2023-2024學(xué)年遼寧省部分高中高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項(xiàng)符合要求）1.已知，則（）A.2 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由得，所以.故選：B2.已知五個數(shù)成等差數(shù)列，則（）A.15 B.20 C.30 D.35〖答案〗C〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，，則，故.故選：C.3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)它為遞增數(shù)列時，的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，所以對于任意的，都有，即，化簡得，所以對于任意的都成立，因?yàn)?，所?故選：A4.已知數(shù)列，則由這兩個數(shù)列公共項(xiàng)從小到大排列得到的數(shù)列為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，而數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，則這兩個數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，故.故選：D.5.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，在上恒成立，即在上恒成立，不妨設(shè)，，因在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，故.故選：D.6.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由①知，當(dāng)時，；當(dāng)時，②，由①②：，即得，當(dāng)時，符合題意，故故選：A.7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的兩個極值點(diǎn)為，故排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)D，當(dāng)時，，所以恒為正，排除選項(xiàng)C，即只有選項(xiàng)B符合要求.故選：B．8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，因?yàn)?，則，即，其中，所以，令，則，所以在上遞增，所以，即，又，所以，，，.故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題，，解得故A錯誤，B正確；則，，故C錯誤，D正確.故選：BD.10.下列不等式正確的是（）A.當(dāng)時， B.當(dāng)時，C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，〖答案〗ACD〖解析〗對選項(xiàng)A，設(shè)，，，當(dāng)時，，減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以，即，故A正確.對選項(xiàng)B，當(dāng)時，，不滿足，故B錯誤.對選項(xiàng)C，設(shè)，，，當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以，即，故C正確.對選項(xiàng)D，設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；則在時求得最小值，即，故D正確.故選：ACD11.已知數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由題意，，，則，，故A正確；由題意，所以，不是常數(shù)，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B錯誤；因?yàn)椋?，首?xiàng)，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故C正確；因?yàn)椋?，首?xiàng)，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.曲線在處的切線方程為______.〖答案〗〖解析〗由得，，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故〖答案〗為：13.數(shù)列的通項(xiàng)公式為是其前項(xiàng)和，則__________.〖答案〗〖解析〗由則.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)有三個不同的零點(diǎn)，則具有三個不同的解，可得與的共有三個解，構(gòu)造函數(shù)，則，故，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以或，解得或，故的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.己知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），有，當(dāng)時，有，兩式相減得，當(dāng)時，由，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時也滿足，所以（2）由（1）知，，所以，所以.16.已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間和極值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋邳c(diǎn)處的切線平行于軸，，.（2）由（1）可得，令得或，列表如下：2+0-0+極大值極小值由表格知單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為.17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域是，因，①若，則在上單調(diào)遞增；②若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）法（一）：恒成立，即對（*）①若則，由（1）知，在上單調(diào)遞增，而，故（*）式不成立；②若由（1）知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則由，可得設(shè)，因在上恒成立，則在為增函數(shù)，又，故需使，即的取值范圍是.法（二）：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是即為，可化為.設(shè)，依題意需使.因，令，因在上恒成立，則在上是減函數(shù)，又因?yàn)?，所以?dāng)時，，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，，則在上是減函數(shù).所以在處取得極大值，也是最大值，即，所以.故的取值范圍是.18.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個球，第五層有15個球..依照這個規(guī)律，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列.（1）寫出與的遞推關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為；①求；②對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）從圖中可以發(fā)現(xiàn)每一層球的數(shù)量比上一層多的個數(shù)等于層數(shù)，所以，所以，所以，當(dāng)時，也符合上式，故.（2）①因?yàn)?，則，，，兩式相減得，，所以，；②對任意的恒成立，，則對任意的恒成立，令，，為遞減數(shù)列，則當(dāng)時，，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小值；（2）若，且，求證：.解：（1）由且定義域?yàn)?，得，令且定義域?yàn)?，則，所以在單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以函數(shù)在時，有最小值，；（2）因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，設(shè)，則由得，，且.不妨設(shè)，要證，即證，即證，由及的單調(diào)性知，.令，則，因?yàn)椋?，所以在為減函數(shù)所以，所以，取，則，又，則，又，且在單調(diào)遞增，所以.所以原命題得證.遼寧省部分高中2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項(xiàng)符合要求）1.已知，則（）A.2 B.5 C.6 D.7〖答案〗B〖解析〗由得，所以.故選：B2.已知五個數(shù)成等差數(shù)列，則（）A.15 B.20 C.30 D.35〖答案〗C〖解析〗設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，，則，故.故選：C.3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，當(dāng)它為遞增數(shù)列時，的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)槭菃握{(diào)遞增數(shù)列，所以對于任意的，都有，即，化簡得，所以對于任意的都成立，因?yàn)?，所?故選：A4.已知數(shù)列，則由這兩個數(shù)列公共項(xiàng)從小到大排列得到的數(shù)列為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，而數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，則這兩個數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，故.故選：D.5.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意，在上恒成立，即在上恒成立，不妨設(shè)，，因在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則，故.故選：D.6.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由①知，當(dāng)時，；當(dāng)時，②，由①②：，即得，當(dāng)時，符合題意，故故選：A.7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，令，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的兩個極值點(diǎn)為，故排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)D，當(dāng)時，，所以恒為正，排除選項(xiàng)C，即只有選項(xiàng)B符合要求.故選：B．8.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，因?yàn)?，則，即，其中，所以，令，則，所以在上遞增，所以，即，又，所以，，，.故選：D二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗依題，，解得故A錯誤，B正確；則，，故C錯誤，D正確.故選：BD.10.下列不等式正確的是（）A.當(dāng)時， B.當(dāng)時，C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，〖答案〗ACD〖解析〗對選項(xiàng)A，設(shè)，，，當(dāng)時，，減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以，即，故A正確.對選項(xiàng)B，當(dāng)時，，不滿足，故B錯誤.對選項(xiàng)C，設(shè)，，，當(dāng)時，，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為減函數(shù)，所以，即，故C正確.對選項(xiàng)D，設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；則在時求得最小值，即，故D正確.故選：ACD11.已知數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由題意，，，則，，故A正確；由題意，所以，不是常數(shù)，故數(shù)列不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B錯誤；因?yàn)?，即，首?xiàng)，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，故C正確；因?yàn)?，即，首?xiàng)，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.曲線在處的切線方程為______.〖答案〗〖解析〗由得，，所以，又，所以曲線在處的切線方程為，即.故〖答案〗為：13.數(shù)列的通項(xiàng)公式為是其前項(xiàng)和，則__________.〖答案〗〖解析〗由則.故〖答案〗為：14.已知函數(shù)有三個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)有三個不同的零點(diǎn)，則具有三個不同的解，可得與的共有三個解，構(gòu)造函數(shù)，則，故，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以或，解得或，故的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.己知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1），有，當(dāng)時，有，兩式相減得，當(dāng)時，由，得，檢驗(yàn)：當(dāng)時也滿足，所以（2）由（1）知，，所以，所以.16.已知函數(shù)（為常數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間和極值.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，在點(diǎn)處的切線平行于軸，，.（2）由（1）可得，令得或，列表如下：2+0-0+極大值極小值由表格知單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，極小值為.17.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域是，因，①若，則在上單調(diào)遞增；②若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）法（一）：恒成立，即對（*）①若則，由（1）知，在上單調(diào)遞增，而，故（*）式不成立；②若由（1）知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則由，可得設(shè)，因在上恒成立，則在為增函數(shù)，又，故需使，即的取值范圍是.法（二）：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是即為，可化為.設(shè)，依題意需使.因，令，因在上恒成立，則在上是減函數(shù)，又因?yàn)椋援?dāng)時，，則在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，，則在上是減函數(shù).所以在處取得極大值，也是最大值，即，所以.故的取值范圍是.18.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層10個球，第五層有15個球..依照這個規(guī)律，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列.（1）寫出與的遞推關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為；①求；②對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）從圖中可以發(fā)現(xiàn)每一層球的數(shù)量比上一層多的個數(shù)等于層數(shù)，所