北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列3.8正多邊形和圓【十一大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題3.8正多邊形和圓【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求正多邊形中心角】 1【題型2求正多邊形的邊數(shù)】 2【題型3正多邊形與圓中求角度】 3【題型4正多邊形與圓中求面積】 5【題型5正多邊形與圓中求周長】 6【題型7正多邊形與圓中求邊心距、邊長】 8【題型8正多邊形與圓中求最值】 9【題型9尺規(guī)作圖-正多邊形】 10【題型10正多邊形與圓中的規(guī)律問題】 11【題型11多邊形與圓中的證明】 12【知識(shí)點(diǎn)正多邊形和圓】（1）正多邊形的有關(guān)計(jì)算中心角邊心距周長面積為邊數(shù)；為邊心距；為半徑；為邊長（2）正多邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，每個(gè)外角度數(shù)為【題型1求正多邊形中心角】【例1】（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形中，繞它的中心旋轉(zhuǎn)60°后可以和原圖形重合的是（）A．正六邊形 B．正五邊形 C．正方形 D．正三角形【變式1-1】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)正多邊形的邊長與半徑相等，則這個(gè)正多邊形的中心角是（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【變式1-2】（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【變式1-3】（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形APQ都內(nèi)接于⊙O，則PC的度數(shù)為°．【題型2求正多邊形的邊數(shù)】【例2】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB=18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（A．10 B．12 C．15 D．20【變式2-1】（2023秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB,BC和AC分別為⊙O內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（

）．A．六 B．八 C．十 D．十二【變式2-2】（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【變式2-3】（2023秋·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,∠C=120°，點(diǎn)E在弧AD上，連接OD、OE、AE、DE．（1）∠AED的度數(shù)為．（2）當(dāng)∠DOE=90°時(shí)，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為．【題型3正多邊形與圓中求角度】【例3】（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，P為弧AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），則∠DPF的度數(shù)為（

）

A．22.5° B．30° C．40° D．45°【變式3-1】（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF和正方形AGDH都內(nèi)接于⊙O，連接BG，則弦BG所對(duì)圓周角的度數(shù)為（

）A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150°【變式3-2】（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AF是⊙O的直徑，P是⊙O上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，F(xiàn)重合），則∠BPF的度數(shù)為°．

【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在正五邊形ABCDE中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上運(yùn)動(dòng)，連接EG，DG，當(dāng)△DEG的周長最小時(shí)，∠EGD的度數(shù)為

【題型4正多邊形與圓中求面積】【例4】（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，分別以其對(duì)角線AD、FB為邊作正方形，則兩個(gè)陰影部分的面積差S1?S

A．0 B．1 C．3 D．2【變式4-1】（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在擰開一個(gè)邊長為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口b=103mm，則這個(gè)正六邊形的面積為（A．253mm2 B．753mm2【變式4-2】（2023秋·福建寧德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將三個(gè)正六邊形按如圖方式擺放，若小正六邊形的面積是6，則大正六邊形的面積是【變式4-3】（2023秋·廣東湛江·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，AB=3，則圖中陰影部分的面積為【題型5正多邊形與圓中求周長】【例5】（2023秋·四川廣安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的周長為（

）

A．63 B．66 C．3【變式5-1】（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，BF、CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，若正六邊形ABCDEF的邊長是a，則四邊形BCEF的周長是．（用含a的代數(shù)式表示）【變式5-2】（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？计谥校├罾蠋煄ьI(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn【變式5-3】（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)G，H，I，J，K，L分別是正六邊形ABCDEF各邊的中點(diǎn)，則六邊形GHIJKL與六邊形ABCDEF的周長比為．【題型6正多邊形與圓中求半徑】【例6】（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長為1，則⊙O的半徑為（

）A．2 B．22 C．1 D．【變式6-1】（2023秋·青海海東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為【變式6-2】（2023秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若正方形的外接圓的半徑為4，則這個(gè)正方形內(nèi)切圓的半徑為．【變式6-3】（2023秋·天津紅橋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)正六邊形的邊長為2，則其外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為（

）A．2，1 B．2，3 C．3，2 D．23【題型7正多邊形與圓中求邊心距、邊長】【例7】（2023秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四個(gè)正六邊形按如圖所示擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在⊙O上，連接AD．若兩個(gè)大正六邊形的邊長均為4，兩個(gè)小正六邊形全等，則小正六邊形的邊長是（

）A．3?13 B．13?1 C．13+1【變式7-1】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，半徑為2的⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，則邊心距OM的長度為（

）

A．1 B．3 C．32 【變式7-2】（2023秋·山東東營·九年級(jí)東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谀﹫A內(nèi)接正六邊形與圓外切正三角形的邊長之比為．【變式7-3】（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點(diǎn)G，已知半徑為3，則EG的長為．

【題型8正多邊形與圓中求最值】【例8】（2023秋·新疆阿克蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長是6，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是．

【變式8-1】（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖所示，已知邊長為2的正三角形ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），BC的中點(diǎn)D在y軸上，且在點(diǎn)A下方，點(diǎn)E是邊長為2，中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中DE的最小值為（

）A．3?3 B．2 C．4?3 【變式8-2】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，⊙O半徑為2，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在ADC上運(yùn)動(dòng)，連接BE，作AF⊥BE，垂足為F，連接CF.則CF長的最小值為.【變式8-3】（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長均為2，把正方形放在正六邊形中，使OK邊與AB邊重合，如圖所示，按下列步驟操作：將正方形在正六邊形中繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使KM邊與BC邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使MN邊與CD邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；…在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)B，M之間距離的最小值是．【題型9尺規(guī)作圖-正多邊形】【例9】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已如：⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A（1）求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．【變式9-1】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知AC為⊙O的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）【變式9-2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點(diǎn)H．②以點(diǎn)H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點(diǎn)G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點(diǎn)B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝．（結(jié)果保留根號(hào)）【變式9-3】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度直尺，按要求畫圖：(1)在圖1中，畫出CD的中點(diǎn)G；(2)在圖2中，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)以G為頂點(diǎn)畫出一個(gè)菱形．【題型10正多邊形與圓中的規(guī)律問題】【例10】（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)校聯(lián)考期中）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2，正六邊形A【變式10-1】（2023秋·九年級(jí)單元測試）李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn【變式10-2】（2023春·寧夏銀川·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，∠MON=60°，作邊長為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分別在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A2、F2，以A2F2【變式10-3】（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知⊙O的半徑為a，按照下列步驟作圖：（1）作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD（如圖1）；（2）作正方形ABCD的內(nèi)接圓，再作較小圓的內(nèi)接正方形A1B1C1D1（如圖2）；（3）作正方形A【題型11多邊形與圓中的證明】【例11】（2023秋·陜西渭南·九年級(jí)校考期中）如圖，已知AB、BC、CD是⊙O的內(nèi)接正十邊形的邊，連接AD、OB、OC，求證：AD∥BC．

【變式11-2】（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂線分別交⊙O于點(diǎn)E、F，證明：五邊形AEBCF是⊙O的內(nèi)接正五邊形．專題3.8正多邊形和圓【十一大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求正多邊形中心角】 1【題型2求正多邊形的邊數(shù)】 4【題型3正多邊形與圓中求角度】 8【題型4正多邊形與圓中求面積】 12【題型5正多邊形與圓中求周長】 16【題型7正多邊形與圓中求邊心距、邊長】 24【題型8正多邊形與圓中求最值】 28【題型9尺規(guī)作圖-正多邊形】 32【題型10正多邊形與圓中的規(guī)律問題】 36【題型11多邊形與圓中的證明】 40【知識(shí)點(diǎn)正多邊形和圓】（1）正多邊形的有關(guān)計(jì)算中心角邊心距周長面積為邊數(shù)；為邊心距；為半徑；為邊長（2）正多邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，每個(gè)外角度數(shù)為【題型1求正多邊形中心角】【例1】（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谥校┫铝袌D形中，繞它的中心旋轉(zhuǎn)60°后可以和原圖形重合的是（）A．正六邊形 B．正五邊形 C．正方形 D．正三角形【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、正六邊形的中心角為：360°6=60°，繞它的中心旋轉(zhuǎn)B、正五邊形的中心角為：360°5=72°，繞它的中心旋轉(zhuǎn)C、正方形的中心角為：360°4=90°，繞它的中心旋轉(zhuǎn)D、正三角形的中心角為：360°3=120°，繞它的中心旋轉(zhuǎn)故選A．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．熟練掌握正多邊形的中心角等于360°n【變式1-1】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)正多邊形的邊長與半徑相等，則這個(gè)正多邊形的中心角是（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，由已知邊長與半徑相等，可知一邊所對(duì)的圓心角為60°，即得答案．【詳解】解：如圖所示的正多邊形中，∵AB∴ΔABO∴∠AOB∴這個(gè)正多邊形的中心角為60°．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的中心角概念，正確理解題意與中心角概念相結(jié)合是解此題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n邊形的一個(gè)中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】A【分析】連接OA，先求出∠AOB的度數(shù)，然后利用正多邊形外角和等于360°，即可求出答案．【詳解】解：連接OA，如圖：根據(jù)題意，正六邊形和正方形的中心都是點(diǎn)O，∴∠AOC=90°，∠AOB=60°，∴∠COB=90°?60°=30°；∵∠COB是某正n邊形的一個(gè)中心角，∴n=360°【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的性質(zhì)，正確求出∠COB的度數(shù)．【變式1-3】（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形APQ都內(nèi)接于⊙O，則PC的度數(shù)為°．【答案】24【分析】連接OA，OB，OP，OC，分別求出正五邊形ABCDE和正三角形APQ的中心角，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】解：連接OA，OB，OP，OC，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠AOB=360°∴∠AOC=72°×2=144°，∵△APQ是正三角形，∴∠AOP=360°∴∠POC=∠AOC?∠AOP=144°?120°=24°．∴PC的度數(shù)為24°．故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角和弧之間的關(guān)系，正多邊形與圓的有關(guān)計(jì)算．掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【題型2求正多邊形的邊數(shù)】【例2】（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，點(diǎn)O為正多邊形的中心，若∠ADB=18°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（A．10 B．12 C．15 D．20【答案】D【分析】作正多邊形的外接圓，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=36°，根據(jù)中心角的定義即可求解．【詳解】解：如圖，作正多邊形的外接圓，∵∠ADB=18∴∠AOB=2∠ADB=36°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為360°【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理．【變式2-1】（2023秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB,BC和AC分別為⊙O內(nèi)接正方形，正六邊形和正n邊形的一邊，則n是（

）．A．六 B．八 C．十 D．十二【答案】D【分析】分別求出∠AOB和∠COB，從而得到∠AOC，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OC，OB，∵AB和BC分別是正方形和正六邊形的一邊，∴∠AOB=360°4=90°∴∠AOC=∴n=360°故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形邊數(shù)與中心角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】連接AC,OD,OF，先根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分線，從而可得∠CAD=12∠BAD=45°,∠CAF=12【詳解】解：如圖，連接AC,OD,OF，∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正四邊形，△AEF為⊙O的內(nèi)接正三角形，∴點(diǎn)O在AC上，且AC是∠BAD和∠EAF的角平分線，∠BAD=90°,∠EAF=60°，∴∠CAD=1∴∠DAF=∠CAD?∠CAF=15°，∴∠DOF=2∠DAF=30°，∵DF恰好是圓O的一個(gè)內(nèi)接正n邊形的一邊，∴n=360°故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023秋·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=AD,∠C=120°，點(diǎn)E在弧AD上，連接OD、OE、AE、DE．（1）∠AED的度數(shù)為．（2）當(dāng)∠DOE=90°時(shí)，AE恰好為⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值為．【答案】120°12【分析】（1）連接BD，由已知條件證△ABD是等邊三角形，得到∠ABD=60°，從而由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠AED=120°；（2）連接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，結(jié)合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，從而可得n=360【詳解】（1）連接BD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAD+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠BAD=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ABD=60°，∵四邊形ABDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠AED+∠ABD=180°，∴∠AED=120°；（2）連接OA，∵∠ABD=60°，∴∠AOD=2∠ABD=120°，∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD?∠DOE=30°，∴n=360°【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，理解并熟練運(yùn)用基本性質(zhì)和結(jié)論是解題關(guān)鍵．【題型3正多邊形與圓中求角度】【例3】（2023秋·山西陽泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，P為弧AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），則∠DPF的度數(shù)為（

）

A．22.5° B．30° C．40° D．45°【答案】D【分析】連接OD、OE、OF，根據(jù)正多邊形和圓的知識(shí)求出正八邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠DPF的度數(shù)．【詳解】解：連接OD、OE、OF，如圖，

∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠DOE=∠EOF=360°∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=90°，∴∠DPF=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、圓周角定理的應(yīng)用；熟練掌握中心角公式，由圓周角定理求出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023秋·浙江嘉興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF和正方形AGDH都內(nèi)接于⊙O，連接BG，則弦BG所對(duì)圓周角的度數(shù)為（

）A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150°【答案】A【分析】先求出正六邊形和正方形的邊所對(duì)的圓心角，求差可得弦BG所對(duì)得圓心角，再分別求出優(yōu)弧和劣弧所對(duì)得圓周角即可．【詳解】如圖，連接BO,AO,GO∵四邊形AGDH是正方形∴∠AOG=360°÷4=90°∵六邊形ABCDEF是正六邊形∴∠AOB=360°÷6=60°∴∠BOG=∠AOG?∠AOB=90°?60°=30°∴弦BG所對(duì)圓周角的度數(shù)為30°2=15°故選C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的關(guān)系，以及同弧所對(duì)圓周角是它所對(duì)圓心角得一半，注意有兩個(gè)答案．【變式3-2】（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AF是⊙O的直徑，P是⊙O上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，F(xiàn)重合），則∠BPF的度數(shù)為°．

【答案】54或126【分析】由正五邊形的性質(zhì)，圓周角定理，得到∠COF=∠DOF，由等腰三角形的性質(zhì)推出直徑AF⊥CD，從而求出∠BOF的度數(shù)，分兩種情況，即可解決問題．【詳解】解：連接OC，

∵正五邊形ABCDE的五個(gè)頂點(diǎn)把圓五等分，∴ABC=∴∠AOC=∠AOD，∴∠COF=∠DOF，∵OC=OD，∴直徑AF⊥CD，∴CF=∵∠COD=1∴∠COF=1當(dāng)P在BAF上時(shí)，連接OB，∵∠BOC=1∴∠BOF=∠BOC+∠COF=108°，∴∠BPF=1當(dāng)P在BCF上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠BPF=180°?54°=126°．∴∠BPF的度數(shù)是54°或126°．故答案為：54或126．【點(diǎn)睛】本題考查正五邊形和圓，關(guān)鍵是掌握正五邊形的性質(zhì)．【變式3-3】（2023春·遼寧沈陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在正五邊形ABCDE中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AF上運(yùn)動(dòng)，連接EG，DG，當(dāng)△DEG的周長最小時(shí)，∠EGD的度數(shù)為

【答案】72°【分析】根據(jù)對(duì)稱的定義得出當(dāng)點(diǎn)E、G、C在同一條直線上時(shí)，△DEG的周長最小，由正五邊形的性質(zhì)可得∠CDE=108°，CD=ED，由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E、G、C在同一條直線上時(shí)，△DEG的周長最小，

，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠CDE=5?2×180°5∴∠DCE=∠DEC=180°?∠CDE∵F是CD的中點(diǎn)，∴AF是正五邊形ABCDE的一條對(duì)稱軸，∴GD=GC，∴∠GDC=∠GCD=36°，∴∠EGD=∠GDC+∠GCD=72°，故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對(duì)稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【題型4正多邊形與圓中求面積】【例4】（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，分別以其對(duì)角線AD、FB為邊作正方形，則兩個(gè)陰影部分的面積差S1?S

A．0 B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】分別求出兩個(gè)正方形的面積，再求差可得結(jié)論．【詳解】解∶如圖，取正六邊形ABCDEF的中心O，連接OF，OB，OC，令OA交BF于點(diǎn)M，

∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴∠BOC=∠AOB=∠AOF=∴△COD、△BOC與△AOB都是邊長為1的等邊三角形，OM⊥BF，∴AD=OA+OD=2，BF=2FM，∠∴OM=OF=12∴BF=2FM=212∴AD為邊的正方形的面積為4，F(xiàn)B為邊的正方形的面積為3，∴S1故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．【變式4-1】（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在擰開一個(gè)邊長為a的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開的開口b=103mm，則這個(gè)正六邊形的面積為（A．253mm2 B．753mm2【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得CD的長，根據(jù)勾股定理計(jì)算，可得答案．【詳解】解：如圖：作BD⊥AC于D，由正六邊形，得∠ABC=120°，AB=BC=a，∠BCD=∠BAC=30°．由AC=103mm，得∴a=CD這個(gè)正六邊形的面積6×1故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，利用了正六邊形的性質(zhì)得出等腰三角形是解題關(guān)鍵，又利用了正三角形的性質(zhì)和勾股定理．【變式4-2】（2023秋·福建寧德·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將三個(gè)正六邊形按如圖方式擺放，若小正六邊形的面積是6，則大正六邊形的面積是【答案】54【分析】由正六邊形的性質(zhì)，可知圖中每個(gè)三角形都為等邊三角形且全等，再確定每個(gè)小正三角形得面積，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖連線：∵多邊形為正六邊形，∴圖中每個(gè)三角形都為等邊三角形且全等，∵小正六邊形的面積是6，∴每個(gè)三角形的面積為16由圖得共有54個(gè)等邊小三角形，故大正六邊形的面積是54×1=54，故答案為：54．【點(diǎn)睛】題目主要考查正多邊形的性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023秋·廣東湛江·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，AB=3，則圖中陰影部分的面積為【答案】3π?【分析】連接OA，OB，OD，OA交BF于G，由圓內(nèi)正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求出圓的半徑OB，△BDF的底邊BF和高DG，再用圓的面積減去△BDF的面積即可．【詳解】解：如圖，連接OA，OB，OD，OA交BF于G，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，且內(nèi)接于⊙O，∴點(diǎn)A,O,D在同一條直線上，OA⊥BF，∠AOB=60°，OA=OB=OD，∴BG=FG，△OAB是等邊三角形，∴OG=AG，∵AB=3∴OA=OB=AB=3∴OG=AG=1∴DG=OD+OG=3在Rt△OBG中，由勾股定理得BG=∴BF=BG+FG=3，∴S=π×=3π?9【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型5正多邊形與圓中求周長】【例5】（2023秋·四川廣安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的周長為（

）

A．63 B．66 C．3【答案】D【分析】連接OB、OC，根據(jù)⊙O的周長等于6π，可得⊙O的半徑OB=OC=3，而六邊形ABCDEF是正六邊形，即知∠BOC=360°6=60°【詳解】解：連接OB、OC，如圖：

∵⊙O的周長等于6π，∴⊙O的半徑OB=OC=6π∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=360°∴△BOC是等邊三角形，∴BC=OB=OC=3，即正六邊形的邊長為3，∴正六邊形的周長為18，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正六邊形中心角等于60°，從而得到△BOC是等邊三角形．【變式5-1】（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，BF、CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，若正六邊形ABCDEF的邊長是a，則四邊形BCEF的周長是．（用含a的代數(shù)式表示）【答案】2a＋23a【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BF，垂足為H，先證△ABF為等腰三角形，求出∠ABH的度數(shù)，用含a的代數(shù)式表示出AH、BH，然后利用等腰三角形的三線合一，矩形的判定與性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：過點(diǎn)A作AH⊥BF，垂足為H，如圖所示：∵ABCDEF是正六邊形，∴AB=AF，△ABF為等腰三角形，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為：180°(n?2)6∵AH⊥BF，∴∠BAH=1∴∠ABH=30°，∵AB=a，則AH=1∴BH=A∴BF=2BH=3又∵BC∥EF，BC=EF，∠CBF=∠CBA?∠ABH=90°，∴四邊形BCEF為矩形，∴C故答案為：2a＋23a．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，熟悉這些性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？计谥校├罾蠋煄ьI(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn【答案】(1)3(2)4π，(3)隨著n的增大，kn【分析】（1）根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)正方形邊長和正六邊形的邊長都為1，求出此情形下對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）所求可知隨著n的增大，kn【詳解】（1）解：由題意得，k3故答案為：33（2）解：假設(shè)正方形邊長1，∴此時(shí)正方形的內(nèi)切圓半徑為12∴k4設(shè)正六邊形的邊長為1，內(nèi)切圓圓心為O，則∠AOB=360°又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=1，∴OC=O∴k6（3）解：k3≈1.65，k4≈1.27，k6【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)G，H，I，J，K，L分別是正六邊形ABCDEF各邊的中點(diǎn)，則六邊形GHIJKL與六邊形ABCDEF的周長比為．【答案】3【分析】設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O，周長是6x，連接OH，OC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到OC=BC=x，求得OH=3【詳解】解：設(shè)正六邊形ABCDEF的中心為O，連接OH，OC，設(shè)正六邊形ABCDEF的周長是6x，∴OC=BC=x，∴OH=3∵順次連接正六邊形ABCDEF各邊的中點(diǎn)G、H、I、J、K、L得到的六邊形為正六邊形，∴HI=OH=3∴六邊形GHKLMN的周長是33∴GHIJKL與六邊形ABCDEF的周長比=3故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【題型6正多邊形與圓中求半徑】【例6】（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長為1，則⊙O的半徑為（

）A．2 B．22 C．1 D．【答案】B【分析】利用正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出⊙O的半徑．【詳解】解：連接OB、OC，如圖所示，∵⊙O的內(nèi)接正方形ABCD的邊長為1，∴OB=OC，在Rt△BOC中，O∴OB=2【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形和圓、勾股定理，正確掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023秋·青海海東·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為16cm2，則該半圓的半徑為【答案】4【分析】圓心為A，設(shè)半徑為R，大正方形邊長是2x，根據(jù)圖形可得AE=BC=x，CE=2x，【詳解】解：如圖所示，圓心為A，設(shè)半徑為R，大正方形邊長是2x∵正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)在半圓上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在圓心兩側(cè)，∴AE=BC=x，∵小正方形的面積為16cm∴小正方形的邊長為EF=DF=4，由勾股定理得：R2即x2解得：x=4cm∴R=45故答案為：45【點(diǎn)睛】題目主要考查圓的基本性質(zhì)及勾股定理解三角形，正方形的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（2023秋·河南許昌·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若正方形的外接圓的半徑為4，則這個(gè)正方形內(nèi)切圓的半徑為．【答案】2【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由正方形的性質(zhì)判斷出△AOE為等腰直角三角形，然后再用勾股定理即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接OA、OE，根據(jù)題意知OA=4∵AB是小圓的切線，∴OE⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴△AOE是等腰直角三角形，AE=OE，∴在Rt△AOEAE∴2OE2=42故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了正方形和圓、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意畫出圖形并利用勾股定理是解答本題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【變式6-3】（2023秋·天津紅橋·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)正六邊形的邊長為2，則其外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為（

）A．2，1 B．2，3 C．3，2 D．23【答案】B【分析】從內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心向三角形的邊引垂線，構(gòu)建直角三角形，解直角三角形即可．【詳解】解：設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接OA，OB，過O作OG⊥AB于G．∵正六邊形的邊長為2，∴正六邊形的半徑是2，則外接圓的半徑2，∵內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，∵∠AOB=60°，AO=BO，則△AOB是等邊三角形，AO=2，∴∠AOG=30°∴AG=1∴GO=AO故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，正多邊形的計(jì)算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，把正多邊形中的半徑，邊長，邊心距，中心角之間的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形．【題型7正多邊形與圓中求邊心距、邊長】【例7】（2023秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知四個(gè)正六邊形按如圖所示擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在⊙O上，連接AD．若兩個(gè)大正六邊形的邊長均為4，兩個(gè)小正六邊形全等，則小正六邊形的邊長是（

）A．3?13 B．13?1 C．13+1【答案】B【分析】在邊長為4的大正六邊形中，根據(jù)正六邊形和圓的性質(zhì)可求出ON和半徑OD，進(jìn)而得出小正六邊形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離MF，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出半徑GF，即邊長FH即可．【詳解】解：∵連接AD交PM于O，∴點(diǎn)O是圓心，過點(diǎn)O作ON⊥DE于N，連接MF，取MF的中點(diǎn)G，連接GH，GQ，由對(duì)稱性可知，OM=OP=EN=DN=2，由正六邊形的性質(zhì)可得ON=43∴OD=D∴MF=213由正六邊形的性質(zhì)可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FH=1【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023秋·河北石家莊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，半徑為2的⊙O是正六邊形ABCDEF的外接圓，則邊心距OM的長度為（

）

A．1 B．3 C．32 【答案】B【分析】如圖所示，連接OC，OD，求出∠COD=60°，進(jìn)而證明△COD是等邊三角形，得到CD=OC=2，求出【詳解】解：如圖所示，連接OC，由題意得∠COD=360°∵OC=OD，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=2，∵OM⊥CD，∴CM=1∴OM=O故選B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判斷，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋·山東東營·九年級(jí)東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谀﹫A內(nèi)接正六邊形與圓外切正三角形的邊長之比為．【答案】3【分析】設(shè)圓的半徑為r，求出圓內(nèi)接正六邊形與圓外切正三角形的邊長解題即可．【詳解】解：設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接正六邊形的邊長為r，如圖，可知OC=r，∠OAC=30°，∴OA=2OC=2r，∴AC=OA∴AB=2AC=23∴圓內(nèi)接正六邊形與圓外切正三角形的邊長之比為r:23故答案為：3:6

【點(diǎn)睛】本題考查圓和正多邊形，掌握構(gòu)造直角三角形求邊長是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，BD，EC交于點(diǎn)G，已知半徑為3，則EG的長為．

【答案】2【分析】連接BO、GO，則三角形EOG為直角三角形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接BE、GO、OC，則BE經(jīng)過O點(diǎn)，且O是BE的中點(diǎn)，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴ED=BC，∠EDC=6?2∴∠EBD=∠CEB，∴EG=BG，∴GO⊥BE，∴∠EOG=∠BOG=90°，∵∠BOC=60°，∴∠BEC=1∵DE=∴∠DEC=∠CEB=∠EBD=∠BDC=30°，∴∠EDG=120°?30°=90°，設(shè)EG的長為x，則OG=1∴12解得：x=2或x=?2（舍去）．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握各知識(shí)點(diǎn)，并能結(jié)合圖形熟練運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)．【題型8正多邊形與圓中求最值】【例8】（2023秋·新疆阿克蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長是6，點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是．

【答案】12【分析】易知點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BE交AD于點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：利用正多邊形的性質(zhì)可得點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接BE交AD于點(diǎn)P，那么有PB=PF，此時(shí)PE+PF=BE最小．

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，對(duì)角線BE、AD交于P，∴△APB、△APF、△EPF都是等邊三角形，∴AP=PB=PE=6，∴BE=12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握正六邊形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱路線最短問題的解題方法是正確解答的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖所示，已知邊長為2的正三角形ABC頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），BC的中點(diǎn)D在y軸上，且在點(diǎn)A下方，點(diǎn)E是邊長為2，中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，把這個(gè)正六邊形繞中心旋轉(zhuǎn)一周，在此過程中DE的最小值為（

）A．3?3 B．2 C．4?3 【答案】A【分析】如圖，連接OE，設(shè)點(diǎn)E性質(zhì)至y軸正半軸時(shí)為點(diǎn)E′，首先得到當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至y軸正半軸上時(shí)DE最小，然后分別求得AD、OE′的長，最后求得DE′的長即可．【詳解】如圖，連接OE，設(shè)點(diǎn)E性質(zhì)至y軸正半軸時(shí)為點(diǎn)E′∵OE+DE≥OD，∴D、E、O三點(diǎn)在一條直線上時(shí)DE有最小值，∵點(diǎn)E是邊長為2，中心在原點(diǎn)的正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，∴OE′=OE=2，∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，△ABC為邊長為2的等邊三角形，∴BD=12∴AD=22?1∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），∴OA=6，∴DE′=OA-AD-OE′=6-2-3=4-3，∴在此過程中DE的最小值為4-3，【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的計(jì)算及等邊三角形的性質(zhì)，正確得出DE有最小值時(shí)點(diǎn)E的位置是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，⊙O半徑為2，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在ADC上運(yùn)動(dòng)，連接BE，作AF⊥BE，垂足為F，連接CF.則CF長的最小值為.【答案】5【分析】先求得正方形的邊長，取AB的中點(diǎn)G，連接GF，CG，當(dāng)點(diǎn)C、F、G在同一直線上時(shí)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則CF有最小值，此時(shí)即可求得這個(gè)值.【詳解】如圖，連接OA、OD，取AB的中點(diǎn)G，連接GF，CG，∵ABCD是圓內(nèi)接正方形，OA=OD=2∴∠AOD=90°，∴AD=OA∵AF⊥BE，∴∠AFB=90°，∴GF=1CG=BG當(dāng)點(diǎn)C、F、G在同一直線上時(shí)，CF有最小值，如下圖：最小值是：5?1故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定CF的最小值是解決本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長均為2，把正方形放在正六邊形中，使OK邊與AB邊重合，如圖所示，按下列步驟操作：將正方形在正六邊形中繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使KM邊與BC邊重合，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使MN邊與CD邊重合，完成第二次旋轉(zhuǎn)；…在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)B，M之間距離的最小值是．【答案】4﹣22．【分析】如圖，在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中的紅線，觀察圖象可知點(diǎn)B，M間的距離大于等于4-22小于等于4，由此即可判斷．【詳解】如圖，在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是圖中的紅線，觀察圖象可知點(diǎn)B，M間的距離大于等于4-22小于等于4，∴B，M之間距離的最小值是4-22．故答案為4-22．【點(diǎn)睛】本題考查正六邊形、正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵作出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用圖象解決問題，題目有一定的難度．【題型9尺規(guī)作圖-正多邊形】【例9】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已如：⊙O與⊙O上的一點(diǎn)A（1）求作：⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法但保留作圖痕跡）（2）連接CE，BF，判斷四邊形BCEF是否為矩形，并說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）如圖，在⊙O上依次截取六段弦，使它們都等于OA，從而得到正六邊形ABCDEF；（2）連接BE，如圖，利用正六邊形的性質(zhì)得AB=BC=CD=DE=EF=FA，AB=【詳解】解:（1）如圖，正六邊形ABCDEF為所作；（2）四邊形BCEF為矩形．理由如下：連接BE，如圖，∵六邊形ABCDEF為正六邊形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∴AB=∴BC+∴BAE=∴BE為直徑，∴∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，∴四邊形BCEF為矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了矩形的判定與正六邊形的性質(zhì)．【變式9-1】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知AC為⊙O的直徑．請用尺規(guī)作圖法，作出⊙O的內(nèi)接正方形ABCD．（保留作圖痕跡．不寫作法）【答案】見解析【分析】作AC的垂直平分線交⊙O于B、D，則四邊形ABCD就是所求作的內(nèi)接正方形．【詳解】解：如圖，正方形ABCD為所作．∵BD垂直平分AC，AC為⊙O的直徑，∴BD為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC，∴四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了圓的基本性質(zhì)，正方形的判定．【變式9-2】（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點(diǎn)H．②以點(diǎn)H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點(diǎn)G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點(diǎn)B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】10?2【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點(diǎn)，可求OH==1，由勾股定理得AH＝OA2+OH2=5，可求OG＝5﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點(diǎn)，∴OH=12在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝OA∵AH＝HG＝5，∴OG＝GH﹣OH＝5﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（5﹣1）2＝10﹣25．故答案為：10﹣25．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知正六邊形ABCDEF，請僅用無刻度直尺，按要求畫圖：(1)在圖1中，畫出CD的中點(diǎn)G；(2)在圖2中，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)以G為頂點(diǎn)畫出一個(gè)菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點(diǎn)H，分別延長線段BC、線段ED于點(diǎn)I，連接HI與線段CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)G即為所求；（2）如圖2，延長線段IH與線段AF交于點(diǎn)J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．【詳解】（1）如圖1，分別連接AD、CF交于點(diǎn)H，分別延長線段BC、線段ED于點(diǎn)I，連接HI與線段CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)G即為所求；（2）如圖2，延長線段IH與線段AF交于點(diǎn)J，連接BG、GE、EJ、JB，四邊形BGEJ即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了無刻度直尺作圖的問題，掌握正六邊形的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型10正多邊形與圓中的規(guī)律問題】【例10】（2023春·山東威海·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2，正六邊形A【答案】81【分析】連接OE1，OD1，OD2，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得∠E1OD1=60°，則△E【詳解】解：連接OE1，OD∵六邊形A1∴∠E∴△E∵正六邊形A2B2∴OD∴OD∴正六邊形A2B2同理可得正六邊形A3B3∴正六邊形A10B10故答案為：813【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于利用正六形邊的一邊與圓的兩條半徑可構(gòu)成特殊的三角形——等邊三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一個(gè)正六邊形的邊長．【變式10-1】（2023秋·九年級(jí)單元測試）李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn【答案】(1)3(2)4π，(3)隨著n的增大，kn【分析】（1）根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)正方形邊長和正六邊形的邊長都為1，求出此情形下對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）所求可知隨著n的增大，kn【詳解】（1）解：由題意得，k3故答案為：33（2）解：假設(shè)正方形邊長1，∴此時(shí)正方形的內(nèi)切圓半徑為12∴k4設(shè)正六邊形的邊長為1，內(nèi)切圓圓心為O，則∠AOB=360°又∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=OB=1，∴OC=O∴k6（3）解：k3≈1.65，k4≈1.27，k6【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（2023春·寧夏銀川·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，∠MON=60°，作邊長為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分別在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM、ON于點(diǎn)A2、F2，以A2F2【答案】3【分析】尋找規(guī)律求出OBn的長，根據(jù)Bn到ON的距離為OBn?sin60°計(jì)算即可．【詳解】解：觀察圖象可知OB1=2=2×30，OB2=2×31，OB3=2×32=18，OB4=2×33=54，OBn=2×3n-1，∴Bn到ON的距離為2×3n-1?sin60°=3n?1故答案為：3n?1【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的探究方法，屬于中考?？碱}型．【變式10-3】（2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末）已知⊙O的半徑為a，按照下列步驟作圖：（1）作⊙O的內(nèi)接正方形ABCD（如圖1）；（2）作正方形ABCD的內(nèi)接圓，再作較小圓的內(nèi)接正方形A1B1C1D1（如圖2）；（3）作正方形A【答案】2【分析