第03講二項式定理（教師版）

第03講二項式定理（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2022年新I卷，第13題,5分兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題無2020年全國甲卷（理），第8題,5分求指定項的二項式系數(shù)無2020年全國丙卷（理），第14題,5分求指定項的系數(shù)無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關(guān)基本量的求解2.能分清二項式系數(shù)與系數(shù)的定義，并會相關(guān)求解3.能清晰計算二項式系數(shù)和與系數(shù)和及其大（?。╉椨嬎?.會三項式、乘積式的相關(guān)計算【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關(guān)最大（?。╉椨嬎?，需重點強化復習知識講解1．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項．(2)h(r)是非負整數(shù)?Tr＋1是整式項．(3)h(r)是負整數(shù)?Tr＋1是分式項．(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項．注1．二項式的通項易誤認為是第k項，實質(zhì)上是第k＋1項．注2．易混淆二項式中的“項”“項的系數(shù)”“項的二項式系數(shù)”等概念，注意項的系數(shù)是指非字母因數(shù)所有部分，包含符號，二項式系數(shù)僅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即增減性當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸增大；當k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)逐漸減小最大值當n是偶數(shù)時，中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數(shù)最大，最大值為；當n是奇數(shù)時，中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1項和第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，最大值為或二項式系數(shù)和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.考點一、求二項展開式的第k項1．（2023·河南·?？寄M預測）的展開式中第3項是.【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】的展開式的第項為.故答案為：2．（2023·全國·高三專題練習）在的展開式中，第四項為（

）A．160 B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)二項展開式的通項求第四項即可.【詳解】在的展開式中，第四項為.故選：D.1．（2023·北京·校考模擬預測）在的二項展開式中，第四項為．【答案】【分析】利用二項式定理可求得展開式第四項.【詳解】在的二項展開式中，第四項為.故答案為：.2．（2023·全國·高三專題練習）二項式的展開式的常數(shù)項為第_____項A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【詳解】試題分析：由二項式定理可知,展開式的常數(shù)項是使的項,解得為第19項,答案選C.考點：二項式定理考點二、由二項展開式的第k項求參數(shù)值1．（2023·全國·高三專題練習）已知的展開式中第3項是常數(shù)項，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】求出，解方程即得解.【詳解】解：的展開式的通項，當時，則，解得．故選：A2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知的展開式的常數(shù)項是第7項，則.【答案】8【解析】通過計算通項，令次數(shù)為0即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，可知第7項為，而常數(shù)項是第7項，則，故.故答案為：8.【點睛】本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.1．（2023·全國·高三專題練習）若在的展開式中，第4項是常數(shù)項，則．【答案】12【分析】寫出二項展開式的通項公式，再根據(jù)題意可得到，即可求得答案【詳解】設(shè)展開式中第項為，則，又展開式中第4項是常數(shù)項，∴時，，∴故答案為：122．（2022·貴州校聯(lián)考模擬預測）已知展開式中第5項為常數(shù)項，則n＝.【答案】5【分析】由二項式寫出展開式通項，根據(jù)第5項為常數(shù)項求n即可.【詳解】由題設(shè)，，由第5項為常數(shù)項，即時，，可得.故答案為：5考點三、求指定項的二項式系數(shù)1．（山東·統(tǒng)考高考真題）在的二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可通過二項式系數(shù)的定義得出結(jié)果.【詳解】第項的二項式系數(shù)為，故選：A.2．（2023·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學校考模擬預測）在二項式的展開式中，項的二項式系數(shù)為．【答案】20【分析】寫出展開式通項公式，由指數(shù)為3求出項數(shù)，再得系數(shù).【詳解】因為，，1，2，…，6.令，得，所以項的二項式系數(shù)為.故答案為：203．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎恼归_式中，第三項和第四項的二項式系數(shù)相等，則.【答案】5【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的概念以及組合數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果.【詳解】依題意可得，得，即.故答案為：.4．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）（多選）已知的展開式中第3項與第8項的二項式系數(shù)相等，則（

）A． B．C．常數(shù)項是672 D．展開式中所有項的系數(shù)和是1【答案】AD【分析】求得的值判斷選項AB；求得常數(shù)項的值判斷選項C；求得展開式中所有項的系數(shù)和判斷選項D.【詳解】由，可得，則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；的展開式的通項公式為令，則，則展開式的常數(shù)項是.選項C判斷錯誤；展開式中所有項的系數(shù)和是.判斷正確.故選：AD1．（2022·北京通州·潞河中學?？既＃┰诙検降恼归_式中，含項的二項式系數(shù)為（

）A．5 B． C．10 D．【答案】A【分析】由二項式定理可得展開式通項為，即可求含項的二項式系數(shù).【詳解】解：由題設(shè)，，∴當時，.∴含項的二項式系數(shù).故選：A.2．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）的展開式中含項的二項式系數(shù)為.【答案】【分析】寫出二項式展開式的通項公式，確定第五項中k的值，再求二項式系數(shù)．【詳解】由題意知：通項為，令，得，所以的展開式中含項為第六項，第六項的二項式系數(shù)為：．故答案為：．3．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考模擬預測）二項式的展開式中，含項的二項式系數(shù)為（

）A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【分析】易知展開式中，含項的二項式系數(shù)為，再利用組合數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：因為二項式為，所以其展開式中，含項的二項式系數(shù)為：，，，，，.故選：B考點四、二項式系數(shù)和1．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃┮阎檎麛?shù)）的展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為64，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，由二項式系數(shù)之和的公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，則.故答案為：2．（2022·四川德陽·統(tǒng)考一模）已知二項式的展開式中最后三項的二項式系數(shù)和為79,則n=.【答案】12【分析】根據(jù)后三項二項式系數(shù)和為79,建立等式,解出即可.【詳解】解:由題知二項式的展開式中最后三項的二項式系數(shù)和為79,所以,即,化簡可得:,解得:(舍)或.故答案為:121．（2023·河北張家口·統(tǒng)考二模）已知的展開式的各二項式系數(shù)的和為64，則常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用二項式系數(shù)的性質(zhì)及二項式定理展開式的通項公式即可求解.【詳解】由題意可得，解得，.設(shè)展開式中的第項為，令，解得.所以該展開式的常數(shù)項為.故答案為：.2．（2023·北京朝陽·二模）已知的展開式中所有項的二項式系數(shù)的和為64，則，展開式中的系數(shù)為.【答案】【分析】由二項式系數(shù)和求n，再應用二項式定理寫出含的項，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，則，故原二項式為，所以其展開式通項為，當，則，故所求系數(shù)為.故答案為：，考點五、二項式系數(shù)的增減性和最值1．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校校考模擬預測）在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為（

）A．20 B．160 C．180 D．240【答案】B【分析】寫出展開式的通項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，可知時，二項式系數(shù)最大，代入即可得出答案.【詳解】展開式的通項為，，二項式系數(shù)為，，當時，二項式系數(shù)最大，則該項的系數(shù)為.故選：B.2．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知中間一項第4項二項式系數(shù)最大即可得解【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：C3．（2023·陜西西安·校聯(lián)考一模）設(shè)m為正整數(shù)，展開式中二項式系數(shù)的最大值為a，展開式中二項式系數(shù)的最大值為b，若，則展開式中的常數(shù)項為．【答案】15【分析】根據(jù)條件求出，然后可得答案.【詳解】由題可知，．因為，所以，即，解得，故展開式中的常數(shù)項為．故答案為：1．（2023·山東·山東省實驗中學?？级＃┱归_式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為．【答案】【分析】利用二項式系數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二項式定理可求得展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù).【詳解】由二項式系數(shù)的基本性質(zhì)可知展開式中二項式系數(shù)最大的項為.因此，展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為.故答案為：.2．（2023·安徽安慶·安慶一中?？寄M預測）的展開式中二項式系數(shù)最大的項是.【答案】/【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可知最大，由二項式展開式的通項特征即可求解.【詳解】的二項展開式有7項，其二項式系數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)可知最大，故由二項式定理得二項式系數(shù)最大的一項是.故答案為：3．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預測）已知的展開式中，僅有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中第5項是.【答案】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求n，然后由通項公式可得.【詳解】由題可得，，解得，所以.故答案為：考點六、求指定項的系數(shù)1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為（

）．A． B． C．40 D．80【答案】D【分析】寫出的展開式的通項即可【詳解】的展開式的通項為令得所以的展開式中的系數(shù)為故選：D【點睛】本題考查的是二項式展開式通項的運用，較簡單.2．（北京·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．10【答案】C【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結(jié)合通項公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）的展開式中的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）【答案】35【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式運算求解.【詳解】因為展開式的通項公式為，令，解得，可得，所以的系數(shù)是35.故答案為：35.4．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預測）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的項的系數(shù)為（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560【答案】B【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，再根據(jù)二項式展開的通項即可求得指定項的系數(shù).【詳解】因為的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以．則又因為的展開式的通項公式為，令，所以展開式中的項的系數(shù)為．故選：B.1．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】160【分析】求出二項式的展開式通項，令的指數(shù)為6即可求出.【詳解】的展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.2．（天津·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，的系數(shù)是．【答案】10【分析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．【詳解】因為的展開式的通項公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【點睛】本題主要考查二項展開式的通項公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，項的系數(shù)為．【答案】【分析】由二項式展開式的通項公式寫出其通項公式，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：60.4．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學校考三模）的展開式中項的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出二項式展開式的通項，再求出指定項的系數(shù)作答.【詳解】因為的展開式的通項為，所以項的系數(shù)為．故答案為：考點七、由項的系數(shù)確定參數(shù)1．（2023·江蘇連云港·?？寄M預測）已知的展開式中的系數(shù)是，則.【答案】【分析】結(jié)合二項展開式通項，根據(jù)的系數(shù)可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】因為展開式通項為，令，則展開式中的系數(shù)為，即，解得：或，又，.故答案為：.2．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測）已知的展開式中一次項系數(shù)為，則.【答案】【分析】首先利用通項公式，，求得帶入通項公式即可得解.【詳解】因為，，1，2，…，7，令，解得，所以一次項系數(shù)為，所以.故答案為：3．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）已知展開式中的第三項的系數(shù)為45，則（

）A． B．展開式中所有系數(shù)和為C．二項式系數(shù)最大的項為中間項 D．含的項是第7項【答案】BCD【分析】由二項式定理相關(guān)知識逐項判斷即可.【詳解】展開式的第三項為：，所以第三項的系數(shù)為：，所以，故A錯誤；所以，所以令得展開式中所有系數(shù)和為，故B正確；展開式總共有11項，則二項式系數(shù)最大的項為中間項，故C正確；通項公式為，令，解得，所以含的項是第7項.故D正確；故選：BCD.1．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預測）已知的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)．【答案】【分析】寫出展開式通項，進而確定特定項系數(shù).【詳解】二項式展開式的通項為，所以的展開式通項為或，所以令，解得，所以展開式中的系數(shù)為，解得，故答案為：.2．（2023·遼寧大連·大連八中?？既＃┤舻亩椪归_式中的系數(shù)是，則實數(shù)的值是．【答案】2【分析】利用二項式展開式通項，結(jié)合對應項的值列方程求參數(shù)即可.【詳解】題設(shè)二項式展開式通項為，，所以，即，故，則.故答案為：23．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二項展開的通項公式，根據(jù)指定項求出，再根據(jù)系數(shù)求出參數(shù).【詳解】解：根據(jù)二項展開的通項公式，則，整理得，因為展開式中含的項的系數(shù)為，所以，解得，所以系數(shù)，解得.故選：.考點八、有理項（含常數(shù)項）、無理項及其系數(shù)1．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）在的展開式中，常數(shù)項為．【答案】【分析】利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.【詳解】的展開式的通項令，解得，故常數(shù)項為．故答案為：.2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的常數(shù)項為.【答案】【分析】由題意結(jié)合二項式定理可得的展開式的通項為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開式的通項為，令即，則，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.1．（2023·湖北·模擬預測）展開式中無理項的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先根據(jù)題意得出展開式中的通項為，則要求展開式中無理項的個數(shù)，需求出不是整數(shù)的個數(shù)即可．【詳解】由，則其通項為，其中，，若不是整數(shù)時，即得到展開式中的無理項，當，時，的值為；當，時，的值為；當，或時，的值為或；當，或時，的值為或；當，或或時，的值為或或；當，或或時，的值為或或，綜上，展開式中無理項的個數(shù)為8．故選：C．2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學?？寄M預測）在二項式的展開式中，二項式的系數(shù)和為256，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和求得n，利用二項式展開式的通項公式確定有理項的項數(shù)，根據(jù)插空法排列有理項，再根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】在二項式展開式中，二項式系數(shù)的和為，所以.則即，通項公式為，故展開式共有9項，當時，展開式為有理項，把展開式中所有的項重新排成一列，有理項都互不相鄰，即把其它的6個無理項先任意排，再把這三個有理項插入其中的7個空中，方法共有種,故有理項都互不相鄰的概率為,故選：C1．（全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中常數(shù)項是（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】寫出二項式展開通項，即可求得常數(shù)項.【詳解】其二項式展開通項：當，解得的展開式中常數(shù)項是：.故答案為：.【點睛】本題考查二項式定理，利用通項公式求二項展開式中的指定項，解題關(guān)鍵是掌握的展開通項公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2023·山東煙臺·校聯(lián)考三模）已知的展開式中共有項，則有理項共項．（用數(shù)字表示）【答案】【分析】先求n，然后化簡通項，由指數(shù)為整數(shù)可得.【詳解】因為的展開式中共有項，所以，則通項，當時，，相應項為有理項，故有理項共有4項.故答案為：43．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學?？寄M預測）已知的展開式中，僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中有理項的個數(shù)為．【答案】2【分析】先算出，再寫出通項公式，確定的次數(shù)為整數(shù)即可【詳解】的展開式有項,因為僅有第5項的二項式系數(shù)最大,所以當時,,當時,,符合題意所以展開式中有理項的個數(shù)為2故答案為：24．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，現(xiàn)從展開式中任取2項，則取到的項都是有理項的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到展開式的總項數(shù)為7項，，然后利用展開式的通項公式得到有理項項數(shù)，再利用古典概型的概率求解.【詳解】解：因為二項式的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，所以展開式的總項數(shù)為7項，故，展開式的通項，當是偶數(shù)時該項為有理項，有4項，所以所有項中任取2項，都是有理項的概率為．故選：A．考點九、二項展開式各項系數(shù)和1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知多項式，則，．【答案】【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含的項為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知多項式，則，.【答案】;.【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結(jié)論.【詳解】，，所以，，所以.故答案為：.3．（浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則；．【答案】【分析】利用二項式展開式的通項公式計算即可.【詳解】的通項為，令，則，故；.故答案為：；.【點晴】本題主要考查利用二項式定理求指定項的系數(shù)問題，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道基礎(chǔ)題.4．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預測）若，，則.【答案】【分析】根據(jù)賦值法，分別令，求解可得.【詳解】令可得：，再令可得：，所以.故答案為：5．（2023·山東日照·三模）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】令即可判斷A；令再由選項A即可判斷C；由通項公式即可判斷B；令，再由選項C即可判斷選項D.【詳解】由，令得，故A正確；由的展開式的通項公式，得，故B錯誤；令，得①，再由，得，故錯誤；令，得②，①②再除以2得，故D正確.故選：AD考點十、由二項展開式各項系數(shù)和求參數(shù)1．（2023·河南洛陽·洛陽市第三中學校聯(lián)考一模）在的展開式中，各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)的和之比為64，則．【答案】或【分析】利用賦值法確定各項系數(shù)的和，由二項式的性質(zhì)得各二項式系數(shù)的和，利用比值為，列出關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】因為的展開式中各項系數(shù)的和為，各二項式系數(shù)的和為，所以由題意得，所以，或，解得，或．故答案為：或．2．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預測）若的展開式中各項系數(shù)之和為1024，則第四項與第五項的系數(shù)之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先令，根據(jù)各項系數(shù)之和解得，再求對應項系數(shù)計算比值即可.【詳解】令，得，解得，所以的通項公式為，所以第四項與第五項的系數(shù)之比．故選：D3．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）（多選）在的展開式中，各項系數(shù)的和為1，則（

）A． B．展開式中的常數(shù)項為C．展開式中的系數(shù)為160 D．展開式中無理項的系數(shù)之和為【答案】BC【分析】先根據(jù)各項系數(shù)和結(jié)賦值法得判斷A，然后結(jié)合二項式展開式的通項公式求解常數(shù)項、含的系數(shù)及無理項系數(shù)之和判斷BCD.【詳解】根據(jù)題意令，得的展開式中各項系數(shù)和為，則，A錯誤；則，又的展開式的通項為，，所以展開式中的常數(shù)項為，B正確；含的項為，其系數(shù)為160，C正確；展開式中無理項的系數(shù)之和為，D錯誤.故選：BC.1．（2022·湖北武漢·三模）在展開式中，x的所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為20，則．【答案】【分析】賦值法得到，，兩式相減結(jié)合所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為20得到方程，求出的值.【詳解】設(shè)令得：①，令得：②，兩式相減得：，因為，x的所有奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為20，所以，解得：.故答案為：2．（2023·全國·模擬預測）已知的展開式中各項的系數(shù)之和為256，記展開式中的系數(shù)為，則.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出冪指數(shù)n，再求出二項式展開式的通項公式，并求出a值作答.【詳解】依題意，取，得，解得，展開式的通項公式，，令，解得，于是，所以.故答案為：3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知二項式的展開式中所有項的系數(shù)的和為64，則（

）A．B．展開式中的系數(shù)為C．展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為32D．展開式中二項式系數(shù)最大的項為【答案】ACD【分析】賦值法求得，根據(jù)二項式定理求展開式通項，結(jié)合二項式系數(shù)性質(zhì)求的系數(shù)、奇數(shù)項的二項式系數(shù)和、二項式系數(shù)最大的項.【詳解】令，則，可得，A對；，當時，，B錯；由原二項式的二項式系數(shù)和為，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為32，C對；由上知：二項式系數(shù)最大為，即，則，D對.故選：ACD考點十一、奇次項與偶次項的系數(shù)和1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B.1．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？既＃┤?，則.【答案】15【分析】由函數(shù)觀點結(jié)合賦值法即可求解.【詳解】不妨設(shè)，令得，令得，所以.故答案為：15.2．（2023·北京大興·?？既＃┤?，則.【答案】【分析】求得二項式展開式的通項公式，得到，令，即可求解.【詳解】二項式展開式的通項公式為，所以，令，可得.故答案為：.3．（2023·山東·山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測）若，則.【答案】【分析】觀察已知條件，通過求導賦值構(gòu)造出式子計算即可.【詳解】已知，對式子兩邊同時求導，得，令，得.故答案為：2404．（2023·上海楊浦·復旦附中?？寄M預測）若，則.【答案】【分析】二項展開式中通過賦值法求解即可.【詳解】令，得，令，得，所以．故答案為：.考點十二、三項展開式的系數(shù)問題1．（2023·河北滄州·?？寄M預測）的展開式中的系數(shù)為（

）A． B．10 C． D．30【答案】C【分析】可以看做個盒子，每個盒子中有，，三個元素，現(xiàn)從每個盒子中取出一個元素，最后相乘即可，利用組合數(shù)公式，即可求出展開式中的系數(shù).【詳解】可以看做個盒子，每個盒子中有，，三個元素，現(xiàn)從每個盒子中取出一個元素，最后相乘即可，所以展開式中含的項為，故展開式中的系數(shù)為.故選：C.2．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預測）在的展開式中，項的系數(shù)為（

）A．1680 B．210 C．－210 D．－1680【答案】A【分析】相當于在7個因式中有3個因式選，余下的4個因式中有2個因式選，最后余下2個因式中選，把所選式子相乘即可得項，求解即可.【詳解】相當于在7個因式中有3個因式選，有種選法，余下的4個因式中有2個因式選，有種選法，最后余下2個因式中選，把所選式子相乘即可得項，而，所以項的系數(shù)為.故答案為：A.3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）的展開式中的系數(shù)為12，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)乘法的運算法則，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)、二倍角的余弦公式進行求解即可.【詳解】的展開式中的系數(shù)可以看成：6個因式中選取5個因式提供，余下一個因式中提供或者6個因式中選取4個因式提供，余下兩個因式中均提供，故的系數(shù)為，∴，∴，故選：C4．（2023·湖北·模擬預測）展開式中無理項的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先根據(jù)題意得出展開式中的通項為，則要求展開式中無理項的個數(shù)，需求出不是整數(shù)的個數(shù)即可．【詳解】由，則其通項為，其中，，若不是整數(shù)時，即得到展開式中的無理項，當，時，的值為；當，時，的值為；當，或時，的值為或；當，或時，的值為或；當，或或時，的值為或或；當，或或時，的值為或或，綜上，展開式中無理項的個數(shù)為8．故選：C．5．（2023·湖北省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）已知常數(shù)，的二項展開式中項的系數(shù)是780，則m的值為．【答案】3【分析】轉(zhuǎn)化為，利用展開式的通項公式討論計算即可.【詳解】=，設(shè)其通項為，設(shè)的通項為，要求項的系數(shù)，只有為偶數(shù)，當，此時項的系數(shù)為，當，此時項的系數(shù)為，當，此時項的系數(shù)為，當，不合題意，故項的系數(shù)為.故答案為：31．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）展開式中的系數(shù)是.【答案】【分析】的展開式中項可以由4個項、3個項和0個常數(shù)項，或3個項、1個項和2個常數(shù)項相乘，從而得解．【詳解】因為是7個相乘，的展開式中項可以由4個項、3個項和0個常數(shù)項，或3個項、1個項和3個常數(shù)項相乘，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.2．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考模擬預測）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】，然后兩次利用通項公式求解即可；【詳解】因為，設(shè)其展開式的通項公式為：，令，得的通項公式為，令，所以的展開式中，的系數(shù)為，故答案為：3．（2023·江蘇·金陵中學校聯(lián)考三模）展開式中的常數(shù)項為.【答案】【分析】利用組合知識處理二項式展開問題即可得解.【詳解】可看作7個相乘，要求出常數(shù)項，只需提供一項，提供4項，提供2項，相乘即可求出常數(shù)項，即.故答案為：4．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學?？级＃┮阎検降恼归_式中含的項的系數(shù)為，則．【答案】2【分析】表示有5個因式相乘，根據(jù)的來源分析即可求出答案.【詳解】表示有5個因式相乘，來源如下：有1個提供，有3個提供，有1個提供常數(shù)，此時系數(shù)是，即，解得：故答案為：.5．（2023·福建·校聯(lián)考模擬預測）展開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字做答）【答案】49【分析】利用分類計數(shù)原理求解即可.【詳解】展開式中得到常數(shù)項的方法分類如下：（1）4個因式中都不取，則不取，全取，相乘得到常數(shù)項.常數(shù)項為；（2）4個因式中有1個取，則再取1個，其余因式取，相乘得到常數(shù)項.常數(shù)項為；（3）4個因式中有2個取，則再取2個，相乘得到常數(shù)項.常數(shù)項為.合并同類項，所以展開式中常數(shù)項為.故答案為：.考點十三、兩個二項式乘積展開式的系數(shù)問題1．（全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.【詳解】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】28【分析】可化為，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為28故答案為：283．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知的展開式中的系數(shù)為21，則．【答案】1【分析】利用二項式定理計算即可.【詳解】由二項式定理可知的展開式中含的項分別為，故的展開式中含的項為，即.故答案為：4．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？寄M預測）在的展開式中，x的系數(shù)為．【答案】【分析】分別列出的展開式的通項，由此確定結(jié)論.【詳解】二項式的展開式的通項為，二項式的展開式的通項為，，所以，令，可得，故或，所以的展開式中，含x的項為，所以在的展開式中，x的系數(shù)為.故答案為：.5．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）展開式中的系數(shù)為.【答案】56【分析】根據(jù)多項式乘法法則，求得中的系數(shù)，應用乘法法則計算可得．【詳解】展開式中含的項為：．故答案為：56．1．（2023·山西運城·山西省運城中學校?？级＃┱归_式中的系數(shù)是.【答案】【分析】根據(jù)通項公式可求出結(jié)果.【詳解】，的通項公式為，，所以展開式中的系數(shù)是.故答案為：.2．（2023·遼寧撫順·校考模擬預測）在的展開式中，系數(shù)最大的項為.【答案】【分析】分別求出和展開式系數(shù)最大的項，即可得出答案.【詳解】因為的通項為，的通項為，∵展開式系數(shù)最大的項為，展開式系數(shù)最大的項為，∴在的展開式中，系數(shù)最大的項為.故答案為：.3．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】14【分析】根據(jù)二項式定理求出含的項，即可得其系數(shù).【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為14.故答案為：144．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知的展開式中常數(shù)項為120，則.【答案】【分析】根據(jù)二項展開式的通項即可得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】的展開式通項為，的展開式中的常數(shù)項為,解得.故答案為：.5．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預測）已知（為常數(shù)）的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為．【答案】【分析】首先根據(jù)系數(shù)和公式求，再根據(jù)二項展開式的通項公式求的系數(shù).【詳解】依題意，解得，的展開式的通項為，，，其中不含有項，的二項展開式中，當時，項的系數(shù)為，可得的展開式中的系數(shù)為．故答案為：．考點十四、求系數(shù)最大(小)的項1．（2023·山東·模擬預測）（多選）的展開式中系數(shù)最大的項是（

）A．第2項 B．第3項 C．第4項 D．第5項【答案】BC【分析】先求出通項公式，可得第項的系數(shù)為：，設(shè)第項的系數(shù)最大，則，解出的范圍，從而可得答案【詳解】的展開式的通項公式為：則第項的系數(shù)為：設(shè)第項的系數(shù)最大，則即，即解得，所以或時，的展開式中系數(shù)最大即的展開式中系數(shù)最大是第3,4項,故選：BC2．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┤舻恼归_式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是（

）A．第二項 B．第三項 C．第四項 D．第五項【答案】B【分析】先利用二項式系數(shù)的增減性求出的值，再根據(jù)展開式的通項公式求解即可.【詳解】因為的展開式中有且僅有第五項的二項式系數(shù)最大，所以，解得，則的展開式通項為，當為奇數(shù)時，系數(shù)為負數(shù)，當為偶數(shù)時，系數(shù)為正數(shù)，所以展開式中系數(shù)最大時，為偶數(shù)，由展開式通項可知，，，，，所以展開式中系數(shù)最大的是第三項，故選：B3．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為，則展開式中系數(shù)最大的項為第（

）A．項 B．項 C．項 D．項【答案】D【分析】根據(jù)展開式中前三項的二項式系數(shù)和為求出的值，然后利用不等式法可求出展開式中系數(shù)最大的項對應的項數(shù).【詳解】的展開式中前三項的二項式系數(shù)和為，整理可得，且，解得，的展開式通項為，設(shè)展開式中第項的系數(shù)最大，則，即，解得，因為，故，因此，展開式中系數(shù)最大的項為第項.故選：D.1．（2023·浙江·?？寄M預測）若二項式的展開式中只有第7項的二項式系數(shù)最大，若展開式的有理項中第項的系數(shù)最大，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)條件可得.寫出展開式的通項，則當是偶數(shù)時，該項為有理項，求得所有的有理項的系數(shù)，可解出的值.【詳解】由已知可得，.根據(jù)二項式定理，知展開式的通項為，顯然當是偶數(shù)時，該項為有理項，時，；時，；時，；時，；時，；時，；時，.經(jīng)比較可得，，即時系數(shù)最大，即展開式的有理項中第5項的系數(shù)最大．故選：A.2．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）的二項展開式中系數(shù)最大的項為.【答案】【分析】設(shè)第項的系數(shù)最大，列不等式求，再由通項求解即可.【詳解】設(shè)展開式的第項的系數(shù)最大，則，解得，所以系數(shù)最大的項為第或第項，所以系數(shù)最大的項為：，.故答案為：3．（2023·遼寧撫順·?？寄M預測）在的展開式中，系數(shù)最大的項為.【答案】【分析】分別求出和展開式系數(shù)最大的項，即可得出答案.【詳解】因為的通項為，的通項為，∵展開式系數(shù)最大的項為，展開式系數(shù)最大的項為，∴在的展開式中，系數(shù)最大的項為.故答案為：.考點十五、整除和余數(shù)問題1．（2023·山西·統(tǒng)考模擬預測）除以5的余數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用二項式定理即可求解.【詳解】由題意可知，，由此可知除以5的余數(shù)，即為除以的余數(shù)，故所求余數(shù)為.故選：D.2．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎?，則！被5除所得余數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)階層公式理解判斷余數(shù)即可.【詳解】∵被5除所得余數(shù)為3，而的均能被5整除，∴！被5除所得余數(shù)為3．故選：C.3．（2023·江蘇鹽城·鹽城市伍佑中學?？寄M預測）若，則被8整除的余數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)題意，給自變量賦值，取和，兩個式子相減，得到的值，將構(gòu)造成一個新的二項式，根據(jù)二項展開式可以看出被8整除的結(jié)果，得到余數(shù)．【詳解】在已知等式中，取得，取得，兩式相減得，即，因為因為能被8整除，所以被8整除的余數(shù)為5，即被8整除的余數(shù)為5，故選：B.4．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學?？寄M預測）（多選）若，則（

）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余數(shù)為6D．的個位數(shù)為6【答案】AB【分析】根據(jù)二項式定理的展開式逆用知，據(jù)此可判斷AB，由可判斷C，由可判斷D.【詳解】，可以被整除，故A正確；，可以被整除，故B正確；被27除的余數(shù)為5，故C錯誤；，個位數(shù)為，故D錯誤.故選：AB1．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃┍?000除的余數(shù)是（

）A． B． C．1 D．901【答案】C【分析】利用二項式定理展開可求解.【詳解】，所以展開式中從第二項開始都是1000的倍數(shù)，因此被1000除的余數(shù)是1.故選：C2．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）除以7所得余數(shù)為．【答案】【分析】由并應用二項式定理展開，判斷各項是否被7整除，進而確定余數(shù).【詳解】，其中各項均可被7整除，只需判斷除以7的余數(shù)即可，而，所以余數(shù)為.故答案為：3．（2023·上海閔行·上海市七寶中學校考三模）若，則被10除所得的余數(shù)為.【答案】【分析】令，可得，結(jié)合二項展開式，即可求解.【詳解】令，可得，所以被10除所得的余數(shù)為.故答案為：.4．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預測）若，則被5除所得的余數(shù)為．【答案】1【分析】取，可以求得，進而根據(jù)二項式定理展開，判斷被5除得的余數(shù).【詳解】由題知時，，，故所以被5除得的余數(shù)是1.故答案為：1.考點十六、二項式定理與近似計算1．（2022·全國·高三專題練習）的計算結(jié)果精確到個位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109【答案】B【分析】由題得，再利用二項式定理求解即可.【詳解】∵，∴.故選B【點睛】本題主要考查利用二項式定理求近似值，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2．（全國·高三專題練習）求的近似值．(精確到兩位小數(shù))【答案】【解析】由，利用二項式定理可求得近似值.【詳解】.3．（2023·全國·高三專題練習）二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪，即廣義二項式定理：對于任意實數(shù)，當比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得：，并且的近似值，可以這樣操作：.用這樣的方法，估計的近似值約為（

）【答案】B【分析】變形，然后根據(jù)題中的方法計算即可.【詳解】.故選：B.1．（2023·全國·高三專題練習）用二項式定理估算.（精確到0.001）【分析】利用二項式定理進行近視計算作答.【詳解】.2．（2023·全國·高三專題練習）利用二項式定理計算，則其結(jié)果精確到0.01的近似值是（

）【答案】D【分析】根據(jù)可得選項.【詳解】解：．故選：D.3．（2022·全國·高三專題練習）（小數(shù)點后保留三位小數(shù)）．【分析】由二項展開式展開，結(jié)合二項展開式的性質(zhì)可知從項開始均遠小于，即可按所需保留位數(shù)近似求和【詳解】，由二項展開式的性質(zhì)易知，遠小于，依次類推，故.故答案為：1.172.考點十七、二項式定理與數(shù)列求和1．（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A．2 B．1 C．0 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別令和，代入計算即可求解.【詳解】根據(jù)題意，令，得，令，得，因此.故選：B.2．（2022·重慶永川·重慶市永川北山中學校?？寄M預測）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合組合數(shù)計算公式變形和式的通項，再借助二項式性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，，當時，，于是得.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列，對任意都有成立，則數(shù)列的前項和．【答案】【分析】根據(jù)二項式的性質(zhì)化簡可得，求出通項公式，再由裂項相消法即可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因為，所以，所以，所以對恒成立，所以，，所以等差數(shù)列的通項公式，所以，所以數(shù)列的前項和．故答案為：.1．（2022·全國·高三專題練習）設(shè)是正整數(shù)，化簡.【答案】【分析】對已知式子進行變形，根據(jù)二項式定理進行求解即可.【詳解】設(shè)，，所以有，故答案為：2．（2023秋·重慶·高三重慶一中校考開學考試）已知，則.【答案】【分析】先利用二項式展開式的通項求出，然后利用二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，所以展開式的通項為，又，所以，所以由二項式系數(shù)的對稱性知，所以.故答案為：.3．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列的通項公式為．求的值．【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式的特征，即可求解.【詳解】由于，所以考點十八、楊輝三角1．（2023·全國·高三專題練習）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，則此數(shù)列的前34項和為（

）A．959 B．964 C．1003 D．1004【答案】A【分析】先算出2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，9，36，84，126，126，84，36，9這36項的和，再減去36和9．【詳解】將這個數(shù)列分組：第一組1個數(shù)；第二組2個數(shù)；，第七組7個數(shù)，這7個數(shù)的和為第八組8個數(shù)，前八組共36項，前36項和為，所以前34項和為，故選：A．2．（2023·全國·高三專題練習）楊輝是我國古代數(shù)學史上一位著述豐富的數(shù)學家，著有《詳解九章算法》《日用算法》和《楊輝算法》.楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學問題，如開方、數(shù)列等.我們借助楊輝三角可以得到以下兩個數(shù)列的和.；若楊輝三角中第三斜行的數(shù)：1，3，6，10，15，…構(gòu)成數(shù)列，則關(guān)于數(shù)列敘述正確的是（

）A． B．C．數(shù)列的前n項和為 D．數(shù)列的前n項和為【答案】A【分析】確定，計算，得到A正確B錯誤，取特殊值排除CD得到答案.【詳解】.對選項A：，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：當時，，錯誤；對選項D：當時，，錯誤；故選：A1．（2023·全國·高三專題練習）（多選）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和.則下列命題中正確的是（

）A．B．在第2022行中第1011個數(shù)最大C．記“楊輝三角”第行的第i個數(shù)為，則D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為【答案】AC【分析】利用二項式定理，結(jié)合組合數(shù)運算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：所以本選項正確；B：第2022行是二項式的展開式的系數(shù)，故第2022行中第個數(shù)最大，所以本選項不正確；C：“楊輝三角”第行是二項式的展開式系數(shù)，所以，，因此本選項正確；D：第34行是二項式的展開式系數(shù)，所以第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為，因此本選項不正確，故選：AC6．（2023·全國·高三專題練習）（多選）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，得到如圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．萊布尼茨三角形具有很多優(yōu)美的性質(zhì)，如從第0行開始每一個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，如果，那么下面關(guān)于萊布尼茨三角形的結(jié)論正確的是（

）A．當是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，當是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值B．C．D．【答案】BC【分析】對于A，應該是最小值，所以A錯誤；利用組合數(shù)的性質(zhì)和萊布尼茨三角形的性質(zhì)判斷選項BCD.【詳解】解：對于A，根據(jù)楊輝三角的特點，當為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，當為奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值，所以當每一項取倒數(shù)時，再乘以同一個正數(shù)，可得當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最小值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最小值，所以A錯誤；對于B，第行的第2個數(shù)等于第行的第一個數(shù)和第行的第一個數(shù)相乘，所以B正確；對于C，直接根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)得，所以，所以C正確；對于D，開始每個數(shù)均等于其“腳下”兩個數(shù)之和，即，所以D錯誤.故選：BC1．（2023·全國·高三專題練習）如圖給出的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)、、、、，依次構(gòu)成數(shù)列，則.【答案】【分析】由楊輝三角與二項系數(shù)的關(guān)系可得出，再利用裂項相消法可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由楊輝三角與二項式系數(shù)的關(guān)系可知，，，，所以，，所以，所以，.故答案為：.2．（2023·全國·高三專題練習）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）楊輝三角A．在第10行中第5個數(shù)最大B．第2023行中第1011個數(shù)和第1012個數(shù)相等C．D．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于9行的第8個數(shù)【答案】D【分析】A、B選項由二項式系數(shù)的增減性即可判斷；C選項，由及即可判斷；D選項，由及即可判斷.【詳解】A選項，第10行，10是偶數(shù)，所以在時取得最大值，也就是在第10行中第6個數(shù)最大，故選項A錯誤；B選項，第2023行是奇數(shù)，中間兩項最大，即和，也就是第2023行中第1012個數(shù)和第1013個數(shù)相等，故選項B錯誤；C選項，由可得，故選項C錯誤；D選項，，故選項D正確.故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習）（多選）楊輝三角形，又稱賈憲三角形，是二項式系數(shù)（，且）在三角形中的一種幾何排列，北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，南宋時期杭州人楊輝在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了如下圖所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，并說明此表引自11世紀前半賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”，故此，楊輝三角又被稱為“賈憲三角”，楊輝三角形的構(gòu)造法則為：三角形的兩個腰都是由數(shù)字1組成的，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字相加.根據(jù)以上信息及二項式定理的相關(guān)知識分析，下列說法中正確的是（

）A．B．當且時，C．為等差數(shù)列D．存在，使得為等差數(shù)列【答案】ABD【分析】由組合數(shù)性質(zhì)可判斷A；利用組合數(shù)公式化簡可判斷B；組合數(shù)公式結(jié)合等差數(shù)列定義可判斷CD.【詳解】A選項：由組合數(shù)的性質(zhì)可知A正確；B選項：，因為，所以，所以，B正確；C選項：，C錯誤；D選項：當時，，所以數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，D正確.故選：ABD.4．（2023·全國·高三專題練習）（多選）如圖給出下列一個由正整數(shù)組成的三角形數(shù)陣，該三角形數(shù)陣的兩腰分別是一個公差為的等差數(shù)列和一個公差為的等差數(shù)列，每一行是一個公差為的等差數(shù)列．我們把這個數(shù)陣的所有數(shù)從上到下，從左到右依次構(gòu)成一個數(shù)列：、、、、、、、、、、，其前項和為，則下列說法正確的有（

）（參考公式：）A． B．第一次出現(xiàn)是C．在中出現(xiàn)了次 D．【答案】ACD【分析】分析出在第行第個，求出的值，可判斷A選項；根據(jù)每行最后一個數(shù)為奇數(shù)，推導出第一次出現(xiàn)的位置，可判斷B選項；分析出在數(shù)陣中出現(xiàn)的行數(shù)，可判斷C選項；計算出的值，可判斷D選項.【詳解】對于A，，且，故在第行第個，則，A對；對于B，因為第行最后一個數(shù)為，該數(shù)為奇數(shù)，由，可得，所以，第一次是出現(xiàn)在第行倒數(shù)第個，因為，即第一次出現(xiàn)是，B錯；對于C，因為第一次是出現(xiàn)在第行倒數(shù)第個，在第行至第行，在每行中各出現(xiàn)一次，故在中出現(xiàn)了次，C對；對于D選項，設(shè)第行的數(shù)字之和為，則，故，D對.故選：ACD.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）的展開式中的常數(shù)項是（

）A． B． C．250 D．240【答案】D【分析】求出二項式展開式的通項公式，令x的指數(shù)等于0，即可求得答案.【詳解】由題意得二項式的通項公式為，令，則常數(shù)項為，故選：D二、多選題2．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）已知二項式的展開式中各項系數(shù)之和是128，則下列說法正確的有（

）A．展開式共有7項B．所有二項式系數(shù)和為128C．二項式系數(shù)最大的項是第4項D．展開式的有理項共有4項【答案】BD【分析】由題意先得，再根據(jù)二項式定理及其性質(zhì)一一判定即可.【詳解】因為二項式的展開式中各項系數(shù)之和是128，所以令，可得，因為，所以展開式共有8項，故A不正確；因為，所以所有二項式系數(shù)和為，故B正確；因為，所以二項式系數(shù)最大的項是第4項和第5項，故C不正確；設(shè)展開式通項為，，當時，對應的是有理數(shù)，即對應項為有理項，故D正確.故選：BD.3．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學?？寄M預測）已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．展開式中各項的系數(shù)最大的是C． D．【答案】AC【分析】利用二項式定理的計算及性質(zhì)求解.【詳解】令，得，則A正確．展開式的通項為，則，故B錯誤．令，得，令，得，則，故C正確，D錯誤．故選：AC.三、填空題4．（2023·山東濰坊·三模）已知,則.（用數(shù)字作答）【答案】33【分析】令可得,令可得,令可得,兩式相加得,再減去即可得出結(jié)果.【詳解】因為.令,得;令,得①;令,得②;①+②得,所以.故答案為:.5．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃┮阎恼归_式中各項系數(shù)和為243，則展開式中常數(shù)項為．【答案】80【分析】根據(jù)題意，由各項系數(shù)之和可得，再由二項式展開式的通項公式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，令，則，解得，則的展開式第項，令，解得，所以.故答案為：6．（2023·陜西西安·?？寄M預測）二項式的展開式中含x的正整數(shù)指冪的項數(shù)是.【答案】5【分析】利用二項式的展開式的通項公式求解.【詳解】解：二項式的展開式的通項公式為，當時，x次數(shù)是正整數(shù)指冪，所以二項式的展開式中含x的正整數(shù)指冪的項數(shù)是5，故答案為：57．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）若，那么的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意利用賦值法分析運算.【詳解】令，可得；令，可得；所以．故答案為：.8．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）若的展開式中x的系數(shù)與的系數(shù)相等，則實數(shù)a＝．【答案】【分析】根據(jù)題意，寫出二項式展開式的通項公式，由條件列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】因為的展開式的通項公式為，且x的系數(shù)與的系數(shù)相等，則，即，所以，且，所以.故答案為：.9．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）在的展開式中，的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.【答案】21【分析】由二項式的展開式通項公式待定系數(shù)求值即可.【詳解】設(shè)的展開式通項為，令，則，即的系數(shù)為21.故答案為：21.10．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預測）的展開式中，常數(shù)項為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項展開式的通項公式分析運算.【詳解】因為的展開式為，令，解得，不合題意；令，解得；所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【能力提升】一、單選題1．（2023·江西·江西省豐城中學校聯(lián)考模擬預測）已知，則在的展開式中，含的系數(shù)為（

）A．480 B． C．240 D．【答案】B【分析】根據(jù)定積分可得，進而由二項式表示6個因式的乘積，即可得到含的項，即可算出答案.【詳解】,表示6個因式的乘積，在這6個因式中，有3個因式選，其余的3個因式中有一個選，剩下的兩個因式選，即可得到含的項，故含的項系數(shù)是故選：B.2．（2023·江西·校聯(lián)考二模）若，則（

）A． B．48 C．28 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，把按展開，求出的系數(shù)作答.【詳解】依題意，按展開的展開式中的系數(shù)即為，于是展開式的通項公式為，則，所以.故選：A3．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學?？寄M預測）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)，結(jié)合二項式定理求解即可.【詳解】因為，展開式第項，當時，，當時，，故，即.故選：B4．（2023·甘肅·模擬預測）“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯誤的是（

）A．第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于第9行的第8個數(shù)B．第2023行中第1012個數(shù)和第1013個數(shù)相等C．記“楊輝三角”第行的第個數(shù)為，則D．第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為【答案】D【分析】根據(jù)二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷各選項的對錯.【詳解】第6行的第7個數(shù)為1，第7行的第7個數(shù)為7，第8行的第7個數(shù)為28，它們之和等于36，第9行的第8個數(shù)是，A正確；第行是二項式的展開式的系數(shù)，故第行中第個數(shù)為，第個數(shù)為，又，B正確；“楊輝三角”第行是二項式的展開式的系數(shù)，所以，，C正確；第34行是二項式的展開式的系數(shù)，所以第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為，D不正確.故選：D.二、多選題5．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）若，則（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】令，二項式化為，然后利用二項式定理求得的項得其系數(shù)，判斷A，賦值法令計算后可判斷B，令和0計算后可判斷C，令計算后可判斷D．【詳解】，令，則，對于，故A錯誤；對于，令，得，故B正確；對于，令，得，令，則，故C錯誤；對于D，令，得，所以，故D正確.故選：BD.6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知．則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】A選項令求解判斷；B選項利用的展開式的通項公式求解判斷；CD選項利用賦值法令，求解判斷.【詳解】解：由，令得，故A正確；由的展開式的通項公式，得，故B錯誤；令，得①，再由，得，故C錯誤；令，得②，①②再除以2得，故D正確；故選：AD三、填空題7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，設(shè)，則．【答案】【分析】先令，可求出，然后對等式兩邊同時求導，并賦值即可.【詳解】由，取，得到；等式兩邊同時求導，得到，取，得到.于是.故答案為：8．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）展開式中，的系數(shù)為．【答案】15【分析】利用二項展開式的通項即可求得的系數(shù).【詳解】展開式的通項為，令，解得，∴展開式中的系數(shù)為．故答案為：15.9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）若，則．【答案】【分析】分別令，和求出即可求解.【詳解】令得，所以，令得，所以，而，所以.故答案為：.10．（2023·福建龍巖·福建省龍巖第一中學校考模擬預測）在的展開式中，項的系數(shù)為．【答案】32【分析】由變形可得，利用二項式定理求的展開式中項的系數(shù)即可.【詳解】因為，所以的展開式中含項的系數(shù)即展開式中項的系數(shù)，又，其中的展開式中不存在含的項，又的展開式中含的項為，所以在的展開式中，項的系數(shù)為.故答案為：.【真題感知】一、單選題1．（浙江·高考真題）展開式中的常數(shù)項是（

）A． B．36 C． D．84【答案】C【分析】利用二項式展開公式得到，令，即可得到答案.【詳解】展開式的通項公式為,令,求得,可得展開式中的常數(shù)項是故選：C.2．（重慶·高考真題）若展開式中含項的系數(shù)等于含x項的系數(shù)的8倍，則n等于（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【分析】由二項展開式通項公式得和的系數(shù)，由其比值為8求得值．【詳解】，所以，解得（負值舍去）．故選：A．3．（重慶·高考真題）若的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則展開式中項的系數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】求出的展開式中前三項的系數(shù)、、，由等差數(shù)列知識求出，再利用通項公式求出項的系數(shù)即可．【詳解】解：因為的展開式中前三項的系數(shù)、、成等差數(shù)列，所以，即，解得或（舍，所以二項式展開式的通項為，令可得，所以的系數(shù)為．故選：B．4．（山東·高考真題）如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（

）