常微分方程學(xué)習(xí)輔

常微分方程學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（一）初等積分法微分方程的古典內(nèi)容主要是求方程的解，用積分的方法求常微分方程的解，叫做初等積分法，而可用積分法求解的方程叫做可積類型。初等積分法一直被認(rèn)為是常微分方程中非常有用的基本解題方法之一，也是初學(xué)者必須接受的最基本訓(xùn)練之一。在本章學(xué)習(xí)過程中，讀者首先要學(xué)會(huì)準(zhǔn)確判斷方程的可積類型，然后要熟練掌握針對(duì)不同可積類型的5種解法，最后在學(xué)習(xí)指導(dǎo)下的幫助下，總結(jié)一下初等積分法中的各種解法與特點(diǎn)與內(nèi)在聯(lián)系，以提高自己的解題能力與技巧。主要內(nèi)容回顧一、主要概念微分方程：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的等式。常微分方程：未知函數(shù)是一個(gè)變?cè)暮瘮?shù)，由這樣的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的等式。偏微分方程：未知函數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上變?cè)暮瘮?shù)，由這樣的未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的等式。微分方程的階：在微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階。微分方程的解：一個(gè)函數(shù)代入微分方程中去，使得它成為關(guān)于自變量的恒等式，稱此函數(shù)為微分方程的解。通解：n階方程，其解中含有n個(gè)（獨(dú)立的）任意常數(shù)，此解稱為方程的通解。由隱式表出的通解稱為通積分。特解：給通解中的任意常數(shù)以定值，所得到的解稱為特解，由隱式給出的特解稱為特積分。初值問題：求微分方程滿足初值條件的解的問題。變量可分離方程：形如或的方程稱為變量可分離方程。齊次微分方程：形如的方程，稱為齊次微分方程。線性微分方程：未知函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程。一階線性微分方程：一階線性微分方程的形式是如果,即稱為一階線性齊次方程。如果不恒為零，則稱為一階線性非齊次方程。伯努利（Bernoulli）方程：形如()的方程，稱為伯努利方程。全微分方程：如果微分形式的一階方程的左端恰好是一個(gè)二元函數(shù)的全微分，即則稱是全微分方程或恰當(dāng)方程，而函數(shù)稱為微分式的原函數(shù)。積分因子：假如存在這樣的連續(xù)可微函數(shù)，使方程成為全微分方程，我們就把稱為方程的一個(gè)積分因子。二、主要定理定理1.1假如是微分的一個(gè)原函數(shù)，則全微標(biāo)6．一階顯式方程初等積分法的內(nèi)在關(guān)系用積分因子的觀點(diǎn)可以把1.2節(jié)~1.5節(jié)所介紹的五種可積類型方程（變量可分離方程，齊次方程，線性方程，伯努利方程幾及全微分方程）如圖所示：變量可分離方程變量可分離方程線性方程齊次方程線性方程齊次方程全微分方程全微分方程坐平移伯努利方程伯努利方程一階顯式方程可積類型關(guān)系圖7．積分因子是否唯一不是。例如，考慮方程，顯然它不是全微分方程。但是，因?yàn)樗裕际谴朔匠痰姆e分因子。一般地，設(shè)是方程的一個(gè)積分因子，于是存在二元函數(shù)，有?，F(xiàn)對(duì)于的任一連續(xù)函數(shù)，由于其中是的一個(gè)原函數(shù)，可見也是方程的積分因子，因而方程有無(wú)窮多個(gè)積分因子。8．判斷題型的順序?yàn)榱耸炀氄莆粘醯确e分法，不僅要掌握每種可積類型方程的解法，而且還要正確而又敏捷地判斷一個(gè)給定方程屬于何種可積類型。在判斷題型時(shí)，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，可以按如下順序判斷，即：階顯次即線性方程伯努利方程顯式方程齊次方程一階方程非線性方程變量可分離方程階隱式方程