九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）重難點(diǎn)專項(xiàng)突破02相似三角形中的“A”字模型（4種題型）（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破02相似三角形中的“A”字模型（4種題型）【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)剖析】題型一：直接利用“A”字模型解題例1.如圖，E是?ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD相交于點(diǎn)F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝．例2．（2022秋?靜安區(qū)期末）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，當(dāng)AD＝4，∠ADE＝∠C時(shí)，＝．題型二：添加輔助線構(gòu)造“A”字模型解題例3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=25，點(diǎn)D在邊AC上，CD：AD＝1：3，聯(lián)結(jié)BD，點(diǎn)E在線段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝例4．如圖，已知中，AD、BE相交于G，，．求的值．例5．如圖，在中，點(diǎn)D在線段BC上，，，AD=2，BD=2DC，求AC的長(zhǎng)．題型三：“AX”字型解題例6.如圖，中，，，，，，求的長(zhǎng)．例7.如圖，在梯形中，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)在上， 且，已知，．求的長(zhǎng)．題型四：雙A字模型例8.如圖，ABBD，CDBD，垂足分別為B、D，AC和BD相交于點(diǎn)E，EFBD， 垂足為F．求證：．AABCDEF【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共3小題）1．（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：3，那么S△DEC：S△DBC等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：42．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，則S△ADE：S四邊形DEGF：S四邊形FGCB＝（）A．1：2：5 B．1：4：25 C．1：3：25 D．1：3：213．（2022秋?奉賢區(qū)期中）在△ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB、AC上，，要使DE∥BC，可添加下列條件中的（）A． B． C． D．二．填空題（共13小題）4．（2023春?普陀區(qū)期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、DC上的點(diǎn)，EF∥BC，如果，AD＝4，BC＝9，那么EF的長(zhǎng)為．5．（2023?普陀區(qū)一模）如圖，△ABC中的一邊BC與雙邊平行且單位相同的刻度尺的一邊重合，邊AB、AC分別與刻度尺的另一邊交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)B、C、D、E在刻度尺上的讀數(shù)分別為0、5、1、3，如果刻度尺的寬度為3，那么△ABC的面積是．6．（2023?靜安區(qū)校級(jí)一模）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，當(dāng)AD＝4，∠ADE＝∠C時(shí)，＝．7．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，CF＝3BF．如果S△ADE＝1，那么S四邊形DBCE＝．8．（2022秋?黃浦區(qū)期中）如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)N，則S△DMN：S四邊形DBCM＝．9．（2022秋?寶山區(qū)期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，且EF∥BC，如果AE：EB＝2：1，那么EF的長(zhǎng)為．10．（2022秋?嘉定區(qū)期中）如圖，AD∥BC∥EF，AE：AB＝2：3，AD＝8，BC＝14則EF＝．11．（2022秋?浦東新區(qū)期中）如圖、在△ABC，CD平分∠ACB，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，BC＝5，則CE＝．12．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，AM：MB＝AN：NC＝1：3，則MN：BC＝．13．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)月考）如圖，矩形DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在AB，AC上，AH是BC邊上的高，BC＝10，AH＝6，EF：GF＝2：5，則矩形DEFG的面積為．14．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，點(diǎn)D位于邊AB上，過點(diǎn)D作邊BC的平行線交邊AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作邊AC的平行線交邊BC于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，四邊形CEDF的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是．（不必寫定義域）15．（2021秋?金山區(qū)期末）如圖，E是?ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與AD相交于點(diǎn)F，AE＝1，AB＝2，BC＝3，那么AF＝．16．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，點(diǎn)D在邊AC上，CD：AD＝1：3，聯(lián)結(jié)BD，點(diǎn)E在線段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．三．解答題（共5小題）17．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC．E為邊CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE交邊AB于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AC交DE于點(diǎn)G，且＝．（1）求證：AB∥CD；（2）如果AE2＝AG?AC，求證：＝．18．（2022秋?楊浦區(qū)期中）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC．如果S△ADE＝2，S△BCE＝7.5．求S△BDE．19．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)F、E在邊AC上，且DF∥BE，．（1）求證：DE∥BC；（2）如果＝，S△ABC＝12，求S△ADE的值．20．（2023?青浦區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F在邊AD上，射線BA、CF相交于點(diǎn)E，DF＝2AF．（1）求EA：AB的值；（2）如果，，試用、表示向量．21．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，邊BC上的高AD＝2，tanB＝2，直線l平行于BC，分別交線段AB，AC，AD于點(diǎn)E、F、G，直線l與直線BC之間的距離為m．（1）當(dāng)EF＝CD＝3時(shí)，求m的值；（2）將△AEF沿著EF翻折，點(diǎn)A落在兩平行直線l與BC之間的點(diǎn)P處，延長(zhǎng)EP交線段CD于點(diǎn)Q．①當(dāng)點(diǎn)P恰好為△ABC的重心時(shí)，求此時(shí)CQ的長(zhǎng)；②聯(lián)結(jié)BP，在∠CBP＞∠BAD的條件下，如果△BPQ與△AEF相似，試用m的代數(shù)式表示線段CD的長(zhǎng)．22．（2023?奉賢區(qū)一模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，∠EAD＝∠BDC．（1）求證：AE?BD＝AD?DC；（2