn)M在第二象限內(nèi),在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為正方形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在.,,【分析】(1)用因式分解法求出方程的兩個(gè)根即可求解;(2)根據(jù)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求解即可;(3)分3種情況,畫出圖形,結(jié)合圖形特點(diǎn)求解即可.【解析】(1),,,.∵,∴.∴.(2)∵,∴.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為.將點(diǎn)代入,得.∴過(guò)點(diǎn)P的反比例函數(shù)解析式為.(3)存在.如圖1,當(dāng)為正方形的對(duì)角線時(shí),過(guò)點(diǎn)M作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作交直線于點(diǎn)F.∵四邊形是正方形,∴.∵,∴.∵,∴,∴.,∴.設(shè),則,∴.∵,∴,∴,∴,(舍去),∴,∴.∵把先向右平移7個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位得,∴把先向右平移7個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位得;如圖2,當(dāng)為正方形的邊時(shí),過(guò)點(diǎn)N作于點(diǎn)H,∵四邊形是正方形,∴.∵,∴.∵,∴,∴,∴,∴;如圖3,當(dāng)為正方形的邊時(shí),由圖2可知,,∵把先向右平移6個(gè)單位,再向上平移8個(gè)單位得,∴把先向右平移6個(gè)單位,再向上平移8個(gè)單位得;綜上可知,點(diǎn)N的坐標(biāo)為:,,.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),解一元二次方程,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,全等三角形的判定與性質(zhì),以及平移的性質(zhì),作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解(3)的關(guān)鍵.4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,4),以O(shè)A為一邊在第一象限內(nèi)作矩形OABC,直線CD:交AB于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)D,.(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo).(2)點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作軸,交AB于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,連接FD,設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m,△DFP的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.(3)在(2)的條件下,連接BP并延長(zhǎng)與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作,與x軸交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),在直線CD上是否存在一點(diǎn)R,過(guò)點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)Q,得,若存在,求出點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在;或【分析】(1)先求出直線CD的解析式即可解決問(wèn)題;(2)用M表示PF的長(zhǎng),利用三角形的面積公式計(jì)算即可;(3)由題意可知:,整理得:,解得或(舍去),則,根據(jù),,,可證,則,,則,根據(jù)直線解析式為:,結(jié)合,可知直線的解析式為:,則,當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)上方時(shí),設(shè),則,根據(jù),則,進(jìn)而可知,故,根據(jù)對(duì)稱性可知,也滿足條件,由此可得到結(jié)果.【解析】(1)解:由題意知,,∴,,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴直線,當(dāng)時(shí),,∴,∴.(2)解:如圖所示,∵,F(xiàn)(m,4),∴,∴;(3)解:如圖2所示:由題意可知:,整理得:,解得或(舍去),∴,∵,,,∴,∴,,∴,∵直線解析式為:,∵,∴直線的解析式為:,∴,當(dāng)點(diǎn)再點(diǎn)上方時(shí),設(shè),則,∵,∴,∴,∴,根據(jù)對(duì)稱性可知,也滿足條件,∴或.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題,矩形的性質(zhì),平行線分段成比例定理,一元二次方程等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵.題型02:動(dòng)態(tài)問(wèn)題5.如圖①,的頂點(diǎn)P是正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn),,將繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)E和點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)C,D不重合)
(1)如圖①,當(dāng)時(shí),之間滿足的數(shù)量關(guān)系是____________;(2)如圖②,將圖①中的正方形改為的菱形,M是中點(diǎn),其他條件不變,當(dāng)時(shí),求證:.(3)在(2)的條件下,若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的邊與線段延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,其他條件不變,探究在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中,之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】(1)根據(jù)題意證明即可證明;(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)用“”即可證明;(3)根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)證明,可得,進(jìn)而求出答案.【解析】(1)解:∵四邊形是正方形,∴,,,∵,∴,∴,∴,∴(2)證明:∵四邊形是菱形,,∴,,,∴,∵,∴,∴是等邊三角形,∴,,∵,∴,∴;(3)解:∵四邊形是菱形,,∴,,,∴,∵,∴,∴是等邊三角形,∴,,∵,∴,∴;∴,∴;【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題,涉及全等三角形,正方形及菱形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)三角形全等,巧妙地借助兩個(gè)三角形全等,尋找所求線段與線段之間的等量關(guān)系.6.【證明推斷】(1)如圖1,在矩形中,,點(diǎn)P是的中點(diǎn),將沿直線折疊得到,點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部,延長(zhǎng)交于點(diǎn)E,連接.求證:①;②;③若,求的長(zhǎng);
【類比探究】(2)如圖2,將(1)中“矩形”改為“平行四邊形”,其他條件不變,(1)中的①②結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由;【拓展運(yùn)用】(3)如圖3,在平行四邊形中,,點(diǎn)P是的中點(diǎn),將沿直線折疊得到,點(diǎn)落在的內(nèi)部,延長(zhǎng)交于點(diǎn)E,連接.連接與交于點(diǎn)M,與交于點(diǎn)N.求證:四邊形是矩形.【答案】(1)①見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析;③;(2)結(jié)論仍然成立,理由見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析【分析】(1)①②根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及全等三角形的判定證明,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平角定義可證明結(jié)論正確;③根據(jù)矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)求得,進(jìn)而求得,利用勾股定理求解即可;(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)得到,在圖2中,連接,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定可證明;再證明得到,利用平角定義證明,即可證得;(3)根據(jù)垂直平分線的判定與性質(zhì)證明垂直平分,垂直平分,得到,利用矩形的判定可證的結(jié)論.【解析】解:如圖1,∵四邊形是矩形,∴,,∵點(diǎn)P是的中點(diǎn),∴,∵沿直線折疊得到,∴,,,,則,,在和中,,∴,∴,,故①正確;∴,∴;故②正確;③∵,∴,
,則,在中,,∴;(2)結(jié)論仍然成立.理由為:∵四邊形是平行四邊形,∴,∵點(diǎn)P是的中點(diǎn),∴,∵沿直線折疊得到,∴,,,,則,∵,∴,在圖2中,連接,
∵,∴,∴,即,∴,故①成立;在和中,,∴,∴,∴,∴,故②成立;(3)由(2)證明過(guò)程知:,,,,∴垂直平分,垂直平分,∴,又,∴四邊形是矩形.【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題,主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性強(qiáng),解答的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用,利用數(shù)形結(jié)合思想尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系,進(jìn)而推理論證.7.如圖,四邊形為菱形,,,點(diǎn)E為邊上動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F,點(diǎn)H為中點(diǎn).(1)若,求的長(zhǎng);(2)作,垂足為G,當(dāng)時(shí),求的度數(shù);(3)在(2)的條件下,設(shè)射線交于M,求的長(zhǎng).【答案】(1)1;(2);(3)1【分析】(1)如圖1中,證明點(diǎn)與重合,可得結(jié)論.(2)如圖2中,連接.證明是等腰直角三角形,可得結(jié)論.(3)如圖3中,證明,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于,在上取一點(diǎn),使得,連接(見(jiàn)左邊圖),求出,可得結(jié)論.【解析】解:(1)如圖1中,四邊形是菱形,,,是等邊三角形,,,,,此時(shí)點(diǎn)與重合,.(2)如圖2中,連接.是等邊三角形,,,,,,,,.(3)如圖3中,由翻折可知,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于,在上取一點(diǎn),使得,連接,,,設(shè),,,,,,,,,,,,.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),直角三角形角的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.8.如圖.四邊形ABCD、BEFG均為正方形.(1)如圖1,連接AG、CE,請(qǐng)直接寫出AG和CE的數(shù)量和位置關(guān)系(不必證明).(2)將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(),如圖2,直線AG、CE相交于點(diǎn)M.①AG和CE是否仍然滿足(1)中的結(jié)論?如果是,請(qǐng)說(shuō)明理由:如果不是,請(qǐng)舉出反例:②連結(jié)MB,求證:MB平分.(3)在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)A作交MB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,請(qǐng)直接寫出線段CM與BN的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)AG=EC,AG⊥EC;(2)①滿足,理由見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析;(3)CM=BN.【分析】(1)由正方形BEFG與正方形ABCD,利用正方形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等,一對(duì)直角相等,利用SAS得出三角形ABG與三角形CBE全等,利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等得到CE=AG,∠BCE=∠BAG,再利用同角的余角相等即可得證;(2)①利用SAS得出△ABG≌△CEB即可解決問(wèn)題;②過(guò)B作BP⊥EC,BH⊥AM,由全等三角形的面積相等得到兩三角形面積相等,而AG=EC,可得出BP=BH,利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上得到BM為角平分線;(3)在AN上截取NQ=NB,可得出三角形BNQ為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到BQ=BN,接下來(lái)證明BQ=CM,即要證明三角形ABQ與三角形BCM全等,利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等,再由三角形ANM為等腰直角三角形得到NA=NM,利用等式的性質(zhì)得到AQ=BM,利用SAS可得出全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證.【解析】解:(1)AG=EC,AG⊥EC,理由為:∵正方形BEFG,正方形ABCD,∴GB=BE,∠ABG=90°,AB=BC,∠ABC=90°,在△ABG和△BEC中,,∴△ABG≌△BEC(SAS),∴CE=AG,∠BCE=∠BAG,延長(zhǎng)CE交AG于點(diǎn)M,∴∠BEC=∠AEM,∴∠ABC=∠AME=90°,∴AG=EC,AG⊥EC;(2)①滿足,理由是:如圖2中,設(shè)AM交BC于O.∵∠EBG=∠ABC=90°,∴∠ABG=∠EBC,在△ABG和△CEB中,,∴△ABG≌△CEB(SAS),∴AG=EC,∠BAG=∠BCE,∵∠BAG+∠AOB=90°,∠AOB=∠COM,∴∠BCE+∠COM=90°,∴∠OMC=90°,∴AG⊥EC.②過(guò)B作BP⊥EC,BH⊥AM,∵△ABG≌△CEB,∴S△ABG=S△EBC,AG=EC,∴EC?BP=AG?BH,∴BP=BH,∴MB平分∠AME;(3)CM=BN,理由為:在NA上截取NQ=NB,連接BQ,∴△BNQ為等腰直角三角形,即BQ=BN,∵∠AMN=45°,∠N=90°,∴△AMN為等腰直角三角形,即AN=MN,∴MN-BN=AN-NQ,即AQ=BM,∵∠MBC+∠ABN=90°,∠BAN+∠ABN=90°,∴∠MBC=∠BAN,在△ABQ和△BCM中,,∴△ABQ≌△BCM(SAS),∴CM=BQ,則CM=BN.【點(diǎn)睛】此題考查了正方形,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定與性質(zhì),角平分線的判定,熟練掌握正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.題型03:情景探究題9.綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng):數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師提出如下數(shù)學(xué)問(wèn)題:已知四邊形與四邊形都為正方形,P為的中點(diǎn),連接,,如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí),求證:.(1)獨(dú)立思考:請(qǐng)你證明老師提出的問(wèn)題;(2)合作交流:解決完上述問(wèn)題后,“翱翔”小組的同學(xué)受此啟發(fā),把正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)F落在對(duì)角線上時(shí)(如圖2),他們認(rèn)為老師提出的結(jié)論仍然成立.請(qǐng)你予以證明;(3)問(wèn)題解決:解決完上述問(wèn)題后,“善思”小組提出如下問(wèn)題,把正方形繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖3),當(dāng)點(diǎn)D,E,F(xiàn)在同一條直線上時(shí),與交于點(diǎn)H.若,,請(qǐng)直接寫出的值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)HC=【分析】(1)延長(zhǎng)EP交AD于M,可證△DPM≌△FPE(ASA),于是EP=MP=(2)連接PC,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于N,可證PA=PC,進(jìn)一步求證PN∥CD∥EF,由平行線分線段成比例定理,得FPPD=ENNC,從而得(3)延長(zhǎng)AP至M,使AP=PM,連接FM,EM,AE,證得△APD≌△MPF(SAS),進(jìn)一步求證∠EFM=∠ABE,結(jié)合正方形性質(zhì)得AB=FM,求證△ABE≌△MFE(SAS),可得△AEM為等腰直角三角形,于是AP=PE,AP⊥PE,運(yùn)用勾股定理求得【解析】(1)證明:延長(zhǎng)EP交AD于M,∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形,∴EF∥CB,∴AD∥∴∠PDM=∠EFP,∵點(diǎn)P是線段DF的中點(diǎn),∴FP=DP,又∵∠DPM=∠FPE,∴△DPM≌∴EP=MP=1又∵∠EAM=90°,PE=PM,∴AP=1∴AP=PE;(2)證明:連接PC,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥BC于N,∵四邊形ABCD是正方形,∴點(diǎn)A,C關(guān)于BD對(duì)稱,∴PA=PC,∵四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形,∴∠BCD=∠BEF=90°,∴CD∥∵PN⊥BC,∴∠PNE=90°,∴∠PNE=∠BCD,∴PN∥∴PN∥∴FPPD∵P是DF的中點(diǎn),∴PF=PD,∴EN=NC,∴PN垂直平分EC,∴PE=PC,∴AP=PE;(3)解:延長(zhǎng)AP至M,使AP=PM,連接FM,EM,AE,∵PD=PF,∠APD=∠FPM,AP=PM,∴△APD≌∴AD=FM,∠DAP=∠PMF,∴AD∥∵AD∥∴FM∥∴∠EFM=∠BHF,∵∠BHF=∠HBE+∠BEH=∠HBE+90°,∠ABE=∠ABC+∠HBE=90°+∠HBE,∴∠BHF=∠ABE,∴∠EFM=∠ABE,∵四邊形BEFG是正方形,∴BG=EF,∵AB=AD,AD=FM,∴AB=FM,∴△ABE≌∴AE=EM,∠AEB=∠FEM,∴∠AEM=∠AED+∠FEM=∠AED+∠AEB=90°,∴△AEM為等腰直角三角形,又∵AP=PM,∴AP=PE,AP⊥PE,設(shè)DP=PF=x,則AP=x+1,∵AP∴(x+1∴x=1(∴DP=PF=1,∴PE=PF+EF=1+1=2,∴AP=2,∵∠ADP+∠HDC=90°,∠HDC+∠DHC=90°,∴∠ADP=∠DHC,∵∠APD=∠C=90°,∴△APD∽∴APCD∴25∴HC=5【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì),全等三角形判定和性質(zhì),直角三角形性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等,結(jié)合中點(diǎn)條件添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.10.已知四邊形和都為正方形,連接,,,點(diǎn),,分別是,,的中點(diǎn).
(1)觀察思考如圖①,點(diǎn),分別在,上,線段和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系為_(kāi)_____;(2)探究證明如圖②,將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中和的上述關(guān)系是否發(fā)生變化?請(qǐng)結(jié)合圖②說(shuō)明理由;(3)綜合實(shí)踐如圖③,連接,取的中點(diǎn),連接,.①判斷四邊形的形狀,并說(shuō)明理由;②若,,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,四邊形的周長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____.【答案】(1)且(2)不變,理由見(jiàn)解析(3)①四邊形是正方形,理由見(jiàn)解析;②16【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到,,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到且,且,推出且;(2)根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到且,且,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和正方形邊的性質(zhì)得到,,,推出,得到,,推出,得到,推出且;(3)根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到,,,,推出,,得到四邊形是平行四邊形,根據(jù),且,推出是正方形;②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),長(zhǎng)最大,最大值為8,得到,即可得到四邊形周長(zhǎng)的最大值.【解析】(1)解:∵四邊形和都為正方形,∴,,,∴,,∵,,分別為,,的中點(diǎn),∴且,且,∴且;故答案為:且;(2)且,理由如下:∵,,分別為,,的中點(diǎn),∴且,且,由旋轉(zhuǎn)知,,,,∴,∴,,∴,∴與的夾角為,∴∴且;(3)①四邊形是正方形,理由如下:∵,分別為,的中點(diǎn)∴,,由(2)知,,,∴,,∴四邊形是平行四邊形∵,且,∴是正方形;②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),長(zhǎng)最大,此時(shí),,∴,∴四邊形的周長(zhǎng)的最大值為,.故答案為:16.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形,旋轉(zhuǎn),三角形的中位線,全等三角形,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定和邊角性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),三角形的中位線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì).題型04:最值問(wèn)題11.在Rt△ABC中,,,點(diǎn)D為直線上一點(diǎn),連接.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí),過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接,過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)F,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);(2)如圖2,延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使,作的平分線交于點(diǎn)H,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K.求證:;(3)如圖3,在(2)的條件下,取的中點(diǎn)M,連接、,當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),直接寫出的最大值.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】(1)令,,,,,,,證明,即可得,問(wèn)題隨之得解;(2)過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,令,,,,,先證明在等腰中,AK垂直平分BG,即有,,再證明,即有,,進(jìn)一步有是等腰直角三角形,問(wèn)題隨之得解;(3)根據(jù)(2)可得:△AQK是等腰直角三角形,,AK垂直平分BG,先證明,即可得,,即,即當(dāng)最大時(shí),有最大值;易知點(diǎn)G在以A點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,即當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn),且時(shí),最大,可得,問(wèn)題隨之得解.【解析】(1)如圖1,
令,,,,,,,由題意,,而,∴,又∵,∴,,∴,∴,在中,,∴,在中,利用勾股定理同理可得,∴;(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,
令,,,,,∵,,的平分線交于點(diǎn)H,∴,,∴在等腰中,AK垂直平分BG,∴,,∴,∴,∵,∴,又,∴,∴,,∴是等腰直角三角形,∴.∵,∴;(3)如圖,
根據(jù)(2)可得:△AQK是等腰直角三角形,,AK垂直平分BG,∴,,∴,∵的中點(diǎn)為點(diǎn)M,∴,,即,∴當(dāng)最大時(shí),有最大值,∵,∴點(diǎn)G在以A點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,∴當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn),且時(shí),最大,∴,∴最大為,∴,即最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理等知識(shí),作出科學(xué)的輔助線,掌握全等三角形的判定與性質(zhì),是解答本題的關(guān)鍵.12.已知,四邊形是正方形,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),,,連接,.
(1)如圖1,求證:;(2)直線與相交于點(diǎn)G.①如圖2,,于點(diǎn),于點(diǎn),求證:四邊形正方形;②如圖3,連接,若,,直接寫出在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,線段長(zhǎng)度的最小值.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析;②【分析】(1)根據(jù)證明三角形全等即可;(2)①根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可;②作交于點(diǎn),作于點(diǎn),證明是等腰直角三角形,求出的最小值,可得結(jié)論.【解析】(1)證明:四邊形是正方形,,,,,,,;(2)①證明:如圖,設(shè)與相交于點(diǎn).
,,,.,.,,,四邊形是矩形,四邊形是正方形,,..又..矩形是正方形;②解:作交于點(diǎn),作于點(diǎn),
此時(shí).,,,最大時(shí),最小,,,由(2)①可知,是等腰直角三角形,.【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.13.在邊長(zhǎng)為的正方形中,點(diǎn)分別在上,,連接,過(guò)點(diǎn)作,垂足為.
(1)如圖1,延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線于,請(qǐng)完成畫圖并證明:;(2)如圖2,點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上,連接.求的長(zhǎng);(3)如圖3,連接,則的最小值為_(kāi)_______(直接寫出結(jié)果).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】(1)由正方形、,可得出,結(jié)合在四邊形中:,,可得出,即可得出,由即可的而出,即可證得.(2)延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線于,由即可的而出,故是的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出的長(zhǎng)為.(3)連接,由(1)可知:,,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出的長(zhǎng)為,根據(jù)勾股定理可得,根據(jù)即可得出答案.【解析】(1)證明:如圖:
在正方形中:,∴,∵,∴,在四邊形中:,∴,∵,∴,∵,∴,又∵,,∴,∴.(2)解:延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線于,
在正方形中:,,∴,,∴,∵,∴,∴,∵,∴,又∵,,∴,∴.∴是的中點(diǎn),∴,在中,.∴的長(zhǎng)為.(3)解:連接,由(1)可知:,,∴是的中點(diǎn),在中,.
在正方形中:,,∴,∴,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,最小值為:,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理,直角三角形的性質(zhì),三角形全等的性質(zhì)與判定,線段最小的求法,其中直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,線段最小的求法是解題的關(guān)鍵.題型05:解答證明題14.在四邊形中,,,對(duì)角線平分.
(1)如圖1,求證:四邊形是菱形;(2)如圖2,點(diǎn)在上,點(diǎn)在射線上,連接,,的角平分線交于點(diǎn),若,求證:;(3)如圖3,在(2)的條件下,若,連接,,,求線段的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3).【分析】(1)利用由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可;(2)利用全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)解答即可;(3)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到,,,,再利用含角的直角三角形的性質(zhì),邊角關(guān)系定理求得線段,的長(zhǎng)度,則,結(jié)論可得.【解析】(1)證明:,,四邊形為平行四邊形,,.對(duì)角線平分,,,.平行四邊形是菱形;(2)證明:,.是的平分線,.在和中,,,.由(1)知:四邊形是菱形,,,;(3)解:過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),如圖,
,,.在和中,,,,.在和中,,,,,,,,,,.由(2)知:,,,,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì),角平分線的定義,全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),勾股定理,利用已知條件添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.15.如圖1,為正方形內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)在邊上(不與端點(diǎn),重合),垂直平分交于點(diǎn),連接.過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn).
(1)求的大小;(2)求證:;(3)如圖2,連接,若,求的值.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】(1)連接,根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得到,根據(jù)正方形的性質(zhì),得到,,推出,根據(jù)得到從而求出的大小;(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),由(1)可得,根據(jù)平行線性質(zhì)得到,得到,根據(jù)勾股定理求出,可證,得到,進(jìn)而;(3)連接,,設(shè)與交于點(diǎn),根據(jù)正方形性質(zhì)和直角三角形得到,推出為等腰直角三角形,可證,推出為等腰直角三角形,推出,,利用勾股定理表示出,從而得出結(jié)論.【解析】(1)證明:連接.
垂直平分,,四邊形是正方形,,,,,,,,,;(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),
,由(1)可得,,,,在中,,,,由,得,又,,,又,;(3)如圖,連接,,設(shè)與交于點(diǎn),
四邊形是正方形,,,,,,由(2)知:,,為等腰直角三角形,,,,,,,為等腰直角三角形,,,,,,,,在中,由勾股定理得,在中,由勾股定理得,.【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題型,考查了正方形性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,垂直平分線性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,平行線性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.16.如圖1,正方形的邊長(zhǎng)為,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿射線方向以/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),向點(diǎn)以/秒的速度移動(dòng)(不到點(diǎn)).設(shè)點(diǎn),同時(shí)出發(fā)移動(dòng)秒.
(1)在點(diǎn),移動(dòng)過(guò)程中,連接,,,則的形狀是,始終保持不變;(2)如圖2,連接,設(shè)交移動(dòng),當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng);(3)如圖3,點(diǎn),分別在邊,上,且,連接,當(dāng)與的夾角為,求的值.【答案】(1)等腰直角三角形(2)(3)【分析】(1)通過(guò)證明得到,則易推知是等腰直角三角形;(2)過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),,,可證,得到,由勾股定理求得的長(zhǎng)度,即可得到答案;(3)連接,,設(shè)與交于,通過(guò)證明四邊形是平行四邊形得到,由勾股定理計(jì)算得到,即可得到答案.【解析】(1)解:等腰直角三角形,理由如下:四邊形是正方形,,根據(jù)題意可得:,在和中,,,,,是等腰直角三角形,故答案為:等腰直角三角形;(2)解:如圖2,過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn),
,則,,,在與中,,,,中,,,,;(3)解:如圖3,連接,,設(shè)與交于,
,由()得,又,,,四邊形是平行四邊形,,在中,得,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì),添加適當(dāng)?shù)妮o助線,是解題的關(guān)鍵.17.如圖,在邊長(zhǎng)為8的正方形中,點(diǎn)分別是邊上的兩動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),以為鄰邊作矩形交于點(diǎn),交于點(diǎn).設(shè),已知.
(1)證明:;(2)連接.①如圖1,當(dāng)時(shí),求的大??;②如圖2,當(dāng)時(shí),①中的結(jié)論是否成立?并說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①45°;②成立,見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù),結(jié)合正方形的性質(zhì),運(yùn)用完全平方公式計(jì)算證明.(2)①證明是等腰直角三角形,利用角的計(jì)算求解即可.②將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接,證明即可.【解析】(1)證明:∵邊長(zhǎng)為8的正方形,,∴,∴,∴∴,∵,∴,故.(2)解:①如圖1,
連接交于點(diǎn),∵,∴四邊形是正方形,平分,∴,∴是等腰直角三角形,∴,∴,∴,∴,∵,∴;②如圖2,①中的結(jié)論仍然成立,理由如下:將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至,連接,∴,,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),完全平方公式,三角形全等的判定的性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握正方形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),完全平方公式,三角形全等的判定的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.題型06:相似三角形在特殊平行四邊形中的應(yīng)用18.如圖,在矩形中,E是的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊上,連接平分,過(guò)點(diǎn)E作于M.(1)求證:;(2)若G是的中點(diǎn),連接交于點(diǎn)H.①求證:;②若,求的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析;②【分析】(1)根據(jù)已知條件先證明,再證明,由于,則知,即可得證;(2)①證明,利用相似三角形各邊的比例即可求出結(jié)果;②根據(jù)①的結(jié)果求出,再根據(jù)條件求出,證明,根據(jù)邊之間的比例求出即可.【解析】(1)證明:∵四邊形是矩形,∴,∴,∵平分,,,∴,在和中,,∴,∴,∵E是的中點(diǎn),∴,∴,在和中,,∴,∴,∵,∴,∴.(2)解:①證明:∵,,∴,∴,∴.②解:∵,,∴,∵在中,G是的中點(diǎn),∴,∵,∴,∵平分,∴,∴,∴,∴∵,∴,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線,平行線的性質(zhì),以及三角形的全等和相似,題目較為復(fù)雜,找到突破點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.19.綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境在綜合實(shí)踐課上,老師組織興趣小組開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng),探究正方形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題.在正方形和正方形中,點(diǎn)G,A,B在一條直線上,連接,(如圖1).
操作發(fā)現(xiàn)(1)圖1中線段和的數(shù)量關(guān)系是______,位置關(guān)系是______.(2)在圖1的基礎(chǔ)上,將正方形繞著點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),如圖2所示,(1)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)僅就圖2的情況說(shuō)明理由.類比探究(3)如圖3,若將圖2中的正方形和正方形中都變?yōu)榫匦?,且,,?qǐng)僅就圖3的情況探究與之間的數(shù)量關(guān)系.拓展探索(4)在(3)的條件下,若,,矩形在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)D,E,F(xiàn)在同一直線時(shí),請(qǐng)直接寫出的值.【答案】(1);;(2)成立;理由見(jiàn)解析;(3);(4)或【分析】(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,證明,得出,,求出,即可證明結(jié)論;(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,交于點(diǎn)T,證明,得出,,求出,即可證明結(jié)論;(3)延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,交于點(diǎn)T,證明,得出,求出即可;(4)分兩種情況討論,當(dāng)在線段上時(shí),當(dāng)在線段上時(shí),分別畫出圖形,根據(jù)勾股定理,求出結(jié)果即可.【解析】解:(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,如圖所示:
∵四邊形和都是正方形,∴,,,∴,∴,,∵,∴,∴,∴.故答案為:;.(2)成立;理由如下:延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,交于點(diǎn)T,如圖所示:
∵四邊形和都是正方形,∴,,,∴,∴,∴,∴,,∵,,∴,∴,∴.故答案為:;.(3)延長(zhǎng)交于點(diǎn)H,交于點(diǎn)T,如圖所示:
∵四邊形和都是矩形,∴,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,即.(4)當(dāng)在線段上時(shí),如圖所示:
∵四邊形為矩形,∴,,,∴,∴,∵,∴,∴,∴,根據(jù)解析(3)可知,,∴;當(dāng)在線段上時(shí),如圖所示:
∵四邊形為矩形,∴,,,∴,∴,∴,∴,根據(jù)解析(3)可知,,∴;綜上分析可知,或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),三角形相似的判定和性質(zhì),勾股定理,余角的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作出輔助線,熟練掌握三角形全等和三角形相似的判定方法,注意進(jìn)行分類討論.20.如圖1,矩形的兩條對(duì)角線交于點(diǎn),點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接,作,,垂足分別是,連接.(1)求證:;(2)如圖2,延長(zhǎng)交于點(diǎn),若,猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)在(2)的條件下,已知,,求的值.【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2),詳見(jiàn)解析(3)【分析】(1)如圖所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn),根據(jù)垂直可證,根據(jù)矩形對(duì)角線可得,可證,得到點(diǎn)是的中點(diǎn),在中,是的中線,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半,由此即可求解;(2),,及角的和差關(guān)系,可得,,再根據(jù)可得,點(diǎn)是的中點(diǎn),在中,,是的中位線,即點(diǎn)是的中點(diǎn),,由此即可求解;(3)如圖所示,過(guò)點(diǎn)作于,可得是中位線,可求出的長(zhǎng),再根據(jù)是的中位線,,可證,由此即可求解.【解析】(1)解:如圖所示,延長(zhǎng)交于點(diǎn),∵,,∴,∴,且,∵矩形的對(duì)角線交于點(diǎn),∴,在中,,∴,∴,即點(diǎn)是的中點(diǎn),∵,∴在中,是的中線,∴,且,∴.(2)解:結(jié)論:,理由如下:∵矩形,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,,∴,∴,∴,即點(diǎn)是的中點(diǎn),在中,,由(1)
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