高考數(shù)學 試題匯編 第五節(jié) 二次函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用 文（含解析）

第五節(jié)二次函數(shù)、函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應用二次函數(shù)考向聚焦二次函數(shù)是高考的重點內容,主要考查二次函數(shù)的圖象與性質應用,特別是二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的聯(lián)系及應用,同時對數(shù)形結合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法的考查也蘊含其中.對二次函數(shù)的考查主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),多為中檔題,所占分值為5分左右1.(年安徽卷,文6)設abc>0,二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是()解析:由abc>0知,a、b、c的符號為同正或兩負一正,當c>0時ab>0,∴f(0)=c>0,對稱軸x=-b2a<0無對應選項;當c<0時,ab<0,∴f(0)=c<0,對稱軸x=-答案:D.2.(年天津卷,文10)設函數(shù)g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=g((A)[-94,0]∪(1,+∞(B)[0,+∞)(C)[-94,+∞(D)[-94,0]∪(2,+∞解析:由題意知:f(x)=x2即f(x)=(由h(x)=(x+12)2+7得h(x)∈(2,+∞).由H(x)=(x-12)2-94(-1≤x得H(x)∈[-94綜上得:f(x)∈[-94,0]∪(2,+∞答案:D.函數(shù)的零點與方程的根考向聚焦函數(shù)的零點與方程的根是高考的一個熱點內容,近幾年高考在這個考點上?？汲Ｐ?主要從以下幾個方面進行考查:一是求函數(shù)零點的個數(shù)(可能是具體函數(shù)也可能是抽象函數(shù));二是判斷函數(shù)零點(方程的根)所在的區(qū)間;三是已知函數(shù)零點(方程的根)的個數(shù)或范圍,求解析式中參數(shù)的取值范圍.一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),所占分值為5分左右備考指津要強化這個考點以上三個方面的訓練,同時要注意數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想以及分類討論思想方法的訓練與應用3.(年北京卷,文5,5分)函數(shù)f(x)=x12-(12(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:函數(shù)f(x)=x12-(12)x的零點個數(shù)為函數(shù)p(x)=x12與函數(shù)q(x)=(12)x圖象的交點個數(shù).在同一坐標系內畫出p(x)=∴函數(shù)f(x)=x12-(12答案:B.4.(年湖北卷,文3,5分)函數(shù)f(x)=xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點的個數(shù)為()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:要使f(x)=xcos2x=0,則x=0,或cos2x=0,而在區(qū)間[0,2π]上,通過觀察y=cos2x的函數(shù)圖象,易得滿足cos2x=0的x的值有π4,3π4,5答案:D.5.(年新課標全國卷,文11,5分)當0<x≤12時,4x<loga(A)(0,22) (B)(2(C)(1,2) (D)(2,2)解析:如圖y1=4x,y2=logax.①a>1時,易知x<1時,logax<0,不成立.②0<a<1時,由圖可知0<x≤12時,4x<logax成立需滿足loga12>∴22∴a的取值范圍是(22答案:B.此題是對分類討論,數(shù)形結合兩種思想的綜合考查,對數(shù)函數(shù)圖象的變化對a的影響需注意.6.(年湖南卷,文9,5分)設定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f'(x)是f(x)的導函數(shù).當x∈[0,π]時,0<f(x)<1;當x∈(0,π)且x≠π2時,(x-π2)f'(x)>0,則函數(shù)y=f(x)-sinx在[-2π,2(A)2 (B)4 (C)5 (D)8解析:因f(x)是偶函數(shù),故f(x)在[-π,π]上f(x)∈(0,1),又周期為2π,故f(x)在R上值域為(0,1).令g(x)=y=f(x)-sinx,易知其周期為2π.由題設可知f(x)在(0,π2)上單調遞減,在(π2,所以g(x)在[0,π2]上單調遞減,且g(0)=f(0)>0,g(π2)=f(故g(x)在(0,π2)上有唯一零點,同理在(π2,易知g(x)在[π,2π]上恒大于0,故無零點.所以g(x)在[0,2π]上有且只有兩個零點,又周期為2π,所以g(x)在[-2π,2π]上共有4個零點.答案:B.本題綜合考查函數(shù)的單調性與周期性及零點存在定理,也可結合草圖,數(shù)形結合快速求解.7.(年新課標全國卷,文10)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為()(A)(-14,0) (B)(0,1(C)(14,12) (D)(12解析:∵f(12)=e12+4×1f(14)=e14∴f(x)=ex+4x-3的零點所在的區(qū)間為(14,1故選C.答案:C.8.(年天津卷,文4)函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點所在的一個區(qū)間是()(A)(-2,-1) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,2)解析:∵f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,∴f(0)·f(1)<0,∴f(x)的零點所在的一個區(qū)間是(0,1).故選C.答案:C.9.(年福建卷,文7)函數(shù)f(x)=x2(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:①x≤0時,f(x)=0?x2+2x-3=0,∴x=-3(x=1舍去).②x>0時,f(x)=0?-2+lnx=0,∴x=e2.因此函數(shù)共有2個零點.故選B.答案:B.函數(shù)的零點問題,通常借助圖形直觀判斷,比較簡單的問題,直接解方程更便捷.10.(年上海數(shù)學,文6,4分)方程4x-2x+1-3=0的解是.

解析:令2x=t(t>0),則4x-2x+1-3=0變形為t2-2t-3=0.解得t=3或-1(舍去),∴2x=3,∴x=log23.答案:x=log23函數(shù)模型的綜合應用考向聚焦函數(shù)的應用是高考的熱點內容,在高考試題中,考查函數(shù)的應用,主要有兩種形式,一是以選擇題、填空題的形式,考查幾種常見函數(shù)模型在實際問題中的應用等,一般為容易題或中檔題;二是以解答題的形式,考查實際問題以及函數(shù)與其他知識,如:方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等的綜合等,綜合性強,難度較大11.(年重慶卷,文10,5分)設函數(shù)f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},N={x∈R|g(x)<2},則M∩N為()(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(-1,1) (D)(-∞,1)解析:M:f(g(x))=(3x-2)2-4(3x-2)+3>0,令t=3x-2,則原不等式等價于t2-4t+3>0,解得t>3或t<1,∴3x-2>3或3x-2<1.∴3x>5或3x<3.∴x>log35或x<1.即M={x|x>log35或x<1}.N:3x-2<2?3x<4?x<log34,∴N={x|x<log34},∴M∩N={x|x<1},故選D.答案:D.本題重點考查了不等式的解法以及集合間的運算.12.(年山東卷,文12,5分)設函數(shù)f(x)=1x,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且僅有兩個不同的公共點A(x1,y1),B(x2,y2(A)x1+x2>0,y1+y2>0(B)x1+x2>0,y1+y2<0(C)x1+x2<0,y1+y2>0(D)x1+x2<0,y1+y2<0解析:本題主要考查函數(shù)方程思想.由f(x)-g(x)=0得x3-bx2+1x=0,設F(x)=x3-bx2+1,則F(x)=0有且僅有兩個不同零點x1,x2,由F'(x)=3x2-2bx=0得x=0或x=23b,這樣必須且只需F(0)=0或F(23b)=0,因為F(0)=1,故必有F(23b)=0,由此得b=3322,不妨設x1<x2,則x2=故x1=-1232,x1+x2=1232>0,故y1+y2=答案:B.本題考查函數(shù)方程思想,數(shù)形結合的思想,同時考查學生的轉化化歸能力、推理能力,難度較大.13.(年廣東卷,文10)設f(x),g(x),h(x)是R上的任意實值函數(shù),如下定義兩個函數(shù)(fg)(x)和(f·g)(x)對任意x∈R,(fg)(x)=f(g(x));(f·g)(x)=f(x)g(x),則下列等式恒成立的是()(A)((fg)·h)(x)=((f·h)(g·h))(x)(B)((f·g)h)(x)=((fh)·(gh))(x)(C)((fg)h)(x)=((fh)(gh))(x)(D)((f·g)·h)(x)=((f·h)·(g·h))(x)解析:由函數(shù)定義知((f·g)h)(x)=(f·g)(h(x))=f(h(x))g(h(x)),((fh)·(gh))(x)=(fh)(x)(gh)(x)=f(h(x))g(h(x)),故B選項正確.答案:B.14.(年江蘇數(shù)學,17,14分)如圖,建立平面直角坐標系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y=kx-120(1+k2)x2(1)求炮的最大射程;(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行高度為3.2千米,試問它的橫坐標a不超過多少時,炮彈可以擊中它?請說明理由.解:(1)令y=0,得kx-120(1+k2)x2故x=20k1+k2=所以炮的最大射程為10千米.(2)因為a>0,所以炮彈可擊中目標?存在k>0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立?關于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根?判別式Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤所以當a不超過6千米時,可擊中目標.本題把函數(shù)、不等式放在應用題中,設計新穎,考法獨特.(年山東卷,文16)已知函數(shù)f(x)=1ogax+x-b(a>0,且a≠1).當2<a<3<b<4時,函數(shù)f(x)的零點x0∈(n,n+1),n∈N*,則n=.

難題特色:本題考查函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷問題,但由于:(1)函數(shù)f(x)不是基本初等函數(shù),是對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的綜合;(2)題目中含有四個參數(shù)a,b,n,x0,且只知道a,b的取值范圍;(3)問題的表述較為新穎,所以考生在解答該題時,不容易找到問題的突破口,無從下手.難點突破:(1)從參數(shù)a,b的取值范圍入手,計算函數(shù)值f(2),f(3),并且分析它們的符號