遼寧專升本數(shù)學（無窮級數(shù)）模擬試卷1（共169題）

遼寧專升本數(shù)學（無窮級數(shù)）模擬試卷1（共6套）（共169題）遼寧專升本數(shù)學（無窮級數(shù)）模擬試卷第1套一、單項選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設級數(shù)un收斂(un≠0)，則下列級數(shù)中必收斂的為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：記(un＋un＋1)的部分和為σn，一般項為vn則σn＝v1＋v2＋…＋vn＝(u1＋u2)＋(u2＋u3)＋…＋(un＋un＋1)＝u1＋2u2＋2u3＋…＋2un＋un＋1＝2(u1＋u2＋…＋un＋1)－u1－un＋1，因為un收斂，所以其部分和數(shù)列{Sn}極限存在，且＝0．令＝A，從而＝2A－u1，所以(un＋un＋1)收斂．故選D．2、若級數(shù)an收斂，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：因為an收斂，所以都收斂．由收斂級數(shù)的性質(zhì)知收斂．故選D．取an＝，可以驗證A、B、C項中的級數(shù)均發(fā)散．3、下列級數(shù)中為正項級數(shù)的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：正項級數(shù)須滿足un≥0，A項是交錯級數(shù)；B項．－1＜sinn＜1，所以B項也不是正項級數(shù)；D項，當a＜0且n為奇數(shù)時an／np＜0，故D項也不是正項級數(shù)；C項，1＋(－1)n≥0。0＜sin(1／n)≤sin1，則≥0，故C項是正項級數(shù)．4、下列級數(shù)中收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：，故由比值審斂法可知A項級數(shù)收斂；(5／7)n收斂，(7／5)n發(fā)散，故B項級數(shù)發(fā)散；發(fā)散，故C項級數(shù)發(fā)散；，所以發(fā)散．故選A．5、級數(shù)是()A、發(fā)散的B、絕對收斂的C、條件收斂的D、不能確定斂散性的標準答案：B知識點解析：收斂，所以由比較審斂法知絕對收斂．6、設級數(shù)都收斂，則a的范圍為()A、0＜a≤1／2B、1／2＜a≤1C、1＜a≤3／2．D、3／2＜a＜2標準答案：D知識點解析：由于＝1，又對于，當p＞1時收斂，當p≤1時發(fā)散，因此a－1／2＞1，3－a＞1，解得3／2＜a＜2．7、冪級數(shù)的收斂半徑是()A、1B、0C、2D、＋∞標準答案：D知識點解析：ρ＝＝0，所以收斂半徑R＝＋∞．8、設冪級數(shù)的收斂半徑是2，則級數(shù)在點x＝1處()A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、不能確定斂散性標準答案：A知識點解析：冪級數(shù)的收斂半徑為2，則級數(shù)在｜x＋2｜＜2內(nèi)收斂，在｜x＋2｜＞2內(nèi)發(fā)散，故級數(shù)在x＝1處發(fā)散．9、函數(shù)f(x)＝1／(3－x)在(－3，3)內(nèi)展開成x的冪級數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由于故選B．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、若級數(shù)un收斂于S，則un收斂于________．標準答案：s－u1知識點解析：因為級數(shù)un收斂于s，則un＝s，故－u1＝s－u1．11、設級un是收斂的，且un≠0，n∈N＋，則級數(shù)是________的．(填“收斂”或“發(fā)散”)標準答案：發(fā)散知識點解析：由un收斂可知＝0，則＝∞，所以發(fā)散．12、已知級數(shù)un收斂，則(un2＋2un＋1)＝________．標準答案：1知識點解析：由級數(shù)un收斂可得＝0，故＋1＝1．13、級數(shù)的斂散性是________．(填“絕對收斂”、“條件收斂”或“發(fā)散”)標準答案：條件收斂知識點解析：發(fā)散，所以發(fā)散；但滿足萊布尼茨定理，所以級數(shù)即條件收斂．14、若級數(shù)收斂，則a＝________．標準答案：0知識點解析：因為級數(shù)收斂，由此可知a＝0．15、冪級數(shù)的收斂半徑為________．標準答案：3知識點解析：所給冪級數(shù)通項為，所以收斂半徑R＝3．16、若冪級數(shù)an(x＋3)n的收斂半徑為2，則該級數(shù)的收斂區(qū)間為________．標準答案：(－5，－1)知識點解析：冪級數(shù)的收斂半徑為2，則令｜x＋3｜＜2，得－5＜x＜－1，故其收斂區(qū)間為(－5，－1)．17、＝________，＝________．標準答案：e2，0知識點解析：因為=ex，所以當x＝2時，＝e2，則＝0．三、計算題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)18、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：由題意可知通項un＝(3n－1)／3n因為，所以根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件可知原級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析19、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：由于是公比q＝4／25＜1的等比級數(shù)，收斂，故由比較審斂法知收斂．知識點解析：暫無解析20、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：所給級數(shù)為正項級數(shù)，且令un＝2nn?。痭n，因為收斂，由比較審斂法知原級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析21、判定級數(shù)是否收斂，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂?標準答案：因為，且級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散．又因為由萊布尼茨定理可知收斂，所以級數(shù)條件收斂．知識點解析：暫無解析22、設an≥0，且數(shù)列{nan}有界，判定級數(shù)的斂散性．標準答案：由于{nan}有界，即存在M＞0，使得對任意的正整數(shù)n，有0≤nan≤M，也就是0≤an≤M／n，故an2≤M2／n2．又收斂，則由比較審斂法知級數(shù)an2收斂．知識點解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：因為ρ＝＝1，所以收斂半徑R＝1，故該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(－1，1)．知識點解析：暫無解析24、求冪級數(shù)的收斂域．標準答案：因為ρ＝所以收斂半徑R＝1／ρ＝1／4，收斂區(qū)間為(－1／4，1／4)．當x＝1／4時，級數(shù)為，發(fā)散；當x＝－1／4時，級數(shù)為，收斂．因此原級數(shù)的收斂域為[－1／4,1／4)．知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：所以冪級數(shù)的收斂域為(－∞，＋∞)．設所求冪級數(shù)的和函數(shù)為S(x)，則S(x)＝[x(cosx－1)]’＝cosx－1－xsinx，x∈(－∞，＋∞)．知識點解析：暫無解析26、將函數(shù)f(x)＝展開成x的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析27、將函數(shù)f(x)＝(x＋1)／(x2－4x＋3)展開成x－5的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析28、將f(x)＝xarctanx－展開成x的冪級數(shù)．標準答案：由于f(0)＝0，f’(x)＝知識點解析：暫無解析遼寧專升本數(shù)學（無窮級數(shù)）模擬試卷第2套一、單項選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設un＞0(n＝1，2，…)，sn＝ui，則數(shù)列{sn}有界是數(shù)列{un}收斂的()A、充分必要條件B、充分非必要條件C、必要非充分條件D、既非充分也非必要條件標準答案：B知識點解析：由于un＞0(n＝1，2，…)，sn＝u1＋u2＋-…＋un。故數(shù)列{sn}單調(diào)遞增，因此數(shù)列{sn}有界時．數(shù)列{sn)極限存在，即級數(shù)un收斂，于是＝0，即數(shù)列{un}收斂于0．反過來，當數(shù)列{un)收斂時，數(shù)列{sn)未必有界．例如un＝1．＝1，但sn＝n是無界的。因此數(shù)列{sn}有界是數(shù)列{un}收斂的充分非必要條件．2、下列命題錯誤的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：對于選項D，舉反例：可取un＝1．un＝－1．則(un＋un)收斂，但是級數(shù)un和vn均發(fā)散．3、下列級數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：A項的通項為un＝2／en．其是公比為q＝1／e＜1的等比級數(shù)，收斂；B項的通項為un＝1／4n，其是公比為q＝1／4＜1的等比級數(shù)，收斂；C項的通項為un＝(0．001)1／n，因為＝1，所以由級數(shù)收斂的必要條件知該級數(shù)發(fā)散；D項的通項為un＝(－1)n－1(3／7)n．其是公比為q＝－3／7，｜q｜＜1的等比級數(shù)，收斂．4、設{un}是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則下列級數(shù)中收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：取un＝－1／n，則un發(fā)散，故A項不一定收斂．由題意可知{un)是單調(diào)增加的有界數(shù)列，則1／un單調(diào)遞減但不趨于零，故由級數(shù)收斂的必要條件可知B項發(fā)散．取un＝－1／n，則發(fā)散，C項錯誤．對于D選項：(un＋12－un2)＝(u22－u12)＋(u32－u22)＋…＝(un＋12－u12)存在，故(un＋12－u12)存在，故選D．5、下列級數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：A項中，所給級數(shù)為正項級數(shù)，且故由比值審斂法知級數(shù)收斂．B項中，所給級數(shù)為正項級數(shù)，且當n→∞時，，由于級數(shù)(1／n3)收斂，故由比較審斂法的極限形式知收斂；C項中，，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，則C項級數(shù)發(fā)散；D項中．所給級數(shù)為正項級數(shù)，且，故由比值審斂法知收斂．故選C．6、當________時，無窮級數(shù)(－1)nun(un＞0)收斂．()A、un＋1≤un(n＝1．2，…)B、un＝0C、un＋1＜un(n＝1，2，…)且un＝0D、un＋1≥un(n＝1，2，…)標準答案：C知識點解析：由交錯級數(shù)的萊布尼茨定理可知，級數(shù)(－1)nun(un＞0)同時滿足un＋1-≤un，＝0兩個條件時收斂．故選C．7、設級數(shù)an滿足0≤an≤1／5n，則下列級數(shù)發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：級數(shù)收斂，又0≤an≤1／5n，所以an也收斂，因此A、B項均收斂；C項中，為π＝2／3＜1的P級數(shù)，發(fā)散，故發(fā)散；D項中，為p＝3／2＞1的p級數(shù)，收斂，故收斂．8、如果級數(shù)的收斂區(qū)間是(3，4)，則a＝()A、3B、4C、5D、7標準答案：D知識點解析：對于級數(shù)＝1，令－1＜2x－a＜1，得(a－1)／2＜x＜(a＋1)／2，由已知條件可得(a－1)／2＝3，(a＋1)／2＝4，所以a＝7．9、冪級數(shù)(｜x｜＜1)的和函數(shù)是()A、ln(1＋xz)B、ln(1－x)C、－ln(1＋x)D、－ln(1－x)標準答案：D知識點解析：10、函數(shù)f(x)＝sin(x－π／4)在x＝π／4處展開成冪級數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：x∈(－∞，＋∞)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)11、級數(shù)的和S＝________．標準答案：5／(5－ln2)知識點解析：此級數(shù)為等比級數(shù)，公比q＝ln2／5．首項a＝1．等比級數(shù)求和公式得S＝12、設un＝(n＝1，2，…)，則級數(shù)un是________的，級數(shù)un2是________的．(填“收斂”或“發(fā)散”)標準答案：發(fā)散，收斂知識點解析：是p＝3／4＜1的p級數(shù)，故發(fā)散，是p＝3／2＞1的p級數(shù)，故收斂．13、已知級數(shù)(a≥0)收斂，則a滿足的條件為________．標準答案：0≤a≤1知識點解析：＝a，當0＜a＜1時，由比值審斂法可知級數(shù)收斂；當a＝0時，收斂；當a＝1時，級數(shù)也收斂，所以a滿足的條件為0≤a≤1．14、冪級數(shù)的收斂區(qū)間為________．標準答案：(－6，6)知識點解析：所以收斂半徑為R＝6，收斂區(qū)間為(－6，6)．15、冪級數(shù)的收斂半徑是________，收斂區(qū)間是________，收斂域是________．標準答案：1／3，(－1／3，1／3)，[－1／3，1／3]知識點解析：因為＝3，所以冪級數(shù)的收斂半徑是1／3，收斂區(qū)間是(－1／3，1／3)．當x＝－1／3時，原級數(shù)為，收斂；當x＝1／3時，原級數(shù)為，收斂，所以原級數(shù)的收斂域為[－1／3，1／3]．16、函數(shù)f(x))＝ln(1－x－2x2)展開成x的冪級數(shù)為________．標準答案：知識點解析：ln(1－x－2x2)＝ln[(1－2x)(1＋x)]＝ln(1－2x)＋ln(1＋x)，因為In(1＋x)＝收斂域為(－1，1]．所以In(1－2x)＝，收斂域為[－1／2，1／2)，故ln(1－x－2x2)＝，x∈[－1／2，1／2)．三、計算題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)17、討論級數(shù)的斂散性，若收斂，求其和．標準答案：知識點解析：暫無解析18、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：令un＝n／2n，則故由比值審斂法知級數(shù)收斂，所以由比較審斂法可知也收斂．知識點解析：暫無解析19、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：因為un＝2n／5lnn＞0，且所以由比值審斂法知發(fā)散．知識點解析：暫無解析20、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：因為當n→∞時，nln(1＋1／3n)～n／3n，而對于級數(shù)由比值審斂法可得級數(shù)收斂，所以由比較審斂法的極限形式可知級數(shù)收斂，則原級數(shù)絕對收斂．知識點解析：暫無解析21、根據(jù)常數(shù)a的取值情況，討論級數(shù)的斂散性．標準答案：將級數(shù)的一般項進行分子有理化，得到所以有由比較審斂法的極限形式可知：(1)當a＋1／2＞1，即a＞1／2時，由于收斂，因此級數(shù)收斂；(2)當a＋1／2≤1，即a≤1／2時，由于發(fā)散，因此級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域：22、標準答案：ρ＝＝3，故收斂半徑R＝1／3，則級數(shù)在｜x｜＜1／3，即－1／3＜x＜1／3時收斂．當x＝－1／3時，收斂，當x＝1／3時，發(fā)散，故收斂域為[－1／3，1／3)；知識點解析：暫無解析23、標準答案：ρ＝＝＋∞，故收斂半徑R＝0。級數(shù)僅在x＝0處收斂；知識點解析：暫無解析24、標準答案：ρ＝＝3，故收斂半徑R＝1／3．則級數(shù)在－1／3＜x－1＜1／3，即2／3＜x＜4／3時收斂．當x＝4／3時，級數(shù)為因為發(fā)散，收斂，故發(fā)散；當x＝2／3時，級數(shù)為因為滿足萊布尼茨定理，收斂，由比值審斂法知收斂，故原級數(shù)收斂．從而冪級數(shù)的收斂域為[2／3,4／3)．知識點解析：暫無解析25、標準答案：un(x)＝＝(x－3)2．當(x－3)2＜1，即｜x－3｜＜I時級數(shù)收斂，收斂半徑R＝1．當x－3＝1即x＝4時，收斂；當x－3＝－1即x＝2時，收斂．故收斂域為[2，4]．知識點解析：暫無解析26、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：因為ρ＝＝1，所以其收斂半徑R＝1，收斂區(qū)間為｜x－1｜＜1，即(0，2)．當x＝0或2時，級數(shù)均發(fā)散．所以該級數(shù)的收斂域是(0．2)．知識點解析：暫無解析27、若，求an．標準答案：知識點解析：暫無解析28、將f(x)＝ln(4x－5)展開成x－2的冪級數(shù)，并指出其收斂域．標準答案：知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)29、設a1＝2，an＋1＝an／2，且an＞0，證明：級數(shù)(an－an＋1)收斂．標準答案：由題意可知an＞0，且＝1／2＜1，所以an＝收斂，則＝0，從而因此級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析遼寧專升本數(shù)學（無窮級數(shù)）模擬試卷第3套一、單項選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、級數(shù)＝()A、0B、1／5C、1／3D、1／3標準答案：D知識點解析：設所給級數(shù)的前n項和為Sn，由于，則2、若級數(shù)an發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：若an發(fā)散，可能有＝0，如(1／n)，故A項正確；由(1／n)發(fā)散可知B、C項均不成立；由(－1)n發(fā)散知D項不成立．3、下列選項中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：設收斂，但發(fā)散，故B項錯誤．設un＝(1／2n)．雖然正項級數(shù)un發(fā)散，但1／2n＜1／n，故C項錯誤．D項成立的前提條件是un和vn是正項級數(shù)，即un≥vn≥0．故D項錯誤．對于選項A，由于(un＋vn)2＝un2＋vn2＋2unvn≤2(un2＋vn2)，由題意可知2(un2＋vn2)收斂，故(un＋un)2收斂，故選A．4、下列級數(shù)發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：A項中，，故級數(shù)收斂；B項中，收斂，故級數(shù)sin(π／2n)收斂；C項中，，故由級數(shù)收斂的必要條件知級數(shù)發(fā)散；D項中，，故級數(shù)收斂．5、下列級數(shù)絕對收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：對于A項，，因為(1／n)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散，又滿足萊布尼茨定理，故原級數(shù)條件收斂；對于B項，un＝，故｜un｜收斂，原級數(shù)絕對收斂；對于C項，由級數(shù)收斂的必要條件知該級數(shù)發(fā)散；對于D項，發(fā)散，所以發(fā)散，即D項級數(shù)不絕對收斂．6、設un＞0(n＝1，2，…)，且un收斂，常數(shù)λ∈(0，π／2)，則級數(shù)()A、收斂B、不能確定斂散性C、發(fā)散D、斂散性與λ有關標準答案：A知識點解析：n→∞時，由un＞0，且un收斂可得u2n收斂，從而可得收斂．7、冪級數(shù)的收斂域為()A、(－1，1)B、(－1，1]C、[－1，1)D、[－1，1]標準答案：A知識點解析：級數(shù)的收斂半徑為R＝＝1，收斂區(qū)間為(－1，1)．又當x＝1時，級數(shù)發(fā)散．當x＝－1時，級數(shù)也發(fā)散，故其收斂域為(－1，1)．8、設＝ρ(ρ＞0)，若冪級數(shù)的收斂半徑分別為R1、R2、R3，則下列關系式成立的是A、R3＞R2＞R1B、R3＞R2＝R1C、R3＝R2＜R1D、R1＝R2＝R3標準答案：D知識點解析：對于級數(shù)＝ρ；對于級數(shù)＝ρ；對于級數(shù)＝ρ，所以R1＝R2＝R3＝1／ρ，故選D．9、函數(shù)f(x)＝1／(x－6)展開成(x－2)的冪級數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、已知u1＝，u2＝，u3＝，u4＝，…，un＝，…，則un＝________．標準答案：1知識點解析：un＝，前n項和Sn＝因為＝1，所以＝1．11、已知級數(shù)an＝2，a2n－1＝5，則級數(shù)(－1)n－1an＝________．標準答案：8知識點解析：因為an＝a1＋a2＋…＋an＋…＝2，a2n－1＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋…＝5，且(－1)n－1an＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＋…，所以(－1)n－1an＝2a2n－1－an＝8．12、級數(shù)的斂散性為________．(填“收斂”或“發(fā)散”)標準答案：發(fā)散知識點解析：是p＝1／3＜1的p級數(shù)，發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散．13、設un≥(n＝1，2，…)，則級數(shù)是________的．(填“收斂”或“發(fā)散”)標準答案：發(fā)散知識點解析：un≥1／n2／5＞0(n＝1，2，…)，則發(fā)散．14、若級數(shù)(a＞0)收斂，則a應滿足________．標準答案：0＜a＜2知識點解析：，當a／2＜1，即a＜2時，原級數(shù)收斂；當a＝2時，＝1≠0，原級數(shù)發(fā)散．又因為a＞0，所以a的取值范圍為0＜a＜2．15、已知anxn的收斂半徑為27，則anx3n的收斂半徑是________．標準答案：3知識點解析：因為anxn的收斂半徑為27，令x3＝t，則的收斂半徑也為27，故anx3n的收斂半徑為3．16、冪級數(shù)的收斂域為________．標準答案：(－4，4]知識點解析：由于則冪級數(shù)的收斂半徑R＝4，收斂區(qū)間為(－4，4)．而x＝4時，級數(shù)收斂x＝－4時，級數(shù)發(fā)散，所以收斂域為(－4，4]．17、函數(shù)f(x)＝2x在x＝1處的冪級數(shù)展開式為________．標準答案：知識點解析：因為ex＝，x∈(－∞．+∞)，所以2x＝2×2x－1=＝2e(x－1)ln2＝，x∈(－∞，＋∞)．三、計算題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)18、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：因為所以根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件知級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析19、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：因為un＝4n／n33n＝0，且所以由比值審斂法知發(fā)散．知識點解析：暫無解析20、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：故由根值審斂法知收斂．知識點解析：暫無解析21、判定級數(shù)是否收斂，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂?標準答案：因為n→∞時，，而級數(shù)所以級數(shù)收斂，故由比較審斂法知收斂，從而級數(shù)絕對收斂．知識點解析：暫無解析22、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標準答案：un(x)＝，故得原冪級數(shù)的收斂區(qū)間為知識點解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂域．標準答案：令(x－1)2＝t，則級數(shù)化為由于ρ＝的收斂半徑R＝1，令｜(x－1)2｜＜1，即0＜x＜2，則級數(shù)的收斂區(qū)間為(0，2)．當x＝0或x＝2時，原級數(shù)均為，由萊布尼茨定理可知該級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂域為[0，2]．知識點解析：暫無解析24、求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求級數(shù)的和S．標準答案：由ρ＝＝1得冪級數(shù)的收斂半徑為R＝1／ρ＝1，收斂區(qū)間為(－1，1)．當x＝±1時，級數(shù)都收斂，故收斂域為[－1，1]．設該冪級數(shù)的和函數(shù)為S(x)，則S(x)＝其中設g(x)＝又g(0)＝0，于是g(x)＝∫0xg’(t)dt＝∫0x1／(1－t)dt＝－ln(1－x)，而故S(x)＝(－1≤x＜1且x≠0)．當x＝0時，S(0)＝0．當x＝1時，S(1)＝，故令x＝1／2∈[－1，1)，得S＝知識點解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)＝展開成x的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析26、將函數(shù)f(x)＝arctan[(1－2x)／(1＋2x)]展開成關于x的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和．標準答案：因為x＝1／2時級數(shù)收斂，且函數(shù)f(x)在x＝1／2處連續(xù)，所以令x＝1／2，得f(1／2)＝又因為f(1／2)＝0，所以知識點解析：暫無解析27、將展開為x的冪級數(shù)，并求的和．標準答案：知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)28、利用級數(shù)收斂的必要條件證明極限標準答案：顯然令un＝n／3n，因為則由比值審斂法知級數(shù)收斂．再由比較審斂法知級數(shù)收斂，故知識點解析：暫無解析遼寧專升本數(shù)學（無窮級數(shù)）模擬試卷第4套一、單項選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、若級數(shù)an收斂于S，則(an＋an＋1－an＋2)收斂于()A、S＋a1B、S＋a2C、S＋a1－a2D、S－a1＋a2標準答案：B知識點解析：a2＝S＋a2，故選B．2、若級數(shù)(u2n－1＋u2n)收斂，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：級數(shù)(u2n－1＋u2n)是由un加括號后所得到的級數(shù)，由(u2n－1＋u2n)收斂不能得出級數(shù)un收斂．例如(－1)n－1發(fā)散，但(u2n－1＋u2n)＝(1－1)＋(1－1)＋…＋(1－1)＋…＝0收斂，且不存在．3、下列級數(shù)收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：＝1≠0，故A項級數(shù)發(fā)散；1＝1≠0．故B項級數(shù)發(fā)散；極限(－1)n不存在。故C項級數(shù)發(fā)散；，此級數(shù)為q＝－8／9的等比級數(shù)，由于｜q｜＝8／9＜1．故該級數(shù)收斂．4、設un＝，則級數(shù)()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：n→∞時，均發(fā)散。所以級數(shù)un和un2均發(fā)散．5、下列級數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：A項中，級數(shù)(n／3n)為正項級數(shù)。又所以根據(jù)正項級數(shù)的比值審斂法知(n／3n)收斂；B項中，級數(shù)為正項級數(shù)，而ln(1＋1／n)～1／n(n→∞)，于是為p＝3／2＞1的p級數(shù)，收斂．因此由正項級數(shù)的比較審斂法的極限形式可知收斂；C項中，由于，而正項級數(shù)發(fā)散，根據(jù)萊布尼茨定理知交錯級數(shù)收斂，那么由級數(shù)的性質(zhì)知發(fā)散；D項中，級數(shù)為正項級數(shù)，而，根據(jù)正項級數(shù)的比值審斂法知級數(shù)收斂．6、對任意的n，有an＜0，且＝λ，要使級數(shù)an收斂，λ應滿足()A、λ＞1B、0≤λ＜1C、λ＝1D、λ≥0標準答案：B知識點解析：由比值審斂法可知，當時，級數(shù)－an收斂，即an收斂。故0≤λ＜1．7、設a為常數(shù)，則級數(shù)()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、收斂性與a的取值有關標準答案：A知識點解析：由于≤1／n2．又收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較審斂法知絕對收斂．故選A．8、設冪級數(shù)在x＝6處收斂，則該級數(shù)在x＝－3處()A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、不能確定斂散性標準答案：C知識點解析：在x＝6處收斂，則R≥6，又因x＝－3在收斂區(qū)間內(nèi)，故該級數(shù)在x＝－3處必定絕對收斂．9、已知f(x)＝，則f’(x)＝()A、－2xsinx2B、cosx2C、－cosx2D、2xsinx2標準答案：A知識點解析：f(x)＝＝cosx2，f’(x)＝－2xsinx2．10、已知f(x)＝，則f(1)＝()A、－1B、0C、1D、π標準答案：B知識點解析：因為sinx＝＝sinπx，f(1)＝sinπ＝0．故本題選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)11、級數(shù)的和為________．標準答案：－2知識點解析：，故原級數(shù)的和為－2．12、若級數(shù)(un＋a)收斂，且n為常數(shù)，則un＝________．標準答案：－a知識點解析：根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件可知＝－a．13、級數(shù)的斂散性是________．(填“絕對收斂”、“條件收斂”或“發(fā)散”)標準答案：絕對收斂知識點解析：當n≥1時，是公比為1／2＜1的等比級數(shù)，所以級數(shù)收斂，故由比較審斂法可知絕對收斂．14、當p________時，級數(shù)收斂．標準答案：＞1知識點解析：因為當P＞1時收斂，所以由比較審斂法知P＞1時，收斂．15、冪級數(shù)的收斂區(qū)間為________．標準答案：(－1，1)知識點解析：因為ρ＝所以冪級數(shù)的收斂半徑R＝1／ρ＝1．故收斂區(qū)間為(－1，1)．16、若冪級數(shù)在x＝0處收斂，則該級數(shù)在x＝5處________．(填“收斂”或“發(fā)散”)標準答案：收斂知識點解析：阿貝爾定理知對于所有滿足的點，即0＜x＜6時，冪級數(shù)絕對收斂，所以級數(shù)在x＝5處必收斂．17、函數(shù)f(x)＝x／(2＋x－x2)展開成x的冪級數(shù)為________．標準答案：知識點解析：三、計算題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)18、討論級數(shù)的斂散性，若收斂，求其和．標準答案：由于un＝所以Sn＝u1＋u2＋…＋un知識點解析：暫無解析19、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：因為，而級數(shù)發(fā)散．所以由比較審斂法知所給級數(shù)是發(fā)散的．知識點解析：暫無解析20、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：當n≥5時，un＝＞0，則級數(shù)為正項級數(shù)．取un＝，則由p級數(shù)的收斂性知發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式知發(fā)散，因此級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析21、判定級數(shù)是否收斂，如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂?標準答案：原級數(shù)為交錯級數(shù)，并可化為對于正項級數(shù)發(fā)散．但滿足萊布尼茨定理，從而條件收斂．知識點解析：暫無解析22、若級數(shù)均收斂，且an≤cn≤bn(n＝1，2，3，…)，判定級數(shù)的收斂性，并說明理由．標準答案：cn收斂，理由如下：因為an≤cn≤bn(n＝1，2，3，…)，所以0≤cn－an≤bn－an．由級數(shù)an與bn均收斂，可得(bn－an)收斂．由正項級數(shù)的比較審斂法可得(cn－an)收斂．又cn＝(cn－an)＋an，所以由收斂級數(shù)的性質(zhì)知級數(shù)cn收斂．知識點解析：暫無解析23、求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域．標準答案：令x2＝t，先考慮則冪級數(shù)的收斂半徑R＝3，而的收斂半徑為所以當t＜3即時原級數(shù)收斂，當x＝時，發(fā)散；當x＝－時，發(fā)散．故原級數(shù)的收斂域為知識點解析：暫無解析24、求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求標準答案：設所給級數(shù)的和函數(shù)為S(x)，即S(x)＝因為S’(x)＝－1＜x＜1，且S(0)＝0，所以S(x)＝∫0xS’(t)dt＝∫0x＝[1／(1＋t2)]dt＝arctanx．當x＝－1時，級數(shù)是收斂的；當x＝1時，級數(shù)也是收斂的．于是把x＝代入S(x)得知識點解析：暫無解析25、將f(x)＝cos2x展開成x的冪級數(shù)．標準答案：知識點解析：暫無解析26、求f(x)＝1／(1＋x)2在x＝0處的冪級數(shù)展開式．標準答案：知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)27、已知級數(shù)un滿足un＋1＝(1／4)(1＋1／n)nun(n∈N*)，且u1＝1，證明＝0．標準答案：∵u1＝1，un＋1＝un，∴un＞0，n＝1，2，…，即級數(shù)un為正項級數(shù)，知識點解析：暫無解析遼寧專升本數(shù)學（無窮級數(shù)）模擬試卷第5套一、單項選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、級數(shù)的前n項和為()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：級數(shù)的通項為un＝，故前n項和sn＝u1＋u2＋…＋un＝2、已知級數(shù)un的前n項和Sn＝sinn，級數(shù)vn的前n項和Tn＝(n＋1)／(n2＋1)，則下列常數(shù)項級數(shù)中，收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：，不存在，．所以級數(shù)un發(fā)散，vn收斂，故由級數(shù)的性質(zhì)可知級數(shù)均發(fā)散．3、若an＝0，則常數(shù)項級數(shù)an()A、收斂且和不為零B、必發(fā)散C、收斂且和為零D、可能收斂也可能發(fā)散標準答案：D知識點解析：＝0是級數(shù)an收斂的必要條件．但不是充分條件．令an＝1／3n，由(1／3n)收斂可知B項不正確；令an＝1／n．由(1／n)發(fā)散可知A、C項錯誤，故選D．4、設un為正項級數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由＝λ，得＝λ．因為un為正項級數(shù)，λ≠0。級數(shù)(1／n)發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式知級數(shù)un發(fā)散，故B項正確．取un＝1／nlnn，則nun＝0，但發(fā)散，因此可以排除A項；再取un＝，顯然級數(shù)收斂(p＞1的P級數(shù))，但n2un＝＋∞，故排除C項；由于npun存在，不妨設而當P＞1時，級數(shù)收斂．于是由正項級數(shù)的比較審斂法的極限形式可知級數(shù)un收斂．故排除D．5、下列級數(shù)發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：A項中，所給級數(shù)為正項級數(shù)，且當n→∞時，收斂，故由正項級數(shù)的比較審斂法的極限形式知收斂；B項中，所給級數(shù)為正項級數(shù)，且，故由正項級數(shù)的比值審斂法知收斂；C項中，所給級數(shù)為正項級數(shù)，且當n→∞時，arctan(1／n5)～1／n5，由于級數(shù)(1／n5)收斂，故由正項級數(shù)的比較審斂法的極限形式知arctan(1／n5)收斂；D項中，所以由級數(shù)收斂的必要條件知級數(shù)發(fā)散．故選D．6、設0≤un≤1／n(n＝1，2，…)，則下列級數(shù)中，一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：由0≤un≤1／n，可知0≤un2≤1／n2，又級數(shù)(1／n2)收斂，故由正項級數(shù)的比較審斂法知級數(shù)un2收斂，從而(－1)nun2絕對收斂．7、設a是常數(shù)，且a＝0，則級數(shù)()A、發(fā)散B、不能確定斂散性C、收斂D、斂散性與a有關標準答案：C知識點解析：由1－cos(a／n)≥0可知是正項級數(shù)，且，因為收斂，故由正項級數(shù)的比較審斂法的極限形式可得收斂．8、冪級數(shù)的收斂域為()A、(－1，1)B、[－1，1)C、(－1，1]D、[－1，1]標準答案：C知識點解析：因ρ＝，故R＝1／ρ＝1，收斂區(qū)間為(－1，1)．當x＝－1時，原級數(shù)為，發(fā)散；當x＝1時，原級數(shù)為，收斂．所以原級數(shù)的收斂域為(－1，1]．9、如果＝1／8，則冪級數(shù)anx3n()A、當｜x｜＜2時，收斂B、當｜x｜＜8時，收斂C、當｜x｜＜1／8時，發(fā)散D、當｜x｜＞1／2時，發(fā)散標準答案：A知識點解析：令t＝x3，則級數(shù)antn的收斂半徑Rt＝8，故當｜t｜＜8時，級數(shù)antn收斂，所以有｜x3｜＜8，即｜x｜＜2時，級數(shù)anx3n收斂．10、函數(shù)f(x)＝lnx展開成(x－2)的冪級數(shù)是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：lnx＝ln(2＋x－2)＝x∈(0，4]．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)11、已知常數(shù)a＞0，則a滿足條件________時，收斂．標準答案：n＞1知識點解析：當｜1／a｜＜1時，級數(shù)收斂，所以a＞1或a＜－1，又因a＞0，故a＞1．12、設(－1)n－1un＝2，un＝6，又vn＝3u2n－1－u2n，則vn＝________．標準答案：10知識點解析：由已知條件有(－1)n－1un＝u1－u2＋u3－u4＋…＋u2n－1－u2n＋…＝(u1－u2)＋(u3－u4)＋…＋(u2n－1－u2n)＋…＝(u2n－1－u2n)＝2．13、級數(shù)的斂散性為________．(填“收斂”或“發(fā)散”)標準答案：收斂知識點解析：因為收斂，所以原級數(shù)收斂．14、＝________．標準答案：0知識點解析：15、若冪級數(shù)anxn在x＝5處條件收斂，則其收斂半徑R＝________．標準答案：5知識點解析：冪級數(shù)anxn在x＝5處條件收斂，說明x＝5是該冪級數(shù)的收斂區(qū)間端點，故R＝5．16、冪級數(shù)的收斂域是________．標準答案：(1，2]知識點解析：＝1，令｜2x－3｜＜1，得1＜x＜2，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(1，2)．當x＝1時，級數(shù)為，發(fā)散；當x＝2時，級數(shù)為收斂，故冪級數(shù)的收斂域為(1，2]．17、函數(shù)f(x)＝2／(2x＋1)展開成(x－1／2)的冪級數(shù)為________．標準答案：知識點解析：三、計算題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)利用級數(shù)收斂的定義判定下列各級數(shù)的斂散性：18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：知識點解析：暫無解析21、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：由于0＜un＝是公比q＝＜1的等比級數(shù)，收斂，因此由正項級數(shù)的比較審斂法可知級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析22、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：因為un＝7n／(7n＋6)＞0，且所以由比值審斂法可得原級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析23、判定級數(shù)的斂散性．標準答案：因為故由根值審斂法可知級數(shù)收斂．知識點解析：暫無解析24、判定級數(shù)的斂散性，其中a＞0．標準答案：令ρ＝當0＜a＜1時，ρ＝a＜1，故級數(shù)收斂；當a＞1時，ρ＝1／a＜1，故級數(shù)收斂；當a＝1時，．從而級數(shù)發(fā)散．知識點解析：暫無解析25、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間標準答案：知識點解析：暫無解析26、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標準答案：ρ＝＝0，所以R＝＋∞，故該級數(shù)的收斂域為(－∞，＋∞)．知識點解析：暫無解析27、求冪級數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值．標準答案：f(x)＝f’(x)＝－x／(1＋x2)，令f’(x)＝0，求得唯一駐點x＝0．當0＜x＜1時，f’(x)＜0．當－1＜x＜0時，f’(x)＞0．故f(x)在x＝0處取得極大值，且極大值f(0)＝1．知識點解析：暫無解析28、將函數(shù)f(x)＝1／(x2＋2x－8)展開成x的冪級數(shù)，并指出其收斂域．標準答案：知識點解析：暫無解析四、證明題(本題共1題，每題1.0分，共1分。)29、若正項級數(shù)an收斂，證明級數(shù)收斂．標準答案：設bn＝an，則由題意可知bn為正項級數(shù)．所以由正項級數(shù)的比較審斂法的極限形式知an也收斂．知識點解析：暫無解析遼寧專升本數(shù)學（無窮級數(shù)）模擬試卷第6套一、單項選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、級數(shù)()A、收斂于0B、收斂于ln2C、發(fā)散D、無法判斷斂散性標準答案：C知識點解析：由于ln(1＋1／n)＝ln[(n＋1)／n]＝ln(n＋1)－lnn則級數(shù)的前n項和Sn＝In2－In1＋ln3－ln2＋-…＋ln(n＋1)－lnn＝ln(n＋1)，＝＋∞．故級數(shù)發(fā)散．2、若級數(shù)un收斂，則下列級數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：根據(jù)題意可知＝0．從而可知≠0．故由級數(shù)收斂的必要條件可知B項級數(shù)發(fā)散；由收斂級數(shù)的性質(zhì)可知A、C、D項級數(shù)均收斂．故選3、若正項級數(shù)un收斂，C為非零常數(shù)，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：設un＝1／n2，則＝1／n，而(1／n)發(fā)散，所以A項不正確；由題意可得un＝0，(un＋C)2＝C2≠0，(un＋C)＝C≠0．所以C、D項不正確；因為un＝0。故當n足夠大時，0≤un2≤un＜，則由比較審斂法知un2收斂．故選B．4、下列級數(shù)中收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：因為，且收斂，故根據(jù)比較審斂法的極限形式知，級數(shù)收斂；因為，故根據(jù)比較審斂法的極限形式知，級數(shù)發(fā)散；因為，故根據(jù)比較審斂法的極限形式知，級數(shù)發(fā)散；因為ln(1＋n)＝＋∞，所以由級數(shù)收斂的必要條件知級數(shù)ln(1＋n)發(fā)散．5、下列級數(shù)絕對收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：A項中，的絕對值級數(shù)為，是p＝4／3＞1的p級數(shù)，故收斂，則絕對收斂；B項中，，由級數(shù)收斂的必要條件知，B項所給級數(shù)發(fā)散，故不絕對收斂；C項中，因為級數(shù)發(fā)散，故C項所給級數(shù)不絕對收斂；D項中，對于級數(shù)由于級數(shù)(1／n)發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式知級數(shù)發(fā)散，故D項所給級數(shù)不絕對收斂．6、設un≠0(n＝1，2。3，…)，且＝1，則級數(shù)()A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收D、不能確定斂散性標準答案：C知識點解析：由題中極限條件可得且1／un～1／n(n→∞)．因為級數(shù)與均條件收斂，從而收斂；而由發(fā)散可知發(fā)散，從而級數(shù)條件收斂．7、冪級數(shù)(1＋2＋3＋…＋n)xn的收斂半徑是()A、1B、0C、2D、＋∞標準答案：A知識點解析：所以級數(shù)的收斂半徑R＝1．8、設冪級數(shù)an(x－1)n在x＝－3處收斂，則級數(shù)在點