第19講兩條直線的交點坐標（三大題型歸納分層練）

第19講兩條直線的交點坐標【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01求相交直線的交點坐標 2題型02判斷兩直線位置關系的方法 4題型03直線過定點問題 7分層練習 23夯實基礎 12能力提升 18創(chuàng)新拓展 18一、求相交直線的交點坐標已知兩條直線的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，設這兩條直線的交點為P，則點P的坐標就是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解二、判斷兩直線位置關系的方法已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)：方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關系相交重合平行題型01求相交直線的交點坐標【解題策略】求與已知兩直線的交點有關的問題，先通過解二元一次方程組求出交點坐標，然后再利用其他條件求解【典例分析】課本例1求下列兩條直線的交點坐標，并畫出圖形：l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.解解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2.))所以，l1與l2的交點是M(－2,2)(如圖)．【例1】求經過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點且過坐標原點的直線l的方程．解由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1與l2的交點坐標為(－2,2)．∵直線l也過坐標原點，∴其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1.故直線l的方程為y＝－x，即x＋y＝0.【變式演練】【變式1】（2324高二上·天津·期中）兩直線的交點坐標是：.【答案】【分析】利用兩直線的方程聯(lián)立求交點即可.【詳解】聯(lián)立兩直線方程可得.故答案為：【變式2】求經過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．解由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0,2)．∵l⊥l3，l3的斜率為eq\f(3,4)，∴kl＝－eq\f(4,3)，∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.【變式3】（2324高二上·河北·期中）已知直線：與：．(1)當時，求直線與的交點坐標；(2)若，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到：，：，再聯(lián)立求解；（2）根據(jù)，由求解.【詳解】（1）解：因為，所以：，：．聯(lián)立方程組，解得，故直線與的交點坐標為．（2）因為，所以，解得或．當時，與重合，不符合題意．當時，與不重合，符合題意．故題型02判斷兩直線位置關系的方法【解題策略】(1)判斷兩直線位置關系的方法，關鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等價條件是A1B2－A2B1≠0，即兩條直線相交的等價條件是A1B2－A2B1≠0.(2)雖然利用方程組解的個數(shù)可以判斷兩直線的位置關系，但是由于運算量較大，一般較少使用．【典例分析】課本例2判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點的坐標：(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.解(1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,3x＋3y－10＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝\f(5,3).))所以，l1與l2相交，交點是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(5,3))).(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＋4＝0，①,6x－2y－1＝0，②))①×2－②得9＝0，矛盾，這個方程組無解，所以l1與l2無公共點，l1∥l2.(3)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，①,6x＋8y－10＝0，②))①×2得6x＋8y－10＝0.①和②可以化成同一個方程，即①和②表示同一條直線，l1與l2重合．【例2】分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出交點坐標．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.解(1)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))因此直線l1和l2相交，交點坐標為(3，－1)．(2)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0，①,4x－12y＋8＝0，②))①×2得4x－12y＋8＝0.①和②可以化為同一個方程，即①和②表示同一條直線，l1與l2重合．(3)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,y＝－2x＋3))無解，這表明直線l1和l2沒有公共點，故l1∥l2.【變式演練】【變式1】（多選）（2023高二上·全國·專題練習）下列選項中，正確的有（

）A．直線和的交點坐標為B．直線和的交點坐標為C．直線和交點坐標為D．直線和，兩兩相交【答案】AD【分析】通過聯(lián)立方程組求直線的交點坐標.【詳解】方程組的解為，因此直線和相交，交點坐標為，A正確；方程組有無數(shù)個解，這表明直線和重合，B錯誤；方程組無解，這表明直線和沒有公共點，故，C錯誤；方程組的解為方程組的解為方程組的解也為所以，三條直線兩兩相交且交于同一點，D正確.故選：AD【變式2】已知直線5x＋4y＝2a＋1與直線2x＋3y＝a的交點位于第四象限，則a的取值范圍是__________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，2))解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7)，,y＝\f(a－2,7)，))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋3,7)>0，,\f(a－2,7)<0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－\f(3,2)，,a<2.))所以－eq\f(3,2)<a<2.【變式3】（2023高二上·全國·專題練習）判斷下列直線是否相交，若相交，求出交點的坐標.(1)，；(2)，.【答案】(1)相交，(2)重合【分析】（1）聯(lián)立方程求出交點坐標；（2）化簡得到，可得兩直線重合.【詳解】（1）解方程組，得，所以這兩條直線相交，交點坐標是.（2）由化為方程可知，所以有無數(shù)多個解，故與重合題型03直線過定點問題【解題策略】解含參數(shù)的直線恒過定點問題的策略(1)任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點，從而問題得解．(2)若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的直線必過定點(x0，y0)【典例分析】【例3】無論m為何值，直線l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒過一定點P，求點P的坐標．解∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－7＝0，,x－y－4＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3.))∴點P的坐標為(7,3)．【變式演練】【變式1】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）不論為何實數(shù)，直線恒過第象限.【答案】二【分析】根據(jù)題意，將直線方程變形，列出方程代入計算，即可得到結果.【詳解】直線方程可變形為：，由，求得，直線過定點，因此直線必定過第二象限，故答案為：二【變式2】（2324高二上·福建泉州·期末）直線恒過定點.【答案】【分析】根據(jù)題意，化簡直線方程為，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由直線，可化為，聯(lián)立方程組，解得，所以直線恒過定點．故答案為：【變式3】（2324高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）．(1)求該方程表示直線的條件；(2)當為何實數(shù)時，方程表示的直線斜率不存在？求出此時的直線方程；(3)直線是否過定點，若存在直線過定點，求出此定點，若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)不過定點，證明見解析【分析】（1）先令，的系數(shù)同時為時得到，即得時方程表示一條直線；（2）由（1）知時的系數(shù)為，方程表示的直線的斜率不存在，即得結果；（3）分別求出斜率不存在和斜率為時的直線方程，再求出交點坐標，若存在定點，則定點一定是此交點，將交點坐標代入原方程，若方程恒成立，則此點是定點，反之則不是定點.【詳解】（1）當，的系數(shù)不同時為時，方程表示一條直線，令，解得或；令，解得或，所以，的系數(shù)同時為零時，故若方程表示一條直線，則，即實數(shù)的取值范圍為；（2）當?shù)南禂?shù)不為，的系數(shù)為時斜率不存在，由（1）知當時，且，方程表示的直線的斜率不存在，此時直線方程為；（3）不過定點，證明如下：證明：當?shù)南禂?shù)為，的系數(shù)不為時斜率為，由（1）知當時，且，方程表示的直線的斜率為，此時直線方程為，由（2）知，直線的斜率不存在時直線方程為，由得交點為，若直線過定點，則定點為，將代入方程，得，整理得，解得或，只有當或時，直線過，直線不過定點【夯實基礎】一、單選題1．（2324高二上·甘肅甘南·期中）直線與直線的交點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程，解之即可.【詳解】由，解得，則交點坐標為.故選：D2．（2324高二上·貴州畢節(jié)·期末）若直線的斜率小于0，那么該直線不經過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)直線過定點、且斜率小于0可得答案.【詳解】直線過定點，且斜率，故該直線不經過第三象限.故選：C.3．（2324高二上·福建龍巖·期中）已知直線恒過點，則的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把方程整理成關于的方程，然后由系數(shù)為0可得．【詳解】由，得，則得所以的坐標為.故選：C．4．（2324高二上·福建寧德·階段練習）經過直線和的交點，且在兩坐標軸上的截距之和為0的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】先求直線和的交點，設所求直線方程為，可得在x，y軸上的截距，結合題意列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以直線和的交點為，由題意可知所求直線的斜率存在且不為0，設為，可知所求直線方程為，令，可得；令，可得；可知直線在x，y軸上的截距分別為，，由題意可得，整理得，解得或，所以所求直線方程為或.故選：C.二、多選題5．（2324高二上·河南商丘·期中）已知點，，直線與線段有交點，則可以為（

）A． B． C．1 D．3【答案】AD【分析】求得直線l恒過定點Q，求得與，結合圖象可求得m的范圍進而可得結果.【詳解】因為，即直線過定點，斜率為，因為，，如圖所示，所以或，解得：或，故選：AD.6．（2324高二上·陜西西安·期中）下列命題正確的是（

）A．任何直線方程都能表示為一般式B．直線與直線的交點坐標是C．兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等D．直線方程可化為截距式為【答案】AB【分析】根據(jù)一般式方程判斷A，求出方程組的解，即可判斷B，根據(jù)兩直線平行的充要條件判斷C，利用特殊值判斷D.【詳解】對于A：直線的一般是方程為：，當時，方程表示垂直軸的直線；當時，方程表示垂直軸的直線；當時，方程表示任意一條不垂直于軸和軸的直線；故A正確.對于B：聯(lián)立，解得，故B正確.對于C：兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等（或斜率均不存在）且不重合，故C錯.對于D：若或時，式子顯然無意義，故D錯.故選：AB.三、填空題7．（2223高二上·甘肅武威·期中）直線和的交點坐標為【答案】【分析】聯(lián)立方程即可求解.【詳解】聯(lián)立,解得，所以交點坐標為，故答案為：8．（2324高二上·山東菏澤·階段練習）設點，，若直線與線段AB沒有交點，則a的取值范圍是．【答案】【分析】由于直線恒過點，然后結合圖形求解即可【詳解】如圖，直線恒過點，，，故，即．

故答案為：9．（2223高二上·福建福州·期中）已知直線：與直線：互相垂直，則它們的交點坐標為.【答案】【分析】利用互相垂直求出，然后兩直線聯(lián)立即可求出交點坐標.【詳解】因為直線：與直線：互相垂直，所以，解得，聯(lián)立，解得直線和的交點坐標為，故答案為：四、解答題10.已知直線(a－2)y＝(3a－1)x－1，求證：無論a為何值，直線總經過第一象限．證明將直線方程整理為a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.因為直線3x－y＝0與x－2y＋1＝0的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，即直線系恒過第一象限內的定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))，所以無論a為何值，直線總經過第一象限．11．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）判斷下列各對直線的位置關系．如果相交，求出交點坐標．(1)直線；(2)直線．【答案】(1)相交，交點是(2)答案見解析【分析】（1）解方程組，可得交點坐標；根據(jù)方程組的解的個數(shù)判斷位置關系；（2）分類討論，解方程組可得答案.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點坐標為.（2）當時，，，聯(lián)立，方程組有無數(shù)組解，故兩直線重合，當時，，，聯(lián)立，方程組無解，故兩直線平行，當，聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點坐標為.綜上所述：當時，兩直線重合；當時，兩直線平行；當時，兩直線相交，交點坐標為.12．（2324高二上·北京順義·期中）已知直線，直線．(1)求直線與的交點坐標；(2)求過點且平行于的直線方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）通過解二元一次方程組進行求解即可；（2）根據(jù)平行線的方程的特征進行求解即可.【詳解】（1）兩條直線方程聯(lián)立，得；（2）設平行于的直線方程為，因為直線過，所以，所以過點且平行于的直線方程為【能力提升】一、單選題1．（2223高二·江蘇·假期作業(yè)）直線與直線的交點坐標是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【分析】解方程組即可得解.【詳解】解方程組得，即直線與直線的交點坐標是(0,2)．故選：C.2．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）直線與互相垂直，則這兩條直線的交點坐標為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩直線垂直可得，聯(lián)立解方程組可得交點坐標.【詳解】易知直線的斜率為，由兩直線垂直條件得直線的斜率，解得；聯(lián)立，解得；即交點為故選：C.3．（2324高二上·貴州遵義·階段練習）直線：與：的交點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】聯(lián)立兩直線方程，求出交點坐標.【詳解】聯(lián)立方程組解得，故與的交點坐標為.故選：A4．（2324高二上·北京·期中）已知直線方程，則可知直線恒過定點的坐標是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意可得，令，解得即可.【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過點.故選：B二、多選題5．（2324高二上·寧夏·階段練習）下列命題正確的是（

）A．任何直線方程都能表示為一般式B．兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等C．直線與直線的交點坐標是D．直線方程可化為截距式為【答案】AC【分析】根據(jù)具體條件對相應選項作出判斷即可.【詳解】對A：直線的一般是方程為：，當時，方程表示水平線，垂直軸；當時，方程表示鉛錘線，垂直軸；當時，方程表示任意一條不垂直于軸和軸的直線；故A正確.對B：兩條直線的斜率相等時，兩直線可能重合，故B錯.對C：聯(lián)立，解得，故C正確.對D：若或時，式子顯然無意義，故D錯.故選：AC.6．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與，則下列說法正確的是（

）A．與的交點坐標是B．過與的交點且與垂直的直線的方程為C．，與x軸圍成的三角形的面積是D．的傾斜角是銳角【答案】BC【分析】由已知聯(lián)立方程即可求解直線的交點坐標可判斷A；由直線垂直確定垂直的直線的斜率則可求得直線方程，即可判斷B；根據(jù)直線與直線的位置確定，與x軸圍成的三角形的對應坐標即可得面積，從而可判斷C；由直線斜率與傾斜角的關系即可判斷D.【詳解】與可得，，解得交點坐標為，所以A錯誤；由所求直線與直線垂直得所求直線的斜率為，由點斜式得，即，所以B正確；如圖，與軸相交于，與軸相交于，與相交于

所以，與x軸圍成的三角形的面積，所以C正確；的斜率，所以的傾斜角是鈍角，所以D錯誤.故選：BC.三、填空題7．（2324高二上·上?！て谀┮阎本€：恒過定點，則定點坐標是.【答案】【分析】根據(jù)題意令，運算求解即可.【詳解】令，即，可得，所以直線：恒過定點.故答案為：.8．（2223高二上·遼寧鐵嶺·階段練習）兩條直線與的交點坐標為.【答案】【分析】根據(jù)方程交點性質聯(lián)立方程即可.【詳解】聯(lián)立方程，解得故答案為：9．（2223高二上·廣東江門·期中）若直線與直線相交，則交點的坐標為.【答案】.【分析】聯(lián)立兩直線的方程，即可求出交點坐標.【詳解】聯(lián)立直線與直線的方程，解得，所以交點的坐標為.故答案為：.四、解答題10．（2023高二上·全國·專題練習）已知兩條直線l1：，l2：，畫出兩條直線的圖象，分析交點坐標M與直線l1，l2的方程有什么關系？【答案】交點坐標是方程組的解，圖像見解析.【分析】作出直線l1，l2的圖象，由點M既在直線l1上，也在直線l2上求解.【詳解】直線l1，l2的圖象如圖所示.點M既在直線l1上，也在直線l2上.，即滿足直線l1的方程x＋y－5＝0，也滿足直線l2的方程x－y－3＝0.即交點坐標是方程組的解.11．判斷下列各對直線的位置關系．若相交，求出交點坐標．(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.解(1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以直線l1與l2相交，交點坐標為(－1，－1)．(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，,2x＋2y＋3＝0，))得1＝0，矛盾，方程組無解．所以直線l1與l2無公共點，即l1∥l2.12．已知直線l：6x－y＋1＝0.(1)若平行于l的直線m經過點A(－1，－4)，求m的方程；(2)若l與直線y＝4x＋b的交點在第二象限，求b的取值范圍．解(1)因為直線m平行于l，可設直線m的方程為6x－y＋c＝0，又因為直線m經過點A(－1，－4)，所以－6＋4＋c＝0，解得c＝2，可知直線m的方程為6x－y＋2＝0.(2)聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x－y＋1＝0，,y＝4x＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(b－1,2)，,y＝3b－2.))因為它們的交點在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,2)<0，,3b－2>0，))解得eq\f(2,3)<b<1，即b的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)).13．（2223高二·江蘇·假期作業(yè)）（1）求證：動直線（其中）恒過定點，并求出定點坐標；（2）求經過兩直線和的交點，且與直線垂直的直線的方程.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）解法一：利用特值法，可得定點，再驗證滿足題意；解法二：動直線轉化為，利用，則關于的方程系數(shù)為，列出方程解得即可.（2）解法一：聯(lián)立兩直線求出交點，又與直線垂直的直線斜率，寫出直線即可；解法二：利用垂直直線系，得直線方程為，再代入交點解得的值，即可得到答案；解法三：利用交點系得直線，又，得方程，解得的值，即可得到答案.【詳解】(1)證明：解法一：令，則直線方程為

①再令時，直線方程為

②①和②聯(lián)立方程組，得，將點代入動直線中，即故動直線恒過定點.解法二：將動直線方程按降冪排列整理，得①不論為何實數(shù)，①式恒為零，∴有，解得，故動直線恒過點．(2)解法一：聯(lián)立方程，解得，直線的斜率為，由，則直線的斜率為，故直線的方程為.解法二：設所求直線方程為，將解法一中求得的交點代入上式可得，故所求直線方程為.解法三：設直線的方程為，即，又，∴

，解得，故直線的方程為【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高二上·湖北武漢·期中）已知的頂點，邊上的高所在直線方程為，邊上中線所在的直線方程為，則高的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】先求得點的坐標，然后求得點的坐標，進而求得.【分析】由解得，所以.設，則，所以，①，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以②，由①②解得，則，直線的方程為，由，解得，則，所以.故選：C

二、多選題2．（2324高二上·貴州遵義·階段練習）若三條不同的直線：，：，：不能圍成一個三角形，則的取值可能為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】BCD【分析】討論、、三條直線交于一點得出的可能取值.【詳解】若，則解得．若，則解得．由解得即與的交點坐標為，若過點，則，解得．故選：BCD．三、填空題3．（2324高二下·上?！るA段練習）已知直線，若直線與連接兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角