備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(世紀(jì)金榜高中全程復(fù)習(xí)方略數(shù)學(xué)人教A版基礎(chǔ)版)課時(shí)作業(yè)五十二　圓的方程

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。五十二圓的方程(時(shí)間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2024·南京模擬)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線是以(-2,3)為圓心,4為半徑的圓,則D,E,F的值分別為()A.4,-6,3 B.-4,6,3C.-4,6,-3 D.4,-6,-3【解析】選D.以(-2,3)為圓心,4為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-3)2=16,即x2+y2+4x-6y-3=0,所以D=4,E=-6,F=-3.2.(5分)(2024·青島模擬)點(diǎn)P(a,10)與圓C(x-1)2+(y-1)2=2的位置關(guān)系是()A.在圓外 B.在圓上C.在圓內(nèi) D.與a的值有關(guān)【解析】選A.圓C(x-1)2+(y-1)2=2的圓心C(1,1),半徑r=2,因?yàn)镻C=(a-1)2+(10-13.(5分)圓心坐標(biāo)為(-2,1),并經(jīng)過點(diǎn)A(2,-2),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x+2)2+(y-1)2=5C.(x+2)2+(y+1)2=25D.(x+2)2+(y-1)2=25【解析】選D.由題意可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x+2)2+(y-1)2=r2,因?yàn)辄c(diǎn)A(2,-2)在圓上,所以r2=(2+2)2+(-2-1)2=25,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-1)2=25.4.(5分)若直線l:ax+by-1=0(a>0,b>0)平分圓C:x2+y2-2x-4y=0的周長,則ab的取值范圍是()A.[18,+∞) B.(0,1C.(0,14]` D.[1【解析】選B.由題意得,直線ax+by-1=0過圓心(1,2),所以a+2b=1,所以ab=12×2ab≤12(a+2b2)2=18(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b,即又a>0,b>0,所以ab∈(0,18]【加練備選】若直線ax+2by-2=0(a>0,b>0)始終平分圓x2+y2-4x-2y-8=0的周長,則1a+2b的最小值為【解析】由圓的性質(zhì)可知,直線ax+2by-2=0是圓的直徑所在的直線方程.因?yàn)閳Ax2+y2-4x-2y-8=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=13,所以圓心(2,1)在直線ax+2by-2=0上,所以2a+2b-2=0,即a+b=1,因?yàn)?a+2b=(1a+2b)(a+b)=3+ba+2ab≥3+22,當(dāng)且僅當(dāng)a所以1a+2b的最小值為3+2答案:3+225.(5分)(多選題)(2024·南昌模擬)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-1,2),B(2,1),C(3,4),則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說法正確的是()A.圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3)B.圓M的半徑為5C.圓M關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱D.點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi)【解析】選ABD.設(shè)△ABC的外接圓圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則1+4-D+2所以△ABC的外接圓圓M的方程為x2+y2-2x-6y+5=0,即(x-1)2+(y-3)2=5.故圓M的圓心坐標(biāo)為(1,3),圓M的半徑為5,故A,B正確;因?yàn)橹本€x+y=0不經(jīng)過圓M的圓心(1,3),所以圓M不關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,故C錯(cuò)誤;因?yàn)?2-1)2+(3-3)2=1<5,故點(diǎn)(2,3)在圓M內(nèi),故D正確.6.(5分)(多選題)設(shè)圓的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2,其中a>0,b>0,下列說法正確的是()A.該圓的圓心為(a,b)B.該圓過原點(diǎn)C.該圓與x軸相交于兩個(gè)不同點(diǎn)D.該圓的半徑為a2+b2【解析】選BC.因?yàn)閳A的方程是(x-a)2+(y+b)2=a2+b2(其中a>0,b>0),所以圓心坐標(biāo)為(a,-b),半徑r=a2把原點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)代入圓的方程得方程左邊=(0-a)2+(0+b)2=a2+b2=方程右邊,所以該圓過原點(diǎn),故B正確;令y=0,得(x-a)2+b2=x2-2ax+a2+b2=a2+b2,即x2-2ax=0,解得x1=0,x2=2a,所以該圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),故C正確.7.(5分)(2024·唐山模擬)若圓C:x2+y2+Dx+2y=0的圓心在直線x-2y+1=0上,則C的半徑為.

【解析】由圓的一般方程,得圓心C的坐標(biāo)為(-D2代入直線x-2y+1=0中,得(-D2)-2×(-1)+1=0,解得D則半徑r=1262答案:108.(5分)(2024·揭陽模擬)在某數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,數(shù)學(xué)教師把一塊三邊長分別為6,8,10的三角板ABC放在直角坐標(biāo)系中,則△ABC外接圓的方程可以為.(寫出其中一個(gè)符合條件的即可)

【解析】邊長分別為6,8,10的△ABC為直角三角形,且外接圓的半徑為5,若將斜邊的中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí),則圓心為(0,0),所以其外接圓方程可以為x2+y2=25;若將直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,邊長為6的直角邊落在x軸的正半軸時(shí),則圓心為(3,±4),所以其外接圓方程可以為(x-3)2+(y±4)2=25;若將直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,邊長為6的直角邊落在x軸的負(fù)半軸時(shí),則圓心為(-3,±4),所以其外接圓方程可以為(x+3)2+(y±4)2=25;若將直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,邊長為8的直角邊落在x軸的正半軸時(shí),則圓心為(4,±3),所以其外接圓方程可以為(x-4)2+(y±3)2=25;若將直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,邊長為8的直角邊落在x軸的負(fù)半軸時(shí),則圓心為(-4,±3),所以其外接圓方程可以為(x+4)2+(y±3)2=25.答案:x2+y2=25(答案不唯一)9.(10分)已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和點(diǎn)B(2,-2),且圓心C在直線l:x-y+1=0上.線段PQ的端點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5,0),端點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng),求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】設(shè)點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn),直線m為線段AB的垂直平分線,則D(32,-12又kAB=-3,所以km=13所以直線m的方程為x-3y-3=0.由x-3y則半徑r=|CA|=(-3所以圓C的方程為(x+3)2+(y+2)2=25.設(shè)點(diǎn)M(x,y),Q(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0),所以x=x又點(diǎn)Q(x0,y0)在圓C:(x+3)2+(y+2)2=25上運(yùn)動(dòng),所以(x0+3)2+(y0+2)2=25,即(2x-5+3)2+(2y+2)2=25.整理得(x-1)2+(y+1)2=254即所求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-1)2+(y+1)2=254【能力提升練】10.(5分)(2024·海淀模擬)設(shè)三角形ABC是位于平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限中的一個(gè)不等邊三角形,該平面上的動(dòng)點(diǎn)P滿足:|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2,已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓,則該圓的圓心位于三角形ABC的()A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心【解析】選C.設(shè)P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由|PA|2+|PB|2+|PC|2=|OA|2+|OB|2+|OC|2得:(x-x1)2+(y-y1)2+(x-x2)2+(y-y2)2+(x-x3)2+(y-y3)2=x12+y1展開整理,得3x2+3y2-2(x1+x2+x3)x-2(y1+y2+y3)y=0.所以[x-13(x1+x2+x3)]2+[y-13(y1+y2+y3)]2=19[(x1+x2+x3)2+(y1+y2+y3)所以圓的圓心坐標(biāo)為(13(x1+x2+x3),13(y1+y2+y3)),為三角形ABC11.(5分)(多選題)已知圓M與直線x+y+2=0相切于點(diǎn)A(0,-2),圓M被x軸所截得的弦長為2,則下列結(jié)論正確的是()A.圓M的圓心在定直線x-y-2=0上B.圓M的面積的最大值為50πC.圓M的半徑的最小值為1D.滿足條件的所有圓M的半徑之積為8【解析】選AB.因?yàn)閳AM與直線x+y+2=0相切于A(0,-2),所以直線AM與直線x+y+2=0垂直,所以直線AM的斜率為1,則點(diǎn)M在直線y=x-2上,即x-y-2=0上,故A正確;設(shè)M(a,a-2),所以圓M的半徑r=|AM|=a2+(a-因?yàn)閳AM被x軸截得的弦長為2,所以2r2-(a解得a=-5或a=1.當(dāng)a=-5時(shí),圓M的面積最大,為πr2=50π,故B正確;當(dāng)a=1時(shí),圓M的半徑最小,為2,故C錯(cuò)誤;滿足條件的所有圓M的半徑之積為52×2=10,故D錯(cuò)誤.12.(5分)(2024·鄭州模擬)如果圓(x-m)2+(y-2m)2=r2關(guān)于直線x+y-3=0對(duì)稱,則圓的圓心坐標(biāo)為.

【解析】由題意知圓的圓心坐標(biāo)為(m,2m),圓心在直線x+y-3=0上,將圓心坐標(biāo)(m,2m)代入即得m+2m-3=0,解得m=1,所以圓心坐標(biāo)為(1,2).答案:(1,2)13.(5分)(2024·昆明模擬)已知點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),C(-1,0),點(diǎn)P滿足PA=2PB,則點(diǎn)P到點(diǎn)C距離的最大值為.

【解析】設(shè)P(x,y),因?yàn)镻A=2PB,所以(x+3)2+y2=4(x化簡(jiǎn)得(x-5)2+y2=16.則點(diǎn)P的軌跡是以D(5,0)為圓心,半徑等于4的圓,因?yàn)镃D=6,故PC的最大值為CD+4=10.答案:1014.(10分)(2024·哈爾濱模擬)已知圓E經(jīng)過點(diǎn)A(0,0),B(1,1),且圓E與y軸相切.(1)求圓E的一般方程;【解析】(1)設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,因?yàn)閳AE過點(diǎn)A(0,0),B(1,1),又跟y軸相切,所以圓E必在y軸右側(cè),且跟y軸的切點(diǎn)為A(0,0),所以圓心的縱坐標(biāo)為0,所以F=01+1+D所以圓E的方程為x2+y2-2x=0.(2)設(shè)P是圓E上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),求線段CP的中點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】(2)設(shè)M(x,y),則P(2x-4,2y),將P(2x-4,2y)代入x2+y2-2x=0得(2x-4)2+(2y)2-2(2x-4)=0,整理得(x-52)2即線段CP的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x-52)215.(10分)(2024·郴州模擬)已知圓C過點(diǎn)A(4,0),B(0,4),且圓心C在直線l:x+y-6=0上.(1)求圓C的方程;【解析】(1)由A(4,0),B(0,4),得直線AB的斜率為kAB=0-44-0所以kCD=1,直線CD的方程為y-2=x-2,即y=x,聯(lián)立x+y-6=0y所以半徑r=|AC|=(4-3所以圓C的方程為(x-3