預(yù)習(xí)02講空間向量基本定理及空間向量運算的坐標(biāo)表示2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性）原卷版

2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019必修第二冊）預(yù)習(xí)02講空間向量基本定理及空間向量運算的坐標(biāo)表示（精講+精練）①空間向量基本定理②空間直角坐標(biāo)系③空間向量運算的坐標(biāo)表示一、空間向量基本定理1.空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序?qū)崝?shù)組使得2.基底與基向量如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．對基底正確理解，有以下三個方面：（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；（2）因為可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是；（3）一個基底是由三個不共面的向量構(gòu)成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．二、空間向量的正交分解1.單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．2.正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標(biāo)．記作此時向量的坐標(biāo)恰是點在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)其中分別叫做點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)．3.特殊向量的坐標(biāo)表示（1）當(dāng)向量平行于軸時，縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為，即（2）當(dāng)向量平行于軸時，縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)都為，即（3）當(dāng)向量平行于軸時，橫坐標(biāo)坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為，即（4）當(dāng)向量平行于平面時，豎坐標(biāo)為，即（5）當(dāng)向量平行于平面時，橫坐標(biāo)為，即（6）當(dāng)向量平行于平面時，縱坐標(biāo)為，即三、空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示1.空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系.(2)相關(guān)概念：叫做原點，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．2.空間向量的坐標(biāo)表示（1）空間一點的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)向量，對空間任意一點，對應(yīng)一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.在單位正交基底下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中叫做點的橫坐標(biāo)，叫做點的縱坐標(biāo)，叫做點的豎坐標(biāo)．（2）空間向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使.有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡記作.四、空間向量運算的坐標(biāo)表示1.設(shè)，空間向量的坐標(biāo)運算法則如下表所示：運算坐標(biāo)表示加法減法數(shù)乘數(shù)量積五、空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標(biāo)表示1.兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特別提醒：在中，應(yīng)特別注意，只有在與三個坐標(biāo)平面都不平行時，才能寫成.例如，若與坐標(biāo)平面平行，則，這樣就沒有意義了.2.向量長度的坐標(biāo)計算公式若，則，即3.兩個向量夾角的坐標(biāo)計算公式設(shè)，則4.兩點間的距離公式已知，則①空間向量基本定理【題型精練】一、單選題1．（2324高二下·云南曲靖·階段練習(xí)）直三棱柱中，若，則（

）A． B．C． D．2．（2223高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在四面體OABC中，，點在線段OA上，且為BC中點，則等于（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·福建廈門·期中）如圖，在平行六面體中，為的交點.若，則向量（

）A． B． C． D．4．（2324高二下·湖北·開學(xué)考試）如圖，為四面體的棱的中點，為的中點，點在線段上，且，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．5．（2324高二上·重慶·期末）正方體中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（

）A． B． C． D．②空間直角坐標(biāo)系【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·甘肅·期中）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·四川綿陽·開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．4．（2324高二下·江蘇南京·期中）已知點，則點坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．5．（2324高二上·廣東梅州·期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，則點的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．6．（2324高二下·甘肅定西·階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點在x軸上的射影和在平面上的射影分別點M，N，則點M，N的坐標(biāo)分別為（

）A． B．C． D．7．（2324高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，則向量（

）A． B． C． D．8．（2223高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）在平行六面體中，，則點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．9．（2324高二上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，點是的中點，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．10．（2324高二下·甘肅·期中）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方形與矩形所在平面互相垂直(與原點重合)，在上，且平面，則點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．③空間向量運算的坐標(biāo)表示【題型精練】一、單選題1．（2324高二下·江蘇·期中）已知向量，，且，則（

）A． B． C．4 D．62．（2324高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知空間三點，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·江蘇連云港·期中）設(shè)，向量且，則的值為（）A．1 B．1 C．2 D．34．（2324高二上·青海海東·階段練習(xí)）已知，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．5．（2324高二下·湖北·期中）已知向量，其中在同一平面的是（

）A．B．C．D．6．（2324高二上·北京·期中）已知點，為坐標(biāo)原點，且，則（

）A． B． C．