江蘇省常州市奔牛高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)2025屆第一學(xué)期期初檢測(cè)卷高三數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)據(jù)余弦函數(shù)符號(hào)的分布情況結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】若，則成立，故充分性成立；若，則，不一定為，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.2.已知，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合A，根據(jù)可得在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.【詳解】解不等式，即，即，又，，故在上恒成立，即在上恒成立，而在上單調(diào)遞減，故，故，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：B3.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，換元后可知只要滿足即可，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)遞增，所以，解得，故選：B4.若，則（

）A. B. C.45 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求得答案.【詳解】由，得，.故選：B.5.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)既有極大值也有極小值轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有兩個(gè)不等正根即可解決問(wèn)題.【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)定義域?yàn)?，，由題意，方程，即有兩個(gè)不相等的正根，設(shè)為，則，解得，即的取值范圍為，故選：A.6.已知函數(shù)在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，可得，解得，又在上單調(diào)遞增，可得，解得，則可得的取值范圍.【詳解】因在有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以，解得，所以．故選：A．7.已知函數(shù)，對(duì)于有四個(gè)結(jié)論：①為偶函數(shù)；②的最小正周期是π：③在上單調(diào)遞增；④的最小值為．則四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.①② B.②③ C.①③ D.①④【答案】D【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義可得①正確；由周期函數(shù)的定義可得②錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)的取值范圍化簡(jiǎn)原函數(shù)后再結(jié)合輔助角公式可得③錯(cuò)誤；先求出函數(shù)的周期，再結(jié)合輔助角公式和正余弦函數(shù)的取值可得④正確；【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋?，故①正確；對(duì)于②，，所以不是的周期，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，所以由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上不是單調(diào)的，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由于，所以是的一個(gè)周期，又時(shí)，，則，又，所以，；當(dāng)時(shí)，，則，又，所以，；綜上可得，所以的最小值為，故④正確；故選：D.8.已知，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)的特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出大小.【詳解】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.又，且，所以，所以，故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9已知函數(shù)則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】利用三角恒等變換易得，采用代入檢驗(yàn)法即可判斷A項(xiàng)，利用平移變換，求得函數(shù)解析式，易得其為奇函數(shù)，，故而排除B項(xiàng)，將看成整體角，求出其范圍，利用余弦函數(shù)的圖象觀察分析，易對(duì)C,D兩項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于當(dāng)時(shí)，而，故A正確；對(duì)于將向左平移個(gè)單位后可得，奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)；對(duì)于當(dāng)時(shí)，，因在上僅有2個(gè)零點(diǎn)，故在上也僅有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于當(dāng)時(shí)，因在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD．10.已知?jiǎng)t（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由，可判定A不正確；由對(duì)于的運(yùn)算性質(zhì)，可判定B正確；由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判定C正確；結(jié)合基本不等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以A不正確；對(duì)于B中，由，可得，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，因?yàn)椋?，所以C正確；對(duì)于D中，由，可得，因?yàn)?，所以等?hào)不成立，所以，又因?yàn)椋?，所以D正確.故選：BCD.11.已知正實(shí)數(shù)滿足（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，），則（）A. B.C.的最大值為 D.方程無(wú)實(shí)數(shù)解【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：由已知可得，代入原方程可判斷A；于B：由已知可得，代入原方程可判斷B；令，求導(dǎo)，可判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求其最大值與值域，可判斷CD.【詳解】對(duì)于A：由，可得，將代入原方程，可得，故A正確；對(duì)于B：若，可得，將代入原方程，得，則，而右邊恒大于0，則等式不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，即，所以當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：由上可知在區(qū)間上的值域?yàn)?，所以無(wú)實(shí)數(shù)解，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，得，所以，綜上：的解集為，故答案為：.13.設(shè)，則的最小值為______________.【答案】##【解析】【分析】先將化簡(jiǎn)為，再利用基本不等式即可.【詳解】因?yàn)?，為正?shù)，由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.14.已知函數(shù)的零點(diǎn)為，且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】將已知條件中零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成方程的根，從而求出的范圍及關(guān)系，然后構(gòu)造函數(shù)求出最值即可.【詳解】，顯然，所以0是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得，由題意方程有兩個(gè)根，設(shè)，由于，所以是偶函數(shù)，所以需要在上只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，由于，則，設(shè)，則，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，所以，所以單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以上只有一個(gè)根，即，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．15.在平面四邊形中，，，．（1）求的值；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用余弦定理，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果及條件，求得，，再利用正弦定理即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理可得：，又，，，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以，又，所以，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得：，得到，所以.16.已知函數(shù).（1）求的最大值;（2）證明：【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用多次求導(dǎo)的方法求得的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得的最大值.（2）利用導(dǎo)數(shù)，首先將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【小問(wèn)1詳解】，定義域?yàn)?，則，令，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，令，可得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.【小問(wèn)2詳解】要證，即證，

令

令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，即欲證，只需證也就是證明

設(shè)，則，令，得

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，取到最小值故式成立，從而成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值時(shí)，當(dāng)一次求導(dǎo)無(wú)法解決，可考慮利用多次求導(dǎo)的方法來(lái)進(jìn)行求解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可先將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為容易證明的形式，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明.17.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為且求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，根據(jù)周期求得的值，從而得到函數(shù)的解析式，整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可；（2）利用正弦定理即兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)條件，從而求得繼而得到整體代入求函數(shù)值的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】.因?yàn)樗怨?由解得當(dāng)時(shí)又所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】由得（所以.因?yàn)樗杂炙杂秩切螢殇J角三角形，則，則，所以，又，，則，所以的取值范圍為.18.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)（1）若，求的取值范圍；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）不等式可轉(zhuǎn)化為，解不等式即可得解；（2）分類討論，去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問(wèn)題，從而利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性即可得解．【小問(wèn)1詳解】若，則，顯然，則，即，解得，所以的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)開口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)；綜上：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；?19.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類，討論函數(shù)的單調(diào)性即得；（2）將函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)研究并作出函數(shù)的圖象，即得的取值范圍；（3）由原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，就參數(shù)分類討論，找到使恒成立時(shí)的情況，即得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)；當(dāng)時(shí)，時(shí)；時(shí)；綜上，時(shí)，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；時(shí)，的遞增區(qū)間是，無(wú)遞減區(qū)間；時(shí)，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是；時(shí)，的遞增區(qū)間是和，遞減區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】令得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，則.又因時(shí)，時(shí)，作出函數(shù)的圖象，由圖可得，要使直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，須使，即，故的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】由得，因，即得，（*），易得時(shí)，不等式成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，