八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題2.8絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的八大經(jīng)典題型同步特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

專題2.8絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的八大經(jīng)典題型【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡求值】 1【題型2利用絕對(duì)值的非負(fù)性求值】 1【題型3根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對(duì)值】 2【題型4利用絕對(duì)值的定義判斷正誤】 2【題型5利用絕對(duì)值的意義求字母取值范圍】 3【題型6利用絕對(duì)值的意義分類討論a|a|問題】 3【題型7分類討論多絕對(duì)值問題】 4【題型8絕對(duì)值中最值問題】 4【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡求值】【例1】（2023春·江蘇常州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D表示在數(shù)軸上四個(gè)點(diǎn)p，q，r，s位置關(guān)系，若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，則|q-r|=（

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A．7 B．9 C．11 D．13【變式1-1】（2023春·山東威?！ち昙?jí)校聯(lián)考期中）有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+b+c?A．?a B．a(chǎn) C．a(chǎn)+2c D．?a?2c【變式1-2】（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）化簡：|x?2|?|x+1|+|x?4|.【變式1-3】（2023春·全國·七年級(jí)期末）已知a+a=0,bb=?1,c【題型2利用絕對(duì)值的非負(fù)性求值】【例2】（2023春·天津和平·七年級(jí)天津二十中?？计谥校┤粲欣頂?shù)x、y滿足|x|=3,?|y+1|=4，且|x+y|=?(x+y)，求【變式2-1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，則ab＝．【變式2-2】（2023春·重慶·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知x，y均為整數(shù)，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，則x+y的值為．【變式2-3】（2023春·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）滿足|a﹣b|+ab=1的非負(fù)整數(shù)（a，b）的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型3根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對(duì)值】【例3】（2023春·黑龍江牡丹江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）當(dāng)1<m<3時(shí)，化簡m?1?m?3【變式3-1】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知有理數(shù)a<?1，則化簡a+1+1?a的結(jié)果是【變式3-2】（2023春·上海·六年級(jí)專題練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a，b，c，a+a=0，ab=ab，c【變式3-3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考期中）已知，|a|＝﹣a，bb=?1，|c|＝c，化簡|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝【題型4利用絕對(duì)值的定義判斷正誤】【例4】（2023春·湖北宜昌·七年級(jí)枝江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如果a+b+c=0，且c>b>a．則下列說法中A．a(chǎn)、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù) B．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為負(fù)數(shù) C．b、c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù) D．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為0【變式4-1】（2023春·四川甘孜·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．給出下列結(jié)論：①a+b+(?c)>0；②(?a)?b+c>0；③a|a|+b|b|+c|c|【變式4-2】（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知a、b為有理數(shù)，下列說法：①若a、b互為相反數(shù)，則ab②若a+b＜0，ab＞0，則|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，則b＞a；④若|a|＞|b|，則（a+b）?（a﹣b）是負(fù)數(shù)．其中錯(cuò)誤的是（填寫序號(hào)）．【變式4-3】（2023春·湖北咸寧·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知a、b為有理數(shù)，且a<0，ab<0，a+b<0，則下列結(jié)論：①b（a+b）>0；②【題型5利用絕對(duì)值的意義求字母取值范圍】【例5】（2023春·七年級(jí)單元測試）當(dāng)a取什么范圍時(shí)，關(guān)于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a總有解？（）A．a(chǎn)≥4.5 B．a(chǎn)≥5 C．a(chǎn)≥5.5 D．a(chǎn)≥6【變式5-1】（2023春·四川資陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，則x的范圍是（）A．x>52 B．x<25 C．【變式5-2】（2023春·重慶·七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考期末）數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖，若數(shù)b滿足b≤|a|，則b的值不可能是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0【變式5-3】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立，則x的范圍是．【題型6利用絕對(duì)值的意義分類討論a|a|問題】【例6】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b，c為有理數(shù)，且a+b+c=0，abc<0，則aa+bA．1 B．?1或?3 C．1或?3 D．?1或3【變式6-2】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知有理數(shù)a、b、c、【變式6-3】（2023春·四川內(nèi)江·七年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎獂1，x2，解：當(dāng)x1>0時(shí)，y1=x1x(1)若y2=|(2)若y3=|(3)由以上探究猜想，y2021(4)應(yīng)用：如果a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，那a|a|專題2.8絕對(duì)值貫穿有理數(shù)的八大經(jīng)典題型【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡求值】 1【題型2利用絕對(duì)值的非負(fù)性求值】 3【題型3根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對(duì)值】 4【題型4利用絕對(duì)值的定義判斷正誤】 6【題型5利用絕對(duì)值的意義求字母取值范圍】 8【題型6利用絕對(duì)值的意義分類討論a|a|問題】 10【題型7分類討論多絕對(duì)值問題】 13【題型8絕對(duì)值中最值問題】 15【題型1利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡求值】【例1】（2023春·江蘇常州·七年級(jí)校考期中）如圖表示在數(shù)軸上四個(gè)點(diǎn)p，q，r，s位置關(guān)系，若|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9，則|q-r|=（

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A．7 B．9 C．11 D．13【答案】D【分析】根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，將|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，進(jìn)而可得q、r兩點(diǎn)間的距離，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，由|p-r|=10，|p-s|=12，|q-s|=9可得p、r兩點(diǎn)間的距離為10，p、s兩點(diǎn)間的距離為12，q、s兩點(diǎn)間的距離為9，則q、r兩點(diǎn)間的距離為10+9-12=7，即|q-r|=7，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的幾何意義，|a-b|即兩實(shí)數(shù)a、b表示兩個(gè)點(diǎn)間的距離．【變式1-1】（2023春·山東威?！ち昙?jí)校聯(lián)考期中）有理數(shù)a、b，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡a+b+c?A．?a B．a(chǎn) C．a(chǎn)+2c D．?a?2c【答案】B【分析】由數(shù)軸可知?1<a<0,b>1,c<?1,c【詳解】解：由數(shù)軸可得：?1<a<0,b>1,c<?1,c∴a+b>0,c?b<0，∴a+b+故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸、絕對(duì)值，熟練掌握數(shù)軸、絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·陜西西安·七年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）化簡：|x?2|?|x+1|+|x?4|.【答案】|x?2|?|x+1|+|x?4|=【詳解】試題分析：要去掉絕對(duì)值符號(hào)，需知絕對(duì)值中式子的符號(hào)，x的取值是有理數(shù)范圍內(nèi)任一數(shù)，所以要對(duì)x的取值分情況討論，再去絕對(duì)值符號(hào)．試題解析：①當(dāng)x<?1時(shí)，原式=(2?x)?(?x?1)+(4?x)=7?x②當(dāng)?1≤x<2時(shí)，原式=(2?x)?(x+1)+(4?x)=5?3x③當(dāng)2≤x<4時(shí)，原式=(x?2)?(x+1)+(4?x)=1?x④當(dāng)x≥4時(shí)，原式=(x?2)?(x+1)+(x?4)=x?7綜上所述：|x?2|?|x+1|+|x?4|=【變式1-3】（2023春·全國·七年級(jí)期末）已知a+a=0,bb=?1,c【答案】-a-3b-c【分析】先確定a、b、c的正負(fù)，然后再去絕對(duì)值，最后化簡求值即可.【詳解】解：∵a∴a≤0，b＜0，c≥0∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0∴a+2b?故答案為-a-3b-c.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)，牢記非負(fù)數(shù)得絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值為其相反數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵.【題型2利用絕對(duì)值的非負(fù)性求值】【例2】（2023春·天津和平·七年級(jí)天津二十中校考期中）若有理數(shù)x、y滿足|x|=3,?|y+1|=4，且|x+y|=?(x+y)，求【答案】6或8．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)解得x，y的值，分情況討論得出符合條件的x，y的值，即可解．【詳解】∵|x|=3，|y+1|=4，∴x=3或?3，y=3或?5，①當(dāng)x=3，y=3時(shí)，|x+y|=6≠?(x+y)=?6（舍去），②當(dāng)x=3,?y=?5時(shí)，|x|+|y|=8③當(dāng)x=?3,?y=3時(shí)，|x|+|y|=6．④當(dāng)x=?3,?y=?5時(shí)，|x|+|y|=8．則②3④滿足，則|x|+|y|=6或8．【變式2-1】（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，則ab＝．【答案】2或4．【詳解】解：根據(jù)平方數(shù)是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得：|a+1|≥0，|b+5|≥0，∵（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，∴b+5≥0，∴（a＋1）2＋b+5＝b＋5，∴（a＋1）2=0，解得a=－1，b≥﹣5，∵|2a－b－1|＝1，∴|－2－b－1|＝1，∴|b+3|=1，∴b+3=±1，∴b=－4或b=﹣2，∴當(dāng)a=－1，b=－2時(shí)，ab=2；當(dāng)a=－1，b=－4時(shí)，ab=4．故答案為2或4．點(diǎn)睛：本題主要考查了絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，偶次方是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意列出等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·重慶·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知x，y均為整數(shù)，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，則x+y的值為．【答案】5或7或8或4【分析】由絕對(duì)值的非負(fù)性質(zhì)可知|x﹣y|和|x﹣3|這兩個(gè)非負(fù)整數(shù)一個(gè)為1，一個(gè)為0，即x?y=1，x?3=0或x?3=1【詳解】解：因?yàn)閤，y均為整數(shù)，x?y+可得：x?y=1，x?3=0或x?3=1∴當(dāng)x?3=0，x?y=1，可得：x=3，y=2，則x+y=5；當(dāng)x?3=0，x?y=?1，可得：x=3，y=4，則x+y=7；當(dāng)x?3=1，x?y=0，可得：x=4，y=4，則x+y=8；當(dāng)x?3=?1，x?y=0，可得：x=2，y=2，則x+y=4，故答案為5或7或8或4．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值性質(zhì)，由非負(fù)整數(shù)和為1得出加數(shù)分別為1和0，然后分類討論解含絕對(duì)值的方程是關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）滿足|a﹣b|+ab=1的非負(fù)整數(shù)（a，b）的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】∵|a﹣b|+ab=1，∴|a-b|=1-ab，∵|a﹣b|≥0，∴1-ab≥0，∴ab≤1，∵a，b是非負(fù)整數(shù)，∴存在（1，1）（1，0）（0，1）3種情況．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)整數(shù)、絕對(duì)值的性質(zhì)，非負(fù)整數(shù)包括0和正整數(shù)，所以a，b可以是0或者是正整數(shù)．【題型3根據(jù)字母的取值范圍化簡絕對(duì)值】【例3】（2023春·黑龍江牡丹江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）當(dāng)1<m<3時(shí)，化簡m?1?m?3【答案】2m?4【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可知，當(dāng)1<m<3時(shí)，|m?1|=m?1，|m?3|=3?m，∴|m?1|?|m?3|=m?1故答案為：2m?4．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，整式的加減，熟知正數(shù)的絕對(duì)值是其本身、零的絕對(duì)值還是零、負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)是解本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知有理數(shù)a<?1，則化簡a+1+1?a的結(jié)果是【答案】?2a【分析】先根據(jù)已知條件判斷每個(gè)絕對(duì)值里邊的代數(shù)式的值是大于0還是小于0，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．【詳解】∵a<-1，∴a+1<0，1-a>0，∴a+1=(-a-1)+(1-a)=-a-1+1-a=-2a，故答案為：-2a．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和相反數(shù)的性質(zhì)，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值還是0，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）已知非零實(shí)數(shù)a，b，c，a+a=0，ab=ab，c【答案】b【分析】根據(jù)“一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值它的相反數(shù)”化簡即可．【詳解】∵a+a=0，ab=ab∴a<0,b<0,c>∴a+∴原式=?b+a+b?c+b?a+c=b．【點(diǎn)睛】本題考查了化簡絕對(duì)值，整式的加減計(jì)算，熟練掌握所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，|a|＝﹣a，bb=?1，|c|＝c，化簡|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝【答案】?2c【分析】根據(jù)已知的等式判斷出a、b、c的正負(fù)，進(jìn)而確定出a+b、a﹣c、b﹣c的正負(fù)，再利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡，即可求解．【詳解】解：∵|a|=?a，|b|b＝﹣1，|c|=c∴a為非正數(shù)，b為負(fù)數(shù)，c為非負(fù)數(shù)，∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，∴原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，故答案為：﹣2c．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義進(jìn)行化簡等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握絕對(duì)值的代數(shù)意義是解答本題的關(guān)鍵．【題型4利用絕對(duì)值的定義判斷正誤】【例4】（2023春·湖北宜昌·七年級(jí)枝江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤绻鸻+b+c=0，且c>b>a．則下列說法中A．a(chǎn)、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù) B．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為負(fù)數(shù) C．b、c為正數(shù)，a為負(fù)數(shù) D．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為0【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法，一對(duì)相反數(shù)的和為0，可得a、b、c中至少有一個(gè)為正數(shù)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，又c>b>【詳解】解：∵a+b+c=0，∴a、b、c中至少有一個(gè)為正數(shù)，至少有一個(gè)為負(fù)數(shù)，∵c>∴c=∴可能a、b為正數(shù)，c為負(fù)數(shù)；也可能a、b為負(fù)數(shù)，c為正數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法，絕對(duì)值的意義，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·四川甘孜·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．給出下列結(jié)論：①a+b+(?c)>0；②(?a)?b+c>0；③a|a|+b|b|+c|c|【答案】②③【分析】根據(jù)有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置和絕對(duì)值的意義逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<0<a<c，a<∴a+?c<0，∴a+b+(?c)<0，(?a)?b+c>0故①不正確，②正確，∵aa=1，bb∴a|a|故③正確，∵b<0<a<c∴bc<0，∴bc?a<0，故④不正確，∵b<0<a<c，a<∴|a?b|?|c+b|+|a+c|=a?b?c?b+a+c=2a?2b，故⑤不正確，故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值，解決本題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的意義．【變式4-2】（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知a、b為有理數(shù)，下列說法：①若a、b互為相反數(shù)，則ab②若a+b＜0，ab＞0，則|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，則b＞a；④若|a|＞|b|，則（a+b）?（a﹣b）是負(fù)數(shù)．其中錯(cuò)誤的是（填寫序號(hào)）．【答案】①③④【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；【詳解】解：若a＝b＝0，則ab∵a+b＜0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴3a+4b＜0，∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，故②不符合題意；∵|a﹣b|+a﹣b＝0，∴|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，故③符合題意；若a＝﹣2，b＝1，（a+b）?（a﹣b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3＞0，故④符合題意；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)加法、乘法和除法法則，以及絕對(duì)值法則，掌握這些法則是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·湖北咸寧·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知a、b為有理數(shù)，且a<0，ab<0，a+b<0，則下列結(jié)論：①b（a+b）>0；②【答案】②③④【分析】根據(jù)a<0，ab<0，a+b<0得b>0，?a>0，從而得b（a+b）【詳解】解：∵a<0，∴b>0，?a>0，∴b（a+b）<0，a>∴a<?b<b<?a，a?b?故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法、有理數(shù)的比較大小，綜合有理數(shù)的絕對(duì)值、有理數(shù)的乘法是解題的關(guān)鍵．【題型5利用絕對(duì)值的意義求字母取值范圍】【例5】（2023春·七年級(jí)單元測試）當(dāng)a取什么范圍時(shí)，關(guān)于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a總有解？（）A．a(chǎn)≥4.5 B．a(chǎn)≥5 C．a(chǎn)≥5.5 D．a(chǎn)≥6【答案】B【分析】令y=|x-4|+2|x-2|+|x-1|+|x|，根據(jù)x的范圍分情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，可求得y≥5，再結(jié)合題意即可確定a的范圍．【詳解】令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|，當(dāng)x≥4時(shí)，y＝5x﹣9≥11，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y＝3x﹣1，∴5＜y＜11；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y＝﹣x+7，∴5≤y≤6；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＝﹣3x+9，∴6＜y＜9；當(dāng)x≤0時(shí)，y＝﹣5x+9，∴y≥9；綜上所述，y≥5，∴a≥5時(shí)等式恒有解．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)；通過構(gòu)造函數(shù)，將等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解題是關(guān)鍵【變式5-1】（2023春·四川資陽·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，則x的范圍是（）A．x>52 B．x<25 C．【答案】D【分析】根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0可得出答案．【詳解】解：∵|5x﹣2|＝2﹣5x，∴5x﹣2≤0，解得：x?2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，理解正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值等于0是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·重慶·七年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校?？计谀?shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖，若數(shù)b滿足b≤|a|，則b的值不可能是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸得到a<2【詳解】由數(shù)軸可知，a∵b≤a∴b<2，∴b可以是?1,1,0不可能是2，【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的概念、絕對(duì)值的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸確定a的范圍是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)校聯(lián)考期中）若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立，則x的范圍是．【答案】3【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)可得x?2≤03?2x≤0或x?2≥0【詳解】∵|x-2+3-2x|=|x-2|+|3-2x|，∴x?2≤03?2x≤0或x?2≥0解得32故x的范圍是32故答案為32【點(diǎn)睛】考查了絕對(duì)值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對(duì)值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時(shí)，a的絕對(duì)值是它的相反數(shù)-a；③當(dāng)a是零時(shí)，a的絕對(duì)值是零．【題型6利用絕對(duì)值的意義分類討論a|a|【例6】（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b，c為有理數(shù)，且a+b+c=0，abc<0，則aa+bA．1 B．?1或?3 C．1或?3 D．?1或3【答案】D【分析】先根據(jù)有理數(shù)的乘法法則推出：要使三個(gè)數(shù)的乘積為負(fù)，a，b，c中應(yīng)有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)，進(jìn)而可將a，b，c的符號(hào)分兩種情況：1負(fù)2正或3負(fù)；再根據(jù)加法法則：要使三個(gè)數(shù)的和為0，a，b，c的符號(hào)只能為1負(fù)2正，然后化簡即得．【詳解】∵abc<0∴a，b，c中應(yīng)有奇數(shù)個(gè)負(fù)數(shù)∴a，b，c的符號(hào)可以為：1負(fù)2正或3負(fù)∵a+b+c=0∴a，b，c的符號(hào)為1負(fù)2正令a<0，b>0，c>0∴a=?a，b=b∴aa+【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)、乘法法則及加法法則，利用加法法則和乘法法則確定數(shù)的符號(hào)是解題關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）有理數(shù)a，b，c均不為0．且a+b+c=0，設(shè)x=|a|b+c+|b|c+aA．2010 B．1990 C．2030或1990 D．2010或1990【答案】A【分析】根據(jù)題意可得a，b，c中不能全同號(hào)，必有一正兩負(fù)或兩正一負(fù)，a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），則可得|a|b+c，|b|c+a，|c|a+b【詳解】解：由a，b，c均不為0，知b+c，c+a，a+b均不為0，∵a+b+c=0，∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），又a，b，c中不能全同號(hào)，故必一正二負(fù)或一負(fù)二正，∴|a|b+c，|b|c+a，即其值為兩個(gè)+1，一個(gè)-1或兩個(gè)-1，一個(gè)+1，∴x=|a|∴x21?21x+2010=121或x21?21x+2010=?121故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，注意分類討論思想的應(yīng)用．能得到|a|b+c，|b|c+a，【變式6-2】（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知有理數(shù)a、b、c、【答案】2或?2【分析】根據(jù)abcdabcd=?1，得到a，b，c，【詳解】解：根據(jù)abcdabcd=?1，得到a，b，c，則原式=?1+1+1+1=2或?1?1?1+1=?2．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握絕對(duì)值的意義結(jié)合分類討論的思想解題是關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·四川內(nèi)江·七年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考期中）已知x1，x2，解：當(dāng)x1>0時(shí)，y1=x1x(1)若y2=|(2)若y3=|(3)由以上探究猜想，y2021(4)應(yīng)用：如果a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，那a|a|【答案】(1)±2或0(2)±1或±3(3)2022(4)0【分析】（1）由題意可得|x1|（2）由題意可得|x1|x1（3）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律：y2021有2022個(gè)值，最大值2021，最小值為?2021（4）根據(jù)正負(fù)性去絕對(duì)值計(jì)算即可，注意分類討論．【詳解】（1）解：∵|x1|∴y2=|故答案為：±2或0；（2）解：∵|x1|x1∴y3=|故答案為：±1或±3；（3）解：由（1）（2）可知，y1有2個(gè)值，y2有3個(gè)值，y3∴y2021有2022個(gè)值，最大值2021，最小值為故答案為：2022．（4）解：∵a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=0，∴a、b、c是兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)或一個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)，當(dāng)a、b、c是兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，abc<0，此時(shí)a|a|當(dāng)a、b、c是一個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，abc>0，此時(shí)a|a|∴a|a|故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律、絕對(duì)值化簡，通過計(jì)算，從特殊到一般進(jìn)行歸納，探索出結(jié)果的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型7分類討論多絕對(duì)值問題】【例7】（2023春·廣西南寧·七年級(jí)?？计谥校┰跀?shù)軸上有四個(gè)互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a?b|+|b?c|=c?a，設(shè)d在a、c之間，則|a?d|+|d?c|+|c?b|+|a?c|=．【答案】?2a?b+3c【分析】由a?b+b?c=c?a?a<b<c，又d在a、c之間，故有a<d<b<c【詳解】解：∵a?b∴a＜∵d在a、c之間，∴a<d<b<c或a<b<d<c，當(dāng)a<d<b<c時(shí)，a?d+當(dāng)a<b<d<c時(shí)，a?d+故答案為：?2a?b+3c【點(diǎn)睛】本題考查去絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．【變式7-1】（2023春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c，d都是整數(shù)，且a+b+b+c+c+d【答案】1或0．【分析】根據(jù)題意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以不外乎兩種可能：①3個(gè)為0，1個(gè)為2；②2個(gè)為0，2個(gè)為1，繼而討論|a+d|的值．【詳解】由題意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以有兩種可能：①3個(gè)為0，1個(gè)為2，②2個(gè)為0，2個(gè)為1，所以|a+d|只可能取0、1、2，若為2，則|a+b|=|b+c|=|c+d|=0，不難得出a=-d，所以|a+d|=0，與假設(shè)|a+d|=2矛盾．所以|a+d|只可能取0、1，a=0，b=0，c=-1，d=1時(shí)|a+d|=1；a=-1，b=0，c=0，d=1時(shí)|a+d|=0．故答案為1或0．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的知識(shí)，難度較大，注意對(duì)各種情況的討論，不要漏解．【變式7-2】（2023春·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知x是有理數(shù)，且x有無數(shù)個(gè)值可以使得代數(shù)式2021x+20212【答案】2022【分析】由題意確定出x的取值范圍，然后按照這個(gè)取值范圍化簡原式即可求出此常數(shù)．【詳解】由題意，得將2021x+20212因此，當(dāng)?2022≤x≤?2021時(shí)，原式=?==2022．故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)、有理數(shù)的加減，解題的關(guān)鍵是確定x的取值范圍．【變式7-3】（2023春·四川成都·七年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┮阎猰、n為有理數(shù)，方程||x+m|?n|=2.7僅有三個(gè)不相等的解，則n=【答案】2.7【分析】含有絕對(duì)值的方程，先去掉外邊絕對(duì)值得|x+m|=2.7+n或|x+m|=?2.7+n，由于僅有3個(gè)不相等的解，則?2.7+n=0，解方程求得n的值．【詳解】解：∵||x+m|?n|=2.7，∴|x+m|=2.7+n或|x+m|=?2.7+n，當(dāng)|x+m|=2.7+n時(shí)，x=2.7+n?m或x=?2.7?n?m，當(dāng)|x+m|=?2.7+n時(shí)，x=?2.7+n?m或x=2.7?n?m，∵方程||x+m|?n|=2.7僅有三個(gè)不相等的解，∴?2.7+n=0時(shí)，n=2.7或2.7+n=0時(shí)，n=?2.7，當(dāng)n=?2.7時(shí)，|x+m|=?5.4，不成立，∴n=2.7，綜上所述：n的值為2.7，故答案為：2.7．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值方程，分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型8絕對(duì)值中最值問題】【例8】（2023春·江蘇·七年級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上有點(diǎn)a，b，c三點(diǎn)．（1）用“<”將a，b，c連接起來．（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；（3）化簡|c－b|－|c－a|＋|a－1|；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．①|(zhì)x－a|＋|x－b|的最小值為_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值為_______．【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b-1；（4）①b﹣a；②b﹣c．【分析】（1）比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，它們從左到右的順序，即從小到大的順序（在數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；（2）先求出b﹣a的范圍，再比較大小即可求解；（3）先計(jì)算絕對(duì)值，再合并同類項(xiàng)即可求解；（4）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)以及題意即可求出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)得：c＜a＜b；（2）由題意得：b﹣a＞0；（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1＝b﹣c﹣a+c+a﹣1＝b-1；（4）由圖形可知：①當(dāng)x在a和b之間時(shí)，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值為：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；②當(dāng)x＝a時(shí)，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c為最小值．故答案為：①b﹣a；②b﹣c．【點(diǎn)睛】考查了數(shù)軸，通過比較，可以發(fā)現(xiàn)借助數(shù)軸用幾何方法化簡含有絕對(duì)值的式子，比較有