第九章　第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線的方程

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程.2.掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象.【命題說明】考向考法本節(jié)內(nèi)容高考一般不單獨(dú)命題,時(shí)常與圓的方程相結(jié)合,考查直線與圓的位置關(guān)系,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).預(yù)測預(yù)計(jì)2025年高考直線方程仍會(huì)出現(xiàn),一般與其他知識(shí)交匯考查.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.直線的傾斜角(1)定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)范圍:直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.微思考任何一條直線都有傾斜角嗎?提示:由直線傾斜角的定義可知:任何一條直線都有傾斜角.2.直線的斜率(1)定義:把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα(α≠90°).

(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),其斜率k=y2微點(diǎn)撥直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系.α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣:“斜率變化分兩段,90°是分界線;遇到斜率要謹(jǐn)記,存在與否要討論.”3.直線的方向向量與法向量(1)方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合,則稱向量a為直線l的一個(gè)方向向量.(2)法向量:如果表示非零向量v的有向線段所在的直線與直線l垂直,則稱向量v為直線l的一個(gè)法向量.微點(diǎn)撥直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一個(gè)法向量v=(A,B),一個(gè)方向向量a=(-B,A).4.直線方程的5種形式名稱方程適用條件點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式y(tǒng)-y不含直線x=x1(x1=x2)和直線y=y1(y1=y2)截距式xa+y不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)平面內(nèi)所有直線微點(diǎn)撥1.用直線的點(diǎn)斜式求方程時(shí),在斜率k不明確的情況下,注意分k存在與不存在兩種情況討論,否則會(huì)造成失誤.2.“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值,它可正,可負(fù),也可以是零,而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).3.直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件,當(dāng)截距為0時(shí)可用點(diǎn)斜式.常用結(jié)論1.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;2.識(shí)記幾種特殊位置的直線方程(1)x軸:y=0;(2)y軸:x=0;(3)平行于x軸的直線:y=b(b≠0);(4)平行于y軸的直線:x=a(a≠0);(5)過原點(diǎn)的直線:y=kx或x=0.基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)132,41.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線斜率為33,則它的傾斜角為30°.(√提示:(1)設(shè)直線的傾斜角為α(0°≤α<180°),則由題意得tanα=33,所以α=30°(2)若A(1,-3),B(1,3),則直線AB的傾斜角為90°.(√)提示:(2)因?yàn)锳(1,-3),B(1,3),所以直線AB與x軸垂直,則其斜率不存在,故其傾斜角為90°.(3)若直線過點(diǎn)(1,2),且它的傾斜角為45°,則這條直線必過點(diǎn)(3,4).(√)提示:(3)因?yàn)橹本€過定點(diǎn)(1,2),且斜率為tan45°=1,所以直線的方程為y-2=x-1,即y=x+1,易知4=3+1,故直線必過點(diǎn)(3,4).(4)若直線的斜率為34,則這條直線必過(1,1)與(5,4)兩點(diǎn).(×提示:(4)不妨取y=34x,滿足直線的斜率為34,但顯然該直線y=342.(忽視截距為零的情形致誤)過點(diǎn)P(1,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線有()A.4條 B.2條 C.3條 D.1條【解析】選B.當(dāng)截距為0時(shí),設(shè)直線方程為y=kx,將P(1,2)代入y=kx,求得k=2,故方程為y=2x;當(dāng)截距不為0,截距相等時(shí),設(shè)方程為xa+y將P(1,2)代入,即1a+2a=1,解得a=3,故方程為x+y3.(選擇性必修一人AP65例5變條件)已知直線l過點(diǎn)(2,-1),且在x軸上的截距為3,則直線l的方程為()A.x-y-3=0 B.x-2y+6=0C.2x+y+3=0 D.2x+y-3=0【解析】選A.由題意,直線l過點(diǎn)(3,0)和點(diǎn)(2,-1),所以其斜率為k=-1-02-3=1,直線方程為y=x4.(不明確方向向量與斜率的關(guān)系致誤)若直線l的傾斜角為2π3,方向向量為e=(-1,a),則實(shí)數(shù)a的值是(A.3 B.-3 C.33 D.-【解析】選A.因?yàn)橹本€l的方向向量是e=(-1,a),所以直線l的斜率為k=a-1=-又直線的傾斜角α=2π3所以斜率k=tan2π3=-3=-a,解得a=3【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率[例1](1)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有三條直線l1,l2,l3,其對(duì)應(yīng)的斜率分別為k1,k2,k3,則下列選項(xiàng)正確的是()A.k3>k1>k2 B.k1-k2>0C.k3>k2>k1 D.k1·k2<0【解析】選C.由題圖可知,k1<0,k2<0,k3>0,且k1<k2.(2)直線xcosα+3y-2=0的傾斜角的范圍是()A.[-π6,π6] B.C.[0,π6]∪[5π6,π) D.[【解析】選C.已知直線方程xcosα+3y-2=0,設(shè)直線的傾斜角為θ,故tanθ=-cosα3=-33cosα∈[-33,33],即θ∈[0,一題多變[變式1]若例(2)中直線方程改為“xsinα+3y-2=0”,結(jié)果如何?【解析】選C.因?yàn)橹本€方程為xsinα+3y-2=0,設(shè)直線的傾斜角為θ,故tanθ=-sinα3=-33sinα∈[-3即θ∈[0,π6]∪[5π[變式2]若例(2)中直線方程改為“xsinα+3ycosα-2=0”,則直線傾斜角的范圍為________.

【解析】因?yàn)橹本€方程為xsinα+3ycosα-2=0,設(shè)直線的傾斜角為θ,當(dāng)cosα=0時(shí),θ=π2當(dāng)cosα≠0時(shí),故tanθ=-sinα3cosα=-33tanα∈R,此時(shí)θ∈[0,π2綜上可知,θ∈[0,π).答案:[0,π)(3)金榜原創(chuàng)·易錯(cuò)對(duì)對(duì)碰①已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍為()A.[-1,1] B.[1,+∞)C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1]【解析】選C.如圖,由題意可知kPA=4-0-3-1=-1,要使l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).②已知兩點(diǎn)M(2,-1),N(5,6),直線l過點(diǎn)P(1,3)且與線段MN相交,則直線l的斜率k的取值范圍是()A.[-4,34] B.(-∞,-4]∪[3C.[34,4] D.[-34【解析】選A.由P(1,3),N(5,6),則直線PN的斜率kPN=6-35由P(1,3),M(2,-1),則直線PM的斜率kPM=3+11-2=-4,由圖可知,kPM≤k≤解得-4≤k≤34解題技法斜率的兩種求法(1)定義法:若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tanα求斜率.(2)公式法:若已知直線上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)公式k=y2-y1x2-x提醒:在分析直線的傾斜角和斜率的關(guān)系時(shí),要注意正切函數(shù)k=tanα的單調(diào)性,當(dāng)α取值由0°增大到90°(α≠90°)時(shí),k由0增大到+∞,當(dāng)α取值由90°(α≠90°)增大到180°(α≠180°)時(shí),k由-∞增大到0(取不到0).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2024·南京模擬)已知三點(diǎn)(2,-3),(4,3),(5,k2)在同一條直線上,則實(shí)數(shù)k為()A.2 B.4 C.8 D.12【解析】選D.由題意,三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的直線斜率相等,得3-(-3)4-22.(2024·濰坊模擬)直線l經(jīng)過A(2,1),B(1,m2)(m∈R)兩點(diǎn),那么直線l的斜率的取值范圍為()A.(0,1] B.(-∞,1]C.(-2,1] D.[1,+∞)【解析】選B.kl=m2-11-2=1-3.直線2xcosα-y-3=0(α∈π6,πA.[π6,π3] B.[C.[π4,π2] D.[【解析】選B.直線2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα.由于α∈[π6,π3],所以12≤cosα≤32,因此k=2cosα設(shè)直線的傾斜角為θ,則有tanθ∈[1,3].由于θ∈[0,π),所以θ∈[π4,π3],即傾斜角的變化范圍是[π考點(diǎn)二求直線的方程[例2]根據(jù)所給條件求直線的方程:(1)過點(diǎn)(2,1)和(-2,3);【解析】(1)由兩點(diǎn)式得直線方程為y-13-1=x-(2)直線過點(diǎn)(-4,0),傾斜角的正弦值為1010【解析】(2)由題設(shè)知,該直線的斜率存在,故可采用點(diǎn)斜式.設(shè)傾斜角為α(0≤α<π,且α≠π2),則sinα=10從而cosα=±31010,則k=tanα=±故所求直線方程為y=±13(x即x+3y+4=0或x-3y+4=0.(3)傾斜角為π4,與y【解析】(3)因?yàn)橹本€的傾斜角為π4,所以其斜率k=tanπ4=1,由直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4,所以直線在y軸上的截距b=4或b=-4.故所求直線方程為y=x+4或y=x(4)(一題多法)經(jīng)過點(diǎn)A(2,6),在x軸上的截距為3.【解析】(4)方法一:易知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為y=k(x-3),因?yàn)辄c(diǎn)A(2,6)在直線上,所以k=-6,所以y=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直線方程為y=-6x+18.方法二:由于直線過點(diǎn)A(2,6)和點(diǎn)(3,0),則直線的斜率k=6-由直線的點(diǎn)斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x,所以所求直線方程為y=-6x+18.解題技法直線方程的求法(1)直接法:根據(jù)已知條件,求出直線方程的確定條件,選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式,直接寫出直線方程.(2)待定系數(shù)法:①設(shè)出直線方程的恰當(dāng)形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式和一般式);②根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組;③解方程或方程組得到待定系數(shù);④寫出直線方程;⑤驗(yàn)證所得直線方程是否為所求直線方程,如果有遺漏需要補(bǔ)加.提醒:選用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí),需討論直線的斜率是否存在;選用截距式時(shí),需討論直線是否過原點(diǎn)或垂直于坐標(biāo)軸.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知直線ax+y-2+a=0在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則實(shí)數(shù)a=__________.

【解析】依題意,a≠0,因此直線ax+y-2+a=0在x,y軸上的截距分別為2a-1,2-a于是2a-1=2-a,即a2-3a+2=0,解得a=1或a=2,所以實(shí)數(shù)a=1或a=2答案:1或22.求適合下列條件的直線l的方程:(1)經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),傾斜角α的正弦值為45【解析】(1)由題可知sinα=45,則tanα=±4因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),所以直線l的方程為y-2=±43(x即y=±43(x-1)+2,整理得4x-3y+2=0或4x+3y-10=0(2)經(jīng)過點(diǎn)P(2,3),并且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等;【解析】(2)方法一:①當(dāng)截距為0時(shí),直線l過點(diǎn)(0,0),(2,3),則直線l的斜率為k=3-02因此直線l的方程為y=32x,即3x-2y=0②當(dāng)截距不為0時(shí),可設(shè)直線l的方程為xa+ya因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P(2,3),所以2a+3所以a=5.所以直線l的方程為x+y-5=0.綜上可知,直線l的方程為3x-2y=0或x+y-5=0.方法二:由題意可知所求直線的斜率存在,則可設(shè)直線方程為y-3=k(x-2),且k≠0.令x=0,得y=-2k+3.令y=0,得x=-3k+2于是-2k+3=-3k+2,解得k=32或k則直線l的方程為y-3=32(x-2)或y-3=-(x即3x-2y=0或x+y-5=0.(3)經(jīng)過兩條直線l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交點(diǎn),且直線的一個(gè)方向向量v=(-3,2).【解析】(3)聯(lián)立x+y所以直線過點(diǎn)(1,1),因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量v=(-3,2),所以直線的斜率k=-23則直線的方程為y-1=-23(x即2x+3y-5=0.考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用[例3]過點(diǎn)P(4,1)作直線l,分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A,B.(1)當(dāng)△AOB的面積最小時(shí),求直線l的方程;【解析】設(shè)直線l:xa+yb=1(a>0,b>0),因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(4,1),所以4a+(1)因?yàn)?a+1b=1≥24a所以ab≥16,S△AOB=1當(dāng)且僅當(dāng)a=8,b=2時(shí)等號(hào)成立.所以當(dāng)a=8,b=