蘇教版必修第二冊(cè)1322空間兩條直線的位置關(guān)系課件

數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步空間兩條直線的位置關(guān)系01預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)02探究案講練互動(dòng)03自測(cè)案當(dāng)堂達(dá)標(biāo)04應(yīng)用案鞏固提升1．空間直線的位置關(guān)系(1)異面直線定義：把不同在__________平面內(nèi)的兩條直線叫作異面直線．任何一個(gè)(2)空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有一個(gè)在同一平面內(nèi)沒(méi)有1．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線一定是異面直線嗎？提示：不能把異面直線誤認(rèn)為是分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖，雖然有a?α，b?β，即a，b分別在兩個(gè)不同的平面內(nèi)，但是因?yàn)閍∩b＝O，所以a與b不是異面直線．(2)“等角”定理如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．平行傳遞性a∥c2．如何利用定理判斷兩個(gè)角是相等的還是互補(bǔ)的？提示：定理實(shí)質(zhì)上是由如下兩個(gè)結(jié)論組合成的：①若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向都相同(或方向都相反)，則這兩個(gè)角相等；②若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，有一組對(duì)應(yīng)邊方向相同，另一組對(duì)應(yīng)邊方向相反，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．3．異面直線所成的角(1)定理：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)異面直線所成的角定義：a與b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的______________叫作異面直線a，b所成的角(或夾角).范圍：設(shè)θ為異面直線a與b所成的角，則0°<θ≤90°.特別地，當(dāng)θ＝______時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b.銳角(或直角)90°異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°，所以垂直有兩種情況：異面垂直和相交垂直．1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)異面直線沒(méi)有公共點(diǎn)．(

)(2)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(

)(3)兩條異面直線一定在兩個(gè)不同的平面內(nèi)．(

)(4)分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線一定是異面直線．(

)(5)若a與b是異面直線且a與c也是異面直線，則b與c是異面直線．(

)(6)如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行，則這兩個(gè)角相等．(

)√√××××2．異面直線是指(

)A．空間中兩條不相交的直線B．分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線C．平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線D．不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線√解析：對(duì)于A，空間兩條不相交的直線有兩種可能，一是平行(共面)，另一個(gè)是異面，所以A應(yīng)排除．對(duì)于B，分別位于兩個(gè)平面內(nèi)的直線，既可能平行也可能相交也可異面，如圖，就是相交的情況，所以B應(yīng)排除．對(duì)于C，如圖中的a，b可看作是平面α內(nèi)的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，所以C應(yīng)排除．只有D符合定義．3．正方體的6個(gè)面中相互平行的平面有(

)A．2對(duì)

B．3對(duì)

C．4對(duì) D．5對(duì)解析：前后兩個(gè)面、左右兩個(gè)面、上下兩個(gè)面都平行．√4．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，則∠PQR等于(

)A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對(duì)√5．正方體ABCD-A1B1C1D1的各個(gè)面中與直線A1B1平行的平面有________個(gè)．解析：由正方體圖形特點(diǎn)，知直線A1B1與平面CC1D1D和平面ABCD平行．答案：2探究點(diǎn)1空間兩直線位置關(guān)系的判定如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．【解析】經(jīng)探究可知直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以(1)應(yīng)該填“平行”；點(diǎn)A1、B、B1在平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面．所以(2)(4)應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C相交于D1點(diǎn)，所以(3)應(yīng)該填“相交”．【答案】

(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面(1)判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷，而兩條直線平行也可以用基本事實(shí)4判斷．1．三棱錐A-BCD的6條棱所在直線成異面直線的有(

)A．3對(duì)

B．4對(duì)C．5對(duì)

D．6對(duì)√解析：三棱錐A-BCD的六條棱所在直線中，成異面直線的有AB和CD，AD和BC，BD和AC，所以三棱錐A-BCD的六條棱所在直線成異面直線的有3對(duì)．故選A．2．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關(guān)系是(

)A．異面

B．相交C．平行

D．異面或相交解析：a與c不可能平行，若a∥c，又因?yàn)閍∥b，所以b∥c，這與b∩c＝A矛盾，但a與c異面、相交都有可能．√探究點(diǎn)2平行公理和等角定理的應(yīng)用如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：四邊形EBFD1是菱形．(1)證明兩直線平行的常用方法①利用平面幾何的結(jié)論，如平行四邊形的對(duì)邊,三角形的中位線與底邊；②定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；③利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行．(2)證明兩角相等的方法①利用等角定理；②利用三角形全等或相似．[注意]在應(yīng)用等角定理時(shí),應(yīng)注意說(shuō)明這兩個(gè)角同為銳角、直角或鈍角．

如圖，已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.(2)由(1)可知MN∥A1C1.又因?yàn)镹D∥A1D1，所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)．而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.探究點(diǎn)3異面直線所成的角如圖，在正方體ABCD-EFGH中，O為側(cè)面ADHE的中心．

求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角．【解】

(1)如圖，因?yàn)镃G∥BF.所以∠EBF(或其補(bǔ)角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)連接FH，因?yàn)镠D∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補(bǔ)角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，又知O為AH的中點(diǎn)，所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.1．[變條件]在本例正方體中，若P是平面EFGH的中心，其他條件不變，求OP和CD所成的角．解：連接EG，HF，則P為HF的中點(diǎn)，連接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP與CD所成的角為45°.2．[變條件]在本例正方體中，若M，N分別是BF，CG的中點(diǎn)，且AG和BN所成的角為39.2°，求AM和BN所成的角．求異面直線所成角的步驟(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對(duì)異面直線平移有困難時(shí)，可利用該幾何體的特殊點(diǎn)，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過(guò)解三角形，求出所找的角．(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ<180°，則180°－θ為所求．[提醒]

求異面直線所成的角，通常把異面直線平移到同一個(gè)三角形中去，通過(guò)解三角形求得，但要注意異面直線所成的角θ的范圍是0°＜θ≤90°.

如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成的角．因?yàn)锳B⊥CD，所以EG⊥GF.所以∠EGF＝90°.所以△EFG為等腰直角三角形．所以∠GFE＝45°，即EF與AB所成的角為45°.1．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是(

)A．相交

B．異面C．平行

D．相交或異面解析：若兩直線不平行，則直線可能相交，也可能異面．√2．若兩個(gè)平面相互平行，則分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是(

)A．平行

B．異面C．相交

D．平行或異面解析：如圖：√3．如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么這條直線與另一個(gè)平面的位置關(guān)系為(

)A．平行

B．直線在平面內(nèi)C．相交或直線在平面內(nèi)

D．平行或直線在平面內(nèi)解析：若一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，則這條直線與另一個(gè)平面平行或直線在平面內(nèi)．√4．在正方體ABCD-A1B1C1D