2024屆湖北省武漢市高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于，所以，故選：A.2.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗C〖解析〗由題意知向量，，則，故向量在上的投影向量為，故向量在向量方向上的投影向量的模為.故選：C3.設(shè)拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，，由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，聯(lián)立與可得，設(shè)，則，故，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：C.4.已知一組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在五個數(shù)中，上四分位數(shù)為第二大的數(shù)，故中第二大的數(shù)是，所以.故選：C.5.若，則（）A.180 B. C. D.90〖答案〗A〖解析〗因，其二項展開式的通項為：，而是的系數(shù)，故只需取，得，即.故選：A.6.已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記的中點分別為，因為，所以，同理，，記，因為，所以，所以，，易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（）A.當(dāng)時， B.當(dāng)時，事件與事件不獨立C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，事件與事件不獨立〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，表示一正一反，故，故A正確；此時，，，故B正確；當(dāng)時，表示并非每次都是正面朝上，故，故C正確；此時，，，所以，故D錯誤.故選：D.8.在三角形中，角，，的對邊分別為，，且滿足，，則面積取最大值時，（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，又由余弦定理：，所以，所以.由正弦定理得：，所以或（舍去），故.因為，所以.由正弦定理：.所以.因為，所以.設(shè)，.則，由，由，所以在上單調(diào)遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，有最大值.即當(dāng)時，的面積最大.此時故選：A.二、選擇題9.已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B.最小正周期為C.在內(nèi)有3個極值點 D.在區(qū)間上的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于AB，根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，，，故AB正確，對于C，由五點法畫圖知，，解得，由于，所以，.令，則，時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在內(nèi)有2個極值點，分別為，，故C錯誤，對于D，，可得：，故當(dāng)此時取最大值，故D正確.故選：ABD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，圓，為圓上任意一點，為橢圓上任意一點.過作橢圓的兩條切線，，當(dāng)，與坐標(biāo)軸不垂直時，記兩切線斜率分別為，，則（）A.橢圓的離心率為 B.的最小值為1C.的最大值為 D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，根據(jù)題意，，則，故，故A正確；對于BC，設(shè)，則，而圓的圓心，半徑為，則，因為，所以，則，所以，即，所以的最小值為，最大值為，故B錯誤，C正確；對于D，設(shè)，過點的直線方程為：，聯(lián)立，，根據(jù)直線與橢圓的相切，則，化簡可得，，可知是方程的兩個根，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故D錯誤.故選：AC11.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B.C.若方程有6個不等實數(shù)根，則D對任意正實數(shù)，且，若，則〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)的定義域為，，對于A，由可得或，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故A錯誤；對于B，由A得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，，故，即B正確；對于C，易知偶函數(shù)，當(dāng)時，，由A項知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，增區(qū)間為.又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，故函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可得，直線與函數(shù)有6個不同交點，等價于，故C正確；對于D，由圖，不妨設(shè)，由可得，即，不妨取，設(shè)，則，則當(dāng)時，，故，在上單調(diào)遞增，又，又，，即.因，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，因，故得，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，由兩邊平方整理得：，即而，作出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡的圖形如圖.易得，因在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故，即當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.故〖答案〗為:.13.已知，則______.〖答案〗〖解析〗由得，平方可得，故，，故〖答案〗為：14.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為______.〖答案〗〖解析〗如圖，作出正四棱臺的軸截面,設(shè)上底面邊長為，則下底面邊長為，則，,故,在中，,則由射影定理，得，解得，于是棱臺的上底面面積為，下底面面積為，高為2，故該正四棱臺的體積為：.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知.（1）求并寫出的表達(dá)式；（2）證明：.（1）解：由有，取得到，解得.將代入可得.（2）證明：設(shè)，則，故當(dāng)時，當(dāng)時.所以在上遞減，在上遞增，故.從而.16.如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形中，，，，，,點在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，所以，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，所以平面平面．（2）解：取中點，連接，因為，，，，所以四邊形是矩形，所以，因為平面，所以，，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，，設(shè)，則，，，，因為點在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心，所以，所以，所以，，又，，令，因為，，所以是平面的法向量，的方向向量是，所以直線與平面所成角的正弦值為.故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知雙曲線，直線與雙曲線交于，兩點，直線與雙曲線交于，兩點.（1）若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且直線，的斜率，均存在，求；（2）設(shè)直線與直線的交點為，且，證明：直線與直線的斜率之和為0.（1）解：當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點時，，兩點關(guān)于原點對稱.設(shè)，，，于是，.因，，三點都在雙曲線，所以，兩式作差，，所以.（2）證明：已知，由題意可知均有斜率，可設(shè)直線，直線，，，，.，.聯(lián)立直線方程與雙曲線的方程：.整理得，，當(dāng)時，.，.于是同理可得，.因為，所以整理得，，而，所以.18.某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.附：若，取，.（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.①若控制系統(tǒng)原有個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是否提高？②假設(shè)該系統(tǒng)配置有個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠性？請給出你的結(jié)論并證明.解：（1）技術(shù)改造前，易知，，則其優(yōu)品率為；技術(shù)改造后，，，則其優(yōu)品率為.所以優(yōu)品率之差為.（2）①記為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).由條件知，，.，.因為，所以可靠性提高.②方法一：根據(jù)上一問的假設(shè)，易知，.當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性提高.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.方法二：當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，于是，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，于是，.這說明可靠性提高.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.方法三：設(shè)兩兩獨立且均服從二項分布，記，則該系統(tǒng)配置有個元件時，系統(tǒng)的可靠性為.則，且.這就得到，.這表明，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.注意到服從二項分布，故.進(jìn)行完以上準(zhǔn)備工作后，我們回到原題.①若控制系統(tǒng)原有個元件，則系統(tǒng)的可靠性為.而是偶數(shù)，所以增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；②根據(jù)上面的結(jié)論，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.19.混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學(xué)模型中，比如天氣預(yù)測、種群數(shù)量變化和天體運動等等，其中一維線段上的拋物線映射是混沌動力學(xué)中最基礎(chǔ)應(yīng)用最廣泛的模型之一，假設(shè)在一個混沌系統(tǒng)中，用來表示系統(tǒng)在第個時刻的狀態(tài)值，且該系統(tǒng)下一時刻的狀態(tài)滿足，，其中.（1）當(dāng)時，若滿足對，有，求的通項公式；（2）證明：當(dāng)時，中不存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列；（3）若，，記，證明：.（1）解：當(dāng)時，，依題意，①，②，兩式作差，，則或，若，代入①式解得，或，而，于是；若，將代入②式解得，.因此必有.注意到，，從而由歸納即知是常數(shù)列.所以的通項公式為.（2）證明：假設(shè)，，構(gòu)成等比數(shù)列，則.那么由，可知.又，則，解得，與矛盾.所以中不存在連續(xù)的三項構(gòu)成等比數(shù)列.（3）解：由于當(dāng)時，有，，即.而，，故歸納即知對任意正整數(shù)都有.又由及可知，故數(shù)列單調(diào)遞減.又由于，故.湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期5月模擬訓(xùn)練試題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.設(shè)集合，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由于，所以，故選：A.2.已知向量，，則在上的投影向量的模為（）A. B.1 C.0 D.〖答案〗C〖解析〗由題意知向量，，則，故向量在上的投影向量為，故向量在向量方向上的投影向量的模為.故選：C3.設(shè)拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，，由題意可知直線的斜率存在，故設(shè)其方程為，聯(lián)立與可得，設(shè)，則，故，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選：C.4.已知一組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在五個數(shù)中，上四分位數(shù)為第二大的數(shù)，故中第二大的數(shù)是，所以.故選：C.5.若，則（）A.180 B. C. D.90〖答案〗A〖解析〗因，其二項展開式的通項為：，而是的系數(shù)，故只需取，得，即.故選：A.6.已知菱形，，將沿對角線折起，使以四點為頂點的三棱錐體積最大，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記的中點分別為，因為，所以，同理，，記，因為，所以，所以，，易知，當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，此時，以E為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，記事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列說法不正確的是（）A.當(dāng)時， B.當(dāng)時，事件與事件不獨立C.當(dāng)時， D.當(dāng)時，事件與事件不獨立〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時，表示一正一反，故，故A正確；此時，，，故B正確；當(dāng)時，表示并非每次都是正面朝上，故，故C正確；此時，，，所以，故D錯誤.故選：D.8.在三角形中，角，，的對邊分別為，，且滿足，，則面積取最大值時，（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，又由余弦定理：，所以，所以.由正弦定理得：，所以或（舍去），故.因為，所以.由正弦定理：.所以.因為，所以.設(shè)，.則，由，由，所以在上單調(diào)遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，有最大值.即當(dāng)時，的面積最大.此時故選：A.二、選擇題9.已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B.最小正周期為C.在內(nèi)有3個極值點 D.在區(qū)間上的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗對于AB，根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，，，故AB正確，對于C，由五點法畫圖知，，解得，由于，所以，.令，則，時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在內(nèi)有2個極值點，分別為，，故C錯誤，對于D，，可得：，故當(dāng)此時取最大值，故D正確.故選：ABD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，圓，為圓上任意一點，為橢圓上任意一點.過作橢圓的兩條切線，，當(dāng)，與坐標(biāo)軸不垂直時，記兩切線斜率分別為，，則（）A.橢圓的離心率為 B.的最小值為1C.的最大值為 D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，根據(jù)題意，，則，故，故A正確；對于BC，設(shè)，則，而圓的圓心，半徑為，則，因為，所以，則，所以，即，所以的最小值為，最大值為，故B錯誤，C正確；對于D，設(shè)，過點的直線方程為：，聯(lián)立，，根據(jù)直線與橢圓的相切，則，化簡可得，，可知是方程的兩個根，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故D錯誤.故選：AC11.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B.C.若方程有6個不等實數(shù)根，則D對任意正實數(shù)，且，若，則〖答案〗BCD〖解析〗函數(shù)的定義域為，，對于A，由可得或，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故A錯誤；對于B，由A得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，，故，即B正確；對于C，易知偶函數(shù)，當(dāng)時，，由A項知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，增區(qū)間為.又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，故函數(shù)的圖象如圖所示.由圖可得，直線與函數(shù)有6個不同交點，等價于，故C正確；對于D，由圖，不妨設(shè)，由可得，即，不妨取，設(shè)，則，則當(dāng)時，，故，在上單調(diào)遞增，又，又，，即.因，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，因，故得，即，故D正確.故選：BCD.三、填空題12.已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，由兩邊平方整理得：，即而，作出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的軌跡的圖形如圖.易得，因在定義域內(nèi)為增函數(shù)，故，即當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值.故〖答案〗為:.13.已知，則______.〖答案〗〖解析〗由得，平方可得，故，，故〖答案〗為：14.已知正四棱臺的上底面與下底面的邊長之比為，其內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱臺的體積為______.〖答案〗〖解析〗如圖，作出正四棱臺的軸截面,設(shè)上底面邊長為，則下底面邊長為，則，,故,在中，,則由射影定理，得，解得，于是棱臺的上底面面積為，下底面面積為，高為2，故該正四棱臺的體積為：.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知.（1）求并寫出的表達(dá)式；（2）證明：.（1）解：由有，取得到，解得.將代入可得.（2）證明：設(shè)，則，故當(dāng)時，當(dāng)時.所以在上遞減，在上遞增，故.從而.16.如圖，已知四棱錐中，平面，四邊形中，，，，，,點在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：因為平面，平面，所以，因為，所以，因為，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，所以平面平面．（2）解：取中點，連接，因為，，，，所以四邊形是矩形，所以，因為平面，所以，，所以、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，，設(shè)，則，，，，因為點在平面內(nèi)的投影恰好是△的重心，所以，所以，所以，，又，，令，因為，，所以是平面的法向量，的方向向量是，所以直線與平面所成角的正弦值為.故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知雙曲線，直線與雙曲線交于，兩點，直線與雙曲線交于，兩點.（1）若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且直線，的斜率，均存在，求；（2）設(shè)直線與直線的交點為，且，證明：直線與直線的斜率之和為0.（1）解：當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點時，，兩點關(guān)于原點對稱.設(shè)，，，于是，.因，，三點都在雙曲線，所以，兩式作差，，所以.（2）證明：已知，由題意可知均有斜率，可設(shè)直線，直線，，，，.，.聯(lián)立直線方程與雙曲線的方程：.整理得，，當(dāng)時，.，.于是同理可得，.因為，所以整理得，，而，所以.18.某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.附：若，取，.（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.①若控制系統(tǒng)原有個元件，計算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是否提高？②假設(shè)該系統(tǒng)配置有個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠性？請給出你的結(jié)論并證明.解：（1）技術(shù)改造前，易知，，則其優(yōu)品率為；技術(shù)改造后，，，則其優(yōu)品率為.所以優(yōu)品率之差為.（2）①記為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).由條件知，，.，.因為，所以可靠性提高.②方法一：根據(jù)上一問的假設(shè)，易知，.當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題