海南省部分名校2025屆高三上學期開學考試 數(shù)學

2025屆高三年級開學考試數(shù)學試題時間：120分鐘滿分：150分一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的：1.復數(shù)z滿足，則復數(shù)的虛部是（）A B.2 C. D.-12.已知命題，命題，則（）A.和均為真命題 B.和均為真命題C.和均為真命題 D.和均為真命題3.已知向量滿足，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知數(shù)據(jù)，滿足：，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法錯誤的是（）A.中位數(shù)不變B.若，則數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為7.5C平均數(shù)不變D.方差變小5.已知，則（）A. B. C. D.6.已知正三棱臺的體積為，其上?下底面的邊長分別為2，4，則該正三棱臺的側(cè)面上的高為（）A. B. C. D.27.函數(shù)與函數(shù)公切線的縱截距為（）A.1或0 B.-1或0 C.1或 D.-1或8.類比數(shù)列，我們把一系列向量按照一定的順序排列，可得到向量列.已知向量列滿足，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞減數(shù)列B.C當時，D.當且僅當時，取得最大值10.已知函數(shù)，則（）A.是函數(shù)的極小值點B.存在3個不同的值，使得函數(shù)有2個零點C.有且僅有一個值，使得曲線有對稱軸D.存無數(shù)多個值，使得曲線有對稱中心11.已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（）A.弦的中點軌跡是圓B.直線的交點在定圓上C.線段的最小值為D.的最大值為三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則此雙曲線的離心率為__________..13.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中，則__________.14.已知，，則的最小值為______.四.解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知分別為內(nèi)角的對邊，且.（1）求角A；（2）若，求邊.16設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當函數(shù)有最大值，且最大值小于時，求的取值范圍.17.如圖（1），在中，，點為的中點.將沿折起到的位置，使，如圖（2）.（1）求證：.（2）在線段上是否存在點，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，請說明理由.18.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓交于兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為.①求四邊形的面積的最大值；②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.19.從2024年開始，新高考數(shù)學試卷中為了提高試卷考點的覆蓋面和提高試卷的區(qū)分度，對多項選擇題的命題進行了改革.新高考數(shù)學試卷中的多項選擇題，給出的4個選項中有2個以上選項是正確的.每一道題考生全部選對得6分，選項中有錯誤得0分，對而不全得部分分.對而不全得部分分的規(guī)則如下：若多選題中有2個選項正確，則只選對1個得3分；若多選題中有3個選項正確，則只選對1個得2分，只選對2個得4分.設(shè)一套數(shù)學試卷的多選題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為，沒有4個選項都正確的（在本問題中認為其概率為0）.在一次模擬考試中：（1）小明可以確認一道多選題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機選擇2個作為答案，若小明該題得6分的概率為，求的值；（2）小明可以確認另一道多選題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項中再隨機選擇1個，共選2個；③從另外三個選項中再隨機選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數(shù)學期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個方案？關(guān)注公眾號《品數(shù)學》，獲取更多精品資料！關(guān)注公眾號《品數(shù)學》，獲取更多精品資料！2025屆高三年級開學考試數(shù)學試題時間：120分鐘滿分：150分一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的：1.復數(shù)z滿足，則復數(shù)的虛部是（）A. B.2 C. D.-1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，即可根據(jù)虛部概念求解.【詳解】由可得，所以虛部為，故選：D.2.已知命題，命題，則（）A.和均為真命題 B.和均為真命題C.和均為真命題 D.和均為真命題【答案】A【解析】【分析】直接判斷命題的真假，再根據(jù)命題的否定可判斷.【詳解】對于命題p，當時，，所以p為真命題；對于命題q，由于恒成立，所以恒有.綜上，p和q均為真命題.故選：A.3.已知向量滿足，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件，求得，再對兩邊同時平方求出，【詳解】由得=，由，得又所以故選：D4.已知數(shù)據(jù)，滿足：，若去掉后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法錯誤的是（）A.中位數(shù)不變B.若，則數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為7.5C.平均數(shù)不變D方差變小【答案】B【解析】【分析】利用中位數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析計算即可.【詳解】原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A正確；當時，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：.因為，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個數(shù)8，故B錯誤；由于，故,,,,,原來的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，故C正確；原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，故D正確.故選：B5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得，即可由正切的差角公式求解.【詳解】由可得，又，所以，故，，故故選：D6.已知正三棱臺的體積為，其上?下底面的邊長分別為2，4，則該正三棱臺的側(cè)面上的高為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件先計算出正三棱臺的高,在根據(jù)勾股定理求出該正三棱臺的側(cè)面上的高即可.【詳解】設(shè)正三棱臺的高為，上、下底面的中心分別為，則，分別為的中點，連接，則,做，則點在上，則底面，底面，所以，由，平面，得平面，因為平面，所以，即為側(cè)面的高，上?下底面的面積分別為，，所以正三棱臺體積為，解得，，所以該正三棱臺的側(cè)面上的高為.故選：A.7.函數(shù)與函數(shù)公切線的縱截距為（）A.1或0 B.-1或0 C.1或 D.-1或【答案】B【解析】【分析】先設(shè)切點分別為，并通過點斜式方程寫出兩條切線方程，根據(jù)公切線方程得，最后計算值即可.【詳解】設(shè)切點分別為，,且導數(shù)為，所以切斜方程為既為，也為，所以，所以，所以，所以或，所以公切線的縱截距為或.故選：B.【點睛】本題考查求公切線問題，解題關(guān)鍵是分別在函數(shù)上設(shè)不同切點并求切線方程，根據(jù)兩切線方程一樣來求解公切線斜率.8.類比數(shù)列，我們把一系列向量按照一定的順序排列，可得到向量列.已知向量列滿足，且滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造得，再利用等比數(shù)列定義和通項公式即可.【詳解】，則，其中，則是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，則.故選：B.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.數(shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞減數(shù)列B.C.當時，D.當且僅當時，取得最大值【答案】AC【解析】【分析】利用求出可判斷ABC；對配方可判斷D.【詳解】當時，，當時，，所以，對于A，，所以an是遞減數(shù)列，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，當，得，所以當時，，故C正確；對于D，，因為，所以當且僅當，或時，取得最大值，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.是函數(shù)的極小值點B.存在3個不同的值，使得函數(shù)有2個零點C.有且僅有一個值，使得曲線有對稱軸D.存在無數(shù)多個值，使得曲線有對稱中心【答案】BCD【解析】【分析】對于A：舉反例說明即可；對于B：分析可知與有2個交點，構(gòu)建函數(shù)，求得利用導數(shù)分析交點即可；對于C：根據(jù)對稱軸的定義可得，運算求解即可；對于D：可證，結(jié)合對稱中心的定義分析判斷.【詳解】由題意可知：函數(shù)的定義域為R，且，對于選項A：例如，則，令f'x>0，解得或；令f'x可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知是函數(shù)的極大值點，故A錯誤；對于選項B：因為，可知0不為的零點，令，可得，令，則，若函數(shù)有2個零點，則與有2個交點，令，則，當時，；當或時，，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，且，當趨近于時，趨近于，當趨近于時，趨近于，由圖象可得或或，則或或，即存在3個不同的值，使得函數(shù)有2個零點，故B正確；對于選項C：若曲線有對稱軸，設(shè)為，則，即，整理可得，結(jié)合的任意性可知，解得，所以有且僅有一個值，使得曲線有對稱軸，故C正確；對于選項D：若，則，所以的對稱中心為，即存在無數(shù)多個值，使得曲線有對稱中心，故D正確；故選：BCD.11.已知線段是圓的一條動弦，為弦的中點，，直線與直線相交于點，下列說法正確的是（）A.弦的中點軌跡是圓B.直線的交點在定圓上C.線段的最小值為D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，由已知結(jié)合垂徑定理求得的軌跡判斷A；聯(lián)立兩直線方程消去判斷B；由選項A、B及兩圓的位置關(guān)系判斷C；由數(shù)量積運算結(jié)合選項C求得數(shù)量積的最小值判斷C．【詳解】對于選項A：設(shè)，因為，為弦的中點，所以.而，半徑為2，則圓心到弦的距離為.又圓心，所以，即弦中點的軌跡是圓，故選項A正確；對于選項B：由，消去可得，得，即，故選項B正確；對于選項C：由選項A知，點的軌跡方程為：，又由選項B知，點的軌跡方程為：，所以，，，線段，故選項C不正確；對于選項D：，故，故，由選項C知，，所以，故選項D正確.故選：ABD三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則此雙曲線的離心率為__________..【答案】##【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程為，可得，利用離心率公式，計算即可得到結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，由直線是雙曲線的一條漸近線，可得：，，所以離心率為故答案為;13.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中，則__________.【答案】1【解析】【分析】觀察圖象確定函數(shù)的周期，由此求，根據(jù)求，再求即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，觀察圖象可得，所以，又，所以，又，所以，所以，，又，所以，所以，所以，故答案為：.14.已知，，則的最小值為______.【答案】12【解析】【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值．【詳解】令，則，且，所以．又，所以，當且僅當，即，時等號成立．故答案為：12.四.解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知分別為內(nèi)角對邊，且.（1）求角A；（2）若，求邊.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）運用正弦定理將邊化角，然后化簡即可；（2）運用余弦定理求解邊長即可.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，因為,所以，所以，所以，因為，所以；【小問2詳解】在中，，所以由余弦定理得，整理得，解得（舍去），或16.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當函數(shù)有最大值，且最大值小于時，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求定義域，求導，對參數(shù)進行分類討論即可；（2）由（1）知a的初步范圍，求得最大值，利用導數(shù)解不等式即可.【小問1詳解】由，知，定義域為，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，則在上單調(diào)遞增；令，則在上單調(diào)遞減；綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由（1）知，若有最大值，則，且，因為的最大值小于，所以，即在上恒成立，設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因為恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，故的取值范圍為.17.如圖（1），在中，，點為的中點.將沿折起到的位置，使，如圖（2）.（1）求證：.（2）在線段上是否存在點，使得？若存在，求二面角的正弦值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.（2）過點作直線，以為原點建立空間直角坐標系，由求出點位置，再求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】依題意，由點為的中點，，得，又平面，則平面，又平面，于是，又平面，則平面，又平面，則，而平面，因此平面，又平面，所以.【小問2詳解】依題意，得，由（1），則，過點作直線，則有，顯然直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，設(shè)，即，則，若存在點，使得，則，解得，則，即當為線段中點時，使得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值.18.已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓過點.（1）求橢圓標準方程；（2）直線與橢圓交于兩點，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點，且直線的斜率為.①求四邊形的面積的最大值；②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.【答案】（1）；（2）①；②是，0【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意得，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓方程；（2）①求出，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，將直線方程代入橢圓方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)，求出的范圍，然后表示出四邊形的面積，化簡可求出其最大值；②表示出直線的斜率和直線的斜率，然后結(jié)合前面的式子化簡可得答案.【小問1詳解】設(shè)橢圓的方程為.由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為；【小問2詳解】①當時，，解得，所以點的坐標為，則，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，聯(lián)立，整理得：，由，可得.由韋達定理知：，又是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)，則，解得四邊形的面積故當時，；②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，則..所以的值為常數(shù)0.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后結(jié)合已知條件求解，考查計算能力，屬于較難題.19.從2024年開始，新高考數(shù)學試卷中為了提高試卷考點的覆蓋面和提高試卷的區(qū)分度，對多項選擇題的命題