北師大版七年級數(shù)學下冊舉一反三系列7.6期末專項復習之生活中的軸對稱十六大必考點同步練習(學生版+解析)

專題7.6生活中的軸對稱十六大必考點【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1判斷軸對稱圖形】 1【考點2畫對稱軸】 2【考點3求對稱軸的條數(shù)】 4【考點4作軸對稱圖形】 4【考點5根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷】 6【考點6根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解】 7【考點7臺球桌上的軸對稱問題】 8【考點8軸對稱中的光線反射問題】 10【考點9折疊問題】 11【考點10尺規(guī)作角平分線與垂直平分線】 12【考點11根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解】 13【考點12根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解】 14【考點13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解】 15【考點14判尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】 15【考點15尺規(guī)作等腰三角形】 16【考點16設計軸對軸圖案】 17【考點1判斷軸對稱圖形】【例1】（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）在以下表示“節(jié)水”“節(jié)能”“回收”“綠色食品”含義的四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．【變式1-1】（2022秋·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）以下是清華大學、北京大學、上海交通大學、浙江大學的?；?，其中是軸對稱圖形的是（）A．B．C． D．【變式1-2】（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）七巧板是我國的一種傳統(tǒng)智力玩具．下列用七巧板拼成的圖形中，是軸對稱圖形的是（

）B．C．D．【變式1-3】（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）在下列四個圖案的設計中，沒有運用軸對稱知識的是（）A． B． C． D．【考點2畫對稱軸】【例2】（2022秋·上?！て吣昙壠谀┤鐖D，已知三角形紙片ABC，將紙片折疊，使點A與點C重合，折痕分別與邊AC、BC交于點D、E．(1)畫出直線DE；(2)若點B關于直線DE的對稱點為點F，請畫出點F；(3)在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)EF、DF，如果△DEF的面積為2，△DEC的面積為4，那么△ABC的面積等于．【變式2-1】（2022秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC與△DEF關于直線l對稱．（1）請用無刻度的直尺畫出該對稱軸l；（2）在對稱軸l上找一點P，使PB+PC的和最小．（請保留作圖痕跡）【變式2-2】（2022春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）已知，△ABC是等邊三角形，請僅使用無刻度的直尺分別畫出圖1和圖2的對稱軸．(1)若△DEF是等腰三角形，A點是DE的中點，且DE∥BC(2)若△ADE是等腰三角形，四邊形BCGF為等腰梯形．【變式2-3】（2022春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）圖①和圖②均為正方形網(wǎng)格，點A，B，C在格點上．（1）請你分別在圖①，圖②中確定格點D，畫出一個以A，B，C，D為頂點的四邊形，使其成為軸對稱圖形，并畫出對稱軸，對稱軸用直線m表示；（2）每個小正方形的邊長為1，請分別求出圖①，圖②中以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積．【考點3求對稱軸的條數(shù)】【例3】（2022春·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）正方形的對稱軸有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3-1】（2022秋·山東聊城·八年級聊城市實驗中學?？计谥校┫铝袌D形中，是軸對稱圖形并且對稱軸最多的是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（2022春·廣東深圳·七年級校考期末）如圖所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（）A．1條 B．3條 C．5條 D．無數(shù)條【變式3-3】（2022秋·浙江臺州·七年級校考期中）一張長方形的紙對折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折2次后，可以得3條折痕，那么對折4次可以得到______條折痕．【考點4作軸對稱圖形】【例4】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，M，N都在格點上．(1)作△ABC關于直線MN對稱的圖形△A(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長為1，求△ABC的面積；(3)在直線MN上找一點P，使得PC?PA1的值最大，并畫出點【變式4-1】（2022秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，網(wǎng)格中的每一個小正方形的邊長為1，△ABC為格點三角形（點A、B、C在小正方形的格點上），直線m為格點直線（直線m經(jīng)過小正方形的格點）．(1)如圖1，作出△ABC關于直線m的軸對稱圖形△A(2)如圖2，在直線m上找到一點P，使PA+PB的值最?。?3)如圖3，僅用直尺將網(wǎng)格中的格點三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影．【變式4-2】（2022春·山東濟南·七年級校考期末）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色.現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個涂成黑色，使涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形.在下面每個網(wǎng)格中分別畫出一種符合要求的圖形（畫出三種即可）．【變式4-3】（2022春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，四邊形ABCD的頂點與點E都是格點．(1)作四邊形ABCD關于直線MN對稱的四邊形A'B'C'D．(2)求四邊形ABCD的面積：______．(3)若在直線MN上有一點P使得PA+PE最小(點E位置如圖所示)，連接PD，請求出此時的PD=______．【考點5根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷】【例5】（2022春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）有下列說法：①軸對稱的兩個三角形形狀相同；②面積相等的兩個三角形是軸對稱圖形；③軸對稱的兩個三角形的周長相等；④經(jīng)過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)得到的三角形與原三角形是形狀相同的．其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式5-1】（2022·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）P是∠AOB內(nèi)一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是()A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2【變式5-2】（2022春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF關于直線l的軸對稱圖形是六邊形A′B′C′D′E′F′，下列判斷錯誤的是（

）A．AB=A′B′ B．BC∥B′C′ C．直線l⊥BB′ D．∠A′=120°【變式5-3】（2022春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一個風箏的圖案，它是以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是()A．△ABD與△ACD完全一樣 B．AFC．直線BG，CE的交點在AF上 D．△DEG是等邊三角形【考點6根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解】【例6】（2022秋·廣西柳州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線AC是它的對稱軸，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，則∠BCD的大小為（）A．150° B．140° C．130° D．120°【變式6-1】（2022秋·福建廈門·八年級?？计谥校┤鐖D，點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作點P關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，則△PMN的周長為（）A．16 B．15 C．14 D．13【變式6-2】（2022秋·福建廈門·八年級福建省廈門第二中學校考期中）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，AB=3cm，CD=2cm．則四邊形ABCD的周長為_______【變式6-3】（2022秋·甘肅·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個風箏的圖案，它是軸對稱圖形，∠B=25°，（1）求∠E的度數(shù)；（2）求AB的長度；（3）若ΔOCD是等邊三角形，CF=22cm，求ΔOCD的周長.【考點7臺球桌上的軸對稱問題】【例7】（2022秋·黑龍江雙鴨山·八年級統(tǒng)考期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【變式7-1】（2022秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個點中，可以瞄準的點有____個．【變式7-2】（2022秋·八年級課時練習）如圖，在一個規(guī)格為4×8的球臺上，有兩個小球P和Q．若擊打小球P經(jīng)過球臺的邊AB反彈后，恰好擊中小球Q，則小球P擊出時，應瞄準AB邊上的（

）A．點O1 B．點O2 C．點O3【變式7-3】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，彈性小球從點P出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當小球第1次碰到矩形的邊時的點為Q，第2次碰到矩形的邊時的點為M，…．第2022次碰到矩形的邊時的點為圖中的（）A．點P B．點Q C．點M D．點N【考點8軸對稱中的光線反射問題】【例8】（2022·河北衡水·校聯(lián)考模擬預測）如圖，光線自點P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【變式8-1】（2022秋·全國·八年級期末）如圖，在水平地面AB上放一個平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式8-2】（2022秋·八年級單元測試）如圖，在8×4的長方形ABCD網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格的頂點叫格點．一發(fā)光電子位于AB邊上格點P處，將發(fā)光電子沿PR方向發(fā)射（其中∠PRB=45°），碰撞到長方形的BC邊時發(fā)生反彈，設定此時為發(fā)光電子第1次與長方形的邊碰撞（點R為第1次碰撞點）．發(fā)光電子碰撞到長方形的邊時均發(fā)生反彈，若發(fā)光電子與長方形的邊共碰撞了2021次，則它與AB邊碰撞次數(shù)是____【變式8-3】（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市天一實驗學校?？计谥校┤鐖D，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與反射光線的夾角為50°，則平面鏡與水平地面的夾角α的度數(shù)是______．【考點9折疊問題】【例9】（2022春·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1=35°，則A．90° B．100° C．105° D．110°【變式9-1】（2022·河南鄭州·鄭州外國語中學校考一模）如圖所示，將一個長方形紙條折成如圖的形狀，若已知∠1=108°，則∠2為（）A．24° B．32° C．36° D．42°【變式9-2】（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）將圖1中的△ABC折疊，使點A與點C重合，折痕為ED，點E，D分別在AB，AC上，得到圖形2．若BC=4，AB=5，則△EBC的周長是________．【變式9-3】（2022秋·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期末）利用折紙可以作出角平分線，如圖1折疊，則OC為∠AOB的平分線，如圖2、圖3，折疊長方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點A落在點A'，點B落在點B'，連接(1)如圖2，若點B'恰好落在OA'上，且∠AOC=32°(2)如圖3，當點B'在∠COA'的內(nèi)部時，連接OB'，若∠AOC=44°【考點10尺規(guī)作角平分線與垂直平分線】【例10】（2022秋·福建泉州·八年級期末）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）A．FH>HG B．FH=HG C．FH<HG D．PF<PG【變式10-1】（2022春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中：(1)作∠ABC的角平分線交AC于D，作線段BD的垂直平分線EF分別交AB于E，交BC于F，垂足為O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接DF，則DF與邊AB的位置關系是______，請說明你的理由．【變式10-2】（2022秋·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）已知△ABC，圖中虛線為∠BAC的角平分線，請用尺規(guī)作圖法作⊙O，使它經(jīng)過點B、C，并且圓心O在∠BAC的角平分線上．（不寫作法，保留作圖痕跡）【變式10-3】（2022秋·甘肅天水·八年級統(tǒng)考期末）在勞動植樹節(jié)活動中，兩個班的學生分別在M，N兩處參加植樹勞動，現(xiàn)要在道路的AB，AC交叉區(qū)域內(nèi)設一個茶水供應點P，使P到兩條道路的距離相等，且使PM＝PN，請同學們用圓規(guī)、直尺在圖中畫出供應點P的位置，保留畫圖痕跡，不要證明．【考點11根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解】【例11】（2022秋·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB=10，AC=8，則S△ABDA．25：16 B．5：4C．16：25 D．4：5【變式11-1】（2022春·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，則△ABD的面積為_____．【變式11-2】（2022秋·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）Rt△ABC中，∠C是直角，O是兩內(nèi)角平分線的交點，AC=6，BC=8，BA=10，O到三邊的距離是______.【變式11-3】（2022秋·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,則S△ABD=______．【考點12根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解】【例12】（2022秋·江蘇宿遷·八年級沭陽縣懷文中學?？计谥校┤鐖D所示，在△ABC中，∠BAC=105°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點E、N在BC上，則∠EAN=______【變式12-1】（2022秋·福建廈門·八年級廈門市第十一中學校考期中）如圖，已知△ABC，AB邊的垂直平分線交AC與點D，連接DB，如果AC=8，BC=5，那么△BCD的周長等于__________．【變式12-2】（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分線DE分別交AC、AB于點D、【變式12-3】（2022秋·湖北荊門·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點．（1）若△CDE的周長為4，求AB的長；（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度數(shù)；（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），則∠DCE=___________.【考點13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解】【例13】（2022秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）已知∠AOB=45°，其內(nèi)部有一點P，它關于OA，OB的對稱點分別為M，N，則△MON是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式13-1】（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是(

)A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°【變式13-2】（2022秋·江蘇南京·八年級南京第五初中?？茧A段練習）在等腰三角形ABC中，AB=AC，一邊上的中線BD將這個三角形的周長分為18和15兩部分，求這個等腰三角形的底邊長．【變式13-3】（2022秋·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）在等腰三角形ABC中，其中一內(nèi)角為50°，腰AB的垂直平分線MN交AC所在的直線于點D，則∠DBC的度數(shù)為______．【考點14判尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】【例14】（2022·廣東·豐順縣潘田中學九年級開學考試）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（

）A．8個 B．7個 C．6個 D．5個【變式14-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學八年級階段練習）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有___個．【變式14-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關學校八年級期末）如圖，△ABC的點A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點P在直線l上運動，當△ABP成為等腰三角形時，則【變式14-3】（2022秋·浙江·八年級期末）如圖，在矩形ABCD的邊上找到一點P，使得△AEP為等腰三角形，請畫出所有的點P．【考點15尺規(guī)作等腰三角形】【例15】（2022·山東青島·九年級專題練習）如圖，已知：點P和直線BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，點M落在BC上．【變式15-1】（2022·福建省福州屏東中學八年級期中）我們知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一個頂角等于36°的等腰三角形稱為“黃金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，請用兩種不同的尺規(guī)作圖在BC上找點D，使得△ABD是黃金三角形，并說明其中一種做法的理由．【變式15-2】（2022·福建龍巖·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，射線CM∥AB．(1)在線段AB上取一點E，使得CE=CB，在射線CM上確定一點D，使△CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接AD，求證：AD=BC．【變式15-3】（2022·山東省青島第六十三中學八年級期中）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．【考點16設計軸對軸圖案】【例16】（2022·江蘇·八年級課時練習）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長都為1個單位長度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個小三角形（陰影部分表示），請你再只涂黑一個小三角形，使它與陰影部分合起來所構(gòu)成的圖形是一個軸對稱圖形，一共有（

）種涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【變式16-1】（2022·河北·九年級專題練習）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點，現(xiàn)有一點P在其它格點上，且A、B、C、P為軸對稱圖形，問共有幾個這樣的點P（）專題7.6生活中的軸對稱十六大必考點【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1判斷軸對稱圖形】 1【考點2畫對稱軸】 4【考點3求對稱軸的條數(shù)】 8【考點4作軸對稱圖形】 10【考點5根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷】 16【考點6根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解】 18【考點7臺球桌上的軸對稱問題】 21【考點8軸對稱中的光線反射問題】 24【考點9折疊問題】 27【考點10尺規(guī)作角平分線與垂直平分線】 30【考點11根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解】 34【考點12根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解】 37【考點13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解】 40【考點14判尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】 42【考點15尺規(guī)作等腰三角形】 45【考點16設計軸對軸圖案】 49【考點1判斷軸對稱圖形】【例1】（2022秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）在以下表示“節(jié)水”“節(jié)能”“回收”“綠色食品”含義的四個標志中，是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【詳解】解：選項A、B、C中的標志都不是軸對稱圖形，都不符合題意；選項D中的標志是軸對稱圖形，符合題意，故選：D．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的識別，確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式1-1】（2022秋·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）以下是清華大學、北京大學、上海交通大學、浙江大學的校徽，其中是軸對稱圖形的是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】利用軸對稱圖形定義進行依次分析即可．【詳解】A.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D.不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【變式1-2】（2022春·河南平頂山·七年級統(tǒng)考期末）七巧板是我國的一種傳統(tǒng)智力玩具．下列用七巧板拼成的圖形中，是軸對稱圖形的是（

）B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義去逐一判斷即可．【詳解】解：A是軸對稱圖形，符合題意，B不是軸對稱圖形，不符合題意，C不是軸對稱圖形，不符合題意，D不是軸對稱圖形，不符合題意，故選A．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的定義，準確理解定義，是解題的關鍵．【變式1-3】（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）在下列四個圖案的設計中，沒有運用軸對稱知識的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用軸對稱圖形的定義得出符合題意的答案．【詳解】解：A、，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；B、，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、，不是軸對稱圖形，故此選項正確；D、，是軸對稱圖形，故此選項錯誤；【點睛】本題考查了軸對稱圖形，正確把握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．【考點2畫對稱軸】【例2】（2022秋·上海·七年級期末）如圖，已知三角形紙片ABC，將紙片折疊，使點A與點C重合，折痕分別與邊AC、BC交于點D、E．(1)畫出直線DE；(2)若點B關于直線DE的對稱點為點F，請畫出點F；(3)在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)EF、DF，如果△DEF的面積為2，△DEC的面積為4，那么△ABC的面積等于．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)12【分析】（1）畫出線段AC的垂直平分線即為直線DE；（2）作出點B關于直線DE的對稱點F即可；（3）先求得S△AEC=8，S△BDE＝2，再求得S△BDES△CDE＝BEEC＝12和S△AECS△ABC＝EC【詳解】（1）解：如圖，直線DE即為所作：（2）如圖，點F即為所作：（3）連接AE，如圖所示：由對折可得：S△AED=S△DEC，S△BDE=S△DEF，∴S△AEC=8，S△BDE=2，設△BED中BE邊上的高為h，S△AECS△ABC＝=即BEEC則2BE=EC，設△AEC中EC邊上的高為h'，則：S△AECS△ABC∴S△ABC故答案為：12【點睛】本題考查作圖——軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，靈活運用所學知識解決問題．【變式2-1】（2022秋·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC與△DEF關于直線l對稱．（1）請用無刻度的直尺畫出該對稱軸l；（2）在對稱軸l上找一點P，使PB+PC的和最?。ㄕ埍Ａ糇鲌D痕跡）【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）找到每個圖中的對應線段，延長找到交點，過交點作直線l即可．（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及兩點之間線段最短，連接EC，交直線l于點P，則點P即為所求．【詳解】解：（1）如圖，直線l即為所求；（2）如圖，點P即為所求．【點睛】本題考查了作圖--軸對稱變換以及利用軸對稱求最短路徑，解此題的關鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出P點．【變式2-2】（2022春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）已知，△ABC是等邊三角形，請僅使用無刻度的直尺分別畫出圖1和圖2的對稱軸．(1)若△DEF是等腰三角形，A點是DE的中點，且DE∥BC(2)若△ADE是等腰三角形，四邊形BCGF為等腰梯形．【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析.【分析】（1）因為圖1中的對稱軸一定經(jīng)過等腰三角形的頂點F和底邊中點A,所以連接AF，則AF即為所求.（2）因為圖2中的對稱軸一定經(jīng)過等腰梯形對角線的交點和等腰三角形的頂點A，所以先連接等腰梯形的對角線得到交點，再與頂點A連接即可.【詳解】解：如圖：．【點睛】本題考查了畫軸對稱圖形的對稱軸，熟練掌握基本軸對稱圖形的對稱軸位置是解題關鍵.【變式2-3】（2022春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）圖①和圖②均為正方形網(wǎng)格，點A，B，C在格點上．（1）請你分別在圖①，圖②中確定格點D，畫出一個以A，B，C，D為頂點的四邊形，使其成為軸對稱圖形，并畫出對稱軸，對稱軸用直線m表示；（2）每個小正方形的邊長為1，請分別求出圖①，圖②中以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積．【答案】見解析.【分析】(1)圖①中以AC為對稱軸作圖即可，圖②中以線段AC的中垂線為對稱軸作圖即可；(2)圖①中四邊形面積為兩倍的△ABC的面積，圖②中四邊形為梯形.【詳解】解：（1）如圖①、圖②所示，四邊形ABCD和四邊形ABDC即為所求；（2）如圖①，四邊形ABCD的面積為：2×4=8；如圖②，四邊形ABDC的面積為：×2×（2+4）=6．【點睛】本題考查了軸對稱中理解和作圖的能力.【考點3求對稱軸的條數(shù)】【例3】（2022春·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）正方形的對稱軸有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】根據(jù)正方形的對稱性解答．【詳解】如圖，正方形對稱軸為經(jīng)過對邊中點的直線，兩條對角線所在的直線，共4條．故選D．【考點】軸對稱的性質(zhì)．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟記正方形的對稱性是解題的關鍵．【變式3-1】（2022秋·山東聊城·八年級聊城市實驗中學?？计谥校┫铝袌D形中，是軸對稱圖形并且對稱軸最多的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)確定出各選項圖形的對稱軸的條數(shù)，然后選擇即可．【詳解】A、是軸對稱圖形但有3條對稱軸；B、是軸對稱圖形但有1條對稱軸；C、圖形不是軸對稱圖形；D、是軸對稱圖形但有4條對稱軸；所以，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是D選項圖形．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式3-2】（2022春·廣東深圳·七年級校考期末）如圖所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（）A．1條 B．3條 C．5條 D．無數(shù)條【答案】A【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】五角星的對稱軸共有5條，故選C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義．【變式3-3】（2022秋·浙江臺州·七年級?？计谥校┮粡堥L方形的紙對折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折2次后，可以得3條折痕，那么對折4次可以得到______條折痕．【答案】15【分析】根據(jù)對折次數(shù)得到分成的份數(shù)，再減去1即可得到折痕條數(shù)．【詳解】解：根據(jù)觀察可以得到：對折1次，一張紙分成兩份，折痕為1條；對折2次，一張紙分成22對折3次，一張紙分成23∴對折4次，一張紙分成24故答案為15．【點睛】本題考查折疊問題，掌握分成份數(shù)與折疊次數(shù)、折痕條數(shù)的關系是解題關鍵．【考點4作軸對稱圖形】【例4】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，M，N都在格點上．(1)作△ABC關于直線MN對稱的圖形△A(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長為1，求△ABC的面積；(3)在直線MN上找一點P，使得PC?PA1的值最大，并畫出點【答案】(1)詳見解析(2)7(3)詳見解析【分析】（1）利用軸對稱的性質(zhì)分別作出A、B、C的對應點A1，B1，（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．（3）連接A1C1交直線MN于點P（1）如圖，△A（2）△ABC的面積為3×3?（3）點P即為所求【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱一最短路徑問題，三角形的面積，解決本題的關鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)準確作出點P．【變式4-1】（2022秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，網(wǎng)格中的每一個小正方形的邊長為1，△ABC為格點三角形（點A、B、C在小正方形的格點上），直線m為格點直線（直線m經(jīng)過小正方形的格點）．(1)如圖1，作出△ABC關于直線m的軸對稱圖形△A(2)如圖2，在直線m上找到一點P，使PA+PB的值最??；(3)如圖3，僅用直尺將網(wǎng)格中的格點三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）分別作出A，B，C的對應點A′、B′、C′，然后順次連接即可即可．（2）作點B關于直線m的對稱點B'，連接AB'，交直線m于點P（3）如圖，取格點O，使得S△AOC【詳解】（1）解：如圖1所示，△A（2）解：如圖2，點P即為所求作．（3）解：如圖3所示即為所作．【點睛】本題主要考查了軸對稱變換、格點三角形的面積，線段和最小值問題，掌握數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵．【變式4-2】（2022春·山東濟南·七年級?？计谀┤鐖D是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色.現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個涂成黑色，使涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形.在下面每個網(wǎng)格中分別畫出一種符合要求的圖形（畫出三種即可）．【答案】見解析【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)設計出圖案即可．【詳解】解：如圖所示．．【點睛】本題考查的是利用軸對稱設計圖案，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關鍵．【變式4-3】（2022春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，四邊形ABCD的頂點與點E都是格點．(1)作四邊形ABCD關于直線MN對稱的四邊形A'B'C'D．(2)求四邊形ABCD的面積：______．(3)若在直線MN上有一點P使得PA+PE最小(點E位置如圖所示)，連接PD，請求出此時的PD=______．【答案】(1)圖見解析．(2)6．(3)3．【分析】1根據(jù)對稱的性質(zhì)作圖即可．2將所求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個小三角形的面積之和，求解即可．3過MN作點E的對稱點E'，連接AE'，與MN交于點P，此時PA+PE最小，進而可得出答案．【詳解】（1）如圖，四邊形A'B'C'D即為所求．（2）S四邊形故答案為：6．（3）過MN作點E的對稱點E'，連接AE'，與MN交于點P，此時PA+PE最小，∴PD=3．故答案為：3．【點睛】本題考查作圖?軸對稱變換、三角形的面積公式、軸對稱?最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關鍵．【考點5根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行判斷】【例5】（2022春·河南洛陽·七年級統(tǒng)考期末）有下列說法：①軸對稱的兩個三角形形狀相同；②面積相等的兩個三角形是軸對稱圖形；③軸對稱的兩個三角形的周長相等；④經(jīng)過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)得到的三角形與原三角形是形狀相同的．其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】根據(jù)平移、翻折或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)逐項判斷可求解．【詳解】解：①軸對稱的兩個三角形形狀相同，故正確；②面積相等的兩個三角形形狀不一定相同，故不是軸對稱圖形，故錯誤；③軸對稱的兩個三角形的周長相等，故正確；④經(jīng)過平移、翻折或旋轉(zhuǎn)得到的三角形與原三角形是形狀相同的，故正確．【點睛】本題考查了圖形的變換，掌握平移、翻折或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式5-1】（2022·四川德陽·八年級統(tǒng)考期末）P是∠AOB內(nèi)一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是()A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2【答案】B【詳解】試題分析：如圖，∵點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2．∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB．∵∠AOB度數(shù)任意，∴OP1⊥OP2不一定成立．故選B．【變式5-2】（2022春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF關于直線l的軸對稱圖形是六邊形A′B′C′D′E′F′，下列判斷錯誤的是（

）A．AB=A′B′ B．BC∥B′C′ C．直線l⊥BB′ D．∠A′=120°【答案】B【詳解】因為正六邊形ABCDEF關于直線l的軸對稱圖形是六邊形A’B‘C’D‘E’F‘，所以AB=A’B‘，直線l⊥BB’，所以A、C正確，不符合題意，又六邊形A‘B’C‘D’E‘F’是正六邊形，所以∠A‘=120°，所以D正確，不符合題意，故選B．【變式5-3】（2022春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一個風箏的圖案，它是以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是()A．△ABD與△ACD完全一樣 B．AFC．直線BG，CE的交點在AF上 D．△DEG是等邊三角形【答案】D【分析】認真觀察圖形，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)得選項A、B、C都是正確的，沒有理由能夠證明△DEG是等邊三角形．【詳解】A．因為此圖形是軸對稱圖形，正確；B．對稱軸垂直平分對應點連線，正確；C．由三角形全等可知，BG＝CE，且直線BG，CE的交點在AF上，正確；D．題目中沒有60°條件，不能判斷是等邊三角形，錯誤．故選D．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)；解答此題要注意，不要受圖形誤導，要找準各選項正誤的具體原因是正確解答本題的關鍵．【考點6根據(jù)成軸對稱圖形的特征進行求解】【例6】（2022秋·廣西柳州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線AC是它的對稱軸，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，則∠BCD的大小為（）A．150° B．140° C．130° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可求得∠ACB，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得∠ACB=∠ACD，即可求解．【詳解】解：根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可求得∠ACB=180°?∠BAC?∠B=70°由軸對稱圖形的性質(zhì)可得，∠ACB=∠ACD∴∠BCD=2∠ACB=140°故選：B【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握并利用相關基本性質(zhì)進行求解．【變式6-1】（2022秋·福建廈門·八年級?？计谥校┤鐖D，點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作點P關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，則△PMN的周長為（）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得P1M=PM，P2N=PN，然后根據(jù)三角形的周長定義，求出△PMN的周長為P1P2，從而得解．【詳解】解：∵P點關于OB、OA的對稱點為P1，P2，∴P1M＝PM，P2N＝PN，∴△PMN的周長＝MN+PM+PN＝MN+P1M+P2N＝P1P2，∵P1P2＝15，∴△PMN的周長為15．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題時注意：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．【變式6-2】（2022秋·福建廈門·八年級福建省廈門第二中學?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，AB=3cm，CD=2cm．則四邊形ABCD的周長為_______【答案】10【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到AB=BC=3cm，CD=AD=2cm，即可求得四邊形【詳解】解：∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，BD所在的直線是它的對稱軸，AB=3cm，CD=2∴AB=BC=3cm，CD=AD=2∴四邊形ABCD的周長為AB+BC+CD+AD=10cm故答案為：10【點睛】此題主要考查了軸對稱，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式6-3】（2022秋·甘肅·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一個風箏的圖案，它是軸對稱圖形，∠B=25°，（1）求∠E的度數(shù)；（2）求AB的長度；（3）若ΔOCD是等邊三角形，CF=22cm，求ΔOCD的周長.【答案】（1）∠E=30°；（2）AB=90cm；（3）ΔOCD的周長是【分析】（1）由已知條件，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)解答．（2）由已知條件，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)解答．（3）由已知條件，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)進行解答即可；【詳解】（1）∵圖案是軸對稱圖形，AF為對稱軸，∠B與∠E是對應角，∠B=30∴∠E=∠B=30（2）∵圖案是軸對稱圖形，AF為對稱軸，AB與AE是對應邊，AE=90cm，∴AB=AE=90cm；（3）∵圖案是軸對稱圖形，AF為對稱軸，CF與DF是對應邊，CF=22cm，∴DF=CF=22cm，∵ΔOCD是等邊三角形，∴OC=OD=CD=22cm+22cm=44cm，∴ΔOCD的周長是44×3=132cm【點睛】此題考查軸對稱的性質(zhì)，軸對稱圖形是按一條直線折疊后兩邊重合的圖形，題中圖形對稱軸為AF，B點對稱點為E點，找準對應點是解題的關鍵．【考點7臺球桌上的軸對稱問題】【例7】（2022秋·黑龍江雙鴨山·八年級統(tǒng)考期末）如圖是臺球桌面示意圖，陰影部分表示四個入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【答案】B【分析】利用軸對稱畫圖可得答案.【詳解】解：如圖所示，球最后落入的球袋是2號袋，故選：B.【點睛】此題主要考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，關鍵是正確畫出圖形.【變式7-1】（2022秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個點中，可以瞄準的點有____個．【答案】2【分析】根據(jù)入射角等于反射角，結(jié)合網(wǎng)格特點即可求解．【詳解】解：如圖，將B球射向桌面的點1和點6，可使一次反彈后擊中A球，故可以瞄準的點有2個，故答案為：2．【點睛】本題考查軸對稱的性質(zhì)，解題關鍵是根據(jù)軸對稱性質(zhì)找到使入射角等于反射角相等的點．【變式7-2】（2022秋·八年級課時練習）如圖，在一個規(guī)格為4×8的球臺上，有兩個小球P和Q．若擊打小球P經(jīng)過球臺的邊AB反彈后，恰好擊中小球Q，則小球P擊出時，應瞄準AB邊上的（

）A．點O1 B．點O2 C．點O3【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項．【詳解】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知小球P走過的路徑為：根據(jù)入射角等于反射角可知應瞄準AB邊上的點O2．【點睛】主要考查了軸對稱的性質(zhì)．軸對稱的性質(zhì)：（1）對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；（2）對應線段相等，對應角相等．注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．【變式7-3】（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖，彈性小球從點P出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當小球第1次碰到矩形的邊時的點為Q，第2次碰到矩形的邊時的點為M，…．第2022次碰到矩形的邊時的點為圖中的（）A．點P B．點Q C．點M D．點N【答案】D【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對應的點的坐標即可．【詳解】解：如圖，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點P，∵2022÷6=337，∴當點P第2022次碰到矩形的邊時為第337個循環(huán)組的最后一次反彈，∴第2022次碰到矩形的邊時的點為圖中的點P，【點睛】此題主要考查了點的坐標的規(guī)律，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵．【考點8軸對稱中的光線反射問題】【例8】（2022·河北衡水·校聯(lián)考模擬預測）如圖，光線自點P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點是（

）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】B【分析】利用軸對稱變換的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：如圖，過點P，點B的射線交于一點O，【點睛】本題考查軸對稱變換的性質(zhì)，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式8-1】（2022秋·全國·八年級期末）如圖，在水平地面AB上放一個平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和光的反射原理計算．【詳解】解：∵入射光線垂直于水平光線，∴它們的夾角為90°，虛線為法線，∠1為入射角，∴∠1∵∠1∴∠3∵兩水平線平行∴∠α【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、光的反射原理、入射角等于反射角等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．【變式8-2】（2022秋·八年級單元測試）如圖，在8×4的長方形ABCD網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格的頂點叫格點．一發(fā)光電子位于AB邊上格點P處，將發(fā)光電子沿PR方向發(fā)射（其中∠PRB=45°），碰撞到長方形的BC邊時發(fā)生反彈，設定此時為發(fā)光電子第1次與長方形的邊碰撞（點R為第1次碰撞點）．發(fā)光電子碰撞到長方形的邊時均發(fā)生反彈，若發(fā)光電子與長方形的邊共碰撞了2021次，則它與AB邊碰撞次數(shù)是____【答案】673【分析】如圖，根據(jù)反射角與入射角的定義可以在格點中作出圖形，可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)過6次反射后，發(fā)光電子回到起始的位置，即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)圖形可以得到：每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點，且每次循環(huán)它與AB邊的碰撞有2次，∵2021÷6=336…5，當點P第2021次碰到長方形的邊時為第336個循環(huán)組后的第5次反彈，∴它與AB邊的碰撞次數(shù)是=336×2+1=673次，故答案為：673．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵．【變式8-3】（2022秋·江蘇無錫·九年級無錫市天一實驗學校?？计谥校┤鐖D，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與反射光線的夾角為50°，則平面鏡與水平地面的夾角α的度數(shù)是______．【答案】65°【分析】作CD⊥平面鏡，垂足為G，交地面于D．根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠CDH+α=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AGC=∠CDH，根據(jù)入射角等于反射角可得∠AGC=25°，從而可得夾角α的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作CD⊥平面鏡，垂足為G，交地面于D．∴∠CDH+α=90°，根據(jù)題意可知：AG∥DF，∴∠AGC=∠CDH，∵∠AGC=1∴∠CDH=25°，∴α=65°．故答案為：65°．【點睛】本題考查了入射角等于反射角問題，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質(zhì)、明確法線CG平分∠AGB．【考點9折疊問題】【例9】（2022春·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1=35°，則A．90° B．100° C．105° D．110°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出∠5=35°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠6=35°，即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：延長BC，∵AF∥∴∠3=∠1=35°，∵AD∥∴∠4=∠3=35°，∵CD∥∴∠5=∠4=35°，由折疊的性質(zhì)可知，∠5=∠6=35°，∴∠2=180°?∠5?∠6=110°，故選D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關系是解題關鍵．【變式9-1】（2022·河南鄭州·鄭州外國語中學?？家荒＃┤鐖D所示，將一個長方形紙條折成如圖的形狀，若已知∠1=108°，則∠2為（）A．24° B．32° C．36° D．42°【答案】A【分析】先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)得出∠2=∠3，再通過平角的定義求出∠3，最后求得答案即可．【詳解】如圖所示，∵紙條的兩邊互相平行，∴∠2=∠3．∵∠1=108°，∴∠3+∠4=180°?∠1=180°?108°=72°．根據(jù)翻折的性質(zhì)得，∠4=∠3=36°．∴∠2=∠3=36°．故選C．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關鍵．【變式9-2】（2022秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）將圖1中的△ABC折疊，使點A與點C重合，折痕為ED，點E，D分別在AB，AC上，得到圖形2．若BC=4，AB=5，則△EBC的周長是________．【答案】9【分析】根據(jù)折疊，得到AE=CE，利用△EBC的周長=BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB，進行求解即可．【詳解】解：△ABC折疊，使點A與點C重合，折痕為ED，∴AE=CE，∴△EBC的周長=BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB=4+5=9；故答案為：9．【點睛】本題考查折疊．熟練掌握折疊的性質(zhì)，是解題的關鍵．【變式9-3】（2022秋·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期末）利用折紙可以作出角平分線，如圖1折疊，則OC為∠AOB的平分線，如圖2、圖3，折疊長方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點A落在點A'，點B落在點B'，連接(1)如圖2，若點B'恰好落在OA'上，且∠AOC=32°(2)如圖3，當點B'在∠COA'的內(nèi)部時，連接OB'，若∠AOC=44°【答案】(1)58°(2)30°【分析】（1）由折疊得出∠AOC=∠A'OC，∠BOD=∠B'（2）同（1）的方法求出∠A'OD【詳解】（1）解：由題意知∠AOC=∠A'OC∵∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠∴∠BOD=1（2）解：由題意知∠AOC=∠A'OC∵∠AOC+∠A'OC+∠A'∴∠A∴∠A【點睛】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，角的和差的計算，從圖形中找出角之間的關系是解本題的關鍵．【考點10尺規(guī)作角平分線與垂直平分線】【例10】（2022秋·福建泉州·八年級期末）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）A．FH>HG B．FH=HG C．FH<HG D．PF<PG【答案】D【分析】由作圖痕跡得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，作HM⊥PA，依據(jù)垂線段最短，可得結(jié)論；【詳解】解：由作圖痕跡得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，過H點作HM⊥PA于M點，如圖，∴HM=HG，∵HF>HM，∴HF>HG，故選：A．【點睛】本題考查角的平分線作圖和線段的垂直平分線的作圖，解題關鍵判斷出角的平分線、線段的垂直平分線．【變式10-1】（2022春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中：(1)作∠ABC的角平分線交AC于D，作線段BD的垂直平分線EF分別交AB于E，交BC于F，垂足為O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接DF，則DF與邊AB的位置關系是______，請說明你的理由．【答案】(1)答案見解析(2)DF∥AB，理由見解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行判斷即可．【詳解】（1）解：以點B為圓心任意長度為半徑畫弧，交AB、BC于兩個點，分別以這兩點為圓心，大于這兩點距離的一半為半徑畫弧相交于∠ABC內(nèi)一點，連接點B與這點的射線BD即為角平分線，再以點B、D分別為圓心，大于12BD長為半徑畫弧線，與AB交于點E，與BC交于點F，連接EF（2）DF與邊AB的位置關系是DF∥AB，理由：由作圖可知，∠ABD=∠CBD，∵EF垂直平分線段BD，∴FB=FD，∴∠CBD=∠FDB，∴∠ABD=∠BDF，∴DF∥AB．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，做角平分線、做線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式10-2】（2022秋·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）已知△ABC，圖中虛線為∠BAC的角平分線，請用尺規(guī)作圖法作⊙O，使它經(jīng)過點B、C，并且圓心O在∠BAC的角平分線上．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】分別以B、C為圓心，以大于12BC為半徑畫弧，兩弧交于M、N，連接MN，再以MN和虛線的交點為圓心O，以【詳解】解：如圖，⊙O即為所求．【點睛】本題考查了作圖－基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）是解題的關鍵．【變式10-3】（2022秋·甘肅天水·八年級統(tǒng)考期末）在勞動植樹節(jié)活動中，兩個班的學生分別在M，N兩處參加植樹勞動，現(xiàn)要在道路的AB，AC交叉區(qū)域內(nèi)設一個茶水供應點P，使P到兩條道路的距離相等，且使PM＝PN，請同學們用圓規(guī)、直尺在圖中畫出供應點P的位置，保留畫圖痕跡，不要證明．【答案】見解析【分析】因為P到兩條道路的距離相等，且使PM＝PN，所以P應是∠BAC的平分線和MN的垂直平分線的交點．【詳解】解：∠BAC的平分線和MN的垂直平分線的交點P即為所求，如圖，【點睛】此題考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，需仔細分析題意，結(jié)合圖形，利用線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)是解答此題的關鍵．【考點11根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解】【例11】（2022秋·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB=10，AC=8，則S△ABDA．25：16 B．5：4C．16：25 D．4：5【答案】B【分析】先根據(jù)角平分線性質(zhì)得到點D到AB和AC的距離相等，然后根據(jù)三角形的面積公式得到S△ABD【詳解】∵AD平分∠BAC，∴點D到AB和AC的距離相等，S△ABD故選：B【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能熟記角平分線性質(zhì)是解題的關鍵，角平分線上的點到角兩邊的距離相等．【變式11-1】（2022春·河北邯鄲·七年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，則△ABD的面積為_____．【答案】12【分析】過D作DE⊥BA，交BA的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DC＝6，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【詳解】解：過D作DE⊥BA，交BA的延長線于E，∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，∴DE＝DC，∵DC＝6，∴DE＝6，∵AB＝4，∴△ABD的面積是12×AB×DE＝故答案為：12．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DC=6是解此題的關鍵．【變式11-2】（2022秋·黑龍江大慶·七年級統(tǒng)考期末）Rt△ABC中，∠C是直角，O是兩內(nèi)角平分線的交點，AC=6，BC=8，BA=10，O到三邊的距離是______.【答案】2【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OE＝OD＝OF，根據(jù)三角形面積公式求出R即可．【詳解】解：過O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，連接OC，∵O為∠A、∠B的平分線的交點，∴OD＝OF，OE＝OF，∴OD＝OE＝OF，設OD＝OE＝OF＝R，∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，則12×6×8＝12×6R＋12解得R＝2，即OD＝OE＝OF＝2，∴點O到三邊的距離為2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式的應用，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等的知識是解答此題的關鍵．【變式11-3】（2022秋·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,則S△ABD=______．【答案】15cm2【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，根據(jù)三角形的面積公式即可求得△ABD的面積．【詳解】解：過點D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分線，∠C＝90°，DE⊥AB∴DE=DC，∵BC＝8cm，BD＝5cm，∴DE=DC=3cm，∴S△ABD=12·AB·DE=12×10×3=15(cm故答案為：15cm2．【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答的關鍵．【考點12根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解】【例12】（2022秋·江蘇宿遷·八年級沭陽縣懷文中學?？计谥校┤鐖D所示，在△ABC中，∠BAC=105°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點E、N在BC上，則∠EAN=______【答案】30°【分析】先由∠BAC=105°及三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠B=∠BAE,∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN，由∠EAN=∠BAC?∠BAE+∠CAN【詳解】解∶∵△ABC中，∠BAC=105°，∴∠B+∠C=180°?∠BAC=180°?105°=75°∵EF、MN分別是AB、AC的中垂線，∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=75°，∴∠EAN=∠BAC?(∠BAE+∠CAN)=105°?75°=30°．故答案為30°．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，能根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C=∠BAE+∠CAN是解答此題的關鍵．【變式12-1】（2022秋·福建廈門·八年級廈門市第十一中學?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，AB邊的垂直平分線交AC與點D，連接DB，如果AC=8，BC=5，那么△BCD的周長等于__________．【答案】13【分析】AB邊的垂直平分線交AC與點D，連接DB，由此可知AD=BD，△BCD的周長的是CD+BD+BC，由此即可求解．【詳解】解：AB邊的垂直平分線交AC與點D，連接DB，如果AC=8，BC=5，∴AD=BD，∴AD+DC=BD+DC=8，△BCD的周長等于BD+DC+BC=8+5=13，故答案是：13．【點睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)求線段的關系，掌握垂直平行的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式12-2】（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分線DE分別交AC、AB于點D、【答案】15°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠C=【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∵DE垂直平分AB，∴AD=∴∠ABD=∴∠CBD【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【變式12-3】（2022秋·湖北荊門·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點．（1）若△CDE的周長為4，求AB的長；（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度數(shù)；（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），則∠DCE=___________.【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC=DA，EC=EB，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCA+∠ECB，根據(jù)題意計算即可；（3）根據(jù)（2）的方法解答．【詳解】（1）∵D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周長=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的長為4；（2）∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°；（3）∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案為：2α-180°．【考點13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解】【例13】（2022秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期中）已知∠AOB=45°，其內(nèi)部有一點P，它關于OA，OB的對稱點分別為M，N，則△MON是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，繼而可得OM=OP=ON,∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，根據(jù)等腰直角三角形的判定即可求解．【詳解】∵點P關于OA、OB的對稱點分別是M、N，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴OM=OP=ON,∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，∴△MON是等腰直角三角形故選：D．【點睛】本題考查等腰直角三角形的判定，軸對稱的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱的性質(zhì)．【變式13-1】（2022秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是(

)A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°【答案】B【分析】由于等腰三角形的兩底角相等，所以90°的角只能是頂角，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得另兩底角．【詳解】解：∵等腰三角形的兩底角相等，∴兩底角的和為180°﹣90°=90°，∴兩個底角分別為45°，45°，故選B．【變式13-2】（2022秋·江蘇南京·八年級南京第五初中?？茧A段練習）在等腰三角形ABC中，AB=AC，一邊上的中線BD將這個三角形的周長分為18和15兩部分，求這個等腰三角形的底邊長．【答案】9或13．【詳解】解：根據(jù)題意，①當18是腰長與腰長一半時，AC+12所以底邊長=15﹣12②當15是腰長與腰長一半時，AC+12所以底邊長=18﹣12所以底邊長為9或13．【變式13-3】（2022秋·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）在等腰三角形ABC中，其中一內(nèi)角為50°，腰AB的垂直平分線MN交AC所在的直線于點D，則∠DBC的度數(shù)為______．【答案】15或30【分析】根據(jù)等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，分類討論等腰三角形，①當?shù)妊切谓菫椋?0，65，65；②當?shù)妊切谓菫椋?0，50，80；再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可．【詳解】∵等腰三角形ABC中，其中一個內(nèi)角為50°，∴①當AB=AC，∠A=50°，如下圖：∴∠CBA=65°，∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠BAD=∠DBA=50°，∴∠CBD=∠CBA?∠ABD=15°；②當BA=BC，∠A=∠C=50°，如下圖：∴∠ABC=80°，∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠CBD=80°?50°=30°，∴∠DBC的度數(shù)為：15或者30．故答案為：15或者30．【點睛】本題考查等腰三角形和垂直平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)．【考點14判尋找構(gòu)成等腰三角形的點的個數(shù)】【例14】（2022·廣東·豐順縣潘田中學九年級開學考試）如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的頂點上，請在圖中找一個頂點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點C有（

）A．8個 B．7個 C．6個 D．5個【答案】D【分析】當AB為底時，作AB的垂直平分線，當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，分別找到格點即可求解．【詳解】解：當AB為底時，作AB的垂直平分線，可找出格點C的個數(shù)有5個，當AB為腰時，分別以A、B點為頂點，以AB為半徑作弧，可找出格點C的個數(shù)有3個；∴這樣的頂點C有8個．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式14-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學八年級階段練習）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有___個．【答案】4【分析】分別以A、B為圓心，以AB為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，即可得出答案．【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個交點；同理以B為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有兩個交點；作AB的垂直平分線與BC有一個交點，即有1+2+1＝4個，故答案為4．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應用，主要考查學生的理解能力和動手操作能力．【變式14-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關學校八年級期末）如圖，△ABC的點A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點P在直線l上運動，當△ABP成為等腰三角形時，則【答案】10°或80°或20°或140°【分析】分三種情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分別求解即可解決問題．【詳解】解：如圖，在ΔABC中，∵∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=180°?120°?40°=20°，①當AB=AP時，∠ABP1=∠A②當PA=PB時，∠ABP③當BA=BP時，∠ABP綜