預習02講空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示2024年高二數學暑假預習（人教A版2019選擇性）原卷版

2024年高二數學暑假預習（人教A版2019必修第二冊）預習02講空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示（精講+精練）①空間向量基本定理②空間直角坐標系③空間向量運算的坐標表示一、空間向量基本定理1.空間向量基本定理如果向量三個向量不共面，那么對空間任意向量存在有序實數組使得2.基底與基向量如果向量三個向量不共面，那么所有空間向量組成集合就是這個集合可看作是由向量生成的，我們把叫做空間的一個基底都叫做基向量．對基底正確理解，有以下三個方面：（1）空間中任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底；（2）因為可視為與任意一個非零向量共線，與任意二個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是；（3）一個基底是由三個不共面的向量構成的，它是一個向量組；而一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是不同的概念．二、空間向量的正交分解1.單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用表示．2.正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量，均可以分解為三個向量，，使得.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標．記作此時向量的坐標恰是點在空間直角坐標系中的坐標其中分別叫做點的橫坐標、縱坐標、豎坐標．3.特殊向量的坐標表示（1）當向量平行于軸時，縱坐標、豎坐標都為，即（2）當向量平行于軸時，縱坐標、橫坐標都為，即（3）當向量平行于軸時，橫坐標坐標、縱坐標都為，即（4）當向量平行于平面時，豎坐標為，即（5）當向量平行于平面時，橫坐標為，即（6）當向量平行于平面時，縱坐標為，即三、空間向量的正交分解及其坐標表示1.空間直角坐標系空間直角坐標系及相關概念(1)空間直角坐標系：在空間選定一點和一個單位正交基底，以為原點，分別以的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系.(2)相關概念：叫做原點，都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為平面、平面、平面，它們把空間分成八個部分．2.空間向量的坐標表示（1）空間一點的坐標：在空間直角坐標系中，為坐標向量，對空間任意一點，對應一個向量，且點的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組，使.在單位正交基底下與向量對應的有序實數組叫做點在此空間直角坐標系中的坐標，記作，其中叫做點的橫坐標，叫做點的縱坐標，叫做點的豎坐標．（2）空間向量的坐標：在空間直角坐標系中，給定向量，作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組，使.有序實數組叫做在空間直角坐標系中的坐標，上式可簡記作.四、空間向量運算的坐標表示1.設，空間向量的坐標運算法則如下表所示：運算坐標表示加法減法數乘數量積五、空間向量平行與垂直的條件，幾何計算的坐標表示1.兩個向量的平行與垂直平行（）垂直（）（均非零向量）特別提醒：在中，應特別注意，只有在與三個坐標平面都不平行時，才能寫成.例如，若與坐標平面平行，則，這樣就沒有意義了.2.向量長度的坐標計算公式若，則，即3.兩個向量夾角的坐標計算公式設，則4.兩點間的距離公式已知，則①空間向量基本定理【題型精練】一、單選題1．（2324高二下·云南曲靖·階段練習）直三棱柱中，若，則（

）A． B．C． D．2．（2223高二上·廣東東莞·階段練習）如圖，在四面體OABC中，，點在線段OA上，且為BC中點，則等于（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·福建廈門·期中）如圖，在平行六面體中，為的交點.若，則向量（

）A． B． C． D．4．（2324高二下·湖北·開學考試）如圖，為四面體的棱的中點，為的中點，點在線段上，且，設，，，則（

）A． B．C． D．5．（2324高二上·重慶·期末）正方體中的有向線段，不能作為空間中的基底的是（

）A． B． C． D．②空間直角坐標系【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·河北石家莊·階段練習）點關于平面對稱的點的坐標是（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·甘肅·期中）在空間直角坐標系中，點關于x軸對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·四川綿陽·開學考試）在空間直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為（

）A． B．C． D．4．（2324高二下·江蘇南京·期中）已知點，則點坐標為（

）A． B．C． D．5．（2324高二上·廣東梅州·期末）在空間直角坐標系中，已知點，則點的坐標是（

）A． B．C． D．6．（2324高二下·甘肅定西·階段練習）在空間直角坐標系中，點在x軸上的射影和在平面上的射影分別點M，N，則點M，N的坐標分別為（

）A． B．C． D．7．（2324高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，則向量（

）A． B． C． D．8．（2223高二上·云南臨滄·階段練習）在平行六面體中，，則點的坐標為（

）A． B．C． D．9．（2324高二上·陜西西安·階段練習）如圖，在長方體中，，點是的中點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．10．（2324高二下·甘肅·期中）如圖，在空間直角坐標系中，正方形與矩形所在平面互相垂直(與原點重合)，在上，且平面，則點的坐標為（

）A． B．C． D．③空間向量運算的坐標表示【題型精練】一、單選題1．（2324高二下·江蘇·期中）已知向量，，且，則（

）A． B． C．4 D．62．（2324高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知空間三點，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·江蘇連云港·期中）設，向量且，則的值為（）A．1 B．1 C．2 D．34．（2324高二上·青海海東·階段練習）已知，，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．5．（2324高二下·湖北·期中）已知向量，其中在同一平面的是（

）A．B．C．D．6．（2324高二上·北京·期中）已知點，為坐標原點，且，則（

）A． B． C．