2023年高考數(shù)學(xué)第 24講 函 數(shù) 的圖像- 變換思想的運(yùn)用

第24講函數(shù)"Asin?x+°)的圖像——變換思想的運(yùn)用

一、知識聚焦

函數(shù)丁=然皿皿+°)(4>0,卬>0/￡11)簡圖的作法有如下6種變換途徑.

，產(chǎn)sinQx+p)

y=/sin(x+@).

?y=sin(5+9)

y=smxy=sincoxy=As\n(cox+(pi)

y=As\ncox

y=As\nx)=/sins

y=Asm(x+(p)

相位變換在前，周期變換在后時,先將圖像向左(°>0)或向右(°<0)平行移動|同個單位，再

把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(卬>1)或伸長(O<w<l)到原來的-(縱坐標(biāo)不變)；

周期變換在前，相位變換在后時，先將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(卬>1)或伸長(0〈川<1)

到原來的-(縱坐標(biāo)不變),再把圖像向左(°>0)或向右(°<0)平行移動團(tuán)個單位.

二、精講與訓(xùn)練

【核心例題1]⑴用“五點(diǎn)法”作y=2cos2x-2Gsiiu:cosx的圖像

⑵己知函數(shù)為/(x)=sin2x+Gsiarcosx+2cos2x,X€R.

(i)求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(ii)函數(shù)/(x)的圖像可由函數(shù)卜=而2%(%€2的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到？

【解題策略】第⑴問，先把函數(shù)解析式變形為y=Asin(wx+0)的形式，而作此類函數(shù)的

圖像的基本方法就是“五點(diǎn)法”，關(guān)鍵是找出與x相應(yīng)的5個占,一般令wx+e=0、

jr37rT

一,凡2萬,即可得到繪圖所需的5個點(diǎn)的坐標(biāo).其中x的取值依次相差匕.若要求畫出給

224

定區(qū)間上的函數(shù)圖像時，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整vvx+0的取值，以便列表時能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值

除了用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)y=Asin(皿x+夕)的圖像之外，還可用變換法作圖.而變換法又

分為兩類，看圖像在水平方向先平移后伸縮還是先伸縮后平移.

函數(shù)y=sin%的圖像經(jīng)變挾得到y(tǒng)=Asin(VEX+夕)的圖像的步敏如圖24—1所示.

畫出y=sinr的圖像

橫坐標(biāo)變?yōu)镮原來的、

得到＞=sinwx的圖像

向左(右)平移2個單位長度

得至ljy=sin(iur+g)的圖像

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

得到y(tǒng)=Asin(uw+r)的圖像

圖24-1變換y=sinx的圖像得到y(tǒng)=Asin(mx+p)的圖像的步驟

第(2)問的第(2)小問運(yùn)用的正是變換法，還有一種是按向量平移的方法.

M：(l)y=2cos2jr-2>/3sin^cosx=-2sin2x-3乃|+I.

6

列表如下.

ft3K

ZJC——07T2K

67~2

nn7n5K13K

X

12T12-6IF

y1-i131

7113乃

先畫出一個周期內(nèi)的圖像,在區(qū)間

n'~vi上描點(diǎn)作圖(如圖24—2所示).

⑵

l-cos2x6.c、

(l)〃x)=------+sin2x+(1+cos2xj

^Sin2x4cos2x4=sinf2x+—^+

222I6J

1???/(x)的最小正周期T=y=^.

由題意得f（x\的單調(diào)增區(qū)間為2Z萬—工<2x+工二MeZ,即

Jv7262

.兀，八兀1r

K7T-----<X<K7r+-,KEZ.

36

???/（X）的單調(diào)增區(qū)間為伙萬一工，々乃+代］,《￡Z.

36

②解法一先把y=sin2x圖像上所有的點(diǎn)向左平移盍個單位長度，得到y(tǒng)=$皿2》+著）的圖

像，再把所得圖像上所有的點(diǎn)向上平移3個單位長度，就得到y(tǒng)=sin（2x+2）+3的圖像.

262

解法二把尸而2》的圖像上所有的點(diǎn)按向量。=（-卷,|）平移，就得到產(chǎn)疝出+a+^

的圖像.

變式訓(xùn)練已知函數(shù)y=2sin（2x+0.

（1）求它的振幅、周期、初相.

（2）用“五點(diǎn)法”作出它在一個周期內(nèi)的圖像.

（3）問：y=2sin（2x+$的圖像可由y=sinx的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到？

核心例題2要得到函數(shù)y=sin（2x-馬的圖像，只需把函數(shù)產(chǎn)sin（2x+馬的圖像（）.

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A.向左平移￡個單位長度

4

B.向右平移工個單位長度

4

C.向左平移工個單位長度

2

D.向右平移巴個單位長度

2

解題策略由、=5皿(2%+2)的圖像fy=sin(2x-工)的圖像，按照圖像平移的規(guī)則一定是左

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右平移.應(yīng)當(dāng)把X的系數(shù)提取出來確定平移長度.由x+乙到X-乙且減少了￡,一定是向右平

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移，當(dāng)然也可以直接對解析式)』sin(2x-5)變形尋求平移方向與單位，也可以抓住圖像上

的特殊點(diǎn)如相鄰最高點(diǎn)確定平移方向與單位.

解法一y=sin(2x--)=sin2(x--),y=sin(2x+巳)=sin2(x+—)，

36612

由x+2到x-三減少了工個單位長度，，向右平移工個單位長度.故選B.

12644

解法二:y=sin(2x-0)=sin[(2x-g+?=sin[2(x-?)+^].

???y=sin(2x+-)的圖像只需向右平移工個單位長度即可得到

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y=sin[2(x--)+-],即y=sin(2x-三)的圖像.故選5.

463

解法三令2x+2=工得x=工，令2x-工=工，得犬=生.原點(diǎn)附近的最高點(diǎn)橫坐標(biāo)由工到

62632126

—,向右平移了工個單位長度，故選5.

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變式訓(xùn)練已知函數(shù)/(x)=2sin(ox),其中常數(shù)o>0.

(1)若y="x)在[-工,2為上單調(diào)遞增，求3的取值范圍.

43

(2)令。=2,將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移三個單位長度，再向上平移1個單位長度，

6

得到函數(shù)y=g(x)的圖像，區(qū)間[a,b]{a,beR且a<勿滿足：y=g(x)在[a,b]上至少有30個

零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的切中，求b-a的最小值.

核心例題3如圖24-3所示是函數(shù)y=Asin(cox+s)(A>0⑷>0,冏的一般圖像，求其解

析式.

解題策略由函數(shù)圖像確定三角函數(shù)解析式，實(shí)質(zhì)是確定。，8,A的值，由于關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)

圖像上已標(biāo)明，則求切比較容易.最高點(diǎn)、最低點(diǎn)不明朗，把求A的值放在最后一步，而確

定。是難點(diǎn)，方法很多，下面的解法運(yùn)用動態(tài)思維，可以用若干不同的處理方式，從而突破

這一難點(diǎn).

解：先求。，設(shè)函數(shù)的周期為T,則網(wǎng)，.?.7=T.

4884

a>=—=2,則所求解析式為y=Asin(2x+e),再求e.

解法一:(最值點(diǎn)法)?.?當(dāng)x時，函數(shù)取得最大值，...2*(+e=2版■+^GteZ),又???

解法二:(起始點(diǎn)法)把函數(shù)圖像向左補(bǔ)充，可知(-*,())應(yīng)是“五點(diǎn)法”作圖中的第一點(diǎn),

則2x(—令+9=0,解得夕=(.

解法三：(第五點(diǎn)法)(衛(wèi),0)應(yīng)是“五點(diǎn)法”作圖中的第五點(diǎn)，則有2x衛(wèi)+尹=2%，解得

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解法四：(平移法)把函數(shù)圖像向左擴(kuò)展(補(bǔ)充)知丫=441!2彳的圖像向左平移工個單位長

8

度可得到丫=念訪(2萬+0)的圖像，于是有￡=即e=

解法五：(單調(diào)性法)如圖所示，知(網(wǎng),0)在所給圖像上，把這一點(diǎn)的坐標(biāo)代入

8

y=Asin(2x+°)得sin(2—x+°)=0,又點(diǎn)(2—,0)在遞減的一般圖像上，/.

48

34TC37r,_3萬

L

-^-x+(pe\2k7r+—,2k7r+^-](<keZ),由此有^—x+(p=2k^+7r{kGZ),

夕=24乃+?(ZwZ),又?冏e=?.最后求A,所求函數(shù)解析式為y=4sin(2x+?),

又圖像過點(diǎn)(0,我)，,Asin2=后,4=2.

4

綜上，所求函數(shù)的解析式為y=2sin(2x+?).

變式訓(xùn)練1將函數(shù)y=/(x)的圖像上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膅,再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?/p>

的;，再將所得圖像向左平移q個單位長度可得丫:豆!!》，則原來的函數(shù)解析式為.

變式訓(xùn)練2如圖24?4所示，它是函數(shù)y=4sin(s+°)(A>0,①>0,|同<乃)的圖像，由圖中

變式訓(xùn)練3已知正弦型函數(shù)y=Asin(〃)x+9)(A>0,3>0,0〈冏〈鄉(xiāng)的圖像如圖24-5所示.

(1)求此時函數(shù)的解析式/(?.

(2)求與工(冗)的圖像關(guān)于x=8對稱的函數(shù)的解析式[*).

核心例題4已知函數(shù)/(X)=sin(2xd■—)+cos(2x+—)+2sinxcosx.

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(1)求函數(shù)/(x)圖像的對稱軸方程.

(2)將函數(shù))，=/(x)的圖像向右平移合個單位長度，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為

原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，求y=g(x)在弓,2劃上的值域.

解題策略第(1)問，利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式為y=Asin(ar+e)的形式，

令4yx+0=版?+](%€Z),解得所求函數(shù)的對稱軸方程.第(2)問，利用函數(shù)y=Asin(<yx+e)

的圖像變換規(guī)律求出y=g(x)的解析式，再求y=g(x)在xe[0,2加上的值域.

JTJT

解：(1)“X)=sin(2xd——)+cos(2x4-—)+2sinxcosx

=sin2xcos—+cos2xsin—+cos2xcos--sin2xsin—+2sinxcosx

3366

=—sin2x+cos2x+cos2x--sin2x+sin2x