2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習講義 考點歸納與方法總結(jié) 第02講 常用邏輯用語（精講）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習講義及高頻考點歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第02講常用邏輯用語（精講）①充分、必要條件的判斷②根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍③全稱量詞命題與存在量詞命題的否定④根據(jù)全稱、存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍一、必備知識整合一、必備知識整合一、充分條件、必要條件、充要條件1.定義如果命題“若，則”為真(記作)，則是的充分條件；同時是的必要條件.2.從邏輯推理關(guān)系上看①若且，則是的充分不必要條件；②若且，則是的必要不充分條件；③若且，則是的的充要條件(也說和等價)；④若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件.注：對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質(zhì)：，則是的充分條件，同時是的必要條件.所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立(即如果不成立，則肯定不成立).二、全稱量詞與存在童詞1.全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”.2.存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）.三、含有一個量詞的命題的否定1.全稱量詞命題的否定為，.2.存在量詞命題的否定為.1．從集合與集合之間的關(guān)系上看：設(shè).（1）若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”.（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件.2.常見的一些詞語和它的否定詞如下表原詞語等于大于小于是都是任意（所有）至多有一個至多有一個否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個至少有兩個一個都沒有(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合中的每一個元素證明其成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例.(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個使之成立即可，否則這個存在量詞命題就是假命題.二、考點分類精講二、考點分類精講【題型一充分、必要條件的判斷】判斷充分、必要條件的幾種方法【典例1】（單選題）設(shè)是兩個不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】通過面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.【詳解】，且，所以，又，所以，充分性滿足，如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.

【典例2】（單選題）設(shè)為無窮等比數(shù)列的前n項和，則“有最大值”是“有最大值”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】分別考慮和的情形，即可說明條件既不是充分的也不是必要的.【詳解】當時，，此時顯然有最大值，而沒有最大值，這表明條件不是充分的；當時，由于，故是遞增數(shù)列，從而沒有最大值.

又由于，故是遞減數(shù)列，從而有最大值，這表明條件不是必要的.故選：D.一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習）已知ABCD是平面四邊形，設(shè)p：＝3，q：四邊形ABCD是梯形，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】在四邊形中，若，則，且，即四邊形為梯形，充分性成立；若當為上底和下底時，滿足四邊形為梯形，但不一定成立，即必要性不成立，故是的充分不必要條件．故選：A．2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)為，則“為純虛數(shù)”的充分必要條件為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)和純虛數(shù)的定義即可求解.【詳解】因為，由為純虛數(shù)，即且，即且.故選：D.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）是的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性.【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，時一定有成立，而成立時，若就不能推出.所以是的充分不必要條件.故選：B.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線：，直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用兩直線平行求解的值，結(jié)合充要關(guān)系的定義判斷即可.【詳解】由可得，解得或.當時，：，：，顯然，重合，舍去，故時，.因此“”是“”的充要條件.故選：C5．（2024·江西南昌·二模）已知集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解集合中的不等式，得到這兩個集合，由集合的包含關(guān)系，判斷條件的充分性和必要性.【詳解】不等式解得，則；不等式解得，則.，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6．（2024高三·全國·專題練習）在中，角的對邊分別為，則“為鈍角”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)為鈍角和余弦定理可得，反之不成立，結(jié)合充分不必要條件的定義即可得出結(jié)果．【詳解】當為鈍角時，，由余弦定理，得，有，則.根據(jù)“”無法推出“為鈍角”，故“為鈍角”是“”的充分不必要條件．故選：A.7．（2024·陜西漢中·二模）已知為兩條直線，為兩個平面，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用面面垂直的判定定理，可得充分性成立，再通過舉例說明，得不出，即可得出結(jié)果.【詳解】若，因為，所以，即由可以得到，若，如圖，在正方體中，取平面為平面，平面為平面，取為直線，為直線，顯然有，，但與不垂直，即由得不到，故選：A.8．（2024·四川成都·三模）已知圓：，直線：，則“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用圓上恰存在三個點到直線的距離等于，等價于到直線：的距離為，從而利用點線距離公式與充分必要條件即可得解.【詳解】因為圓：的圓心，半徑為，當圓上恰存在三個點到直線的距離等于時，則到直線：的距離為，所以，解得，即必要性不成立；當時，由上可知到直線：的距離為，此時圓上恰存在三個點到直線的距離等于，即充分性成立；所以“”是“圓上恰存在三個點到直線的距離等于”的充分不必要條件.故選：A.9．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，設(shè)甲：；乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【分析】利用特殊值的函數(shù)值判斷充分性不成立，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和值域，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，從而判斷必要性.【詳解】，，滿足，但，故甲不是乙的充分條件；令，則，故在單調(diào)遞增，即，也即在恒成立，則在恒成立；故當時，，，甲是乙的必要條件.綜上所述，甲是乙的必要條件，但不是充分條件.故選：B.10．（2024·北京東城·一模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用等差數(shù)列通項公式求出，再利用單調(diào)數(shù)列的定義，結(jié)合充分條件、必要條件的意義判斷即得.【詳解】由等差數(shù)列的公差為，得，則，當時，，而，則，因此，為遞增數(shù)列；當為遞增數(shù)列時，則，即有，整理得，不能推出，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A【題型二根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍】1．充分、必要條件的探求方法(與范圍有關(guān))先求使結(jié)論成立的充要條件，然后根據(jù)“以小推大”的方法確定符合題意的條件．2．利用充要條件求參數(shù)的兩個關(guān)注點(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)端點取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時，要注意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍．【典例1】（單選題）已知，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解出命題所表示的不等式，再根據(jù)必要不充分條件列出不等式組，解出即可.【詳解】，記，由是的必要不充分條件，可得且，故，且等號不同時成立，解得.故選：B.【典例2】（單選題）函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，求得的范圍，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】令，則，其中，因為在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，則滿足，即，解得，所以，的一個充分不必要條件是.故選：A．【典例3】（單選題）命題方程表示焦點在軸上的橢圓，則使命題成立的充分必要條件是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出當命題為真命題時實數(shù)的取值范圍，再結(jié)合充要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】若命題為真命題，則方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，，解得，因此，使命題成立的充分必要條件是.故選：B．一、單選題1．（23-24高三上·四川·期中）已知，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡條件，利用充分不必要條件列出不等關(guān)系，求解即可.【詳解】，因為是的充分不必要條件，所以.故選：C.2．（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）已知，則的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得不等式的解集，結(jié)合選項，以及必要不充分條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，即，解得，結(jié)合選項，可得的一個必要不充分條件為.故選：A.3．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）已知集合，則的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式求集合P，解根式不等式求集合Q，根據(jù)集合并集結(jié)果有即可求參數(shù)a的范圍，最后由充分、必要性定義可得答案.【詳解】由題設(shè)，，，若，則，故，可得.所以是的充要條件.故選：B4．（2023·四川甘孜·一模）設(shè).若是的充分不必要條件，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對，進行化簡，然后利用充分不必要條件的定義求解即可.【詳解】因為，所以，即，因為，所以，若是的充分不必要條件，則，解得，，故選：A.5．（22-23高三下·北京·開學(xué)考試）函數(shù)是偶函數(shù)的充分必要條件是（

）．A． B．C．且 D．，且【答案】C【分析】利用偶函數(shù)的定義求得恒成立，即可求出a，c，再驗證時情況即可判斷作答.【詳解】顯然函數(shù)定義域為R，因是偶函數(shù)，即，亦即，整理得，而不恒為0，因此，，即且，當時，也是偶函數(shù)，D不正確，所以一定正確的是C.故選：C6．（23-24高三上·四川德陽·階段練習）使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”成立的一個充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合充分不必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】，二次函數(shù)對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有.A：顯然是充要條件，不符合題意；B：推不出，所以本選項不符合條件；C：由能推出，但是由推不出，所以本選項符合題意；D：由推不出，所以本選項不符合條件，故選：C7．（23-24高三上·浙江寧波·期末）命題“，”為假命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項.【詳解】若命題“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，即，恒成立，，，當，取得最大值，所以，選項中只有是的真子集，所以命題“，”為假命題的一個充分不必要條件為.故選：D8．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理列式求出的取值范圍，結(jié)合必要不充分條件的意義判斷即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當時，不一定成立，所以命題成立的一個必要不充分條件是.故選：D【題型三全稱量詞命題與存在量詞命題的否定】全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)改量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫．(2)否結(jié)論：對原命題的結(jié)論進行否定．【典例1】（單選題）已知命題p：，，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】在給命題取否定時，需要將任意量詞和存在量詞互相轉(zhuǎn)換，并對結(jié)論取否定.【詳解】將原命題的任意量詞換成存在量詞，結(jié)論中的“”換成“”就得到原命題的否定為：，，從而A正確.故選：A一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習）命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)命題“，”的否定是“，”直接得出結(jié)果.【詳解】命題“，”的否定是“，”．故選：C．2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）命題的否定是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)果.【詳解】因為命題，則其否定為.故選:B3．（2024·山西呂梁·二模）設(shè)命題：對任意的等比數(shù)列也是等比數(shù)列，則命題的否定為（

）A．對任意的非等比數(shù)列是等比數(shù)列B．對任意的等比數(shù)列不是等比數(shù)列C．存在一個等比數(shù)列，使是等比數(shù)列D．存在一個等比數(shù)列，使不是等比數(shù)列【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，直接寫出命題的否定.【詳解】因為：：存在一個等比數(shù)列，使不是等比數(shù)列.故選：D4．（2024·山西·一模）設(shè)命題，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式判定即可.【詳解】由題意可知.故選：C5．（2024·全國·模擬預(yù)測）命題“，函數(shù)在上單調(diào)遞增”的否定為（

）A．，函數(shù)在上單調(diào)遞減B．，函數(shù)在上不單調(diào)遞增C．，函數(shù)在上單調(diào)遞減D．，函數(shù)在上不單調(diào)遞增【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解.【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題“，函數(shù)在上單調(diào)遞增”的否定為“，函數(shù)在上不單調(diào)遞增”．故選：B．6．（23-24高一上·山東青島·期中）十七世紀，數(shù)學(xué)家費馬提出猜想：“對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”，經(jīng)歷三百多年，1995年數(shù)學(xué)家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬大定理的否定為（

）A．對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程都沒有正整數(shù)解B．對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解C．存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解D．存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解【答案】D【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.【詳解】“對任意正整數(shù)，關(guān)于的方程沒有正整數(shù)解”的否定為：存在正整數(shù)，關(guān)于的方程至少存在一組正整數(shù)解.故選：D.【題型四根據(jù)全稱、存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍】根據(jù)全稱、存在量詞命題的真假求參數(shù)的取值范圍一般思路1.在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個命題都為真命題，如果哪個是假命題，去求真命題的補集即可.2.全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對較難，要注重端點出點是否可以取到.3.與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時，一般先利用等價轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍【典例1】（單選題）命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求解出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，然后根據(jù)恒成立條件得出結(jié)果.【詳解】解：因為命題“”為真命題，所以，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，，所以只需.故選：A．【典例2】（單選題）若命題“，使”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由存在性問題得即可得解.【詳解】由題意命題“，使”是真命題，所以，當且僅當，有，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：C.一、單選題1．（23-24高三下·云南昆明·階段練習）若命題“，”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】時，有，則命題“，”為真命題時，有.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當時，，“，”為真命題，則，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：C．2．（2024高三·全國·專題練習）若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得不等式在R上有解，結(jié)合計算即可求解.【詳解】由題意可知，不等式在R上有解，∴，解得，∴實數(shù)m的取值范圍是.故選：A.3．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的最小值即可求解.【詳解】因