微積分 習(xí)題答案 第2版（范周田）第1-9章

微積分習(xí)題答案第2版

第1章要點(diǎn)提示

1.函數(shù)定義：設(shè)。為實(shí)數(shù)集R的非空子集，如果對(duì)任意的都存在唯一的yeR與

之對(duì)應(yīng)，則稱y是X的一元函數(shù)，通?？梢杂脃=/(x)表示，并把X稱為自變量，把y稱

為因變量，自變量的取值范圍稱為函數(shù)的定義域，因變量的取值范圍稱為函數(shù)的值域，分別

記為dom{f}和ran(/),或者簡(jiǎn)記為Df和R,。

2.函數(shù)的性質(zhì)

(1)函數(shù)的單調(diào)性

設(shè)/是函數(shù)y=/(x)的定義域中的一個(gè)區(qū)間。如果對(duì)任意的%,都有

/(^)>/(x2),就稱/(x)在區(qū)間/上單調(diào)遞增，簡(jiǎn)稱單增。如果對(duì)任意的%>七6/，都有

/a,)</U2),就稱/(x)在區(qū)間/上單調(diào)遞減，簡(jiǎn)稱單減。函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)

稱為函數(shù)的單調(diào)性。

(2)函數(shù)奇偶性

設(shè)y=/(x)的定義域。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)任意xe￡),都有/(x)=f(-x),則稱/(x)

為偶函數(shù)；如果對(duì)任意都有/(x)=-/(-x),則稱/(x)為奇函數(shù)。

(3)函數(shù)周期性

設(shè)y=〃x)為函數(shù)。如果存在正數(shù)T,使得/(x)=/(x+T)對(duì)定義域中的任意X成立，則

稱y=/(x)為周期函數(shù)，7"是一個(gè)周期。

(4)函數(shù)有界性

設(shè)/(x)在。上有定義。若存在常數(shù)M>0使得一切xw￡),有則稱/(x)在。

上有界，也稱/(x)是。上的有界函數(shù).

3.基本初等函數(shù)

除了較特殊的常數(shù)函數(shù)y=C外，把微積分中最常見(jiàn)的函數(shù)分為五類(lèi)，稱為基本初等函

數(shù)，包括基函數(shù)y=爐，(〃工0),指數(shù)函數(shù)尸",(〃>0,"1),對(duì)數(shù)函數(shù)

y=log“x,(。,三角函數(shù)sinjr,cosx,tanx,cotx,以及反三角函數(shù)

arcsinx,arccosx,arctanx,arccotx。

4.復(fù)合函數(shù)

設(shè)有函數(shù)/3),g(x),則y=/[g(x)]稱為/與g的復(fù)合函數(shù)，稱“為中間變量.

5.經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)

需求量?！笆莾r(jià)格P的函數(shù)，即Qd=Q,（P）,稱為需求函數(shù)“供給量Q,是價(jià)格P的函數(shù),

即Q=2（P），稱為供給函數(shù)。

第一章綜合復(fù)習(xí)題

1.求下列函數(shù)的定義域：

（1）/（%）=—|3—尤|+2

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?00,+oo）

4-x2x<0

33

（2）f（x）=+]0<x<1

x+3工>1

解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?00,400）

⑶/（冷=占+7^

解：由，一，解得函數(shù)的定義域?yàn)?

x+2>0

[-2,-115-1，D5L+8)

Y—1

(4)/(x)=arcsin

X—1

解：由解得函數(shù)的定義域?yàn)?

2

5r—x25x—x2

解：由母丁2即丁"解得函數(shù)的定義域?yàn)?

11,4」

2.x—1

arccos----

(6)f(x)=/27

\Jx-x-6

解:解得函數(shù)的定義域?yàn)?

[-3,-2]u(3,4]

f2x4-1x>0

2⑴設(shè)"Mx』x<°，求/Cl)和g+D。

2(x—1)+1x-l>0

解:/U-l)=

(X-1)2+4x-l<0

2x+lx>\

x2-2x4-5x<i

2(x+l)+lx+l>0

f(x+l)=

(X+1)2+4x+l<()

2x+3x>-l

+2x+5x<—1

1?1

(2)已知/(%+—)=r+—7,求/(大)。

XX

解：令/=x+Lf(t)=f(x+-)=x2+-^-

XXX

=(x+-)2-2=r-2

X

所以，

/(x)=X2-2

(3)已知/d)=x+GTi(x<0),求/(x)。

X

解：令,=/,/<0,-=x,

xt

/?)=/(g)=x+&+1=：+口+1

1Jl+/1一,1+產(chǎn)

所以，

1—y/l+X2

fM=-------------

X

x

(4)已知/(sin^Xl+cosx,求/(cosx)。

解：由/(sin克=1+cosx=1+1-2sin2^-=2(1-sin2

所以,

f(x)=2(l-x2)

/(cosx)=2(1-cos2x)=2sin2x

3.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

(1)y=lg(x+2)+l

解：由y—l=lg(x+2),有.X+2=10、T,%=10'-'-2

將上述x和y交換，得y=lg(x+2)=l的反函數(shù)為

y=W-'-2

(2)y=2sin3x

yy1y

解：由彳=sin3x,有3x=arcsiri5，x=-arcsin—,

將上述x和y交換得y=2sin3x的反函數(shù)為

1.x

y=-arcsm—

32

Y

解：由y=有y(2'+D=2',2'(y-l)+y=0,x=log2

2+1

將上述x和y交換得y=—的反函數(shù)為

2V+1

(4)y=arctan(2+3x)

解：由y=arctan(2+3'),有tany=2+3‘，3"=tany-2,x=log3(tany-2),

將上述x和y交換得y=arctan(2+3x)的反函數(shù)為

y=log3(tanx-2)

(5)y

2

解：由V,有2y=ex一一e2x-2yex-\=0,解得x=ln(y++V),

2e

y=\n(x+y/\+x2)

2x+l,x>0

(6)y=

x3,x<0

|2x+l,x>0

解：由y=

Ix3,x<0

當(dāng)xNO,y=2x+l,W-^y-=x,當(dāng)％vO,y=x3,有x=g,

2：+l,x2O的反函數(shù)為

將上述X和y交換得y=

yfx,X<0

4.回答下列問(wèn)題，并對(duì)你的回答說(shuō)明理由：

(1)兩個(gè)偶函數(shù)之積一定是偶函數(shù)嗎？

(2)兩個(gè)奇函數(shù)之積會(huì)有幾種結(jié)果？

(3)有沒(méi)有一個(gè)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)？

解：(1)是(2)積為偶函數(shù)(3)考查

5.將下列初等函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合或者四則運(yùn)算

(1)y-，4x-3

解：y=A/M,M=4X-3

(2)y=(l+sinx)5

解：y=/，w=1+sinx

解：y-2",u=arcsinv,v=1+x2

(4)y=y]\n>Jx+2,

解：y=4u,M=InVv,v=2+x

6.若“(x)=4x-5,v(x)=x2,/(%)=-,求下列復(fù)合函數(shù)的解析表達(dá)式:

(1)?(v(/(x)))(2)v(w(/(x)))(3)/(M(V(X)))

解：⑴V(/(X))=d)2

X

?(V(/(X)))=4(-)2-5=4-5

XX

14-5%

(2)w(/(x))=4---5=-5-^

xx

V(〃(/(X)))=4^)2

X

(3)w(v(x))=4x2-5

7.設(shè)f(x)是奇函數(shù)，g(x)=f(x)±2與h(x)=/(x+2)是否還是奇函數(shù)？

答：都不是。

8.判斷下列函數(shù)的奇偶性，哪個(gè)是奇函數(shù)？偶函數(shù)、或是非奇非偶函數(shù)？

(1)f(x)=3x-x\

(2)/(幻=(1—?dú)v)+(1+在)，

1—X

(3)/(x)=lg--,

1+x

(4)/(x)=lg(x+Jl+d).

答：(1)奇(2)偶(3)奇(4)奇.

9.對(duì)于任一定義在對(duì)稱區(qū)間a)上的函數(shù)/(尤)，證明：

(I)g(x)=g"(x)+/(-x)】是偶函數(shù)；

(2)/z(x)=1[/(x)-/(-x)]是奇函數(shù)；

(3)/(x)總可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與和一個(gè)奇函數(shù)之和。

證明：(1)因?yàn)間(-x)=；"(-x)+/(x)]=g(x),所以g(x)=g"(x)+/(-x)]是偶函數(shù)。

(2)因?yàn)锳(-x)=g"(-x)-/*)]=f(x),所以/I(x)=；"*)-/(-x)]是奇函數(shù)。

(3)因?yàn)閒(x)=—[f(x)+f(—x)]+—[f(x)—f(-x)]=g(x)+h(x)o

T

10.設(shè)函數(shù)y=f(x)是以T>0為周期的周期函數(shù)，證明/(辦)是以人為周期的周期函數(shù)。

a

證明：f[a(x+1)]=于(ax+T]=f(cvc)

a

11.設(shè)存在二個(gè)實(shí)數(shù)a/(av勿使得對(duì)任意x,/(x)滿足

f(a-x)=f(a+x)&f(b-x)=f(b+x),試證明：f(x)是以T=2(〃一〃)為周期的周期函數(shù)。

證明：因?yàn)?/p>

f[x+2(b—a)]=f[b+(x+b-2a)]=f[b-(x+b-2a)]=f(2a—x)

=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=/(x)

12.已知/(x)在有定義.如果存在正數(shù)T使得/(x+T)=./'(x)對(duì)所有xe(-oo,+oo)

都成立，則稱/(X)是周期函數(shù).試寫(xiě)出了(X)不是周期函數(shù)的數(shù)學(xué)定義.

解：若">05xwR,有/(x+T)w/(x),則y=/(尤)不是周期函數(shù)。

13.證明：/(x)=xcosx不是周期函數(shù)。

證明：反證法。

設(shè)/(x)=xcosx是以7>0為周期的周期函數(shù)，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x都有

(X+7)cos(x+T)=xcosX

令x=0,得TcosT=0,因止匕有cosT=0?

再令x=得7cos弓+7)=0,因此有sinT=0,矛盾，故/(x)=xcosx不是周期函數(shù)。

14.證明/(x)=,在(0,1)無(wú)界.

x

證明：

VM>0,取尤=」_,顯然元￡(0,1)(即存在)有

M+I

|/(x)|=+=M+l>M

A7+I

所以/?(%)=，在(0,1)上無(wú)界.

X

15.將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：

(1)rcos0+rsin0=1,

(2)r=(csc^)erc^d.

解：(1)x+y=l

⑵-y

16.將下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：

22

(1)x=7(2)—+—=1

94

(3)x2+(y-2)2=4(4)y2=3x

6

解：⑴r=----⑵'=[、,

cos。J4cos26+9sin~0

sin。

(3)〃=4sin，(4)r=-———

3cos“3

第二章要點(diǎn)提示

1.三個(gè)基本無(wú)窮小：(1)lim-=0o

rt-?00〃

(2)lim-=0

(3)lim(x-x0)=0

2.無(wú)窮小比較定理：

若且g(x)是無(wú)窮小，則/(x)也是無(wú)窮小。

3.極限的定義

如果lim"(x)-A]=0,則稱當(dāng)xfr時(shí)/(x)的極限是A,也稱當(dāng)xfT時(shí)/(x)收

x—>r

斂于A,記為lim/(x)=A。

x->r

4.極限四則運(yùn)算法則設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=B,則有

(1)lim[f(x)±g(x)]=A±B

(2)limf{x}g{x)=A.B

x->7)

(3)=—(B^O)

-%g(x)B

5.兩個(gè)重要極限

「sinx,

(1)lim----=1.

XTOx

(2)lim[1+-

X—>ooX

6.利率、貼現(xiàn)

利息

利率=本,x100%

貼現(xiàn)：指為了要在〃年后收取資金A,實(shí)際年利率為r,需要現(xiàn)在投資的數(shù)量為

A

(i+/-r

7.函數(shù)的連續(xù)性

如果lim/(%)=/(x0),則稱/(x)在/點(diǎn)連續(xù)。

初等函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

如果/(X)在/點(diǎn)不連續(xù)，則稱/(X)在/點(diǎn)間斷，X。點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)。如果函數(shù)在間

斷點(diǎn)X。的左、右極限都存在但不相等，則X。為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，否則為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。

8.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

如果/(x)在切上連續(xù)，則/(x)在[a,切上有最大值最小值，而且/(x)可以取

到其最大值與最小值之間的一切值。

第二章習(xí)題

習(xí)題2.1

1.證明以下數(shù)列是無(wú)窮小

證明：因?yàn)?/p>

2

<2--

〃+1n

而是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得%=2

L——是無(wú)窮小。

n〃+1

(2)Xn=-r^

證明：因?yàn)?/p>

1

而J=是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理,得七,=71=是無(wú)窮小。

J〃+2

(3)xn=+1—y[n

證明：因?yàn)?/p>

6卜編+后《嘉

而十是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得%-6是無(wú)窮小。

1二

⑷4=e4"

證明：因?yàn)?/p>

1三

-i=e4n

\[n

112

而一是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得乙=丁屋〃是無(wú)窮小。

yjny/n

」sin?

⑸X,

n3

證明：因?yàn)?/p>

sin

聞=-n73--n

而L是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得X,=±sin=是無(wú)窮小。

nn3

證明：因?yàn)?/p>

1+(-1)"^2

2n+1n

而L是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理,4著是無(wú)窮小。

得當(dāng)

n

2.證明以下數(shù)列極限

/八〃一11

(1)lim------=—

〃->°02〃+32

證明：因?yàn)?/p>

n-\1

2/1+3-22(2〃+3)4〃

而L是無(wú)窮小,由無(wú)窮小比較定理，得」n」—I-士1是無(wú)窮小,

n2〃+32

所以

〃一11

lim

n-?oc2〃+32

n2

(2)lim4^=l

“fgn~+1

證明：因?yàn)?/p>

11

---<f

號(hào)T匯+1n-

1n

而力是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得—-—1是無(wú)窮小,

nn+1

所以

n2

lim———=1

—n+1

2〃+1

(3)lim----=2

幾+2

證明：因?yàn)?/p>

〃+2〃+2n

而L是無(wú)窮小,由無(wú)窮小比較定理，得殳堂-2是無(wú)窮小,

n〃+2

所以

lim^^=2

“T8n+2

“、3A/H-23

(4)lim-廣——=—

"T841n+14

證明：因?yàn)?/p>

3G-231111

4品+144(4\fn+1)166

而3是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，得純二2—3是無(wú)窮小,

4j〃+l4

所以

…4yjn+14

習(xí)題2.2

1.證明以下函數(shù)是無(wú)窮小

尤2_]

(1)f(x)—+2,x―1

X+1

證明：因?yàn)?/p>

|/(刈=合+2;工2—1+2(%+1)

X+1X+1

+2x+1?

=--------------=\x

x+l1

而X——1時(shí)X+1是無(wú)窮小，所以

X2-1

/(光)=+2,x——1是無(wú)窮小。

X+1

2

(2)f(x)=,-1,x—>1+

Jx+3

證明：因?yàn)閤f「，不妨設(shè)九〉0,又

|八刈=A

g

1-Xx-1

77+3(2+77+3)-V3(2+V3)

而X―「時(shí)，X—1是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有

2

f(x)=,—1,x—是無(wú)窮小。

Jx+3

(3)/(x)=cos2%-l,x-0

證明：因?yàn)?/p>

|/(x)|=|cos2x-l|=|2sin2x|<2x2

而尤―0時(shí)/是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有

/(%)=cos2x-l,x—>0是無(wú)窮小。

2.證明以下函數(shù)是無(wú)窮小

/、/?/\2x一2

（1）/（X）=——Z~，X-8

X

證明：因?yàn)?/p>

2x-2<1

x1X

而X—>00時(shí)，一是無(wú)窮小,由無(wú)窮小比較定理，有

X

/(x)=2x-2x38是無(wú)窮小。

X

(2)/(x)=sin--sinx,xfg

x

證明：因?yàn)?/p>

|/(x)|=sin—?sinx<—

XX

而Xf8時(shí)，L是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有

X

/(x)=sin-sinx,x->8是無(wú)窮小。

x

(3)f(x)=-j=cosx,x—>+oo

ylx

證明：因?yàn)?/p>

11

|/(x)|=-r=-COSX<

y/Xyfx

1

而是無(wú)窮小,由無(wú)窮小比較定理，有

yfx

=《

/(x)cosx,無(wú)一>+?是無(wú)窮小。

?X

3.證明下列極限：

(1)lim(4x+l)=9

x-?2

證明：因?yàn)?/p>

|(4x+l)-9|=|4(x-2)|

而Xf2時(shí)x-2是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有當(dāng)x-2時(shí)，(4x+l)—9是無(wú)窮小,

所以

Iim(4x+1)=9

Xf2

..l-4x2

⑵hm---------=2

XT」2x4-1

2

證明：因?yàn)?/p>

1-4%221--2(2x+1)4x2+4x+1

2%+121+12x+l

=|2x+l|=2x—(―g)

而X->一‘時(shí)X-]1-4r2

是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理，有當(dāng)龍-?-一時(shí)，一2

222x+l

是無(wú)窮小，所以,

i-4x2

lim---------=2

XT,2x+l

2

...1+2x3

(3)hm------「=1

*f82x'

證明：因?yàn)?/p>

l_1

1+2/

而Xf8時(shí)二■是無(wú)窮小，由無(wú)窮小比較定理,有當(dāng)Xf8時(shí)，二^-1是無(wú)窮小,

X2/

所以

1+2*3,

lim

Xf8三L

小「sinx八

(4)hm-尸=0

isy/x

證明：因?yàn)?/p>

Isinxl1

而時(shí)^=是無(wú)窮小,

X—>+8由無(wú)窮小比較定理，有

winx

當(dāng)X.”時(shí)，竽是無(wú)窮小，即

sinx八

lim-

isy/x

3x,x>0

4.設(shè)f(x)=\,證明lim/(x)=0o

5sinx,x<03

證明：因?yàn)?/p>

limf(x)=lim3x=0

xWx->0+

lim/(x)=lim5sinx=0

I。-X-?0-

所以

lim/(x)=lim/(x)

x^rx^o+

即

lim/(x)=0

.sO

2x-l,x>2

5.設(shè)/(%)"?，證明lim/。)不存在。

廠+3,x<212

證明：因?yàn)?/p>

lim/(x)=lim2x-1=3

12+12+

lim/(x)=limx2+3=7

.rf2-xf2一

所以limf(x)wlimf\x)

x->2+x->2~

即

lim/(x)不存在

6.證明：

(1)lim(3x+1)=oo

Xf00

證明:只要證明lim---------=0o

0尤+1)

因?yàn)镮」一而lim—=0,所以，lim―i—=0,

3x+l3xf°(3x+l)

即

lim(3x+l)=oo

(2)lim^y^'oo

13x2-9

x2-9

證明：只要證明lim±—=0。

?3r+9

由Xr3,無(wú)妨設(shè)|x-3|<1,于是

x2—9x+3

x2-9

所以，lim上一二0,即

13必+9

lim^^=oo

7x2-9

習(xí)題2.3

1.指出下列運(yùn)算是否正確：

limx

(1)lim——=-^——=oo

—1-xlim(l-jr)

x->\

(2)limxsin—=limxlimsin—=0

A->0xv->0x->0x

(3)lim(—+—H---h—)=lim—d------Flim—=0

"廿nnn?^0°nn-^n

答：(1)一⑶都是錯(cuò)誤的。因?yàn)椋?/p>

(1)分式極限只有當(dāng)分母極限不為零時(shí)可以應(yīng)用極限運(yùn)算法則。而該分式分母極限為零。

(2)兩個(gè)函數(shù)乘積的極限當(dāng)兩個(gè)函數(shù)極限都存在時(shí)等于它們極限的乘積。而極限limsin，不

Xf°X

存在。

(3)有限個(gè)函數(shù)和的極限等于它們各自極限的和。

2,求下列極限:

(1)

呵4X*,^+1

2

lim(x-3)0

lim^^XT上

解:_______y==Q

X—6X+1lim(x2+l)~4~

(2)lim(2--+-^)

XT8XX~

解：lim(2--+-!7)=lim2-lim-+lim-^=2-0+0=2

Xf8Xx—?coX—>00XA->0O

(3)limx2sin-

Dx

解：因?yàn)閘imx2=0,sin—<1,所以

x

limx2sin-=0

XT°X

(4)

12x-2

(融)

解:lim^—

32X-2

lim(A2)(x+2)

=4

x->2X-2

x~—3x+2

(5)lim

A->1x-1

[.x~-2>x+2

解:lim-----------,海

fx-1

(x—l)(x—2)

=lim-1

x->lx-1

13

lim()

3

Ill-X1-x

3

解:)(00—00型)

1—X1-x3

..1+x+—3

lim-------------

31-x

x~+九一2

lim

x-?l1-x3

=lim上空a

x-1(1—X)(l+X+X~)

x-sinx

⑺lim---------

f°x+sin九

x-sinx00

解:lim(—型)

18%+sinx00

sinx

=lim----=lim-------=1

XT8SinXX-KO1+0

x

X，n-1

(8)lim-----（加為正整數(shù)）

ix-l

解:空）

Ix-1

=lim(xT)(/+1+7+1)

-1x-1

=lim(x'"W+...x+i)

XTl

(9)limQ+4一、

/i->oh.

lim(x+/?)~~r(9型)

解:

2°h0

3x2h+3xh.2+h3

=lim--------------

A->0

=lim(3x2+3xh+h2)

/：->o

=3x2

(10)lim?(Jx+2-Jx+1)

XT+oo

解：limy/x(y/x+2-y[x+l)(0-8型)

XT+00

NX/8開(kāi)心

=lrim/——/(一型)

Xfwjx+Z+G+I8

[.+1-3

(11)hm/~<=

x*\Jx-2一>/2

「v2x+l-3（9型）

解:hm,~,=

14\JX-2-y/2o

(2x+l)—9Vx-2+V2

lim

.v—>4(x-2)-272x+l+3

.Jx-2+5/22^/2

=2hm-,----=-----

￡-4V2%+1+33

1+2+???+

(12)lim,■

"->8n-

tzi..1+H---Hz?..21

解：hm---2--；----=lim——W——=—

I，n"->8n2

3.根據(jù)所給x的各種變化情況，討論函數(shù)的極限：

(1)f(x)=----p,xfO,,xf(T,xf0

1+2；

11

解：X-0+,2'f+oo,/(%)=——rf0,

1+27

-!■1

x-0,2*—>0,f[x)----j——>1,

1+21

因?yàn)?/p>

limf(x)/limf(x)

XTO'X-?0

所以limf(x)不存在。

x->0

aex~1一2]

(2)f(x)=-------,工―「，刀―「，x-^\

ex~[+1

1

x}

解：x—>r,e~+00,

1

2Cl---2~

/(x)=y=T-

ex~l+11+-i-

2

4、aex~l-1[

fM=-2------1

ex-]+1

若a=-1,有

limf(x)=limf(x)

xfx-?r

所以

lim/(x)=-lo

x->l

若。工一1,有

lim/(x)Hlimf(x)

x-?i+.v->r

所以

lim/'(x)不存在

X->1

4.證明當(dāng)xfl時(shí)，函數(shù)

/(x)=10,00(x-l)2+^Tsin—1—

2(x-l)

是無(wú)窮小.

證明：當(dāng)Xfl時(shí)，(X—1)2和正萬(wàn)都是無(wú)窮小，且sin—1—<1,所以,

2(1)

五二Tsin—1一是無(wú)窮小，再由無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)，有當(dāng)xf1時(shí)，函數(shù)

2(x-l)

/(x)=101(X)(x-I)2+Nx-lsin1

2(x-l)

也是無(wú)窮小。

5.確定4,〃的值，使下列極限等式成立:

/、x2+OX+2

(1)hm---------=h7

rx-\

尢2+]

(2)lim(------以+加=0

38X+1

Y~zr>-_1_9Y~-4-nx-I-12

解：(1)由lim-——--二b,(存在)，且分式上，^的分母為無(wú)窮小，所以其分

3X-lX-1

子必是無(wú)窮小，即

lim，+辦+2)=1+。+2=0

x->l

所以6Z=—3O

2

/RX-3X+2..(x-l)(x-2)1

b=lim-----------=lim--------------=-1

Ix-1—x-1

,X~+1+1—(X+1)(6LX—h)

(2)由hm(-------ax+/?)=hm[---------——--------J

X+lI00X+l

(1一。)廠+(。一。)％+1+/?

=lim[--------------------------]=0

XT8X+l

且分式（l_"）x+S_"）x+l+b的分子分母都是多項(xiàng)式,分母是一次式，所以分子的

X+1

二次和一次項(xiàng)系數(shù)都為零，即有1一。=0,b-a=O,從而得

a=l,b=l

6.證明lim不存在。

x->0+4

證明：取怎=(」一)tyn=(——-——尸，則%—0,y〃->0,〃一>8,但

2〃九),冗

2n7V-\——

2

limcos—；==limcos2府=1,limcos—；==limcos(2H7rd■—)=0

/I—>00Jx〃->?不〃廿2

習(xí)題2.4

1.求下列極限:

小sin5x

(1)hm-----

io3X

sin5x「sin5x5_5

解:limlim------

XTO3-3

3xXT。5X

(2)limxcotx

xf0

布孔1-cosx..X

用牛：hmxcotx=limx-----=hmcosx-----

x-?ozosinx10sinx

x

=limcosxlim-----=1

Dz°sinx

sin(x2-l)

(3)hrm----------

XTIx-1

蝴..sin(x2-1)..sin(x2-1)/八

解：hm------=lim—彳------(x+1)=2

Ix-1Hx-1

(4)

ioxsinx

的jl-cos2x2sin2x

用牛：hm-------=lim------=2

J。xsinxa。xsinx

一3x-sinx

(5)hm--------

i。3x+sinx

3sinx

m[.3x-sinx「一尤1

解：lim----