2022-2023學(xué)年江蘇省宿遷市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2江蘇省宿遷市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.向量與向量夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.且C. D.且〖答案〗B〖解析〗由題可知，即，又向量不共線，所以，，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為且.故選：B.2.已知是空間中兩條不重合的直線，是空間中兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，，則或和為異面直線，故A錯誤；對于B，若，，則或，故B錯誤；對于C，若，，則或和相交，故C錯誤；對于D，若，，則，故D正確.故選：D.3.下列關(guān)于互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件（上述事件的概率都大于零）的說法中正確的是（）A.互斥事件一定是對立事件 B.對立事件一定是互斥事件C.互斥事件一定是獨(dú)立事件 D.獨(dú)立事件一定是互斥事件〖答案〗B〖解析〗互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，故A錯誤，B正確；互斥事件一定不能同時發(fā)生，而獨(dú)立事件可以同時發(fā)生，所以互斥事件一定不是獨(dú)立事件，獨(dú)立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均錯誤.故選：B.4.設(shè)，且，在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)點(diǎn)Z，則Z點(diǎn)的軌跡圖形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，且知，在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡圖形為圓環(huán)，大圓半徑為2，小圓半徑為1，其面積為.故選：C.5.用斜二測畫法畫一個平面四邊形的水平放置的直觀圖，得到一個如圖所示的邊長為1的正方形，則原圖中的長度為（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由直觀圖還原得到原圖形如下，由斜二測畫法可得，，，所以，故選：C.6.在中，角所對的邊分別為．若，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以為等腰或直角三角形.故選：D.7.設(shè)，，，則有（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，，且在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：B.8.八卦是中國古代的基本哲學(xué)概念，八卦文化是中華文化的核心精髓，八卦圖與太極圖（圖1）的輪廓分別為正八邊形ABCDEFGH和圓（圖2），其中正八邊形的中心是點(diǎn)，魚眼（黑白兩點(diǎn)）、是圓半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對稱．若，圓的半徑為6，當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動（即圓面及其內(nèi)部點(diǎn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動）時，的最大值為（）A.39 B.48 C.57 D.60〖答案〗A〖解析〗如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎诉呅蔚拿總€內(nèi)角為，所以，所以，又因?yàn)?，所以，，由題意知，P在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上，且P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以設(shè)，則，所以，（），所以當(dāng)時，取得最大值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AC〖解析〗設(shè)，，則，，若，則，即，因，，所以，A正確；若，則，而，，B錯誤；若，則兩復(fù)數(shù)至少一個為零，即至少一個是，可得，故C正確；若，可得，而，可得，故D錯.故選：AC.10.某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績．經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)圖形估計本次競賽成績得到以下數(shù)據(jù)中正確的是（）A. B.眾數(shù)為80C.71百分位數(shù)是82 D.平均分是〖答案〗ACD〖解析〗由頻率分布直方圖可得，，解得，故A正確；眾數(shù)的估計值為，故B錯誤；前三組數(shù)據(jù)的頻率之和為，前四組數(shù)據(jù)的頻率之和為，則設(shè)71百分位數(shù)是，所以，解得，所以71百分位數(shù)是82，故C正確；由頻率分布直方圖估計平均數(shù)為，故D正確.故選：ACD.11.在中，，，則下列判斷正確的是（）A.的周長有最大值為21B.的平分線長的最大值為C.若，則邊上的中線長為D.若，則該三角形有兩解〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，，故，變形得到，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的周長有最大值為，A正確；B選項(xiàng)，如圖，為三角形的角平分線，故，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，⊥于點(diǎn)，則，設(shè)，則，，又，所以，解得，由A選項(xiàng)可知，又，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，則，故的平分線長的最大值為，B正確；C選項(xiàng)，若，則，故，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，解得，故邊上的中線長為，C錯誤；D選項(xiàng)，若，則，而，則該三角形有兩解，D正確.故選：ABD.12.如圖，在正四棱柱中，底面邊長，側(cè)棱長，為底面內(nèi)的動點(diǎn)，且與所成角為，則下列命題正確的是（）A.動點(diǎn)的軌跡長度為B.當(dāng)//平面時，與平面的距離為C.直線與底面所成角的最大值為D.二面角的范圍是〖答案〗AC〖解析〗正四棱柱中，底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面，對于A選項(xiàng)，因?yàn)榍遗c所成角為，所以與所成角也為，又，，又在底面內(nèi)，的軌跡為以A為圓心，1為半徑的圓周的四分之一，長度為，故選項(xiàng)A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)//平面時，到平面的距離即為與平面的距離，，，在中，，邊上的高為2，設(shè)到平面的距離為，則，解得，故選項(xiàng)B錯誤；對于C選項(xiàng)，連接，則線段為線段在底面的投影，故直線與底面所成角為，且，由選項(xiàng)A可知，當(dāng)為正方形中心時，最短為1，此時最大為，即，故選項(xiàng)C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)在線段上時，，，因?yàn)槭堑妊切?，所以取中點(diǎn)，連接，則，過作交于點(diǎn)，分別連接，則，故四邊形是等腰梯形，取中點(diǎn)，則，所以是二面角的平面角，在四邊形中，，，故，又，故，由選項(xiàng)B知，，在中，由余弦定理得，所以，故選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.如圖，在某個海域，一艘漁船以36海里/小時的速度，沿方位角為的方向航行，行至A處發(fā)現(xiàn)一座小島C在其南偏東方向，再經(jīng)過半小時，到達(dá)B處，發(fā)現(xiàn)小島C在其東北方向，則B處離小島C的距離為_________海里．〖答案〗〖解析〗由題意知：，，所以，又，由正弦定理知：，則海里.故〖答案〗為：.15.某學(xué)習(xí)小組共10人，在一次測驗(yàn)中，4名女生的均分為70，方差為4；6名男生的均分為80，方差為14．則該小組10名同學(xué)的測驗(yàn)成績的方差為__________．〖答案〗34〖解析〗該小組10名同學(xué)的測驗(yàn)成績的均值為，所以該小組10名同學(xué)的測驗(yàn)成績的方差為.故〖答案〗為：34.16.用以棱長為2的正方體的各個頂點(diǎn)為球心，1為半徑分別作球面截該正方體，則該正方體所剩部分的體積為__________，表面積為__________．〖答案〗〖解析〗由題意，以各頂點(diǎn)為球心所截幾何體均為一個八分之一球體，且沒有重疊部分，所以正方體所剩部分的體積為，其表面積為正方體表面積減去6個半徑為1的圓，再加上球體表面積，所以表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．已知平面向量，都是單位向量，．（1）求與的夾角；（2）若，求在上的投影向量的坐標(biāo)．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．解：（1）選①：由知，又，所以，得，則，又，則．選②：由知，又，所以有，得，則，又，則.選③：由知，又，所以有，得，則，又，則．（2）設(shè)，由（1）可知，解得或，所以或，即或．18.一只不透明的口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地相同，編號分別為1、2的兩個球，從口袋內(nèi)隨機(jī)取1個球，記下號碼后放回，這樣重復(fù)取3次球，用有序?qū)崝?shù)組來表示樣本點(diǎn)，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1號球，第二、第三次取到的都是2號球．（1）請你寫出該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間；（2）記“前兩次取到的號碼相同”為事件A，“后兩次取到的號碼相同”為事件．①試判斷事件A與事件是否為相互獨(dú)立事件；②求事件的概率．解：（1）根據(jù)已知，可得樣本空間，包含8個等可能樣本點(diǎn).（2）①由（1）可知，事件A包含的樣本點(diǎn)有：，，，，故；事件包含的基本事件有：，，，，故；事件包含的基本事件有：，，故；因，故事件與事件為相互獨(dú)立事件.②方法一：事件包含的基本事件有：，，，，，，故.方法二：設(shè)事件的對立事件為，則事件包含的基本事件有：，，故，.方法三：.19.已知，且為純虛數(shù)，其中是虛數(shù)單位．（1）若，求復(fù)數(shù)；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求復(fù)數(shù)的實(shí)部的取值范圍．解：（1）設(shè)，則，由為純虛數(shù)知，，則且，故，由得，則，故復(fù)數(shù)或.（2），由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限知，解得，又，故復(fù)數(shù)的實(shí)部的取值范圍為．20.已知．（1）求值；（2）已知，求的值．解：（1）法一：，得，．法二：，由，得，，．（2）法一：由，得，，，由（1）知，，得．法二：由，得，或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，由（1）知，，得．21.如圖，在三棱臺中，側(cè)面底面，且，，底面為正三角形．（1）求三棱臺的體積；（2）過點(diǎn)作平面平行于平面，分別交，，于，，．求證：平面．解：（1）在三棱臺，因?yàn)榈酌鏋檎切?，所以也為正三角形，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，，所以四邊形為等腰梯形，作交于，則，所以梯形高為，由側(cè)面底面，側(cè)面底面，，，所以平面，所以為三棱臺的高，由三棱臺體積公式得.（2）連接，因?yàn)槠矫嬗谄矫?，平面平面，平面平面，所以，同理：，由，則四邊形為平行四邊形，又，，得，所以為中點(diǎn)，同理為中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，所以四邊形為菱形，所以，因?yàn)闉榱庑螌蔷€交點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又，所以，又，則，又，平面，平面，所以平面．22.在圓的內(nèi)接四邊形中，，，，示意如圖．（1）若是圓的直徑，求的長；（2）若圓的直徑為，求四邊形的面積．解：（1）連接，設(shè)，則，因?yàn)槭菆AO的直徑，則與為直角三角形，有，又，，即，整理得，所以.（2）連接，因?yàn)閳AO的直徑為，則在中，由正弦定理得，，在中，由余弦定理得，設(shè)，則，即，解得，設(shè)，同理在中有，，解得，因此四邊形的面積，所以四邊形的面積為或.江蘇省宿遷市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.向量與向量夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.且C. D.且〖答案〗B〖解析〗由題可知，即，又向量不共線，所以，，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為且.故選：B.2.已知是空間中兩條不重合的直線，是空間中兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗D〖解析〗對于A，若，，則或和為異面直線，故A錯誤；對于B，若，，則或，故B錯誤；對于C，若，，則或和相交，故C錯誤；對于D，若，，則，故D正確.故選：D.3.下列關(guān)于互斥事件、對立事件、獨(dú)立事件（上述事件的概率都大于零）的說法中正確的是（）A.互斥事件一定是對立事件 B.對立事件一定是互斥事件C.互斥事件一定是獨(dú)立事件 D.獨(dú)立事件一定是互斥事件〖答案〗B〖解析〗互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件，故A錯誤，B正確；互斥事件一定不能同時發(fā)生，而獨(dú)立事件可以同時發(fā)生，所以互斥事件一定不是獨(dú)立事件，獨(dú)立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均錯誤.故選：B.4.設(shè)，且，在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)點(diǎn)Z，則Z點(diǎn)的軌跡圖形的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，且知，在復(fù)平面內(nèi)，z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡圖形為圓環(huán)，大圓半徑為2，小圓半徑為1，其面積為.故選：C.5.用斜二測畫法畫一個平面四邊形的水平放置的直觀圖，得到一個如圖所示的邊長為1的正方形，則原圖中的長度為（）A.1 B.2 C.3 D.〖答案〗C〖解析〗由直觀圖還原得到原圖形如下，由斜二測畫法可得，，，所以，故選：C.6.在中，角所對的邊分別為．若，則為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以為等腰或直角三角形.故選：D.7.設(shè)，，，則有（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，，且在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：B.8.八卦是中國古代的基本哲學(xué)概念，八卦文化是中華文化的核心精髓，八卦圖與太極圖（圖1）的輪廓分別為正八邊形ABCDEFGH和圓（圖2），其中正八邊形的中心是點(diǎn)，魚眼（黑白兩點(diǎn)）、是圓半徑的中點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對稱．若，圓的半徑為6，當(dāng)太極圖轉(zhuǎn)動（即圓面及其內(nèi)部點(diǎn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動）時，的最大值為（）A.39 B.48 C.57 D.60〖答案〗A〖解析〗如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎诉呅蔚拿總€內(nèi)角為，所以，所以，又因?yàn)?，所以，，由題意知，P在以O(shè)為圓心，3為半徑的圓上，且P、Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以設(shè)，則，所以，（），所以當(dāng)時，取得最大值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別為，，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AC〖解析〗設(shè)，，則，，若，則，即，因，，所以，A正確；若，則，而，，B錯誤；若，則兩復(fù)數(shù)至少一個為零，即至少一個是，可得，故C正確；若，可得，而，可得，故D錯.故選：AC.10.某中學(xué)高一年級舉行了一次數(shù)學(xué)競賽，從中隨機(jī)抽取了一批學(xué)生的成績．經(jīng)統(tǒng)計，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)圖形估計本次競賽成績得到以下數(shù)據(jù)中正確的是（）A. B.眾數(shù)為80C.71百分位數(shù)是82 D.平均分是〖答案〗ACD〖解析〗由頻率分布直方圖可得，，解得，故A正確；眾數(shù)的估計值為，故B錯誤；前三組數(shù)據(jù)的頻率之和為，前四組數(shù)據(jù)的頻率之和為，則設(shè)71百分位數(shù)是，所以，解得，所以71百分位數(shù)是82，故C正確；由頻率分布直方圖估計平均數(shù)為，故D正確.故選：ACD.11.在中，，，則下列判斷正確的是（）A.的周長有最大值為21B.的平分線長的最大值為C.若，則邊上的中線長為D.若，則該三角形有兩解〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，，故，變形得到，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的周長有最大值為，A正確；B選項(xiàng)，如圖，為三角形的角平分線，故，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，⊥于點(diǎn)，則，設(shè)，則，，又，所以，解得，由A選項(xiàng)可知，又，故，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，則，故的平分線長的最大值為，B正確；C選項(xiàng)，若，則，故，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，解得，故邊上的中線長為，C錯誤；D選項(xiàng)，若，則，而，則該三角形有兩解，D正確.故選：ABD.12.如圖，在正四棱柱中，底面邊長，側(cè)棱長，為底面內(nèi)的動點(diǎn)，且與所成角為，則下列命題正確的是（）A.動點(diǎn)的軌跡長度為B.當(dāng)//平面時，與平面的距離為C.直線與底面所成角的最大值為D.二面角的范圍是〖答案〗AC〖解析〗正四棱柱中，底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面，對于A選項(xiàng)，因?yàn)榍遗c所成角為，所以與所成角也為，又，，又在底面內(nèi)，的軌跡為以A為圓心，1為半徑的圓周的四分之一，長度為，故選項(xiàng)A正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)//平面時，到平面的距離即為與平面的距離，，，在中，，邊上的高為2，設(shè)到平面的距離為，則，解得，故選項(xiàng)B錯誤；對于C選項(xiàng)，連接，則線段為線段在底面的投影，故直線與底面所成角為，且，由選項(xiàng)A可知，當(dāng)為正方形中心時，最短為1，此時最大為，即，故選項(xiàng)C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)在線段上時，，，因?yàn)槭堑妊切?，所以取中點(diǎn)，連接，則，過作交于點(diǎn)，分別連接，則，故四邊形是等腰梯形，取中點(diǎn)，則，所以是二面角的平面角，在四邊形中，，，故，又，故，由選項(xiàng)B知，，在中，由余弦定理得，所以，故選項(xiàng)D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.如圖，在某個海域，一艘漁船以36海里/小時的速度，沿方位角為的方向航行，行至A處發(fā)現(xiàn)一座小島C在其南偏東方向，再經(jīng)過半小時，到達(dá)B處，發(fā)現(xiàn)小島C在其東北方向，則B處離小島C的距離為_________海里．〖答案〗〖解析〗由題意知：，，所以，又，由正弦定理知：，則海里.故〖答案〗為：.15.某學(xué)習(xí)小組共10人，在一次測驗(yàn)中，4名女生的均分為70，方差為4；6名男生的均分為80，方差為14．則該小組10名同學(xué)的測驗(yàn)成績的方差為__________．〖答案〗34〖解析〗該小組10名同學(xué)的測驗(yàn)成績的均值為，所以該小組10名同學(xué)的測驗(yàn)成績的方差為.故〖答案〗為：34.16.用以棱長為2的正方體的各個頂點(diǎn)為球心，1為半徑分別作球面截該正方體，則該正方體所剩部分的體積為__________，表面積為__________．〖答案〗〖解析〗由題意，以各頂點(diǎn)為球心所截幾何體均為一個八分之一球體，且沒有重疊部分，所以正方體所剩部分的體積為，其表面積為正方體表面積減去6個半徑為1的圓，再加上球體表面積，所以表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．已知平面向量，都是單位向量，．（1）求與的夾角；（2）若，求在上的投影向量的坐標(biāo)．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．解：（1）選①：由知，又，所以，得，則，又，則．選②：由知，又，所以有，得，則，又，則.選③：由知，又，所以有，得，則，又，則．（2）設(shè)，由（1）可知，解得或，所以或，即或．18.一只不透明的口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地相同，編號分別為1、2的兩個球，從口袋內(nèi)隨機(jī)取1個球，記下號碼后放回，這樣重復(fù)取3次球，用有序?qū)崝?shù)組來表示樣本點(diǎn)，如“（1，2，2）”表示第一次取到的是1號球，第二、第三次取到的都是2號球．（1）請你寫出該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間；（2）記“前兩次取到的號碼相同”為事件A，“后兩次取到的號碼相同”為事件．①試判斷事件A與事件