人教版2024-2025學年八年級數學上冊舉一反三專題11.5多邊形及其內角和【十大題型】(學生版+解析)

專題11.5多邊形及其內角和【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1多邊形截角后的邊數問題】 1【題型2多邊形對角線的條數問題】 2【題型3對角線分成的三角形個數問題】 2【題型4多（少）算一個角問題】 3【題型5多邊形截角后的內角和問題】 3【題型6復雜圖形的內角和】 4【題型7多邊形外角和的實際應用】 5【題型8多邊形內（外）角和與平行線的綜合運用】 6【題型9多邊形內（外）角和與角平分線的綜合運用】 8【題型10平面鑲嵌】 10知識點1：多邊形的相關概念（1）多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形按組成它的線段的條數分成三角形、四邊形、五邊形……，如果一個多邊形由條線段組成，那么這個多邊形就叫做邊形．（2）相關概念：①多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角．②多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角．③連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．④各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（3）多邊形的對角線：（a）定義：多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（b）規(guī)律總結：①從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形．②n邊形共有條對角線．【題型1多邊形截角后的邊數問題】【例1】（23-24八年級·黑龍江大慶·期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多邊形紙片的邊數不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【變式1-1】（23-24八年級·重慶綦江·期中）一張七邊形卡片剪去一個角后得到的多邊形卡片可能的邊數為．【變式1-2】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）一個四邊形剪去一三角形后余下的多邊形為邊形【變式1-3】（23-24八年級·陜西西安·期中）一個多邊形截去一個角后，形成一個六邊形，那么原多邊形邊數為．【題型2多邊形對角線的條數問題】【例2】（23-24八年級·陜西延安·階段練習）若一個多邊形從一個頂點出發(fā)可引4條對角線，則這個多邊形對角線的總數為（）A．14 B．28 C．24 D．20【變式2-1】（23-24八年級·湖北恩施·期末）我們知道，三角形的穩(wěn)定性在日常生活中被廣泛運用.要使不同的木架不變形，四邊形木架至少要再釘1根木條；五邊形木架至少要再釘2根木條；…按這個規(guī)律，要使n邊形木架不變形至少要再釘根木條.（用n表示，n為大于3的整數）【變式2-2】（23-24八年級·廣東深圳·期末）邊長為整數的正多邊形的周長17，則過該正多邊形的一個頂點可以畫條對角線．【變式2-3】（23-24八年級·遼寧遼陽·期末）過m邊形的一個頂點有9條對角線，n邊形沒有對角線，則mn的值為．【題型3對角線分成的三角形個數問題】【例3】（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到2003個三角形，則這個多邊形的邊數為（）A．2001 B．2005 C．2004 D．2006【變式3-1】（23-24八年級·湖北·課后作業(yè)）通過連接對角線的方法，可以把十邊形分成互不重疊的三角形的個數（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【變式3-2】（23-24八年級·四川巴中·期末）從一個n邊形的同一個頂點出發(fā)，分別連結這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形分割為6個三角形，則n的值是．【變式3-3】（23-24八年級·湖北·課后作業(yè)）將已知六邊形ABCDEF，用對角線將它剖分成互不重疊的4個三角形，那么各種不同的剖分方法種數是（）A．6 B．8 C．12 D．14知識點2：多邊形的內角和與外角和（1）邊形內角和等于．正多邊形的每個內角的度數為(n≥3)．（2）在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.【題型4多（少）算一個角問題】【例4】（23-24八年級·湖北恩施·期中）小明在計算多邊形內角和時，把其中一個內角多加了一次，得到內角和為500°，則多加的這個內角的大小為．【變式4-1】（23-24八年級·湖南永州·期中）小紅：我計算出一個多邊形的內角和為2000°；老師：不對呀，你可能少加了一個角！則小紅少加的這個角的度數是（

）A．140° B．150° C．160° D．170°【變式4-2】（23-24八年級·湖北孝感·期中）小明計算一個多邊形的內角和時誤把一個外角加進去了，得其和為2620°.（1）求這個多加的外角的度數.（2）求這個多邊形的邊數.【變式4-3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）馬小虎在計算一個多邊形的內角和時，由于粗心少算了2個內角，其和等于830°A．7 B．8 C．7或8 D．無法確定【題型5多邊形截角后的內角和問題】【例5】（23-24·上海徐匯·二模）如果剪掉四邊形的一個角，那么所得多邊形的內角和的度數不可能是（）A．180° B．270° C．360° D．540°【變式5-1】（23-24八年級·河南商丘·期中）如圖，在正方形ABCD中，截去∠A、∠C后，∠1、∠2、∠3、∠4的和為．【變式5-2】（23-24八年級·河北石家莊·期末）如圖，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個圖形的內角和相等，則符合條件的剪法是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【變式5-3】（23-24八年級·山西呂梁·期中）已知一個包裝盒的底面是內角和為720°的多邊形，它是由另一個多邊形紙片剪掉一個角以后得到的，則原多邊形是邊形．【題型6復雜圖形的內角和】【例6】（23-24八年級·江蘇無錫·期中）圖1是二環(huán)三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，圖2是二環(huán)四邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，圖3是二環(huán)五邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080°…聰明的同學，請你直接寫出二環(huán)十邊形，S＝_____________度（

）

A．1440 B．1800 C．2880 D．3600【變式6-1】（23-24八年級·江蘇揚州·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．【變式6-2】（23-24八年級·江蘇南京·期中）如圖，已知兩塊三角板如圖擺放，點B和點C分別在兩塊三角板的邊上，一塊三角板的頂點M在另一塊三角板的邊上，且∠BAC=37°，∠E=60°，∠F=45°，則∠ABE+∠EMF+∠FCA=°．【變式6-3】（23-24八年級·全國·專題練習）（1）如圖1，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=．（2）如圖2，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=．【題型7多邊形外角和的實際應用】【例7】（23-24八年級·全國·課堂例題）[應用意識]清晨，小明沿著一個五邊形廣場周圍的小路按逆時針方向跑步，如圖．

(1)小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角，在圖上標出；(2)他每跑一圈，身體轉過的角度之和是多少？(3)你是怎么得到的？【變式7-1】（23-24八年級·四川成都·期末）如圖，螞蟻先從點A出發(fā)前進6cm，向右轉72°，再前進6cm，又向右轉72°，…，這樣一直走下去，那么螞蟻第一次回到出發(fā)點A時，一共走了

【變式7-2】（23-24八年級·山西呂梁·階段練習）《紅樓夢》是我國四大名著之一，文學社團的同學在搜集相關資料時發(fā)現一張如圖①所示的《紅樓夢》紀念幣圖案（將紀念幣的正面圖案和背面圖案拼到一起），這個圖案可以抽象成有公共邊的兩個正八邊形，如圖②，則∠1的度數是．【變式7-3】（23-24八年級·山東濟南·期末）如圖1，小紅沿一個五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步，小紅每從一條小路轉到下一條小路時，跑步的方向改變一定的角度．

(1)該五邊形廣場ABCDE的內角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是度；(3)如圖2，小紅參加“全民健身，共筑健康中國”活動，從點A起跑，繞湖周圍的小路跑至終點E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小紅身體轉過的角度的和（圖【題型8多邊形內（外）角和與平行線的綜合運用】【例8】（23-24八年級·重慶沙坪壩·期中）已知在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是△ABC的角平分線．(1)如圖1，若∠B=40°，∠C=60°，求(2)如圖2，PE平分∠AEC交AC于點F，交△ACB外角∠ACM平分線于點P，過F作FG∥PC交BC于G，請猜想∠EFG與∠BAC的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PA，過點P作PG⊥BM于點G，若∠EAD=∠CAD，且∠B+∠CPE=107∠CPG，過點P作PH⊥AB交BA的延長線于點H【變式8-1】（23-24·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……

【變式8-2】（23-24八年級·吉林長春·期中）在△ABC中，∠C=90°,∠A=42°．點D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，且均不與△ABC的頂點重合，連接DE，將△ABC沿DE折疊，使點A的對稱點A'始終落在四邊形BCDE的外部，A'D交邊AB于點F，且點A(1)如圖①，則∠B=_______°．(2)如圖②，則∠BED+∠CDE=_______°．(3)如圖③，設圖②中的∠CDF=∠1,∠A'EF=∠2(4)當△A'DE的某條邊與AB或AC【變式8-3】（14-15八年級·江蘇揚州·期末）已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y（0°<x<180°，0°<y<180°）．(1)∠ABC+∠ADC=_______（用含x、y的代數式表示）．(2)如圖①，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關系，并說明理由．(3)如圖②，∠DFB為與∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角．①當x<y時，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y；②小明在作圖時，發(fā)現∠DFB不一定存在，請指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．【題型9多邊形內（外）角和與角平分線的綜合運用】【例9】（23-24八年級·湖北武漢·開學考試）在四邊形ABCD中，O在其內部，滿足∠ABO=1n∠ABC(1)如圖1，當n=2時，如果∠A+∠D=260°，直接寫出∠O的度數______；(2)當n=3時，M、N分別在AB、DC的延長線上，BC下方一點P，滿足∠CBP=2∠PBM，∠BCP=2∠PCN，①如圖2，判斷∠O與∠P之間的數量關系，并證明你的結論；②如圖3，延長線段BO、PC交于點Q，△BQP中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，直接寫出∠A+∠D的度數為______．【變式9-1】（23-24八年級·湖北武漢·期中）如圖，在四邊形MNCB中，∠P=25°，∠MBC和∠NCD的平分線交于點P，則∠M+∠N的度數為（

）

A．200° B．210° C．220° D．230°【變式9-2】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點E是BC上的點，ED⊥AB于點D，∠CED的平分線交AC于點F，連接BF交ED于點H，∠AFB的角平分線交ED的延長線于點P，若∠CFH=∠EHF，∠ABF=12∠CFE，則【變式9-3】（23-24八年級·山東日照·期末）已知：多邊形的外角∠CBE和∠CDF的平分線分別為BM，DN．(1)若多邊形為四邊形ABCD．①如圖①，∠A=50°,∠C=100°，BM與DN交于點P，求∠BPD的度數；②如圖②，猜測當∠A和∠C滿足什么數量關系時，BM∥(2)如圖③，若多邊形是五邊形ABCDG，已知∠A=140°,∠G=100°,∠BCD=120°，BM與DN交于點P，求∠BPD的度數．【題型10平面鑲嵌】【例10】（23-24八年級·四川遂寧·期末）如圖是用邊長相等的正三角形和正多邊形兩種地磚鋪設的部分地面示意圖，則這種正多邊形地磚的邊數是（）A．12 B．10 C．18 D．6【變式10-1】（23-24八年級·河南鄭州·期末）邊長相等的下列兩種正多邊形的組合，不能作平面鑲嵌的是（請?zhí)钚蛱枺僬叫闻c正三角形②正五邊形與正三角形③正六邊形與正三角形④正八邊形與正方形【變式10-2】（23-24八年級·四川樂山·期末）在鄉(xiāng)村振興建設中，某村欲利用兩種邊長相等的正多邊形地磚來鋪設地面，美化公園．現已購買了一部分正方形地磚，還需購買另一種正多邊形地磚搭配使用才能鋪滿地面，則購買的正多邊形是（

）A．正五邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形【變式10-3】（23-24八年級·廣東深圳·期末）如圖所示的地面由正六邊形和四邊形兩種地磚鑲嵌而成，則∠ABC的度數為專題11.5多邊形及其內角和【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1多邊形截角后的邊數問題】 1【題型2多邊形對角線的條數問題】 3【題型3對角線分成的三角形個數問題】 5【題型4多（少）算一個角問題】 6【題型5多邊形截角后的內角和問題】 8【題型6復雜圖形的內角和】 11【題型7多邊形外角和的實際應用】 15【題型8多邊形內（外）角和與平行線的綜合運用】 18【題型9多邊形內（外）角和與角平分線的綜合運用】 26【題型10平面鑲嵌】 33知識點1：多邊形的相關概念（1）多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．多邊形按組成它的線段的條數分成三角形、四邊形、五邊形……，如果一個多邊形由條線段組成，那么這個多邊形就叫做邊形．（2）相關概念：①多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角．②多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角．③連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．④各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（3）多邊形的對角線：（a）定義：多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（b）規(guī)律總結：①從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n-3）條對角線，將n邊形分成（n-2）個三角形．②n邊形共有條對角線．【題型1多邊形截角后的邊數問題】【例1】（23-24八年級·黑龍江大慶·期末）把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多邊形紙片的邊數不可能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】A【詳解】一個n邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（n-1）邊形．故當剪去一個角后，剩下的部分是一個18邊形，則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能是16邊形.故選A.【點睛】此題主要考查了多邊形，減去一個角的方法可能有三種：經過兩個相鄰點，則少了一條邊；經過一個頂點和一邊，邊數不變；經過兩條鄰邊，邊數增加一條.【變式1-1】（23-24八年級·重慶綦江·期中）一張七邊形卡片剪去一個角后得到的多邊形卡片可能的邊數為．【答案】6或7或8【分析】存在三種情況，根據圖示進行分析．【詳解】解：七邊形卡片剪去一個角，存在以下三種，如圖1、圖2、圖3:∴一個七邊形卡片剪去一個角后可以變成的多邊形卡片可能的邊數為6或7或8，故答案為：6或7或8．【點睛】本題主要考查多邊形，解題的關鍵是進行分類討論進行求解．【變式1-2】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）一個四邊形剪去一三角形后余下的多邊形為邊形【答案】三、四、五【詳解】如圖可知，一個四邊形截去一個三角形后變成三角形或四邊形或五邊形，故答案為三、四、五.【變式1-3】（23-24八年級·陜西西安·期中）一個多邊形截去一個角后，形成一個六邊形，那么原多邊形邊數為．【答案】5或6或7【分析】實際畫圖，數形結合，可知六邊形可以是五邊形，六邊形，七邊形截去一個角后得到．【詳解】解：如圖所示：六邊形可以是五邊形，六邊形，七邊形截去一個角后得到．故答案為：5或6或7．【點睛】本題主要考查了多邊形，此類問題要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．【題型2多邊形對角線的條數問題】【例2】（23-24八年級·陜西延安·階段練習）若一個多邊形從一個頂點出發(fā)可引4條對角線，則這個多邊形對角線的總數為（）A．14 B．28 C．24 D．20【答案】A【分析】根據一個n邊形從一個頂點出發(fā)有(n?3)條對角線，即可求出該多邊形的邊數．再根據n邊形對角線的總數為n(n?3)2【詳解】解：根據題意，一個多邊形從一個頂點出發(fā)可引4條對角線，可知該多邊形的邊數為4+3=7，∴這個多邊形對角線的總數為7×(7?3)2故選：A．【點睛】本題主要考查了多邊形的對角線的條數問題，熟練掌握n邊形的相關公式是解題關鍵．【變式2-1】（23-24八年級·湖北恩施·期末）我們知道，三角形的穩(wěn)定性在日常生活中被廣泛運用.要使不同的木架不變形，四邊形木架至少要再釘1根木條；五邊形木架至少要再釘2根木條；…按這個規(guī)律，要使n邊形木架不變形至少要再釘根木條.（用n表示，n為大于3的整數）【答案】n-3【分析】根據三角形具有穩(wěn)定性，需要的木條數等于過多邊形的一個頂點的對角線的條數．【詳解】過n邊形的一個頂點可以作（n-3）條對角線，把多邊形分成（n-2）個三角形，所以，要使一個n邊形木架不變形，至少需要（n-3）根木條固定．故答案為：（n-3）．【點睛】考查了三角形的穩(wěn)定性以及多邊形的對角線的問題，解題關鍵是將問題轉換成把多邊形分成三角形的問題．【變式2-2】（23-24八年級·廣東深圳·期末）邊長為整數的正多邊形的周長17，則過該正多邊形的一個頂點可以畫條對角線．【答案】14【分析】設正多邊形的邊數為n（n≥3），邊長為a，根據邊長為整數的正多邊形的周長17，求出n的值，根據過n多邊形的一個頂點的對角線的條數為n?3，即可得解．【詳解】解：設正多邊形的邊數為n（n≥3），邊長為a，由題意，得：na=17，∴a=17∵a為整數，∴n=17；∴過該正多邊形的一個頂點可以畫：17?3=14條對角線；故答案為：14【點睛】本題考查多邊形的對角線條數．熟練掌握從多邊形的一個頂點出發(fā)，可以引n?3條對角線，是解題的關鍵．【變式2-3】（23-24八年級·遼寧遼陽·期末）過m邊形的一個頂點有9條對角線，n邊形沒有對角線，則mn的值為．【答案】36【分析】根據m邊形從一個頂點出發(fā)可引出（m-3）條對角線，以及沒有對角線的多邊形是三角形，可以得出結果．【詳解】解：∵過m邊形的一個頂點有9條對角線，∴m-3=9，m=12；∵n邊形沒有對角線，∴n=3，∴mn=12×3=36；故答案為：36．【點睛】此題主要考查了多邊形的對角線，關鍵是掌握對角線條數的計算公式．【題型3對角線分成的三角形個數問題】【例3】（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到2003個三角形，則這個多邊形的邊數為（）A．2001 B．2005 C．2004 D．2006【答案】C【分析】根據多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各頂點所得三角形數比多邊形的邊數少1即可求解．【詳解】解：多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點得到2003個三角形，則這個多邊形的邊數為2003+1＝2004．故選：C．【點睛】本題主要考查多邊形的概念，熟練掌握多邊形的概念是解題的關鍵．【變式3-1】（23-24八年級·湖北·課后作業(yè)）通過連接對角線的方法，可以把十邊形分成互不重疊的三角形的個數（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【答案】B【詳解】從多邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，分成(n-2)個三角形，故把十邊形分成互不重疊的三角形的個數為10-2=8個.故選B.【變式3-2】（23-24八年級·四川巴中·期末）從一個n邊形的同一個頂點出發(fā)，分別連結這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形分割為6個三角形，則n的值是．【答案】8【分析】根據從一個n邊形的某個頂點出發(fā)，可以引（n-3）條對角線，把n邊形分為（n-2）的三角形作答．【詳解】設多邊形有n條邊，則n?2=6，解得n=8.故答案為8.【點睛】此題考查多邊形的對角線，解題關鍵在于掌握計算公式.【變式3-3】（23-24八年級·湖北·課后作業(yè)）將已知六邊形ABCDEF，用對角線將它剖分成互不重疊的4個三角形，那么各種不同的剖分方法種數是（）A．6 B．8 C．12 D．14【答案】D【詳解】∵六邊形ABCDEF有6個頂點，且用對角線將它剖分成互不重疊的4個三角形，∴只能通過同一個頂點作三條對角線(如圖1)，這種分法有6種，也從一個頂點作兩條對角線(如圖2)，這種分法有2種，如圖3，中間是個四邊形，兩端2個三角形，把四邊形加條對角線，這種分法有6種，故各種不同的剖分方法有14種．故選D.知識點2：多邊形的內角和與外角和（1）邊形內角和等于．正多邊形的每個內角的度數為(n≥3)．（2）在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關.【題型4多（少）算一個角問題】【例4】（23-24八年級·湖北恩施·期中）小明在計算多邊形內角和時，把其中一個內角多加了一次，得到內角和為500°，則多加的這個內角的大小為．【答案】140°【分析】本題考查了多邊形內角和公式，理解題意，把一個內角多加一次即為整除之后的余數是解答本題的關鍵．根據多邊形內角和公式，內角和應是180°的倍數，且每個內角應大于0°而小于180°，根據這些條件進行分析求解．【詳解】解：由多邊形內角和公式n?2×180°多邊形的內角和是180°的倍數，∴多加的一個內角是500÷180的余數即為140°故答案為140°【變式4-1】（23-24八年級·湖南永州·期中）小紅：我計算出一個多邊形的內角和為2000°；老師：不對呀，你可能少加了一個角！則小紅少加的這個角的度數是（

）A．140° B．150° C．160° D．170°【答案】C【分析】n邊形的內角和是(n?2)?180°，少計算了一個內角，結果得2000°．則內角和是(n?2)?180°與2000°的差一定小于180度，并且大于0度．【詳解】解：設多邊形的邊數為n，小紅少加的這個角的度數是x°，則有0°<(n?2)×180°?2000<180°，則2000°=180°×12?160°，因為0°<x°<180°，所以x°=160°，故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的內角和公式．解答此題的關鍵是把所求的角正確的分解為180°與一個正整數的積再減去一個小于180°的角的形式，再根據多邊形的內角和公式即可求解．【變式4-2】（23-24八年級·湖北孝感·期中）小明計算一個多邊形的內角和時誤把一個外角加進去了，得其和為2620°.（1）求這個多加的外角的度數.（2）求這個多邊形的邊數.【答案】（1）100；（2）16【分析】根據多邊形的內角和公式（n-2）?180°可知，多邊形的內角和是180°的倍數，然后求出多邊形的邊數以及多加的外角的度數即可得解．【詳解】解：設多邊形的邊數為n，多加的外角度數為α，則（n-2）?180°=2620°-α，又∵2620°=14×180°+100°，內角和應是180°的倍數，∴小明多加的一個外角為100°，∴這是14+2=16邊形的內角和．故這個多加的外角的度數為100°，這個多邊形的邊數是16．【點睛】本題考查了多邊形的內角和公式，根據多邊形的內角和公式判斷出多邊形的內角和公式是180°的倍數是解題的關鍵．【變式4-3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）馬小虎在計算一個多邊形的內角和時，由于粗心少算了2個內角，其和等于830°A．7 B．8 C．7或8 D．無法確定【答案】C【分析】n邊形的內角和是（n-2）?180°，即為180°的（n-2）倍，多邊形的內角一定大于0度，小于180度，因而多邊形中，除去2個內角外，其余內角和與180度的商加上2，以后所得的數值，比這個數值大1或2的整數就是多邊形的邊數．【詳解】設少加的2個內角和為x度，邊數為n．則（n-2）×180=830+x，即（n-2）×180=4×180+110+x，因此x=70，n=7或x=250，n=8．故該多邊形的邊數是7或8．故選C．【點睛】本題考查了多邊形的內角和定理，正確理解多邊形內角的大小的特點，以及多邊形的內角和定理是解決本題的關鍵．【題型5多邊形截角后的內角和問題】【例5】（23-24·上海徐匯·二模）如果剪掉四邊形的一個角，那么所得多邊形的內角和的度數不可能是（）A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】B【分析】分四邊形剪去一個角，邊數減少1，不變，增加1，三種情況討論求出所得多邊形的內角和，即可得解．【詳解】解：剪去一個角，若邊數減少1，則內角和＝（3﹣2）×180°＝180°，若邊數不變，則內角和＝（4﹣2）×180°＝360°，若邊數增加1，則內角和＝（5﹣2）×180°＝540°，所以，所得多邊形內角和的度數可能是180°，360°，540°，不可能是270°．故選：B．【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角，要注意剪去一個角有三種情況．【變式5-1】（23-24八年級·河南商丘·期中）如圖，在正方形ABCD中，截去∠A、∠C后，∠1、∠2、∠3、∠4的和為．【答案】540°【分析】根據多邊形內角和定理求出截去∠A、∠C后六邊形的內角和，再減去∠B和∠D的度數，即可求出∠1、∠2、∠3、∠4的和．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵截去∠A、∠C后，組成的圖形是六邊形∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠D=720°∴∠1+∠2+∠3+∠4=720°?∠B?∠D=540°故答案為：540°．【點睛】本題考查了多邊形的角度問題，掌握多邊形內角和定理和正方形的性質是解題的關鍵．【變式5-2】（23-24八年級·河北石家莊·期末）如圖，沿著虛線將四邊形紙片剪成兩部分，如果所得兩個圖形的內角和相等，則符合條件的剪法是（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】根據多邊形內角和定理逐一判斷即可得答案．【詳解】三角形內角和為180°，四邊形內角和為360°，五邊形內角和為（5-2）×180°=540°，①剪開后的兩個圖形是四邊形，它們的內角和都是360°，符合條件，②剪開后的兩個圖形是五邊形和三角形，它們的內角和分別是540°和180°，不符合條件，③剪開后的兩個圖形都是三角形，它們的內角和是180°，符合條件，④剪開后的兩個圖形是三角形和四邊形，它們的內角和分別是180°和360°，不符合條件，∴符合條件的剪法是①③，故選：B．【點睛】本題考查多邊形的內角和定理，多邊形內角和=（n-2）×180°（n≥3）；熟練掌握多邊形內角和公式是解題關鍵．【變式5-3】（23-24八年級·山西呂梁·期中）已知一個包裝盒的底面是內角和為720°的多邊形，它是由另一個多邊形紙片剪掉一個角以后得到的，則原多邊形是邊形．【答案】五或六或七【分析】首先求得內角和為720°的多邊形的邊數，再分三種情況考慮截角，即可得出答案．【詳解】解：設內角和為720°的多邊形的邊數是n，∴(n?2)×180°=720°，解得：n=6，∴包裝盒的底面是六邊形，如圖1所示，截線不過頂點和對角線，則原來的多邊形是五邊形；如圖2所示，截線過一個頂點，則來的多邊形是六邊形；如圖3所示，截線過一條對角線，則來的多邊形是七邊形．故答案為：五或六或七．【點睛】本題考查多邊形知識，注意截去一個角有三種情況需要考慮．【題型6復雜圖形的內角和】【例6】（23-24八年級·江蘇無錫·期中）圖1是二環(huán)三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360°，圖2是二環(huán)四邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A8=720°，圖3是二環(huán)五邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A10=1080°…聰明的同學，請你直接寫出二環(huán)十邊形，S＝_____________度（

）

A．1440 B．1800 C．2880 D．3600【答案】C【分析】本題只看圖覺得很復雜，但從數據入手，就簡單了，從圖2開始，每個圖都比前一個圖多360度．抓住這點就很容易解決問題了．【詳解】解：依題意可知，二環(huán)三角形，S＝360度；二環(huán)四邊形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；二環(huán)五邊形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；…∴二環(huán)十邊形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的內角和，本題可直接根據S的度數來找出規(guī)律，然后根據規(guī)律表示出二環(huán)十邊形的度數．【變式6-1】（23-24八年級·江蘇揚州·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．【答案】540°【分析】連接ED，由三角形內角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五邊形的內角和定理得出結論．【詳解】連接ED，∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案為：540°．【點睛】本題考查了三角形的內角和公式，以及多邊形的內角和公式，熟記多邊形的內角和公式為(n-2)×180°是解答本題的關鍵．【變式6-2】（23-24八年級·江蘇南京·期中）如圖，已知兩塊三角板如圖擺放，點B和點C分別在兩塊三角板的邊上，一塊三角板的頂點M在另一塊三角板的邊上，且∠BAC=37°，∠E=60°，∠F=45°，則∠ABE+∠EMF+∠FCA=°．【答案】68【分析】延長BE交AC于D，延長CF交BD于G，根據外角的性質得到∠EGF＝∠BDC＋【詳解】解：延長BE交AC于D，延長CF交BD于G，∵∠BDC∴∠EGF∵∠EGF+∠EMF+∠MEG+∠MFG=360°,∴∠EGF+∠EMF+180°?∠E+180°?∠F=360°,∴∠EGF+∠EMF=∠E+∠F,∵∠E=60°,∠F=45°,∴∠ABE∵∠A=37°,∴∠ABE故答案為：68°.【點睛】本題考查了三角形的外角的性質，四邊形的內角和，鄰補角的定義，熟練掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵．【變式6-3】（23-24八年級·全國·專題練習）（1）如圖1，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=．（2）如圖2，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=．【答案】360°540°【分析】（1）根據三角形內角和定理即可求得；（2）根據四邊形內角和可求得∠A+∠1+∠D+∠F=360°，∠B+∠2+∠E+∠G=360°，再利用三角形內角關系可得∠C=∠1+∠2?180°，進而可求得．【詳解】解：（1）∵在△ACE中，∠A+∠C+∠E=180°，在△BDF中，∠B+∠D+∠F=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，故答案為360°；（2）如圖，∵∠A+∠1+∠D+∠F=360°，∠B+∠2+∠E+∠G=360°，∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠D+∠E+∠F+∠G=720°．∵∠C=180°?180°?∠1∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=720°?180°=540°．故答案為540°．【點睛】本題考查了三角形內角和定理及多邊形內角和定理，熟練掌握相關定理是解題的關鍵．【題型7多邊形外角和的實際應用】【例7】（23-24八年級·全國·課堂例題）[應用意識]清晨，小明沿著一個五邊形廣場周圍的小路按逆時針方向跑步，如圖．

(1)小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是哪個角，在圖上標出；(2)他每跑一圈，身體轉過的角度之和是多少？(3)你是怎么得到的？【答案】(1)圖見解析，∠1,∠2,∠3,∠4,∠5(2)他每跑一圈，身體轉過的角度之和是360°(3)五邊形的外角和等于360°【分析】（1）根據圖形進行解答即可；（2）根據多邊形外角和進行解答即可；（3）多邊形的外角和等于360°．【詳解】（1）解：如圖，小明每從一條街道轉到下一條街道時，身體轉過的角是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5．

（2）解：他每跑一圈，身體轉過的角度之和是360°（3）解：五邊形的外角和等于360°．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角，解題的關鍵是熟練掌握多邊形的外角和等于360°．【變式7-1】（23-24八年級·四川成都·期末）如圖，螞蟻先從點A出發(fā)前進6cm，向右轉72°，再前進6cm，又向右轉72°，…，這樣一直走下去，那么螞蟻第一次回到出發(fā)點A時，一共走了

【答案】30【分析】本題主要考查了多邊形內角與外角的應用，解題的關鍵是判斷出螞蟻所走的路線為正多邊形，牢記任何一個多邊形的外角和都是360°，正多邊形的每一個外角都相等．由題意可知螞蟻所走的路線為正多邊形，根據多邊形的外角和定理即可求出答案．【詳解】解：∵螞蟻從A點出發(fā)最后回到出發(fā)點A時正好走了一個正多邊形，∴根據外角和定理可知正多邊形的邊數為n=360°÷72°=5，則一共走了5×6=30（厘米）．故答案為：30．【變式7-2】（23-24八年級·山西呂梁·階段練習）《紅樓夢》是我國四大名著之一，文學社團的同學在搜集相關資料時發(fā)現一張如圖①所示的《紅樓夢》紀念幣圖案（將紀念幣的正面圖案和背面圖案拼到一起），這個圖案可以抽象成有公共邊的兩個正八邊形，如圖②，則∠1的度數是．【答案】90°/90度【分析】此題考查了正多邊形的外角性質，利用正多邊形的外角性質以及外角和是360°即可求出答案，解題的關鍵是熟練掌握正多邊形的外角性質以及外角和是360°．【詳解】∵正八邊形的外角和是360°，共八個外角且每個外角都相等，∴每個外角都是360°8∴∠1=正八邊形的兩個外角的和=90°，故答案為：90°．【變式7-3】（23-24八年級·山東濟南·期末）如圖1，小紅沿一個五邊形廣場周圍的小路，按逆時針方向跑步，小紅每從一條小路轉到下一條小路時，跑步的方向改變一定的角度．

(1)該五邊形廣場ABCDE的內角和是度；(2)她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是度；(3)如圖2，小紅參加“全民健身，共筑健康中國”活動，從點A起跑，繞湖周圍的小路跑至終點E，若MA∥EN，且∠1+∠2=200°，求行程中小紅身體轉過的角度的和（圖【答案】(1)540(2)360(3)160°【分析】（1）根據五邊形內角和求解即可；（2）跑步方向改變的角度的和即為五邊形的外角和；（3）延長NE交AB于點F，再在五邊形FBCDE中計算即可．【詳解】（1）五邊形廣場ABCDE的內角和5?2×180°=540°故答案為：540；（2）∵跑步方向改變的角度的和即為五邊形的外角和，∴跑步方向改變的角度的和是360度，故答案為：360；（3）延長NE交AB于點F

∵MA∴∠1=∠6∵∠1+∠2=∴∠6+∠2=∵在五邊形FBCDE中∠6+∠3+∠4+∠5+∠2=∴∠3+∠4+∠5=【點睛】考查了多邊形內角與外角，關鍵是熟練掌握多邊形的外角和等于360度的知識點．【題型8多邊形內（外）角和與平行線的綜合運用】【例8】（23-24八年級·重慶沙坪壩·期中）已知在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是△ABC的角平分線．(1)如圖1，若∠B=40°，∠C=60°，求(2)如圖2，PE平分∠AEC交AC于點F，交△ACB外角∠ACM平分線于點P，過F作FG∥PC交BC于G，請猜想∠EFG與∠BAC的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接PA，過點P作PG⊥BM于點G，若∠EAD=∠CAD，且∠B+∠CPE=107∠CPG，過點P作PH⊥AB交BA的延長線于點H【答案】(1)∠EAD=10°(2)∠EFG=1(3)95°【分析】（1）先求解∠BAC=80°，∠BAC=40°，∠AEC=80°，再結合三角形的高可得答案；（2）先證明∠P=∠PCM?∠PEM=12(∠ACM?∠AEM)=12∠CAE結合（3）設∠EAD=∠CAD=2α，可得∠BAE=∠CAE=4α，∠BAC=8α，∠BAD=6α，∠B=90°?6α，結合（2）可得，∠CPE=14∠BAC=2α，求解∠CPG=90°?∠PCG=45°?α【詳解】（1）解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=80°，∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE=∠CAE=40°，∵∠AEC=∠B+∠BAE=80°，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=10°．（2）∠EFG=1∵PE，PC分別平分∠AEC和△ACB的外角∠ACM，∴∠PEM=12∠AEM∴∠P=∠PCM?∠PEM=1∵∠CAE=1∴∠P=1∵FG∥PC，∴∠P=∠EFG，∴∠EFG=1（3）設∠EAD=∠CAD=2α，∴∠BAE=∠CAE=4α，∴∠BAC=8α，∠BAD=6α，∠B=90°?6α，∴由（2）可得，∠CPE=∵PC平分∠ACM，∴∠PCG=1∴∠CPG=90°?∠PCG=45°?α∵∠B+∠CPE=∴(90°?6α)+2α=10∴α=10°，∴∠B=30°，∠PEM=∴∠BEP=180°?∠PEM=145°∵PH⊥AB，∴∠BHP=90°在四邊形EBPH中，∠EPH=360°?∠BEP?∠B?∠BHP=95°．【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，三角形的外角的性質，四邊形的內角和定理的應用，角平分線的含義，理清各角度之間的關系是解本題的關鍵．【變式8-1】（23-24·江蘇宿遷·模擬預測）如圖，一束太陽光平行照射在正n邊形A1A2A3……

【答案】6【分析】過A2作A2B∥A1An，根據平行線的性質可得∠4=∠3，∠CA2B=∠1，求得∠【詳解】解：過A2作A

則∠4=∠3，∠C∵∠1?∠2=60°∴∠設正多邊形的內角為x，則∠4=180°?x∴x=60°+∠3∴∠3=x?60°∵180°?x=x?60°，解得x=120°∴∠4=60°∴這個正多邊形的邊數為360°÷60°=6故答案為：6．【點睛】本題考查了根據正多邊形外角求正多邊形的邊數，平行線的性質等知識，熟練掌握正多邊形的外角性質是解題的關鍵．【變式8-2】（23-24八年級·吉林長春·期中）在△ABC中，∠C=90°,∠A=42°．點D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，且均不與△ABC的頂點重合，連接DE，將△ABC沿DE折疊，使點A的對稱點A'始終落在四邊形BCDE的外部，A'D交邊AB于點F，且點A(1)如圖①，則∠B=_______°．(2)如圖②，則∠BED+∠CDE=_______°．(3)如圖③，設圖②中的∠CDF=∠1,∠A'EF=∠2(4)當△A'DE的某條邊與AB或AC【答案】(1)48(2)222(3)84°(4)24°或45°【分析】本題考查的是三角形內角和定理，四邊形的內角和定理，平行的性質和折疊的性質，熟悉相關性質并能熟練應用是解題的關鍵．（1）根據三角形內角和定理可得∠B的度數；（2）根據四邊形內角和定理可得∠BED+∠CDE的度數；（3）由（2）的結論可得∠BED+∠EDF+∠1=222°，由折疊可得∠A'=∠A=42°（4）分兩種情況：EA'⊥AC或D【詳解】（1）解：∠B=180°?∠C?∠A=180°?90°?42°=48°，故答案為：48；（2）解：∵∠BED+∠CDE+∠C+∠B=360°，∴∠BED+∠CDE=360°?∠C?∠B=360°?90°?48°=222°，故答案為：222；（3）解：由（2）知∠BED+∠CDE=222°，∴∠BED+∠EDF+∠1=222°①由折疊知∠A∵∠A∴∠2+∠BED+∠EDF=180°?∠A①?②得：（4）解：如圖，當EA∵BC⊥AC，∴EA∴∠2=∠B=48°，由（3）知∠1?∠2=84°，∴∠1=84°+∠2=132°，由折疊知∠ADE=∠A∴∠ADE=1如圖，當DA∠ADE=12如圖，當DE⊥AC時，點A'與點C在直線AB綜上可知，∠ADE的度數為24°或45°．【變式8-3】（14-15八年級·江蘇揚州·期末）已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y（0°<x<180°，0°<y<180°）．(1)∠ABC+∠ADC=_______（用含x、y的代數式表示）．(2)如圖①，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關系，并說明理由．(3)如圖②，∠DFB為與∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角．①當x<y時，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y；②小明在作圖時，發(fā)現∠DFB不一定存在，請指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．【答案】(1)360°?x?y；(2)DE⊥BF，理由見解析；(3)①x=40°，y=100°；②當0°<x<180°且x=y時，∠DFB不存在．【分析】（1）根據四邊形內角和等于360°直接計算即可得到答案；（2）根據（1）與x=y=90°時，∠ABC+∠ADC=180°，結合∠ABC+∠CBM=180°得到∠CBM=∠ADC，根據DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，得到∠EDC=∠CBF，根據∠C=90°，（3）①連接FC并延長至點H，根據x+y=140°得到∠ABC+∠ADC，結合DF平分∠NDC得到∠FDC，同理得到∠FBC，即可得到∠DCB，即可得到答案；②過點C作KQ∥DE，由①得：∠EDC=90°?12∠ADC，∠CBF=90°?12∠ABC，結合KQ∥DE得到∠EDC=∠DCK，表示出∠BCK，由（1）結論及【詳解】（1）解：∵在四邊形ABCD中，∴∠ABC+∠ADC+∵∠A=x，∠C=y，∴∠ABC+∠ADC=360°?x?y；（2）解：DE⊥BF，理由：如答圖①，延長DE交BF于點G，由（1）知：∠ABC+∠ADC=360°?∠A+∠C∴當x=y=90°時，∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠CBM=∠ADC，∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，∴∠EDC=∠CBF，又∵∠C=90°，∴∠EDC+∠DEC=180°?∠C=90°，∵∠BEG=∠DEC，∠EDC=∠CBF，∴∠CBF+∠BEG=90°，.∴∠EGB=180°?90°=90°，∴DE⊥BF；（3）解：①如答圖②，連接FC并延長至點H，∵x+y=140°，∴∠ABC+∠ADC=360°?∠A+∠C∵DF平分∠NDC，∴∠FDC=同理可證，∠FBC=90°?1∵∠DCH=∠CDF+∠DFC，∠HCB=∠CBF+∠HFB，∴∠DCB=∠DCH+∠HCB=∠CDF+∠CBF+∠DFB=210°?1∴y=100°，x=40°；②如答圖③，過點C作KQ∥DE，由①得：∠EDC=90°?12∠ADC∵KQ∥DE，∴∠EDC=∠DCK=90°?1∴∠BCK=∠DCB?∠DCK=y?90°?又∵∠ABC+∠ADC=360°?∠A+∠C∴當x=y時，∠ABC+∠ADC=360°?2y，∴∠ABC=360°?2y?∠ADC.∴∠CBF=90°?1∴∠KCB=∠CBF，∴KQ∥BF，∴DE∥BF，此時，DE與BF沒有交點，∴當0°<x<180°且x=y時，∠DFB不存在；【點睛】本題考查根據角平分線求解，四邊形內角和定理，平行線性質與判定，解題的關鍵是作出輔助線及注意整體代換的思想．【題型9多邊形內（外）角和與角平分線的綜合運用】【例9】（23-24八年級·湖北武漢·開學考試）在四邊形ABCD中，O在其內部，滿足∠ABO=1n∠ABC(1)如圖1，當n=2時，如果∠A+∠D=260°，直接寫出∠O的度數______；(2)當n=3時，M、N分別在AB、DC的延長線上，BC下方一點P，滿足∠CBP=2∠PBM，∠BCP=2∠PCN，①如圖2，判斷∠O與∠P之間的數量關系，并證明你的結論；②如圖3，延長線段BO、PC交于點Q，△BQP中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，直接寫出∠A+∠D的度數為______．【答案】(1)130°(2)①見解析②210°或240°【分析】本題考查四邊形的內角和及角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟知四邊形的內角和是360°是解題的關鍵．（1）首先根據四邊形的內角和及角平分線的定義，求出∠OBC+∠OCD，進而根據三角形的內角和定理即可求解；（2）①首先由已知求出∠OBC=23∠ABC，∠PBC=23∠MBC，根據平角的定義得出∠PBO=∠PBC+∠OBC=23×180°=120°，同理∠PCO=120°【詳解】（1）解：∵∠ABO=1n∠ABC∴當n=2時，∠ABO=12∠ABC∴∠ABC=2∠CBO，∠DCB=2∠OCB，∵∠A+∠D=260°，∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°，∴∠ABC+∠DCB=100°，∴∠CBO+∠OCB=50°，∴∠O=180°?(∠CBO+∠OCB)=130°；故答案為：130°；（2）①∠O+∠P=120°．證明：∵∠ABO=1n∠ABC∴當n=3時，∠OBC=23∠ABC∵∠CBP=2∠PBM，∠BCP=2∠PCN，∴∠CBP=23∠CBM∴∠PBO=∠PBC+∠OBC=2同理∠PCO=120°，∵∠O+∠P+∠PBO+∠PCO=360°，∴∠O+∠P=360°?120°?120°=120°．②由①得：∠PBQ=120°，∠PCO=120°，如果△BQP中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分二種情況：當∠P=2∠Q，∵∠PBQ=120°，∴∠Q=20°，則∠P=40°，∴∠PBC+∠BCP=180°?40°=140°，∴∠CBO+∠OCB=2×120°?140°=100°，∵∠OBC=23∠ABC∴∠ABC+∠DCB=150°，∴∠A+∠D=360°?150°=210°；當∠Q=2∠P，∵∠PBQ=120°，∴∠P=20°，則∠Q=40°，∴∠PBC+∠BCP=180°?20°=160°，∴∠CBO+∠OCB=2×120°?160°=80°，∵∠OBC=23∠ABC∴∠ABC+∠DCB=120°，∴∠A+∠D=360°?120°=240°．綜上所述，∠A+∠D的度數為：210°或240°．故答案為：210°或240°．【變式9-1】（23-24八年級·湖北武漢·期中）如圖，在四邊形MNCB中，∠P=25°，∠MBC和∠NCD的平分線交于點P，則∠M+∠N的度數為（

）

A．200° B．210° C．220° D．230°【答案】D【分析】先根據角平分線的定義得出∠PCD=∠NCP，∠MBP=∠PBC，根據三角形的外角得出∠PCD=∠NCP=25°+∠PBC，進而求出∠NCB=130°?2∠PBC，根據∠M+∠N+∠MBC+∠NCB=360°，進而可得出答案．【詳解】解：∵∠MBC和∠NCD的平分線交于點P，∴∠PCD=∠NCP，∠MBP=∠PBC，∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠P=25°，∴∠PCD=∠NCP=25°+∠PBC，∴∠NCB=180°?∠NCD=180°?225°+∠PBC在四邊形MNCB中，∠M+∠N+∠MBC+∠NCB=360°，∴∠M+∠N+2∠PBC+130°?2∠PBC∴∠M+∠N=360°?130°=230°，故選：D．【點睛】本題考查角平分線的定義，四邊形的內角和，三角形的外角，正確理解題意是解題的關鍵．【變式9-2】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點E是BC上的點，ED⊥AB于點D，∠CED的平分線交AC于點F，連接BF交ED于點H，∠AFB的角平分線交ED的延長線于點P，若∠CFH=∠EHF，∠ABF=12∠CFE，則【答案】22.5°【分析】本題考查了四邊形內角和定理，三角形內角和定理，角平分線的定義．設∠ABF=α，則∠CFE=2α，由四邊形內角和定理得180°?4α+290°?α+90°=360°，求得【詳解】解：設∠ABF=α，則∠CFE=2α，∵ED⊥AB，∴∠HDB=90°，∴∠BHD=90°?α，∴∠EHF=90°?α，∵∠CFH=∠EHF，∴∠CFH=90°?α，∵∠ACB=90°，∴∠CEF=90°?∠CFE=90°?2α，∵EF平分∠CED，∴∠CEH=2∠CEF=180°?4α，由四邊形內角和定理得180°?4α+290°?α解得α=15°．∴∠CFH=∠EHF=90°?α=75°，∴∠EFH=75°?2α=45°，∠CEF=60°=∠FEP，∠AFB=180°?∠CFH=105°，∵PF平分∠AFB，∴∠HFP=1∴∠P=180°?60°?45°?52.5°=22.5°，故答案為：22.5°．【變式9-3】（23-24八年級·山東日照·期末）已知：多邊形的外角∠CBE和∠CDF的平分線分別為BM，DN．(1)若多邊形為四邊形ABCD．①如圖①，∠A=50°,∠C=100°，BM與DN交于點P，求∠BPD的度數；②