第九章　第七節(jié)　拋物線

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。第七節(jié)拋物線【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及它們的幾何性質(zhì).(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)2.通過(guò)拋物線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【核心素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象.【命題說(shuō)明】考向考法拋物線的方程與性質(zhì)是高考常考內(nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),直線與拋物線的位置關(guān)系常以解答題的形式出現(xiàn),試題難度中等.預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2025高考拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)仍會(huì)出題.一般在選擇題或填空題中出現(xiàn),直線與拋物線的考查比較靈活,各種題型都可能涉及.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】知識(shí)梳理·歸納1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.微點(diǎn)撥若點(diǎn)F在直線l上,則點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與直線l垂直的直線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)對(duì)稱軸x軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)F(p2,0F(-p2,0F(0,p2F(0,-p2離心率e=1準(zhǔn)線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下微思考開(kāi)口向上或向下的拋物線的切線的斜率利用什么知識(shí)解決較簡(jiǎn)單?提示:利用導(dǎo)數(shù)求解較簡(jiǎn)單.微點(diǎn)撥四種不同拋物線方程的共同點(diǎn)(1)原點(diǎn)都在拋物線上;(2)焦點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上;(3)準(zhǔn)線與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直,垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的14,即2p4常用結(jié)論1.焦半徑:拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F(p2,0)的距離|PF|=x0+p2.通徑:過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦,長(zhǎng)等于2p,通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.基礎(chǔ)診斷·自測(cè)類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)13241.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱.(×)提示:(1)拋物線是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形;(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心.(√)提示:(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心;(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(√)提示:(3)所有拋物線的離心率為1,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同;(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是相同的,離心率也相同.(√)提示:(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是相同的,都為2,離心率也相同.2.(弄錯(cuò)焦點(diǎn)位置)拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則該拋物線的方程為()A.x2=12y B.x2=10yC.x2=8y D.x2=6y【解析】選A.因?yàn)閽佄锞€x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則根據(jù)拋物線的定義可得2+p2=5,解得p所以拋物線的方程為x2=12y.3.(人A選擇性必修第一冊(cè)P138習(xí)題3.3T1變條件)拋物線x=14ay2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(A.(116a,0) B.(C.(0,116a) D.(0,【解析】選B.拋物線x=14ay2可化為y2=4ax,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(a4.(2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)A(1,5)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______.

【解析】由題意可得:(5)2=2p×1,則2p=5,拋物線的方程為y2=5x,準(zhǔn)線方程為x=-54,點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1-(-答案:9【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程[例1](1)(一題多法)(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=()A.2 B.22 C.3 D.32【解析】選B.方法一:由題意可知F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)A(y024,由拋物線的定義可知|AF|=y024由|AF|=|BF|,可得y024+1=2,解得所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),故|AB|=(1-3方法二:由題意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,拋物線通徑為4,所以|AF|=2為通徑的一半,所以AF⊥x軸,所以|AB|=22+2(2)設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則圓心C的軌跡為()A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓【解析】選A.由題意知,圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,即圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,所求軌跡是一條拋物線.(3)(2024·沈陽(yáng)模擬)已知P為拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,2),則|PA|+|PF|的最小值為()A.4 B.3 C.22 D.13【解析】選A.由拋物線y2=4x知p=2,則F(1,0),準(zhǔn)線l方程為x=-1.如圖所示,點(diǎn)A在拋物線內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段,垂足為點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H.由拋物線的定義得|PF|=|PP'|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段AH與拋物線的交點(diǎn)(即A,P,H三點(diǎn)共線)時(shí)取等號(hào).故|PA|+|PF|的最小值為|AH|=3+p2=4解題技法1.利用拋物線的定義可解決的常見(jiàn)問(wèn)題(1)軌跡問(wèn)題:用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線.(2)距離問(wèn)題:涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問(wèn)題時(shí),注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時(shí),需先定位,再定量.(2)因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需利用待定系數(shù)法確定p的值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2024·青島模擬)設(shè)拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)為F,M(x,4)在C上,|MF|=5,則C的方程為()A.x2=4y B.x2=-4yC.x2=-2y D.x2=2y【解析】選A.拋物線x2=2py的開(kāi)口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,根據(jù)拋物線的定義可知4+p2=5,p=2,所以拋物線C的方程為x2=42.(2024·北京模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上.若M到直線x=-1的距離為3,則|MF|=()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選A.如圖所示:根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,若M到直線x=-1的距離為MM2=3,則M到拋物線的準(zhǔn)線x=-2的距離為MM1=4,利用拋物線定義可知MF=MM1=4.3.(2023·岳陽(yáng)模擬)已知拋物線y=14x2的焦點(diǎn)為F,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q(1,1),當(dāng)△PQF的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______【解析】如圖,設(shè)l:y=-1是拋物線的準(zhǔn)線,過(guò)P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,則PF=PH,F(0,1),FQ=1,PF+PQ=PQ+PH,易知當(dāng)Q,P,H三點(diǎn)共線時(shí),PQ+PH的值最小,且最小值為1+1=2,所以△PQF的周長(zhǎng)最小值為3,此時(shí)xP=1,yP=14,即P(1,14答案:(1,14【加練備選】1.(2024·杭州模擬)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線,過(guò)點(diǎn)(-1,2),則它的方程是()A.x2=12y或y2=-4B.y2=-4x或x2=2yC.x2=-12D.y2=-4x【解析】選A.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p>0).因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(-1,2),記為點(diǎn)P,如圖,所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以拋物線的方程為y2=-4x;當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0).因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(-1,2),所以(-1)2=2p·2,所以p=14,所以拋物線的方程為x2=12.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=________.

【解析】方法一:依題意可知,拋物線的焦點(diǎn)F(2,0),設(shè)N(0,t),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(1,t2),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6方法二:如圖,過(guò)M,N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M1,N1,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因?yàn)镸為FN的中點(diǎn),所以|MM1|=3,由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.答案:6考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)[例2](1)已知點(diǎn)F為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OFP的面積為22,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.x=-12 B.xC.x=-2 D.x=-4【解析】選B.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(p2由y2=16p,可得y=±4p,不妨令P(8,4p),則S△OFP=12×p2×4p=pp=22,解得p=2,則拋物線方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x(2)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線上有M,N兩點(diǎn),若△MON為正三角形,則△MON的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______.

【解析】因?yàn)椤鱉ON為正三角形,所以|OM|=|ON|=|MN|,由拋物線對(duì)稱性可知MN⊥x軸,設(shè)MN:x=t,則y2=2pt,解得y1=2pt,y2=-2pt.所以|MN|=2所以tan30°=12|MN|t解得t=6p.所以|MN|=43p.答案:43p(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____________.

【解析】由題易得|OF|=p2,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF所以|OF||PF|=|PF||FQ|,即p2答案:x=-3解題技法應(yīng)用拋物線幾何性質(zhì)的技巧涉及拋物線幾何性質(zhì)的問(wèn)題常結(jié)合圖形思考,通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向等幾何特征,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2021·新高考Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為2,則p=()A.1 B.2 C.22 D.4【解析】選B.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2其到直線x-y+1=0的距離d=p2-0+1解得p=2(p=-6舍去).2.(多選題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),以F為圓心,|FA|為半徑的圓交l于B,D兩點(diǎn),若∠ABD=90°,且△ABF的面積為93,則下列選項(xiàng)正確的是()A.|BF|=3B.△ABF是等邊三角形C.點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3D.拋物線C的方程為y2=12x【解析】選BC.根據(jù)題意,作出滿足題意的幾何圖形如圖所示,由拋物線及圓的定義可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等邊三角形,故B正確;由△ABF的面積為34|BF|2=93可知|BF|=6.故A錯(cuò)誤;∠FBD=30°,又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin30°=3=p,故C正確;該拋物線的方程為y2=6x.故D錯(cuò)誤.考點(diǎn)三拋物線的綜合問(wèn)題考情提示拋物線的綜合問(wèn)題一直是高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查直線與拋物線的位置關(guān)系,常與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容相結(jié)合.角度1焦點(diǎn)弦問(wèn)題[例3](2024·貴陽(yáng)模擬)直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則|AB|=()A.4 B.92 C.8 D.【解析】選C.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(32,0),準(zhǔn)線方程為x=-3設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y12=6x1,y22因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以x1+32=3(x2+32),得x1=3x2因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,②由方程①②可得x1=92,x2=1所以|AB|=x1+32+x2+32=x1+x2解題技法關(guān)于焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用技巧(1)過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的直線方程常設(shè)為x=my+p2(2)拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為2psin2(3)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)作拋物線的切線,兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上.角度2直線與拋物線的相交問(wèn)題[例4](2024·濰坊模擬)傾斜角為60°的直線l過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程;(2)求△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).【解析】(1)由已知可得,p=2,焦點(diǎn)在x軸上,所以,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.(2)因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=4x,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0).又因?yàn)閮A斜角為60°的直線l,所以斜率為3,所以直線AB的方程為y=3(x-1).代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3x2-10x+3=0.方法一:解得x1=13,x2=3,所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3×|3-1又點(diǎn)O到直線3x-y-3=0的距離為d=32所以S△OAB=12|AB|·d=12×163×3方法二:Δ=100-36=64>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=103,過(guò)A,B分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線,設(shè)垂足分別為E,D如圖所示|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163點(diǎn)O到直線3x-y-3=0的距離為d=32所以S△OAB=12|AB|·d=12×163×3解題技法(1)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不過(guò)焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式.(2)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2024·湛江模擬)已知F為拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),與圓x2+(y-2)2=4交于D,E兩點(diǎn),A,D在y軸的同側(cè),則|AD|·|BE|=()A.1 B.4 C.8 D.16【解析】選B.由題可知F(0,2),直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+2,x2=8y,得x2又y1=x128,y2所以y1y2=(x1x2)264=4.圓x2+(y所以|AD|=|AF|-r=|AF|-2,|BE|=|BF|-r=|BF|-2.又|AF|=y1+2,|BF|=y2+2,所以|AD|=y1+2-2=y1,|BE|=y2+2-2=y2,所以|AD|·|BE|=y1y2=4.2.已知拋物線方程為y2=4x,直線l:x+y+2=0,拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為_(kāi)_______________.

【解析】設(shè)與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為x+y+m=0,由x+y+m=0y2=4則Δ=16-16m=0,得m=1,所以切線方程為x+y+1=0,所以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為d=2-12答案:2【加練備選】(2024·西安模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-12(1)求拋物線的方程;【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-p2,所以-p2=-12所以拋物線的方程為y2=2x.(2)設(shè)直線y=k(x-2)(k≠0)與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=210,求實(shí)數(shù)k的值.【解析】(2)如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.當(dāng)Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2>0時(shí),x1+x2=2(2k|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(化簡(jiǎn)得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)Δ>0,故k=±1.重難突破拋物線的結(jié)論及其應(yīng)用【考情分析】(1)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的關(guān)系尤為重點(diǎn),這是因?yàn)樵谶@一關(guān)系中具有很多性質(zhì),并通過(guò)這些性質(zhì)及運(yùn)算推導(dǎo)出很多有用的結(jié)論,常常是高考命題的切入點(diǎn).(2)熟悉并記住拋物線焦點(diǎn)弦的結(jié)論,在解選擇題、填空題時(shí)可直接運(yùn)用,減少運(yùn)算量;在做解答題時(shí)也可迅速打開(kāi)解題思路.【常用結(jié)論】我們以拋物線y2=2px(p>0)為例來(lái)研究【探究】已知AB是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦,α為直線AB與x軸正半軸的夾角,若A(x1,y1),B(x2,y2),則有下列結(jié)論:結(jié)論1:y1y2=-p2,x1x2=p2結(jié)論2:|AB|=x1+x2+p=2p結(jié)論3:1|AF|+1結(jié)論4:|AF|=x1+p2=p1-cosα,|BF|=x2結(jié)論5:S△AOB=12|OF|·|y1-y2|=p【結(jié)論證明】通常在證明上述結(jié)論時(shí),設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求解,特別地,還要討論斜率存在與否的情況,過(guò)程煩瑣,運(yùn)算量大.下面我們提供比較簡(jiǎn)單的證明結(jié)論的方法:【證明】由圖可知|AF|-|AF|cosα=p,得|AF|=p1同理可得|BF|=p1+cosα1|AF|+1|BF|=|AB|=|AF|+|BF|=p1-cosα+p由圖可知y1=|AF|sinα,y2=-|BF|sinα,則y1y2=-|AF||BF|sin2α=-p1-cosα·p1+cosαsinS△AOB=12|AB|×p2sinα=12×2psin2【典例研習(xí)】類型一1|AF|+1[例1]已知拋物線y2=4x,過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則2|AF|+|BF|最小值為()A.2 B.26+3C.4 D.3+22【解析】選D.因?yàn)閜=2,所以1|AF|+1所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·(1|AF|+1|BF|)=3+2|當(dāng)且僅當(dāng)|BF|=2|AF|時(shí),等號(hào)成立,因此,2|AF|+|BF|的最小值為3+22.類型二焦半徑、弦長(zhǎng)問(wèn)題[例2]已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1,l2,直線l1與C相交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C相交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為()A.16 B.14 C.12 D.10【解析】選A.如圖,設(shè)直線l1的傾斜角為θ,θ∈(0,π2),則直線l2的傾斜角為π2+由拋物線的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式知|AB|=2psin2θ=4sin所以|AB|+|DE|=4sin2θ+4co當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1,即θ=π4時(shí)取等號(hào)所以|AB|+|DE|的最小值為16.類型三面積問(wèn)題[例3]設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為()A.334 B.938 C.6332【解析】選D.由2p=3,及|AB|=2得|AB|=2psin2原點(diǎn)到直線AB的距離d=|OF|·sin30°=38故S△AOB=12|AB|·d=12×12×38對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.(2023·福州聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且傾斜角為π3的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,則|AB|=(A.83 B.4 C.8 D.【解析】選C.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以kAB=y1-y2x因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,所以y1+y2=23,又直線AB的傾斜角為π3,所以kAB=3,即2p23=3,得p=3.所以拋物線C的方程為y2=6x,所以|AB|=22.設(shè)拋物線E:y2=6x的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F,|AF|=3|BF|,過(guò)A,B分別作E的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別是A',B',則四邊形AA'B'B的面