4.5.3　函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用第四章

§4.5函數(shù)的應(yīng)用(二)1.能利用已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題.2.能根據(jù)實(shí)際需要構(gòu)建指數(shù)型函數(shù)或?qū)?shù)型函數(shù)模型解決實(shí)際

問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來(lái)刻畫，面臨一個(gè)實(shí)驗(yàn)問題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫它呢？導(dǎo)語(yǔ)問題1

你能寫出幾種函數(shù)模型？提示函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝

＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)問題2應(yīng)用函數(shù)模型解決問題的基本過程是什么？提示(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.(2)建模——將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型.(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題.隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題二、指數(shù)型函數(shù)模型三、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型內(nèi)容索引一、應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題例1

Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝

其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)＝0.9K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則t*約為(注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，ln9≈2.2)A.60 B.62 C.66 D.69√解析∵I(t*)＝

＝0.9K，∴解得t*≈62.反思感悟

利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題(1)首先確定已知函數(shù)模型解析式中的未知參數(shù)；(2)利用已知函數(shù)模型相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題；(3)涉及較為復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算時(shí)，常常利用等式的兩邊取對(duì)數(shù)的方法，將指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練1

我們處在一個(gè)有聲的世界里，不同場(chǎng)合人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同的要求.音量大小的單位是分貝(dB).對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小η可由如下公式計(jì)算：η＝10·lg

(其中I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強(qiáng)度).設(shè)η1＝70dB的聲音強(qiáng)度為I1，η2＝60dB的聲音強(qiáng)度為I2，則I1是I2的√二、指數(shù)型函數(shù)模型例2

我國(guó)是世界上人口最多的國(guó)家，1982年十二大，計(jì)劃生育被確定為基本國(guó)策.實(shí)行計(jì)劃生育，嚴(yán)格控制人口增長(zhǎng)，堅(jiān)持少生優(yōu)生，這直接關(guān)系到人民生活水平的進(jìn)一步提高，也是造福子孫后代的百年大計(jì).(1)據(jù)統(tǒng)計(jì)1995年底，我國(guó)人口總數(shù)約12億，如果人口的自然年增長(zhǎng)率控制在1%，到2021年底我國(guó)人口總數(shù)大約為多少億？(精確到億)(參考數(shù)據(jù)：1.0126≈1.2953，lg2≈0.3010，lg7≈0.8451，lg1.01≈0.0043)解從1995年底到2021年底，經(jīng)過26年，由題意知，到2021年底我國(guó)人口總數(shù)大約為12×(1＋1%)26＝12×1.0126≈12×1.2953≈15(億).(2)當(dāng)前，我國(guó)人口發(fā)展已經(jīng)出現(xiàn)轉(zhuǎn)折性變化，2015年10月26日至10月29日召開的黨的十八屆五中全會(huì)決定，堅(jiān)持計(jì)劃生育的基本國(guó)策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實(shí)施一對(duì)夫婦可生育兩個(gè)孩子的政策，積極開展應(yīng)對(duì)人口老齡化行動(dòng).這是繼2013年，十八屆三中全會(huì)決定啟動(dòng)實(shí)施“單獨(dú)二孩”政策之后的又一次人口政策調(diào)整.據(jù)統(tǒng)計(jì)2015年中國(guó)人口實(shí)際數(shù)量大約14億，若實(shí)行全面兩孩政策后，預(yù)計(jì)人口年增長(zhǎng)率實(shí)際可達(dá)1%，那么需經(jīng)過多少年我國(guó)人口可達(dá)16億？解設(shè)需要經(jīng)過x年我國(guó)人口可達(dá)16億，由題意知14×(1＋1%)x＝16，兩邊取對(duì)數(shù)得，lg14＋xlg1.01＝lg16，則需要經(jīng)過14年我國(guó)人口可達(dá)16億.反思感悟在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問題?？梢杂弥笖?shù)型函數(shù)模型表示，通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式.跟蹤訓(xùn)練2

某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2020年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A.2023年

B.2024年

C.2025年

D.2026年√解析設(shè)x年后研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元，所以130(1＋12%)x>200，故2024年研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元.三、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型√又反思感悟

對(duì)數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略(1)基本類型：有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實(shí)際問題求解.(2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或給出具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.跟蹤訓(xùn)練3

20世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0，其中，A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.5級(jí)地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，7級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的A.20倍

B.lg20倍

C.100倍

D.1000倍√解析設(shè)7級(jí)地震最大振幅為A1，則7＝lgA1－lgA0，5級(jí)地震最大振幅為A2，則5＝lgA2－lgA0，所以7－5＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)所以7級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的100倍.1.知識(shí)清單：(1)應(yīng)用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題.(2)指數(shù)型函數(shù)模型.(3)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：實(shí)際應(yīng)用題易忘記定義域和結(jié)論.課堂小結(jié)隨堂演練1.我國(guó)古代著名的思想家莊子在《莊子·天下篇》中說：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”.用現(xiàn)代語(yǔ)言敘述為：一尺長(zhǎng)的木棒，每天取其一半，永遠(yuǎn)也取不完.這樣，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之錘”看成單位“1”，那么x天后剩下的部分y與x的函數(shù)關(guān)系式為1234√12342.下面給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么最能擬合詩(shī)句“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是A.指數(shù)函數(shù)：y＝2t

B.對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝log2tC.冪函數(shù)：y＝t3

D.二次函數(shù)：y＝2t2√解析由所給的散點(diǎn)圖可得，圖象大約過(2,4)，(4,16)，(6,64)，所以該函數(shù)模型應(yīng)為指數(shù)函數(shù).12343.某位股民購(gòu)進(jìn)某只股票，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了3次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了3次跌停(每次下降10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為A.略有虧損

B.略有盈利C.沒有盈利也沒有虧損 D.無(wú)法判斷盈虧情況√解析由題意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.970299≈0.97<1.因此該股民這只股票的盈虧情況為略有虧損.12344.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)v＝

單位是m/s，其中O表示魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條魚的耗氧量是2700個(gè)單位時(shí)，它的游速是____m/s.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固1234567891011121314151.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組關(guān)于y，t的數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的圖形.下列函數(shù)中，最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是A.y＝2t

B.y＝2t2C.y＝t3

D.y＝log2t16√2.某新款電視投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷售了100臺(tái)，第二個(gè)月銷售了200臺(tái)，第三個(gè)月銷售了400臺(tái)，第四個(gè)月銷售了790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中，能較好地反映銷量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x(1≤x≤4，x∈N*)之間關(guān)系的是A.y＝100x

B.y＝50x2－50x＋100C.y＝50×2x

D.y＝100x12345678910111213141516√解析將題目中的數(shù)據(jù)代入各函數(shù)中，易知指數(shù)型函數(shù)能較好地與題中的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng).3.某食品加工廠2019年獲利20萬(wàn)元，經(jīng)調(diào)整食品結(jié)構(gòu)，開發(fā)新產(chǎn)品.計(jì)劃從2020年開始每年比上一年獲利增加20%，問從哪一年開始這家加工廠年獲利超過60萬(wàn)元(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.2024年

B.2025年

C.2026年

D.2027年√解析設(shè)第n年獲利y元，則y＝20×1.2n，n∈N*,2020年即第1年，20×1.2n>60，所以n≥7，即從2026年開始這家加工廠年獲利超過60萬(wàn)元.123456789101112131415161234567891011121314154.所謂聲強(qiáng)，是指聲音在傳播途徑上每1平方米面積上的聲能流密度，用I表示，人類能聽到的聲強(qiáng)范圍很廣，其中能聽見的1000Hz聲音的聲強(qiáng)(約10－12W/m2)為標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)，記作I0，聲強(qiáng)I與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)I0之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L，即L＝lg，聲強(qiáng)級(jí)L的單位名稱為貝爾，符號(hào)為B，取貝爾的十分之一作為響度的常用單位，稱為分貝爾，簡(jiǎn)稱分貝(dB).《三國(guó)演義》中有張飛喝斷當(dāng)陽(yáng)橋的故事，設(shè)張飛大喝一聲的響度為140dB.一個(gè)士兵大喝一聲的響度為90dB，如果一群士兵同時(shí)大喝一聲相當(dāng)于張飛大喝一聲的響度，那么這群土兵的人數(shù)為A.1萬(wàn)

B.2萬(wàn)

C.5萬(wàn)

D.10萬(wàn)√16123456789101112131415解析設(shè)張飛的聲強(qiáng)為I1，一個(gè)士兵的聲強(qiáng)為I2，根據(jù)題意可知，16所以這群士兵的人數(shù)為10萬(wàn).5.2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半島和伊朗西南部，沙漠蝗蟲迅速繁衍，呈現(xiàn)幾何式的爆發(fā)，僅僅幾個(gè)月，蝗蟲數(shù)量增長(zhǎng)了8000倍，引發(fā)了蝗災(zāi)，到2020年春季蝗災(zāi)已波及印度和巴基斯坦.假設(shè)蝗蟲的日增長(zhǎng)率為5%，最初有N0只，則經(jīng)過多少天能達(dá)到最初的16000倍(參考數(shù)據(jù)：ln1.050≈0.0488，ln1.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803)A.198 B.199 C.197 D.200123456789101112131415√16解析設(shè)經(jīng)過x天能達(dá)到最初的16000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16000N0，12345678910111213141516又x∈N*，故經(jīng)過199天能達(dá)到最初的16000倍.1234567891011121314156.(多選)如圖，某池塘中的浮萍蔓延后的面積y(m2)與時(shí)間t(月)的關(guān)系：y＝at(a>0，且a≠1)，以下敘述中正確的是A.這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是2B.第5個(gè)月時(shí)，浮萍的面積就會(huì)超過35m2C.浮萍從4m2蔓延到16m2需要經(jīng)過2個(gè)月D.浮萍每個(gè)月增加的面積都相等√16√123456789101112131415解析將點(diǎn)(1,2)代入y＝at中，得a＝2，所以y＝2t，所以A正確；當(dāng)t＝5時(shí)，y＝25＝32<35，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)y＝4時(shí)，t＝2，當(dāng)y＝16時(shí)，t＝4，所以浮萍從4m2蔓延到16m2需要經(jīng)過2個(gè)月，所以C正確；由指數(shù)函數(shù)y＝2t的性質(zhì)可得浮萍每個(gè)月增加的面積不相等，所以D錯(cuò)誤.167.某品牌筆記本電腦的成本不斷降低，若每隔4年價(jià)格就降低

，則現(xiàn)在價(jià)格為8100元的筆記本電腦，12年后的價(jià)格將降為______元.1234567891011121314151624001234567891011121314158.某種放射性元素的原子數(shù)N隨時(shí)間t的變化規(guī)律是N＝N0e－λt，其中N0，λ為正常數(shù).由放射性元素的這種性質(zhì)，可以制造高精度的時(shí)鐘，用原子數(shù)表示時(shí)間t為_____________.161234567891011121314159.英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓(IsaacNewton,1643－1727年)曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型.如果物體的初始溫度是θ1，環(huán)境溫度是θ0，則經(jīng)過時(shí)間t后物體的溫度θ將滿足θ＝θ0＋(θ1－θ0)·e－kt，其中k為正常數(shù).某冬晨，警局接到報(bào)案，在街頭發(fā)現(xiàn)一位已經(jīng)死亡的流浪者，早上六點(diǎn)測(cè)量其體溫為13℃，到早上七點(diǎn)時(shí)，其體溫下降到11℃.若假設(shè)室外溫度約維持在10℃，且人體正常體溫為37℃，請(qǐng)你運(yùn)用牛頓冷卻模型判定流浪漢在早上幾點(diǎn)死亡.16123456789101112131415解設(shè)流浪漢在早上t0時(shí)刻死亡，根據(jù)牛頓冷卻模型，有16即則

解得t0＝4.所以可以判定流浪漢在早上4點(diǎn)死亡.123456789101112131415解依題意，得一年后這種鳥類的個(gè)數(shù)為1000＋1000×8%＝1080，兩年后這種鳥類的個(gè)數(shù)為1080＋1080×8%≈1166.1610.據(jù)觀測(cè)統(tǒng)計(jì)，某濕地公園某種珍稀鳥類的現(xiàn)有個(gè)數(shù)約1000只，并以平均每年8%的速度增加.(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個(gè)數(shù)；(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)123456789101112131415解由題意可知珍稀鳥類的現(xiàn)有個(gè)數(shù)約1000只，并以平均每年8%的速度增加，則所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝1000×1.08x，x∈N.16(2)寫出y(珍稀鳥類的個(gè)數(shù))關(guān)于x(經(jīng)過的年數(shù))的函數(shù)關(guān)系式；12345678910111213141516(3)約經(jīng)過多少年以后，這種鳥類的個(gè)數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個(gè)數(shù)的3倍或以上？(結(jié)果為整數(shù))123456789101112131415解令1000×1.08x≥3×1000，得1.08x≥3，兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg1.08x≥lg3，即xlg1.08≥lg3，16因?yàn)閘g108＝lg(33×22)＝3lg3＋2lg2，故約經(jīng)過15年以后，這種鳥類的個(gè)數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個(gè)數(shù)的3倍或以上.綜合運(yùn)用11.“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強(qiáng)m與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)m0(m0約為10－12，單位：W/m2)之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L(貝爾)，即L＝lg

，取貝爾的十分之一作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x，現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為50米，若A同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于10個(gè)B同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則B同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為A.5米

B.10米

C.45米

D.48米√12345678910111213141516解析設(shè)B同學(xué)的聲強(qiáng)為m，噴出泉水高度為x，則A同學(xué)的聲強(qiáng)為10m，噴出泉水高度為50，因?yàn)槟程帯昂叭钡穆曇繇懚葃(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x，12345678910111213141516即0.2x＝9，所以x＝45.12.某食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)).若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192h，在22℃的保鮮時(shí)間是48h，則該食品在33℃的保鮮時(shí)間是A.16h B.20h C.24h D.26h√1234567891011121314151612345678910111213141516解析由題意可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝192；當(dāng)x＝22時(shí)，y＝48，13.一種藥在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，現(xiàn)給某病人注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過____小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，答案采取四舍五入精確到0.1h)A.2.3 B.3.5

C.5.6 D.8.8√1234567891011121314151612345678910111213141516解析設(shè)從現(xiàn)在起經(jīng)過x小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效.則2500×0.8x＝1500，即0.8x＝0.6，所以lg0.8x＝lg0.6，即xlg0.8＝lg0.6，即x·(lg9－lg10)<－lg2，即x·(1－2lg3)>lg2，14.光線通過一塊玻璃，其強(qiáng)度要失掉原來(lái)的

，要使通過玻璃的光線強(qiáng)度為原來(lái)的

以下，至少需要這樣的玻璃板的塊數(shù)