湖北省武漢市2024屆高中畢業(yè)班二月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含答案解析

武漢市2024屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷武漢市教育科學(xué)研究院命制2024.2.28本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.3.已知，，，則（）A. B. C. D.4.將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（）A7 B.8 C.9 D.105.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過拋物線上點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（）A. B. C. D.6.法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時(shí)，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第層薄膜時(shí)光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（）A.31 B.32 C.63 D.647.如圖，在函數(shù)的部分圖象中，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.的最大值為6 D.若，則10.將兩個(gè)各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（）A.該幾何體的表面積為B.該幾何體的體積為C.過該多面體任意三個(gè)頂點(diǎn)截面中存在兩個(gè)平面互相垂直D.直線平面11.已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其由小到大分別為，則（）A.實(shí)數(shù)的取值范圍是B.C.函數(shù)可能有四個(gè)零點(diǎn)D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，其內(nèi)角，，所對邊分別為，，，若，，，則的面積為__________．13.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)的直線與該橢圓交于，兩點(diǎn)，若線段的中垂線過點(diǎn)，則__________．14.“布朗運(yùn)動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉組成，某粒子作布朗運(yùn)動時(shí)每次會從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號倉到達(dá)容器外的概率為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.各項(xiàng)均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．（1）若為等差數(shù)列，求；（2）若，求的前項(xiàng)和．16.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．17.隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀荆鸩饺〈鷤鹘y(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計(jì)．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．18.已知雙曲線：左右焦點(diǎn)為，，其右準(zhǔn)線為，點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)的動直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：是其定義域上的增函數(shù)；（3）若，其中且，求實(shí)數(shù)的值．武漢市2024屆高中畢業(yè)生二月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷武漢市教育科學(xué)研究院命制2024.2.28本試題卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，對數(shù)函數(shù)的值域，集合的交集運(yùn)算得到結(jié)果即可.【詳解】集合，因?yàn)椋?，所以集合，所以，故選：B.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】首先待定結(jié)合復(fù)數(shù)相等求得，結(jié)合模長公式即可求解.【詳解】由題意不妨設(shè)，所以，所以，解得，所以.故選：C.3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由對數(shù)的換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】由換底公式得，，，所以.故選：D.4.將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】先將紅球從數(shù)量分成，兩種類型的分組，在分兩類研究以上不同形式下紅球放入三個(gè)不同的袋中的方法數(shù)，最后袋中不重上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)，將兩類情況的方法總數(shù)相加即可.【詳解】將個(gè)紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個(gè)最少個(gè)，則有，兩種組合形式，當(dāng)紅球分組形式為時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有放法，此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)即可.當(dāng)紅球分組形式為時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有種放法，此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)即可.綜上所述：將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，不同的裝法種數(shù)為種.故選：A.5.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過拋物線上點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，結(jié)合正切定義以及可得，進(jìn)一步即可求解.【詳解】如圖所示：為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋?，而，所以，所?故選：A6.法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應(yīng)用時(shí)，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設(shè)在經(jīng)過第層薄膜時(shí)光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（）A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】【分析】通過累乘法以及等差數(shù)列求和公式得，進(jìn)一步得，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，即，顯然關(guān)于單調(diào)遞增，其中，又，所以的最大值為63.故選：C.7.如圖，在函數(shù)部分圖象中，若，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意首先得，進(jìn)一步得由得，將它們代入函數(shù)表達(dá)式結(jié)合誘導(dǎo)公式二倍角公式即可求解.【詳解】由題意，則，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，又由圖可知，所以.故選：B.8.在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得的軌跡方程，進(jìn)一步作二面角的平面角為，結(jié)合軌跡的參數(shù)方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.【詳解】因?yàn)?，所以，點(diǎn)的軌跡方程為（橢球），又因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡方程為，（雙曲線的一支）過點(diǎn)作，而面，所以面，設(shè)為中點(diǎn)，則二面角為，所以不妨設(shè)，所以，所以，令，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是用定義法作出二面角的平面角，結(jié)合軌跡方程設(shè)參即可順利得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，則C.的最大值為6 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，有，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)，得，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)向量減法三角形法則有，分別求出，，有，反向時(shí)取得最大值，根據(jù)向量的幾何意義判斷C選項(xiàng)；根據(jù)，得，又，可計(jì)算，從而判斷D選項(xiàng).【詳解】若，則，解得，A正確；若，則，解得，所以，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，而，?dāng)且僅當(dāng)，反向時(shí)等號成立，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的終點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，向量終點(diǎn)在第二象限，當(dāng)，反向，則向量的終點(diǎn)應(yīng)在第四象限，此時(shí)，，所以C正確；若，則，即，所以，，所以，D正確.故選：ACD10.將兩個(gè)各棱長均為1的正三棱錐和的底面重合，得到如圖所示的六面體，則（）A.該幾何體的表面積為B.該幾何體的體積為C.過該多面體任意三個(gè)頂點(diǎn)的截面中存在兩個(gè)平面互相垂直D.直線平面【答案】AC【解析】【分析】對于A，首先求得其中一個(gè)正三角形的面積，進(jìn)一步即可驗(yàn)算；對于B，首先求得，進(jìn)一步即可驗(yàn)算；對于C，證明面面即可判斷；對于D，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，驗(yàn)算平面法向量與直線方向向量是否垂直即可.【詳解】對于A，，所以表面積為，故A對；對于B，如圖所示：設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，為的中點(diǎn)，則由對稱性可知為三角形的重心，所以，又因?yàn)?，所以正三棱錐的高為，所以題圖所示幾何體的體積為，故B錯(cuò)；對于C，由B選項(xiàng)可知面，由對稱性可知三點(diǎn)共線，所以面，而面，所以面面，故C正確；對于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：其中軸平行，因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，不妨取，解得，所以取，又，而，所以直線與平面不平行，故D錯(cuò).故選：AC.11.已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其由小到大分別為，則（）A.實(shí)數(shù)的取值范圍是B.C.函數(shù)可能有四個(gè)零點(diǎn)D.【答案】BCD【解析】【分析】對于B，，證明函數(shù)是奇函數(shù)即可；對于C，將方程等價(jià)變形為，由此即可判斷；對于D，由，而，進(jìn)一步求導(dǎo)運(yùn)算即可；對于A，通過構(gòu)造函數(shù)可得，由此即可判斷.【詳解】對于B，，設(shè)，則它的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，所以是奇函數(shù)，由題意有三個(gè)根，則，故B正確；對于C，由，所以，所以，即已經(jīng)有3個(gè)實(shí)根，當(dāng)時(shí)，令，則，只需保證可使得方程有4個(gè)實(shí)根，故C正確；由B可知，，而，又，所以，故D正確；對于A，，設(shè)，則，所以，從而，故A錯(cuò)誤.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷B選項(xiàng)的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步只需驗(yàn)證是奇函數(shù)即可順利得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，其內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為__________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面積公式求解.【詳解】解：在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故答案為：313.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，過點(diǎn)的直線與該橢圓交于，兩點(diǎn)，若線段的中垂線過點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】【分析】由橢圓方程確定，，的值，結(jié)合已知條件及橢圓定義求出，在中，求出，由誘導(dǎo)公式求出，設(shè)，則，在中由余弦定理構(gòu)造方程，解出值即可.【詳解】設(shè)線段的中垂線與相交于點(diǎn)，由橢圓方程可知，，，；由已知有：，點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓定義有：，所以，，在中，，，，點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓定義有：，設(shè)，則，，在中由余弦定理有：,解得，即.故答案為：14.“布朗運(yùn)動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉組成，某粒子作布朗運(yùn)動時(shí)每次會從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號倉到達(dá)容器外的概率為__________．【答案】【解析】【分析】定義從出發(fā)最終從1號口出的概率為，結(jié)合獨(dú)立乘法、互斥加法列出方程組即可求解.【詳解】設(shè)從出發(fā)最終從1號口出的概率為，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.各項(xiàng)均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．（1）若為等差數(shù)列，求；（2）若，求的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由遞推關(guān)系首先得，進(jìn)一步結(jié)合已知為等差數(shù)列，并在已知式子中令，即可得解.（2）由（1）得時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，故首先求得的值，進(jìn)一步分類討論即可求解.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，在式子：中令，得，所以，所以或，若，則，但這與矛盾，舍去，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，而?dāng)時(shí)，，所以此時(shí)，所以此時(shí)，而也滿足上式，綜上所述，的前項(xiàng)和.16.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，通過證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得到結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求線面角的公式即可得到結(jié)果.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接,由，易知為等腰直角三角形，此時(shí)，又，所以.因,所以，由，即，所以，此時(shí)，,有四點(diǎn)共面，,所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】由且,所以平面.由，得等邊三角形，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面的法向量由,即，取，，又，設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為.17.隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個(gè)行業(yè)，促進(jìn)了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因?yàn)閾碛懈偷娜斯こ杀?，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計(jì)．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，．【答案】17.0.9618.，219.4萬元【解析】【分析】（1）由題意根據(jù)參考公式線分別算得以及，進(jìn)一步代入相關(guān)系數(shù)公式即可求解；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)以及參數(shù)數(shù)據(jù)依次算得，由此即可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程并預(yù)測.【小問1詳解】，，所以.【小問2詳解】由題意，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，所以預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額為萬元.18.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，其右準(zhǔn)線為，點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)的動直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明過程見解析【解析】【分析】（1）由右焦點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離以及通徑長度，結(jié)合之間的平方關(guān)系