2023-2024學(xué)年福建省三明市六校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省三明市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由題得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，在第一象限.故選：A.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，則，得.故選：D.3.已知a、b為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：若，，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，，則，故C正確；對于D：若，，，則或與異面，故D錯誤.故選：C.4.在中，內(nèi)角，，所對的邊為，，，若，，，則角的大小為（）A. B.或 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，則，而，故或，顯然，所得角均滿足.故選：B.5.若一個正方體的八個頂點都在同一個球面上，則正方體與這個球的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)正方體的棱長為，外接球的半徑為，則，故球的表面積為，而正方體的表面積為，故正方體與這個球表面積之比為．故選：C．6.在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形．故選：D．7.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，它將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭．如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，，方亭的四個側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭的體積為，則該方亭的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，，則方亭的體積為，解得，則，畫出的平面圖，作于，，，則，，則該方亭的表面積為.故選：A.8.設(shè)是內(nèi)一點，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（）A. B.18 C.16 D.9〖答案〗B〖解析〗設(shè)中，角的對邊分別為，，由，得，，若，則，，有，得，，當且僅當，即時等號成立，則的最小值是18.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每題給出的四個選項中，有多項是符合題意的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則C.復(fù)數(shù)的虛部是3D.復(fù)數(shù)滿足，則最小值為1〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，，即，故B正確；對于C，復(fù)數(shù)的虛部為-3，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，則，所以，所以最小值為1，故D正確.故選：ABD.10.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A.與的夾角的余弦值為B.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標為D.若向量與向量共線，則〖答案〗AD〖解析〗設(shè)與夾角為，則，故A正確；在方向上的投影向量為，故B錯誤；設(shè)與垂直的單位向量的坐標為，則，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標為或，故C錯誤；若向量與向量共線，設(shè)，因為不共線，所以，解得，故D正確.故選：AD.11.已知中，在上，為的角平分線，為中點，連接，使交于點，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在的外接圓上，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，在中，由余弦定理得，又因為，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，故A正確；對于B，因為，，所以，所以，因為平分，所以，，在中，由正弦定理得，所以，故，所以，故B錯誤；對于C，在中，由余弦定理得，所以，在中，，所以，所以由正弦定理得，，所以C正確；對于D，由B選項可知，即為外接圓的直徑，故外接圓的半徑，，故當取得最大值時，在優(yōu)弧上，設(shè)，則，，所以在中由正弦定理得，所以，所以，其中，所以當時，最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖所示，等腰直角三角形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的周長為__________.〖答案〗〖解析〗由題意，，則，故原圖形中，，，周長為.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的底面半徑為2，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，高為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，所以，又，所以圓錐的母線長，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.故〖答案〗為：.14.如圖，在平面四邊形中，．若點為邊上的動點，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗連接AC，因為，，，，所以，又，所以，所以，過點B作AD的垂線BF，垂足為F，易知，在中，，，所以，，以D為原點，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則，設(shè)，則，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，當時，有最小值；當時，有最大值，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的周長為，求的面積．解：（1）由正弦定理可得：即：，，，由得：.（2），的周長為，，由余弦定理可得：，，的面積：.16.如圖，四棱錐中，分別為線段，中點，與交于點，是線段上一點．求證：（1）平面；（2）平面平面．解：（1）連接，因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以為的中點，又因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）連接，，因為，分別是，的中點，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面．17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點D滿足，且．（1）若b＝c，求A的值；（2）求B的最大值．解：（1）因為，所以，即，所以，因為b＝c，所以，因為，所以．（2）因為，由余弦定理得，，即，所以，當且僅當時，即時，取等號，因為，所以B的最大值為．18.如圖，正三棱柱的底面邊長為2，高為，過的截面與上底面交于，且點是棱的中點，點在棱上．（1）試在棱上找一點，使得平面，并加以證明；（2）求四棱錐的體積．解：（1）證法1：點為棱中點，證明如下：取的中點，連接，，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，又是棱中點，∴是棱的中點，∴∥，，∵，分別為棱，的中點，∴∥，，∴∥，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．證法2：為的中點時，平面，證明如下：∵平面，平面，平面平面，∴，平面，平面，所以平面，又∵為的中點，為的中點，∴是平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴面，又∵與在平面內(nèi)相交，∴面面，又∵面，∴平面．（2）解法一：連接，四棱錐可視為三棱錐和組合而成，三棱錐可視為，底面積，高為，設(shè)，體積為，三棱錐與等高，體積比為底面積之比，設(shè)，則，故，因此，，即為所求．解法二：分別取和的中點，，連接，，連接交于點，連接，，∵和是正三角形，且，分別是和的中點，∴，且∥，，則，，，四點共面，∵平面，平面，∴，又平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，在矩形中，，，∴，∴，且，∴，即．又平面平面，平面平面，平面，∴平面，在等腰梯形中，，，，∴等腰梯形的高，∴四棱錐的體積．19.如圖，海上有A，B兩個小島相距，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為，現(xiàn)從船O上泥下一只小艇沿BO方向駛至C處進行作業(yè)，且，設(shè).（1）用x分別表示和，并求出x的取值范圍；（2）晚上小艇在C處發(fā)出一道強烈的光線照射A島，B島至光線CA的距離為BD，求BD的最大值.解：（1）在中，，由余弦定理得，又，所以①，在，中，，由余弦定理得②，①+②得，①-②得，即，又，所以，即，又，即，所以.（2）易知，故，又，設(shè)，所以，，，在上是增函數(shù)，所以的最大值為，即BD的最大值為10.福建省三明市六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗由題得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，在第一象限.故選：A.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，則，得.故選：D.3.已知a、b為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則〖答案〗C〖解析〗對于A：若，，則或，故A錯誤；對于B：若，，則或與相交，故B錯誤；對于C：若，，則，故C正確；對于D：若，，，則或與異面，故D錯誤.故選：C.4.在中，內(nèi)角，，所對的邊為，，，若，，，則角的大小為（）A. B.或 C. D.〖答案〗B〖解析〗由，則，而，故或，顯然，所得角均滿足.故選：B.5.若一個正方體的八個頂點都在同一個球面上，則正方體與這個球的表面積之比為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)正方體的棱長為，外接球的半徑為，則，故球的表面積為，而正方體的表面積為，故正方體與這個球表面積之比為．故選：C．6.在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰或直角三角形〖答案〗D〖解析〗因為，所以，，，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形．故選：D．7.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，它將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭．如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高，，方亭的四個側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭的體積為，則該方亭的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，，則方亭的體積為，解得，則，畫出的平面圖，作于，，，則，，則該方亭的表面積為.故選：A.8.設(shè)是內(nèi)一點，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（）A. B.18 C.16 D.9〖答案〗B〖解析〗設(shè)中，角的對邊分別為，，由，得，，若，則，，有，得，，當且僅當，即時等號成立，則的最小值是18.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每題給出的四個選項中，有多項是符合題意的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則B.復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則C.復(fù)數(shù)的虛部是3D.復(fù)數(shù)滿足，則最小值為1〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，故A正確；對于B，，即，故B正確；對于C，復(fù)數(shù)的虛部為-3，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，則，所以，所以最小值為1，故D正確.故選：ABD.10.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A.與的夾角的余弦值為B.在方向上的投影向量為C.與垂直的單位向量的坐標為D.若向量與向量共線，則〖答案〗AD〖解析〗設(shè)與夾角為，則，故A正確；在方向上的投影向量為，故B錯誤；設(shè)與垂直的單位向量的坐標為，則，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標為或，故C錯誤；若向量與向量共線，設(shè)，因為不共線，所以，解得，故D正確.故選：AD.11.已知中，在上，為的角平分線，為中點，連接，使交于點，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.在的外接圓上，則的最大值為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，在中，由余弦定理得，又因為，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，故A正確；對于B，因為，，所以，所以，因為平分，所以，，在中，由正弦定理得，所以，故，所以，故B錯誤；對于C，在中，由余弦定理得，所以，在中，，所以，所以由正弦定理得，，所以C正確；對于D，由B選項可知，即為外接圓的直徑，故外接圓的半徑，，故當取得最大值時，在優(yōu)弧上，設(shè)，則，，所以在中由正弦定理得，所以，所以，其中，所以當時，最大值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖所示，等腰直角三角形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的周長為__________.〖答案〗〖解析〗由題意，，則，故原圖形中，，，周長為.故〖答案〗為：.13.已知圓錐的底面半徑為2，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，高為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，所以，又，所以圓錐的母線長，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.故〖答案〗為：.14.如圖，在平面四邊形中，．若點為邊上的動點，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗連接AC，因為，，，，所以，又，所以，所以，過點B作AD的垂線BF，垂足為F，易知，在中，，，所以，，以D為原點，的方向分別為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則，設(shè)，則，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，當時，有最小值；當時，有最大值，所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求角；（2）若，的周長為，求的面積．解：（1）由正弦定理可得：即：，，，由得：.（2），的周長為，，由余弦定理可得：，，的面積：.16.如圖，四棱錐中，分別為線段，中點，與交于點，是線段上一點．求證：（1）平面；（2）平面平面．解：（1）連接，因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以為的中點，又因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面．（2）連接，，因為，分別是，的中點，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面．17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，點D滿足，且．（1）若b＝c，求A的值；（2）求B的最大值．解：（1）因為，所以，即，所以，因為b＝c，所以，因為，所以．（2）因為，由余弦定理得，，即，所以，當且僅當時，即時，取等號，因為，所以B的最大值為．18.如圖，正三棱柱的底面邊長為2，高為，過的截面與上底面交于，且點是棱的中點，點在棱上．（1）試在棱上找一點，使得平面，并加以證明；（2）求四棱錐的體