2022-2023學(xué)年遼寧省葫蘆島市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2遼寧省葫蘆島市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A．3.在中，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形〖答案〗D〖解析〗，正弦定理可得，即，，，∴或，∴或，∴為等腰三角形或直角三角形.故選：D.4.已知平面向量，，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗平面向量，，向量與垂直，則，即，故，解得．故選：D．5.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A.復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù) B.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C. D.的最大值為1〖答案〗C〖解析〗由，可得，是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故B錯(cuò)誤；，，故C正確；，，的最大值為3，故錯(cuò)誤．故選：C．6.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，得，，又由誘導(dǎo)公式得.故選：A.7.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球面上），且該圓錐的側(cè)面積為，則此球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)直角圓錐底面半徑為，則其母線長(zhǎng)為，因此圓錐頂點(diǎn)到底面圓圓心的距離為：，于是圓錐底面圓的圓心為其外接球的球心，即圓錐外接球半徑為，由圓錐的側(cè)面積為，得，解得，所以球的表面積為.故選：D.8.已知函數(shù)，對(duì)于，，且在區(qū)上單調(diào)遞增，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閷?duì)于，，可得在時(shí)取得最大值，即，可得，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以且，解得，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．）9.下列命題中，真命題有（）A.若復(fù)數(shù)，滿足，則且B.若復(fù)數(shù)，則C.若復(fù)數(shù)，滿足，則或D.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：令，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，，則，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：令，，則，，，滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，，則，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，所以或，當(dāng)時(shí)為純虛數(shù)，當(dāng)時(shí)為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)為實(shí)數(shù)，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在的取值范圍為〖答案〗AC〖解析〗觀察圖象得，函數(shù)的周期，則，由，得，而，則，因此，對(duì)于A，由于，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，由于，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，因此，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知平面四邊形，是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.若，則四邊形是正方形B.若，則四邊形是矩形C.若，則為直角三角形D.若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過的重心〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A中，由，可得，但四邊形不一定是正方形，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，平方可得，即，但四邊形不一定為矩形，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，可得，即，平方可得，所以，所以為直角三角形，所以C正確；對(duì)于D中，作于點(diǎn)，又由，設(shè)的中點(diǎn)為，所以，即，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡在中線上，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心.故選：CD.12.在長(zhǎng)方體中，，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.B.三棱錐的體積為C.三棱錐外接球的表面積為D.直線被三棱錐外接球截得的線段長(zhǎng)為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A中，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，在正方體中，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，假設(shè)，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，在矩形中，與不垂直，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，三棱錐的體積為，所以B正確；對(duì)于C中，取的中點(diǎn)，由于，所以，取的中點(diǎn)，連接，在直角中，，即，所以為的外接球的球心，且外接球的半徑為，其表面積為，所以C正確；對(duì)于D中，在中，由余弦定理可得，所以，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在直角中，可得，由球的截面圓的性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若，則_____________．〖答案〗〖解析〗原式.故〖答案〗為：.14.二面角的大小為，分別在兩個(gè)面內(nèi)且到棱的距離都為2，且，則與棱所成角的正弦值為________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，作，，其中，分別為垂足，則，，在面內(nèi)過點(diǎn)作，且，連接，，則四邊形為平行四邊形，所以，所以為與棱所成的角，因?yàn)?，所以，，所以為的平面角，即，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，即與棱所成角的正弦值為．故〖答案〗為：．15.將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求出圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)________．〖答案〗，等（寫出一個(gè)或一個(gè)以上就給分）〖解析〗由題可知，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足，所以，則函數(shù)的對(duì)稱中心為.故〖答案〗為：，（寫出一個(gè)或一個(gè)以上就給分）.16.在中，有則的最大值是________．〖答案〗〖解析〗由，可得：，即，即，整理得：，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，在中，為銳角，要使最大，則取最小值，，，的最大值為：．故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.已知非零向量，滿足，且．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求和向量與的夾角θ的值．解：（1）由已知得，即，.（2），，，，，所以．18.如圖，在正三棱柱中，分別為棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：平面⊥平面．解：（1）證明：連接與交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)，連接EO，F(xiàn)O，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱，BC的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形AEOF為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）證明：因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又，且兩直線在平面內(nèi)相交，所以平面，因?yàn)椋云矫?，又平面，所以平面平面?9.已知，為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）.（2）由，得，因?yàn)?，為銳角，所以，則，又因，所以，所以，則，所以．20.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．，．（1）求A；（2）若BC邊上的中線AM為，求b．解：（1）由題意得，，即，由正弦定理可得：，則，即，可得，因?yàn)?，則，可得，所以，又因，則，所以，所以．（2）因?yàn)锳M為BC邊上的中線，則，所以，可得，即，解得或（舍去），所以．21.如圖，在多面體中，菱形的邊長(zhǎng)為2，，四邊形是矩形，平面平面，．（1）在線段上確定一點(diǎn)，使得平面平面；（2）設(shè)是線段的中點(diǎn)，在（1）的條件下，求二面角——的大?。猓海?）為線段的中點(diǎn)，證明如下：在菱形中，連接與交于點(diǎn)，于是為中點(diǎn)，在中，為中位線，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又，平面，且，所以平面平面．?）分別取EF，HG，OC中點(diǎn)M，N，P，連接MO，MA，MC，NP，NO，NA，于是，N為線段MC中點(diǎn)，易知，在矩形BDEF中，菱形ABCD中，且，MO，平面AMC，所以平面AMC．又GH為的中位線，故，且，所以．所以平面AMC．又AN，平面AMC，所以，．所以∠ANO為二面角的平面角．由已知，平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BD，平面BDEF，且，可得．又NP為的中位線，所以，且，所以平面ABCD，進(jìn)而．在菱形ABCD中，，，．在直角中，，所以．在直角中，，所以，所以，．即二面角的大小為．22.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知AB⊥AD，，=．函數(shù)．（1）若，求的值域；（2）若對(duì)于任何有意義的邊a，在上有解，求b的取值范圍．解：（1）由題設(shè)知：，又a＝b＝1，故，即，∵令，∴，拋物線開口向上，對(duì)稱軸，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，最小且為，當(dāng)t＝1時(shí)，最大且為，所以，故的值域?yàn)?（2），根據(jù)條件得，得到，又，所以．設(shè)，則，，在中，由正弦定理得，可得，在中，由正弦定理得，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即，可得，當(dāng)時(shí)，即，可得，所以，0＜a＜2．由（1）易知：．依題意對(duì)于任意a值，使得恒成立，因?yàn)?，所以，即，又?＜－2a＜0，所以，有解即可．令，，，容易知道在上是增函數(shù)，故，只需的最大值大于等于0即可，又，故．遼寧省葫蘆島市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選：A．3.在中，，則的形狀為（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形〖答案〗D〖解析〗，正弦定理可得，即，，，∴或，∴或，∴為等腰三角形或直角三角形.故選：D.4.已知平面向量，，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗平面向量，，向量與垂直，則，即，故，解得．故選：D．5.歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）A.復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù) B.對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C. D.的最大值為1〖答案〗C〖解析〗由，可得，是純虛數(shù)，故A錯(cuò)誤；，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故B錯(cuò)誤；，，故C正確；，，的最大值為3，故錯(cuò)誤．故選：C．6.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，得，，又由誘導(dǎo)公式得.故選：A.7.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐，若某直角圓錐內(nèi)接于一球（圓錐的頂點(diǎn)和底面上各點(diǎn)均在該球面上），且該圓錐的側(cè)面積為，則此球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)直角圓錐底面半徑為，則其母線長(zhǎng)為，因此圓錐頂點(diǎn)到底面圓圓心的距離為：，于是圓錐底面圓的圓心為其外接球的球心，即圓錐外接球半徑為，由圓錐的側(cè)面積為，得，解得，所以球的表面積為.故選：D.8.已知函數(shù)，對(duì)于，，且在區(qū)上單調(diào)遞增，則的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閷?duì)于，，可得在時(shí)取得最大值，即，可得，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以且，解得，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)得0分．）9.下列命題中，真命題有（）A.若復(fù)數(shù)，滿足，則且B.若復(fù)數(shù)，則C.若復(fù)數(shù)，滿足，則或D.若復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：令，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，，則，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：令，，則，，，滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：令，，則，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，所以或，當(dāng)時(shí)為純虛數(shù)，當(dāng)時(shí)為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)為實(shí)數(shù)，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法中正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)在的取值范圍為〖答案〗AC〖解析〗觀察圖象得，函數(shù)的周期，則，由，得，而，則，因此，對(duì)于A，由于，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，由于，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，因此，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知平面四邊形，是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.若，則四邊形是正方形B.若，則四邊形是矩形C.若，則為直角三角形D.若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過的重心〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A中，由，可得，但四邊形不一定是正方形，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，平方可得，即，但四邊形不一定為矩形，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，可得，即，平方可得，所以，所以為直角三角形，所以C正確；對(duì)于D中，作于點(diǎn)，又由，設(shè)的中點(diǎn)為，所以，即，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡在中線上，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心.故選：CD.12.在長(zhǎng)方體中，，分別為的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.B.三棱錐的體積為C.三棱錐外接球的表面積為D.直線被三棱錐外接球截得的線段長(zhǎng)為〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A中，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，在正方體中，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，假設(shè)，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在矩形中，與不垂直，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，三棱錐的體積為，所以B正確；對(duì)于C中，取的中點(diǎn)，由于，所以，取的中點(diǎn)，連接，在直角中，，即，所以為的外接球的球心，且外接球的半徑為，其表面積為，所以C正確；對(duì)于D中，在中，由余弦定理可得，所以，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在直角中，可得，由球的截面圓的性質(zhì)，可得，所以D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若，則_____________．〖答案〗〖解析〗原式.故〖答案〗為：.14.二面角的大小為，分別在兩個(gè)面內(nèi)且到棱的距離都為2，且，則與棱所成角的正弦值為________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，作，，其中，分別為垂足，則，，在面內(nèi)過點(diǎn)作，且，連接，，則四邊形為平行四邊形，所以，所以為與棱所成的角，因?yàn)?，所以，，所以為的平面角，即，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，即與棱所成角的正弦值為．故〖答案〗為：．15.將函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將所得圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求出圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)________．〖答案〗，等（寫出一個(gè)或一個(gè)以上就給分）〖解析〗由題可知，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)滿足，所以，則函數(shù)的對(duì)稱中心為.故〖答案〗為：，（寫出一個(gè)或一個(gè)以上就給分）.16.在中，有則的最大值是________．〖答案〗〖解析〗由，可得：，即，即，整理得：，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，在中，為銳角，要使最大，則取最小值，，，的最大值為：．故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.已知非零向量，滿足，且．（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求和向量與的夾角θ的值．解：（1）由已知得，即，.（2），，，，，所以．18.如圖，在正三棱柱中，分別為棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）證明：平面⊥平面．解：（1）證明：連接與交于點(diǎn)O，則O為的中點(diǎn)，連接EO，F(xiàn)O，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱，BC的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形AEOF為平行四邊形，∴，又平面，平面，所以平面.（2）證明：因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，又，且兩直線在平面內(nèi)相交，所以平面，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以平面平面?9.已知，為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）.（2）由，得，因?yàn)?，為銳角，所以，則，又因，所以，所以，則，所以．20.已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．，．（1）求A；（2）若BC邊上的中線AM為，求b．解：（1）由題意得，，即，由正弦定理可得：，則，即，可得，因?yàn)?，則，可得，所以，又因，則，所以，所以．（2）因?yàn)锳M為BC邊上的中線，則，