三角函數(shù)的概念（導(dǎo)學(xué)版）人教版數(shù)學(xué)必修一

人教版高中數(shù)學(xué)必修1

第五章三角函數(shù)三角函數(shù)的概念授課：張丹老師[慕聯(lián)教育同步課程導(dǎo)學(xué)篇]課程編號：TS2007010302RB1050201ZD（A）學(xué)習(xí)目標(biāo)理解利用單位圓定義的任意角三角函數(shù)11明確任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)在各象限的符號2初步熟悉誘導(dǎo)公式一3導(dǎo)入

在弧度制下，我們已經(jīng)將角的范圍擴展到全體實數(shù)。下面借助這些知識研究上一節(jié)開頭提出的問題。不失一般性，先研究單位圓上點的運動?，F(xiàn)在的任務(wù)是：如圖，單位圓⊙上的點以為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個數(shù)學(xué)模型，刻畫點的位置變化情況。導(dǎo)入根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們利用直角坐標(biāo)系來研究上述問題。如圖，以單位圓的圓心為原點，以射線為軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)為(1，0)，點的坐標(biāo)為。射線從軸的非負(fù)半軸開始，繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，終止位置為。利用勾股定理可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時，點的坐標(biāo)是；當(dāng)時，點的坐標(biāo)是；當(dāng)時，點的坐標(biāo)是。它們都是唯一確定的。

一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)還是縱坐標(biāo)都是唯一確定的。所以，點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是角的函數(shù)。當(dāng)時，點的坐標(biāo)是什么？當(dāng)或時，點的坐標(biāo)又是什么？它們是唯一確定的嗎？一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)能唯一確定嗎？探究：（3）把點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切，

記作，即可以看出，當(dāng)時,的終邊在軸上，這時點的橫坐標(biāo)等于0,所以無意義。除此之外，對于確定的角，的值也是唯一確定的．所以，也是以角為自變量，以單位圓上點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)。

設(shè)是一個任意角，，它的終邊與單位圓相交于點（2）把點的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù)。記作，即：（1）把點的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)。記作，即：知識梳理我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).通常將它們記為：知識梳理正弦函數(shù)；余弦函數(shù)；正切函數(shù)。求的正弦、余弦和正切值．例1

所以解：在直角坐標(biāo)系中，如圖作∠。

可知∠的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為探究：據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表，再將這三種函數(shù)的值在各象限的符號填入圖中的括號．RR——————++++++()再證必要性，即如果θ為第三象限角，那么①②式都成立．

證明：先證充分性，即如果①②式都成立，那么θ為第三象限角．因為①②式都成立，所以θ角的終邊只能位于第三象限．于是角θ為第三象限角．因為①式sinθ＜0成立，所以θ角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的負(fù)半軸重合；因為②式tanθ＞0成立，所以θ角的終邊可能位于第一或第三象限．求證：角θ為第三象限角的充要條件是例3

①

②如果θ為第三象限角，那么顯然①②式都成立．

所以，角θ為第三象限角的充要條件是由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等．由此得到一組公式：知識梳理作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0～2π（或0°～360°）角的三角函數(shù)值．求下列三角函數(shù)值.

練習(xí)

(1)

(2)

(3)

鞏固練習(xí)解：（1）因為是第四象限角，所以

（2）

而π的終邊在x軸上，所以

(3)

課堂小結(jié)求三角函數(shù)值的方法是先借助于終邊相同的角的誘導(dǎo)公式把已知角化歸到[0,2π)之間，然