2024年八年級數(shù)學寒假提升學與練（人教版）第02講 二次根式的乘除（解析版）

第02講二次根式的乘除1.二次根式的乘法法則?=(a≥0，b≥0)即：二次根式相乘，根號不變，被開方數(shù)相乘.語言描述：算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根.二次根式乘法法則同樣適合三個及三個以上的二次根式相乘.2.二次根式的積的算術平方根：把二次根式乘法法則（a≥0，b≥0）反過來可得（a≥0，b≥0）語言描述：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積.我們可以運用它來進行二次根式的解題和化簡.3.二次根式的除法法則是(a≥0，b＞0)二次根式相除，根號不變，被開方數(shù)相除.語言描述：算術平方根的商等于被開方數(shù)商的算術平方根.4.二次根式的商的算術平方根的性質(zhì):語言描述：商的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的商.我們可以運用它來進行二次根式的化簡和分母有理化.1積的算術平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）2.二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）3商的算術平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）4.二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）規(guī)律方法：在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術平方根和二次根式的除法運算也是如此．考點剖析考點1二次根式的乘法例1．計算(1)(2)【解析】（1）解：原式===（2）解：原式===【變式1】計算：(1)．(2)．(3)．（4）【解析】（1）解：．（2）解：．（3）解：．（4）．考點2二次根式的除法例2．計算：（1）（2）（3）（4）【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【變式2】計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．考點3化簡二次根式例3計算：（1）；

（2）；

（3）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【變式3】化簡：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．考點4二次根式的乘除混合運算【例4】計算：(1)(2)(3)(4)【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：【變式4】計算：(1)(2)(3)(4)．【解析】（1）；（2）（3）；（4）．考點5二次根式的乘除法公式成立的條件【例5】=成立的條件是()A．x≥0 B．x<1 C．0≤x<1 D．x≥0且x≠1【答案】C【解析】試題解析：由得,所以故選C.【變式5】式子成立的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，解得：，故選A．考點6二次根式的乘除法的變換規(guī)律性問題【例6】探究過程：觀察下列各式及其驗證過程.（1）；（2）驗證：（1）；（2）.(1)按照上面兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想：=___________；=___________；(2)通過上述探究你能猜測出：=___________（n>0），并驗證你的結論．【解析】（1）解：按照上面兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想，，驗證如下：，；故答案為：，（2）通過上述探究你能猜測出，驗證如下：.故答案為：；【變式6】觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)第6個等式：______；(2)計算：；(3)寫出你猜想的第n個等式，并證明其正確性（用含n的式子表示）；(4)若符合上述規(guī)律，請直接寫出代數(shù)式的值．【解析】（1）解：由題干中所給等式可得第6個等式為：，故答案為：；（2）解：原式；（3）解：第n個等式為：，證明如下：；（4）解：，即，符合所得規(guī)律，，解得：或，，那么或，即的值為2或30．過關檢測一、單選題1．下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以A不符合題意；因為，所以B不符合題意；因為，所以C不符合題意；因為是最簡二次根式，所以D符合題意．故選D．2．下列各式的計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】、，此選項計算錯誤，不符合題意；、，此選項計算錯誤，不符合題意；、，此選項計算錯誤，不符合題意；、，此選項計算正確，符合題意；故選．3．一個長方形，面積為，一邊長為，那么這條邊的鄰邊長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，故選．4．已知，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．∵，∴，即．故選D．5．已知，，則用表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得：，故選D．6．觀察數(shù)據(jù)并尋找規(guī)律：，，，，……，則第2021個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】觀察這列數(shù)：，，，，，……，根據(jù)規(guī)律可知，第n個數(shù)為，∴第2021個數(shù)是，故選A．二、填空題7．計算：．【答案】【解析】．8．若，，則．【答案】2【解析】∵，，∴．故答案為：2．9．寫出一個二次根式，使它與的積是有理數(shù)．這個二次根式是．【答案】(答案不唯一)【解析】，∴這個二次根式可以是，故答案為：(答案為不唯一)．10．能使等式成立的x的取值范圍是．【答案】【解析】∵成立，∴，∴．故答案為：．三、計算題11．化簡：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．12．計算：(1)(2)【解析】（1）解：原式（2）原式13．化簡：(1)(2)

（）【解析】（1）原式=（2）∵∴，原式=14．已知和是相等的最簡二次根式．求，的值；求的值．【解析】∵和是相等的最簡二次根式，∴．解得，，∴的值是，的值是；（2）．15．觀察以下等式：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．第4個等式：．按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：___