人教版高中數(shù)學《三角函數(shù)》全部教案新部編本

教師學科教案

[20-20學年度第一學期]

任教學科：

任教年級：________________

任教老師：________________

XX市實驗學校

r\?

第四章三角函數(shù)

第一教時

教材：角的概念的推廣

目的：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，并進而理解“正角”“負角"''象

限角”“終邊相同的角”的含義。

過程：一、提出課題：“三角函數(shù)”

回憶初中學過的“銳角三角函數(shù)”一一它是利用直角三角形中兩邊的比值來定義的。相

對于現(xiàn)在，我們研究的三角函數(shù)是“任意角的三角函數(shù)”，

它對我們今后的學習和研究都起著十分重要的作用，并且在各門學科技術

中都有廣泛應用。

二、角的概念的推廣

1回憶：初中是任何定義角的？（從一個點出發(fā)引出的兩條射線構成的幾何圖形）這種

概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解，但它的弊端在于“狹隘”

2?講解：“旋轉”形成角（P4）突出“旋轉”注意：“頂點”“始邊”“終邊”

“始邊”往往合于x軸正半軸

3?“正角”與“負角”一一這是由旋轉的方向所決定的。

記法：角或可以簡記成

4?由于用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了。

1角有正負之分女口：=210=150=660

2角可以任意大

實例：體操動作：旋轉2周（360X2=720）3周（360X3=1080）

3還有零角一條射線，沒有旋轉

三、關于“象限角”

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標系中來討論角角的頂點合于坐標原點，

角的始邊合于x軸的正半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾

象限的角（角的終邊落在坐標軸上，則此角不屬于任何一個象限）

例如：30390330是第I象限角30060是第W象

限角

585H80是第川象限角2000是第U象限角

四、然至逃相鬧闞期知可以表示成一個0到360的角與k(kZ)個周角的和

1.觀察：390,330角，它們的終邊都與30角的終邊相同

390=30+360(k1)

330=30360(k1)30=30+0X360

(k0)

1470=30+4X360(k4)

1770=305X360(k5)

3.所有與終邊相同的角連同在內可以構成一個集合

S|k360,kZ

即：任何一個與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個周角的和

4.例一(P5略)

五、小結：1角的概念的推廣

用“旋轉”定義角角的范圍的擴大

2“象限角”與“終邊相同的角”

六、作業(yè)：P7練習1、2、3、4

習題L41

第三教時

教材：弧度制

目的：要求學生掌握弧度制的定義，學會弧度制與角度制互化，并進而建立角的集合與實數(shù)集R

---對應關系的概念。

過程：一、回憶(復習)度量角的大小第一種單位制一角度制的定義。

二、提出課題：弧度制一另一種度量角的單位制

它的單位是rad讀作弧度

定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧

度的角。

如圖：A0B=lrad

AOC=2rad

周角=2rad

1.正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負角的弧度數(shù)是負數(shù)，零角的弧度數(shù)是

2?角的弧度數(shù)的絕對值±（1為弧長，r為半徑）

r

3.用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0）

用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。

、角度制與弧度制的換算

抓?。?60-2rad???180=rad

1=----rad0.01745rad

180

180

lrad57.305718

例一把6730'化成弧度

113

解：6730'67?6730'rad67rad

218028

3

例二把rad化成度

5

3

解：rad-180108

55

注意幾點：1.度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計算器”《中學數(shù)學用表》進

行；

2.今后在具體運算時，“弧度”二字和單位符號“rad”可以省

略女口：3表示3radsin表示rad角的正弦

3.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應值應該記?。ㄒ娬n本P9

表）

4.應確立如下的概念：角的概念推廣之后，無論用角度制還是

弧度制都能在角的集合與實數(shù)的集合之間建立一種一一對應

的關系。

任意角的集合實數(shù)集R

四、練習（P11練習12）

例三用弧度制表示：1終邊在X軸上的角的集合2終邊在y軸

上的角的集合3終邊在坐標軸上的角的集合

解：1終邊在X軸上的角的集合$Ik,kz

2終邊在y軸上的角的集合S2

k

312kz

終邊在坐標軸上的角的集合S3亍

例四老《精編》P118-1194、5、6、7

五、小結：1-弧度制定義2?與弧度制的互化

六、作業(yè)：課本P11練習3、4P12習題4.22、3

1

10例三）利用弧度制證明扇形面積公式S，只其中I是扇

2

R是圓的半徑。

圓心角為1rad的扇形面積為：一R2“

第四教時

教材：弧度制（續(xù)）

目的：加深學生對弧度制的理解，逐步習慣在具體應用中運用弧度制解決具體的問題。

過程：一、復習：弧度制的定義，它與角度制互化的方法。

口答《教學與測試》P101-102練習題鞏1—5并注意緊扣,

固弧度制的概念，然后再講P101例二

、由公式：||11r|比相應的公式簡單

?180

弧長等于弧所對的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積

比較這與扇形面積公式一要簡單

360

例二《教學與測試》P101例一直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對

證:的弧長⑴一如圖:

(2)165

440

r-10也(cm)

33

165165_Lrad

⑵：面㈣)

12

11

A)

72

4gl已知扇形A0B的周長是6cm，該扇形的中心

例二如圖，

角是1弧度，求該扇形的面積。

解：設扇形的半徑為弧長為I,則有

2r16rL1r

???扇形的面積rl2(cm)2

sin

例四計算.tanl

45-54

解：卜

-sinsin45

1.5rad57.301.85.958557,

tan1.5ta藍557'14.12

例五將下列各角化成0到2的角加上2k（kZ)的形式

315

解：19

3

315453602

4

例六求圖中公路彎道處弧AB的長I（精確到1m）圖中長度單位為：m

解：：60

3

???1R—453.141547(m)

3

三、練習：P116、7《教學與測試》P102練習6

四、作業(yè)：課本P11-12練習&9、10

P12-13習題4.25—14

《卻學匕涮然》P1027、S不臾老題

第五教時

教材：任意角的三角函數(shù)（定義）

目的：要求學生掌握任意角的三角函數(shù)的定義，繼而理解

角與=2k+(kZ)

的同名三角函數(shù)值相等的道理

過程：一、提出課題：講解定義：

1?設是一個任意角，在的終邊上任取(異于原點的)一點P(x,y)

rJX2ly2:22

則p與原點的距離\-xy0(圖示見P13略)

2.比值叫做的正弦siny

記作：sin一

rV

的余弦記作:cosxr

比值-叫做r

比值-叫做的正切記作:tan_y

XX

X

比值叫做的余切記作:cotX

yy

比值-叫做的正割r

記作：k

Xsec-

比值匚叫做的余割記作：r

vv

注意突出幾個問題：①角是“任意角”，當=2k+(kZ)時，與的

同名三角函數(shù)值應該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。

②實際

上，如果終邊在坐標軸上，上述定義同樣適用。(下

面有例子說明)

③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)

④r0,而x,y的正負是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)

的符號應由象限確定(今后將專題研究)

⑤定義域：

ysinRycot

ycosRysec

ytank?8Z)yesc

k(kZ)

k尹Z)

k(kZ)

3-13=2J13

sincos

1313

tancot

,13.13

sec------esc-

23

例二求下列各角的六個三角函數(shù)值

(3)-(4)

2

解：⑴(2)⑶的解答見P16-17

⑷當=一時xo,y

2

sin—=1cos—=0tan一不存在cot—=0

2222

sec不存在CSC

2

cos匹的值域

例三《教學與測試》P103例一求函數(shù)y

cosxtanx

解：定義域：COSX0-x的終邊不在x岫上

又Itanx0?x的終邊不在y軸上

?當x是第I象限角時>x0,y0cosx=|cosx|tanx=|tanx|

,x0,y0|cosx|=cosx|tanx|=

y=2

*oyo|cosx|=cosx|tanx|=tanx

例四《教學與測試》P103例二

⑴已知角的終邊經(jīng)過P(4,3),求2sin+cos的值

⑵己知角的終邊經(jīng)過P(4a,3a),(a0)求2sin+cos的值

解：(D由定義：r5sin=3cos-=4?2sin+cos二2

555

⑵若a0r5a則sin_3cos=4?2sin+cos:_2

555

若a0r5a貝Usin—3cos4?2sin+cos工

555

三、小結：XE義及有關注意內谷

四、作業(yè)：課本P19練習1P20習題4.33

《教學與測試》P1044、5、6、7

第六教時

教材：三角函數(shù)線

目的：要求學生掌握用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值，從而使學生對三角函數(shù)

的定義域、值域有更深的理解。

過程：一、復習三角函數(shù)的定義，指出：“定義”從代數(shù)的角度揭示了三角函數(shù)是一個“比值”

二、提出課題：從幾何的觀點來揭示三角函數(shù)的定義：

用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值

三、新授：

2?介紹（定義）“單位圓”一圓心在原點0,半徑等于單位長度的圓

3?作圖：（課本P14圖4T2）

此處略.......................................

設任意角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊也與單位圓交于

P,坐標軸正半軸分別與單位圓交于A、B

兩點

過P（x,y）作PMx軸于機過點A（1,0）作單位圓切線，與

角的終邊或其反向延長線交于T,過點B（0,1）作單位圓的切線，與角的終邊或其

反向延長線交于S

4?簡單介紹“向量”（帶有“方向”的量一用正負號表示）“有向線段”（帶有方向

的線段）

例：有向線段OM,OP長度分別為x,y

OM=x時若x0OM看作與x軸同向OM具

方向可取與坐標軸方向相同，長度用絕對值表示。

有正值x

00M看作與x軸反向

0M具有負值x

MP

cosOM有向線段

r

MP,OM,AT,BS分別稱作

MPAT“十

tay-~T；AT角的正弦線，余弦線，正

丫OMOA

A

5.sin

切線，余切線

OMBS

cot-BS

MPOB

四、例一.利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小：

.2匕.42tan―

sin與sin2tan與3cot-與

as353

如圖可知:

24

tan?tan—

35

2COt-4

3cot-

0至360的角5

例二利用單位圓尋找適合下列條件的

1sin>12tan

例三求證：若0?一時，則sin1sin2

2

證明:

五、小結：單位圓，有向線段，三角函數(shù)線

六、作業(yè)：課本P15練習P20習題4.32

補充：解不等式：（x[0,2））

1sinx>2tanx1

2

3sinxw

第七教時

教材：三角函數(shù)的值在各象限的符號

目的：通過啟發(fā)讓學生根據(jù)三角函數(shù)的定義，確定三角函數(shù)的值在各象限的符號并由此熟練地

處理一些問題。

過程：一、復習三角函數(shù)的定義；用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值

sin(1)

例二(P18例四)求證角,勾第三象限角的充分條件是()

ta(2)

二、提出課題然后師生共同操作：

1.第一象限：.x0,y0

sin0,cos0,tan0,:ot0,sec0,cs0

第二象限0.x0,y0?

s,0,cos°，［a0,cot0,sec0,esc0

第一三象限:.x0,y0?

s,0,cos°，「ao,cot0,sec0,esc0

第四象限:.x0,y0?

si0,cos0,tao,cot0,sec0,esc0

記憶法則：

sin,_

為正全正

CSC

cos

tan為正為正

cotsec

2.由定義：sin(+2k)=sincos(+2k)=costan(+2k)=tan

C(Dt(+2k)=cosec(+2k)=sec

esc(+2k)=csc

、例一(P18例三略)

證：必要性：

若是第三象限角，則必有sin0,tan0

充分性：

若⑴⑵兩式成立???若sin0則角的終邊可能位于第三、第四象限，也

可能位于y軸的非正半軸

若tan0,則角的終邊可能位于第一或第三象限

?.?⑴⑵都成立二角的終邊只能位于第三象限

???角為第三象限角

例三（Pl9例五略）

四、練習:

1?若三角形的兩內角，滿足sincos0,則此三角形必為....................(B)

A:銳角三角形B:鈍角三角形C:直角三角形D:以上三種情

況都可能

2?若是第三象限角，則下列各式中不成立的是............................

(B)

A:sin+cos0B:tansin0

cos

3已知是第三象限角且2。，問I是第幾象限角?

解：T(2k1)(2k1)-(kZ)

(kZ)則尹第二或第四象

C:coscot0D:cotesc0

限角

cos則-是第二或第三象限角

又???2

----必為第二象限角

2

4.已知-1,貝U為第幾象限角？

2

sin2

1

解:由一1???sin20

2

…2k22k+(kZ)

-??為第一或第三象限角

五、小結：符號法則，誘導公式

六、作業(yè)：課本P19練習4,5,6

P20-21習題4.36-10

第八教時

教材：同角三角函數(shù)的基本關系

目的：要求學生能根據(jù)三角函數(shù)的定義，導出同角三角函數(shù)的基本關系，并能正確運用進行三

角函數(shù)式的求值運算。

過程：

2222

1.sin90cos902.sin30cos303.tan45cot45

一、復習任意角的三角函數(shù)的定義：計算下列各式的值:

.3

sinsin

4.156.tan—cot-

366

cosc

34

22sin

引導猜想：sincos1tantancot

1

cos

2.理論證明：（采用定義）

x?22

1xy2r且sinrnccinnnc1

sinyxyry

2當k尹Z）時tan

cosrY

k且k時cotHl

2XV

1?導入新課：弓I導學生觀察上述題目的結果（并像公式“方向”引導）

3?推廣：這種關系稱為平方關系。類似的平方關系還有：sec2tan21

22

CSCcot1

tan這種關系稱為商數(shù)關系。類似的商數(shù)關系還有：

cos

COS1

3當_____cot

sin

tancot1這種關系稱為倒數(shù)關系。類似的倒數(shù)關系還有：

escsin1seccos1

4.點題：二種關系，八個公式，稱為同角二角函數(shù)的基本關系

5.注意：

sin

如：sin23cos231?------tan—

2

cos

1“同角”的概念與角的表達形式無關，

2上述關系（公式）都必須在定義域允許的范圍內成立。

3據(jù)此，由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的其余各三角函數(shù)值，且因為利用

“平方關系”公式，最終需求平方根，會出現(xiàn)兩解，因此應盡可能少用（實際上,

至多只要用一次）。

三、例題：

例一、（課本P25例一）略

注：己知角的象限，利用平方關系，也只可能是一解例二、（課本P25例二）略

注：根據(jù)已知的三角函數(shù)值可以分象限討論例三、（課本P25例三）略

實際上：sec2tan21即cos2—------

1tan2

.當為第一、四象限角

cos呼2

1當為第二、三象限角.1tan2

tan

當為第一、四象限角

..1tan2

COStan

當為第二、三象限角

.1tan2

而sintancos

四、小結：三種關系，八個公式

五、作業(yè)：P27練習1—4

P27-28習題4.41—4

第九教時

教材：同角三角函數(shù)的基本關系（2）一—求值

目的：要求學生能運用同角三角函數(shù)的基本關系求一些三角函數(shù)（式）的值，并從中了解一些

三角運算的基本技巧。

過程:

二、復習同角的三角函數(shù)的基本關系:

練習：已知cosm（m0,m1）,求的其他三角函數(shù)值。

解：若在第一、二象限，則

1

1.2

sin.1mCSC——

m.1m2

八2

m

t?nrnt

m1m2

若在第三、四象限，貝u

11

si?n[21m

m.1m2

2

m+m

tancot

m2

,1sin440

六、例一、（見P25例四)化簡：

解：原式.1sin2(36080).1sin280cos280cos80

例二、已知sin2cos,求一及sin-2sincos的值

5sin2cos

解:sin2costan2

sin4costan421

5sin2cos5tan2126

.2-2sin2sincostan2tan426

9eir?22----------

sincostan1415

強調（指出）技巧：分子、分母是正余弦的一次（或二次）齊次式

2“化1法”

例三、已知sincos"求tancot及sincos的值。

3

解：將sincos‘兩邊平7弓,得：sicos

n

1

tancot

sincos

(sicos尸2sincos

n

sincos廣

5

25

例四、已知tanco

t12,

J3cot,3

求tancot,tacottansicos

in

2625

解：由題設：tan2coV2

144

625

tacot

n.14412

25175

tan2cot2(tacot)(tacot

nn12144

,2

tan*'cot(tacot)(tacottancot)

里(型1);1934825

12144像1441728

12

sincos.12sincos

25

1：25

(tancotsicos

sincos12n

3

例五、已知sincos(0求tan及sin3cos的值。

由12n

cos,0得：cos

sin25

由cos\249得：sicos

(sinn

)25,

sicossi

聯(lián)立：nntan

sicoscos

n

33⑷33391

sincos

42m5)125

cosm3

si是第四象限角,

n5

2m)2

解：?*sin2+cos2

?5m

tan的值。

化簡，整理得：m（m8）0mi0,m28

3

當m二。時，sincos,（與是第四象限角不合）

125

當m=8時，sin12tan

13135

七、小結：幾個技巧作業(yè)：《課

八、課練》P12例題推薦1、2、3

P13課時練習&7、8、9、10

P14例題推薦1

《精編》P3514

第十教時

教材：同角三角函數(shù)的基本關系⑶一一證明《教學與測試》第50課

目的：運用同角三角函數(shù)的基本關系式進行三角函數(shù)恒等式的證明。

過程：

三、復習同角的三角函數(shù)的基本關系：

例：（練習、《教學與測試》P25例一）

己知sincos求sincos的值。

4

OR25?9

cossincos

解：（sincos）即：12sin1632

16

九、提出課題：利用同角的三角函數(shù)的基本關系證明三角恒等式（或化簡）

例一、（見P25例四）化簡：.1sin2440

解：原式1sin2(36080).1sin-80cos280cos80

1sin1sin

例二、己知是第三象限角，化簡（《教學與測試》

\1sin\1sin

例二)

hm(1sin)(1sin)(1sin)(1sin)

解：尿工I,、

_(1sin,)(1sin).(1sin)(1sin)

2(1sin尸

(1sin)1sin1sin

1sinsincos|cos|

是第二象限角，cos

原式Asi

2tan（注意象限、符號）

n