專題01菱形的性質(zhì)與判定（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)10種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)3種考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

【關(guān)注公眾號(hào)：林樾數(shù)學(xué)】免費(fèi)獲取更多初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料專題01菱形的性質(zhì)與判定（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)10種題型2個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)3種考法）【目錄】倍速學(xué)習(xí)五種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：菱形的定義知識(shí)點(diǎn)2：菱形的性質(zhì)（重難點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3：菱形的判定（重難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用菱形的性質(zhì)計(jì)算題型2：利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明題型3：求菱形的面積題型4：利用菱形的軸對(duì)稱性解決最小值問題題型5：證明四邊形為菱形題型6：菱形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型7：與菱形有關(guān)的探究性問題題型8：菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題題型9：一題多解-菱形證明題型10：菱形中的翻折與旋轉(zhuǎn)【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1菱形的面積公式應(yīng)用出錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)2不理解菱形的幾種判定方法而導(dǎo)致錯(cuò)誤【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：菱形的性質(zhì)考法2：菱形的判定考法3：菱形的判定、性質(zhì)的綜合【方法五】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1：菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．知識(shí)點(diǎn)2：菱形的性質(zhì)（重難點(diǎn)）菱形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．（3）菱形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.注意：菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分；(2)菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸(對(duì)角線所在的直線)，對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心；(3)菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半(即四個(gè)小直角三角形面積之和)．實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半．知識(shí)點(diǎn)3：菱形的判定（重難點(diǎn)）菱形的判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形菱形的判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.后兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形，例1.下列命題中，真命題是()A．一組對(duì)邊平行且有一組鄰邊相等的四邊形是平行四邊形B．等邊三角形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形C．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形【答案】C【解析】C答案中對(duì)角線互相平分則可判定四邊形為平行四邊形，而在此基礎(chǔ)上加上對(duì)角線互相垂直，四邊形變?yōu)榱庑危究偨Y(jié)】菱形的判定【方法二】實(shí)例探索法題型1：利用菱形的性質(zhì)計(jì)算例2（1）菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的比是，邊長(zhǎng)為10厘米，菱形的面積是_________；（2）菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的比是2:3，面積是12cm2，則它的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別是_____cm、_____cm，該菱形的周長(zhǎng)是_______cm．【答案】（1）96平方厘米；（2）4、6、．【解析】（1）∵菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的比是，∴菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的一半之比是．設(shè)兩條對(duì)角線長(zhǎng)的一半分別為，則由勾股定理可得：菱形的邊長(zhǎng)為所以，解得：∴菱形的面積為平方厘米；（2）∵菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的比是2:3，∴菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)的一半之比是2:3設(shè)兩條對(duì)角線長(zhǎng)的一半分別為，則由勾股定理可得：菱形的邊長(zhǎng)為∵菱形的面積是12cm2，所以，解得：∴菱形的邊長(zhǎng)為厘米，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)為4厘米或6厘米．【總結(jié)】考察菱形的對(duì)角線的性質(zhì)和面積的求法，注意對(duì)性質(zhì)的運(yùn)用．例3.（1）菱形有一個(gè)內(nèi)角為，一條較短的對(duì)角線長(zhǎng)為6，則菱形的邊長(zhǎng)為_________；（2）如圖，在菱形中，，，則．OO【答案】（1）6；（2）．【解析】（1）∵菱形有一個(gè)內(nèi)角為，∴菱形的兩條邊和較短的對(duì)角線構(gòu)成了一個(gè)等邊三角形，∴菱形的邊長(zhǎng)為6；（2）設(shè)對(duì)角線相交于點(diǎn)，則，，∵，∴．由勾股定理可得：，則【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．例4.如圖所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連接DF，求∠CDF的度數(shù)．AABCDEF【解析】聯(lián)結(jié)∵AB的垂直平分線交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，∴∵，，，∴∴，∴，∵∠BAD=80°，∴，∴，∴．【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)的應(yīng)用．題型2：利用菱形的性質(zhì)進(jìn)行證明例5．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．答案：證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴．∴,∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．題型3：求菱形的面積例6.如圖所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的長(zhǎng)．(2)菱形ABCD的面積．【答案與解析】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形．∴AC⊥BD，AO＝AC，OB＝BD．又∵AC＝8，BD＝10．∴AO＝×8＝4，OB＝×10＝5．在Rt△ABO中，∴，∴．(2)由菱形的性質(zhì)可知：．【總結(jié)升華】(1)由菱形的性質(zhì)及勾股定理求出AB的長(zhǎng)．(2)根據(jù)“菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半”來計(jì)算．題型4：利用菱形的軸對(duì)稱性解決最小值問題例7.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在BD上，則PE+PC的最小值為________【答案】．【解析】聯(lián)結(jié)與的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．∵∠ABC＝60°，∴△為等邊三角形∵E是BC的中點(diǎn)，∴∵∴【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱最短路程問題，注意對(duì)方法的歸納總結(jié)．題型5：證明四邊形為菱形例8.如圖，中，，，平分交于，交于．求證：四邊形是菱形．【解析】∵平分，，∴，∵，，∴，∴∵∴，∴∵，∴，∴∵∴，∴四邊形是菱形【總結(jié)】考察菱形的判定定理的綜合運(yùn)用．題型6：菱形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點(diǎn)O．

（1）證明：四邊形ADCE是菱形；

（2）證明：DE=BC；

（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】（1）證明：∵AE∥CD，CE∥AB，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，

∴CD=AD，

∴四邊形ADCE是菱形；

（2）證明：∵四邊形ADCE是菱形，

∴AC⊥DE．

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∴DE∥BC，∵CE∥AB，

∴四邊形BCED是平行四邊形，∴DE=BC；

（3）解：過點(diǎn)D作DE⊥CE，如圖所示，

∴DF是菱形ADCE的高，

∵∠B=60°，CD=BD，

∴△BCD是等邊三角形，

∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=60°，

∴DF=．題型7：與菱形有關(guān)的探究性問題例10.已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點(diǎn)F、G，連接BE．（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，①試說明：△AEB≌△ADC②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形，并說明理由．（2）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形，并說明理由．（3）在（2）的情況下，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形BCGE是菱形？并說明理ABABCDEFGABCDGE圖1圖2【解析】（1）①∵和都是等邊三角形∴，，∴，即∵，，，∴；②四邊形是平行四邊形．∵和都是等邊三角形，∴∵，∴∴，∴∵，∴四邊形是平行四邊形．四邊形是平行四邊形．方法同（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，四邊形是菱形．與（1）一樣可證：，則與（1）一樣可證：四邊形是平行四邊形∴當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，此時(shí)即當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，四邊形是菱形．【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考察特殊的平行四邊形的判定的綜合運(yùn)用．

題型8：菱形中的動(dòng)點(diǎn)問題例11.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD＝2，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且滿足AE+CF＝2．（1）判斷△BEF的形狀，并說明理由；（2）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍．【答案】（1）等邊三角形，證明見解析；（2）．【解析】（1）∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，∴都為等邊三角形．∴，．∵，又，∴．∵，，，∴，∴，∵，∴，即，∴是正三角形；設(shè)，則當(dāng)時(shí)，取最小值為時(shí)，；當(dāng)與重合時(shí)，取最大值為2，；∴．【總結(jié)】考察菱形的性質(zhì)的具體應(yīng)用，注意動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．題型9：一題多解-菱形證明例12.如圖：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求證：四邊形AEFG是菱形．解題思路：證法一、∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴四邊形AEFG是平行四邊形，∵AE=EF，∴平行四邊形AEFG是菱形．證法二、∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平方∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，，2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG∥EF，∴四邊形AGFE是平行四邊形，∵AE=EF，∴平行四邊形AGFE是菱形．題型10：菱形中的翻折與旋轉(zhuǎn)例13．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊交于點(diǎn)E、F．當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，長(zhǎng)的最大值為__________．【答案】/【分析】連接交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)K，交于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)R，連接．根據(jù)垂線段最短，求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：連接交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)K，交于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)R，連接，如圖：∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，，在中，∴，∵折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)M處，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值為，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形中的翻折問題，涉及矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線解決問題．例14．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是菱形邊上的高，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到的位置，若五邊形面積為，則的長(zhǎng)度為（

）A．5 B． C．10 D．【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)得，，從而得出菱形的面積五邊形面積，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，和直角三角形的性質(zhì)，求得，再證是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)菱形的面積求出，根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接，由旋轉(zhuǎn)可得，，∴菱形的面積五邊形面積，∵菱形，是菱形邊上的高，∴，∴，，∴，∴，∵菱形，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)掌握是銀題的關(guān)鍵．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1菱形的面積公式應(yīng)用出錯(cuò)例15.一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為5，一條對(duì)角線長(zhǎng)是6，則該菱形的面積為（）A．8 B．12 C．16 D．24【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)利用勾股定理求得另一條對(duì)角線，再根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半求得菱形的面積．【解答】解：如圖，當(dāng)BD＝6時(shí)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，∵AB＝5，∴AO＝＝＝4，∴AC＝8，∴菱形的面積是：6×8÷2＝24，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理，關(guān)鍵是掌握菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半．易錯(cuò)點(diǎn)2不理解菱形的幾種判定方法而導(dǎo)致錯(cuò)誤例16.下列命題中，真命題是()A．一組對(duì)邊平行且有一組鄰邊相等的四邊形是平行四邊形B．等邊三角形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形C．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形【答案】C【解析】C答案中對(duì)角線互相平分則可判定四邊形為平行四邊形，而在此基礎(chǔ)上加上對(duì)角線互相垂直，四邊形變?yōu)榱庑危究偨Y(jié)】菱形的判定【方法四】仿真實(shí)戰(zhàn)法考法1：菱形的性質(zhì)1．（2022?溫州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點(diǎn)M，N在對(duì)角線AC上．若AE＝3BE，則MN的長(zhǎng)為．【分析】方法一：根據(jù)菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，可以求得AC、AM和MN的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出MN的長(zhǎng)．方法二：根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可以得到EF和MN的關(guān)系，然后解直角三角形可以求得OA的長(zhǎng)，從而可以得到MN的長(zhǎng)．【解答】解：方法一：連接DB交AC于點(diǎn)O，作MI⊥AB于點(diǎn)I，作FJ⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，如圖1所示，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，∵△ABD是等邊三角形，∴OD＝，∴AO＝＝＝，∴AC＝2AO＝，∵AE＝3BE，∴AE＝，BE＝，∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，∴BE＝BF＝，∠FBJ＝60°，∴FJ＝BF?sin60°＝×＝，∴MI＝FJ＝，∴AM＝＝＝，同理可得，CN＝，∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝﹣＝，故答案為：．方法二：連接DB交AC于點(diǎn)O，連接EF，由題意可得，四邊形AMFE是平行四邊形，四邊形EFCN是平行四邊形，∴EF＝AM＝CN，∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴，∵AE＝3BE，AB＝1，∴AB＝4BE，∴＝，∴AM＝CN＝AC，∴MN＝AC＝OA，∵∠BAD＝60°．AB＝AD＝1，AO垂直平分BD，∴OD＝，∴OA＝＝＝，∴MN＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，求出AC、AM和MN的長(zhǎng)．考法2：菱形的判定2．（2022?嘉興）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．【分析】根據(jù)“對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形”進(jìn)行分析推理．【解答】解：贊成小潔的說法，補(bǔ)充條件：OA＝OC，證明如下：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的判定，掌握平行四邊形的判定：（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（4）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形以及菱形的判定方法：（1）四條邊相等的四邊形是菱形；（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，是解題關(guān)鍵．考法3：菱形的判定、性質(zhì)的綜合3．（2021?紹興）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)從“中國結(jié)”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形縱向排列放置，可得到更多的菱形．如圖2，用2個(gè)相同的菱形放置，得到3個(gè)菱形．下面說法正確的是（）A．用3個(gè)相同的菱形放置，最多能得到6個(gè)菱形 B．用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形 C．用5個(gè)相同的菱形放置，最多能得到27個(gè)菱形 D．用6個(gè)相同的菱形放置，最多能得到41個(gè)菱形【分析】根據(jù)題意畫出圖形，從圖形中找到出現(xiàn)的菱形的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：如圖所示，用2個(gè)相同的菱形放置，最多能得到3個(gè)菱形；用3個(gè)相同的菱形放置，最多能得到8個(gè)菱形，用4個(gè)相同的菱形放置，最多能得到16個(gè)菱形，用5個(gè)相同的菱形放置，最多能得到29個(gè)菱形，用6個(gè)相同的菱形放置，最多能得到47個(gè)菱形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查菱形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形并熟練掌握菱形的判定．【方法五】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，某學(xué)校門口的伸縮門在伸縮的過程中，四邊形始終是菱形，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C．AB=AD D．AB=CD【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)：對(duì)角相等，鄰邊相等，對(duì)邊相等，可知A、C、D正確，B中只要當(dāng)四邊形是正方形時(shí)才能成立．【詳解】解：A、菱形對(duì)角相等，正確，不符合題意；B、菱形的鄰角互補(bǔ)，只有當(dāng)四邊形為正方形時(shí)這兩角才相等，錯(cuò)誤．符合題意；C、菱形的鄰邊相等，正確，不符合題意；D、菱形的對(duì)邊相等．正確，不符合題意．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)計(jì)算判斷即可．【詳解】∵菱形，∴，∴，∵，∴,故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，且菱形邊長(zhǎng)為2，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的性質(zhì)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可知，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：由菱形的性質(zhì)可知，，，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)性質(zhì)的熟練掌握．4．（2023春·河南南陽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在菱形中，對(duì)角線，菱形的面積為24，則菱形的周長(zhǎng)為（

）A．5 B．10 C．20 D．30【答案】C【分析】連接交于，根據(jù)菱形的面積公式可求得，從而可求出、，進(jìn)而可求出，即可求解．【詳解】解：連接交于，四邊形是菱形，，，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，掌握性質(zhì)、定理、公式進(jìn)行正確的求解是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是菱形邊上的高，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到的位置，若五邊形面積為，則的長(zhǎng)度為（

）A．5 B． C．10 D．【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)得，，從而得出菱形的面積五邊形面積，再根據(jù)菱形的性質(zhì)，和直角三角形的性質(zhì)，求得，再證是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)菱形的面積求出，根據(jù)求解即可．【詳解】解：連接，由旋轉(zhuǎn)可得，，∴菱形的面積五邊形面積，∵菱形，是菱形邊上的高，∴，∴，，∴，∴，∵菱形，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)掌握是銀題的關(guān)鍵．6．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，邊長(zhǎng)為4的菱形中，對(duì)角線與交于點(diǎn)O，P為中點(diǎn)，Q為中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)P作，垂足為M，根據(jù)得到為等邊三角形，從而得到，計(jì)算出，再計(jì)算出，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算出．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)P作，垂足為M，∵四邊形是菱形，，∴為等邊三角形．∴，，，，∴，，，∴，∵P為中點(diǎn)∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查菱形、等邊三角形和含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)．7．（2023·天津河西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形中的頂點(diǎn)O，A的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】菱形中的頂點(diǎn)O，A的坐標(biāo)分別為，，勾股定理求得，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，得軸可求解．【詳解】解：菱形中的頂點(diǎn)O，A的坐標(biāo)分別為，，，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，軸，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理及坐標(biāo)與圖形；解題的關(guān)鍵是求出菱形的邊長(zhǎng)．二、填空題8．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊交于點(diǎn)E、F．當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，長(zhǎng)的最大值為__________．【答案】/【分析】連接交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)K，交于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)R，連接．根據(jù)垂線段最短，求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：連接交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作于點(diǎn)K，交于點(diǎn)T，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)R，連接，如圖：∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，，在中，∴，∵折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)M處，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值為，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形中的翻折問題，涉及矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線解決問題．9．（2023·山西晉中·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，則菱形的面積為_____．【答案】42【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線之積的一半可得答案．【詳解】解：在菱形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，，菱形的面積為．故答案為：42．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形面積的求法．10．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知，則的最小值是_________________【答案】【分析】點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，連接，交于點(diǎn)P，再得出即為最小值，解答即可．【詳解】解：連接，如圖，∵四邊形是菱形，∴垂直平分，∴點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，連接交于點(diǎn)P，連接，∴，∴即為的最小值，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)，∴故答案為【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)得出距離．11．（2023·山東德州·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，，，分別是邊和對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為______．【答案】【分析】在的下方作，截取，使得，連接，．證明，推出，，根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，的下方作，截取，使得，連接，．四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．12．（2023春·廣東茂名·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）以菱形的對(duì)角線交點(diǎn)O為原點(diǎn)，對(duì)角線、所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)F的坐標(biāo)為__．【答案】【分析】過E作于G，過F作于H，根據(jù)已知條件得到，，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，于是得到，，即可得到結(jié)論．【詳解】解：過E作于G，過F作于H，∵的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴，，∵四邊形是菱形，∴，，∴，，∴的中點(diǎn)F的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇常州·校考二模）如圖，在菱形中，，．點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，且不與點(diǎn)C，D重合，連接，過點(diǎn)A作，且，連接，則四邊形的面積為______．【答案】【分析】連接，由菱形的性質(zhì)可知是等邊三角形，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，可得，繼而得出，根據(jù)勾股定理求出長(zhǎng)度，再證明四邊形是平行四邊形，依據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】如圖，連接，∵四邊形是菱形中，，∴，，∴是等邊三角形，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則，∵，，∴，∵，∴，∴∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積公式等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)特征描述：①對(duì)角線互相垂直；②對(duì)角線互相平分；③一組鄰邊相等．選擇其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論．若該命題是假命題，則選擇的條件是____________．（填序號(hào)）【答案】①③【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)逐一判定即可．【詳解】①②為條件，③為結(jié)論時(shí)為真命題：對(duì)角線互相垂直且對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形，菱形的鄰邊相等；②③為條件，①為結(jié)論時(shí)為真命題：對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，菱形的對(duì)角線互相垂直；①③為條件，②為結(jié)論時(shí)為假命題：由對(duì)角線互相垂直及一組鄰邊相等不能推出對(duì)角線互相平分；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2023·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，垂足為，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，垂足為，(1)若，求證：四邊形是菱形；(2)若，的面積為24，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明出,即可得到結(jié)論．（2）由三角形的面積求出,設(shè),則,在中利用勾股定理得出方程,求出,再求出,即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，，∴，又∵，，∴，∵點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：，的面積為24，∴，∴，如圖，連接，則，，∵點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴、、在同一直線上，∵，，∴菱形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)?直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，、分別為、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，且，點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：四邊形為菱形．(2)若，菱形的面積為24，求的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明是平行四邊形，再利用三角形的中位線證明對(duì)角線互相垂直，得出是菱形；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出，再利用勾股定理求解．【詳解】（1）解：證明：是的中點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，、分別為、的中點(diǎn)，，，，，四邊形為菱形；（2）四邊形為菱形，、關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為的長(zhǎng)，過作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵菱形的面積為24，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，中位線定理，最短路徑問題，找到最小時(shí)的情形是解題的關(guān)鍵．17．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖：在菱形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使＝，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到且，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，則根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵在菱形中，∴，，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：設(shè)，則，在中，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18．（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，且，．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)9【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再利用矩形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）根據(jù)四邊形的面積求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴，∴四邊形是菱形；（2）四邊形的面積．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．19．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）圖1，圖2都是由邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，分別按要求畫出圖形．(1)在圖1中畫出等腰直角三角形，點(diǎn)C在格點(diǎn)上．(2)在圖2中畫出以為邊的菱形，點(diǎn)D，E在格點(diǎn)上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)及勾股定理作圖；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)的及菱形的判定作圖．【詳解】（1）如圖：即為所求；（2）如圖：菱形即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握勾股定理、等腰三角形和菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023·四川資陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，O為的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)2.8【分析】（1）根據(jù)證明可得，可證明四邊形是平行四邊形，再結(jié)合即可證明四邊形是菱形；（2）過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，運(yùn)用勾股定理得出，設(shè)，則，列出方程求解即可．【詳解】（1）∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵O為的中點(diǎn)，∴在與中，，∴，∴又，∴四邊形為平行四邊形又，∴四邊形為菱形．（2）過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．∵，∴，又∵，∴，設(shè)，則，∵四邊形為菱形，∴在中，，∴∴，即的長(zhǎng)為2.8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及菱形的判定及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．21．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）【操作發(fā)現(xiàn)】在實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們對(duì)菱形和軸對(duì)稱進(jìn)行了研究．如圖，在菱形中，為銳角，為中點(diǎn)，連接，點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)分別為點(diǎn)，，連接，．請(qǐng)補(bǔ)全圖形解答下列問題：(1)直線與有怎樣的位置關(guān)系，請(qǐng)說明理由；(2)延長(zhǎng)交于點(diǎn)．線段與相等嗎？若相等，給出證明；若不相等，請(qǐng)說明理由；【拓展應(yīng)用】(3)在（2）的條件下，連接，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由．【答案】(1)直線與平行，理由見解析(2)線段與相等，證明見解析(3)，理由見解析【分析】（1）連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，，得出，根據(jù)等邊對(duì)等角得出，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，則（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，則，根據(jù)軸對(duì)稱得出，則，根據(jù)（1）的結(jié)論得出，可得，根據(jù)等角對(duì)等邊即可求解；（3）根據(jù)，，得出，根據(jù)（1）的結(jié)論得出，即可求解．【詳解】（1）直線與平行．理由：連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，．，．，，．∴．（2）線段與相等．.證明：∵，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴．∴．（3）．∵，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)、分別在第二、三象限，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】頂點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得，根據(jù)，得，根據(jù)直角三角形中，所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理，求出，，即可．【詳解】∵四邊形是菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∵點(diǎn)在第二象限，∴的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．23．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是平行四邊形，延長(zhǎng)，，使得，連接，．(1)求證：；(2)連接，已知，，當(dāng)___________時(shí)，四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)即可求解；（